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Submitted on 18 Nov 2010
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Simulation visuelle de croissance d’écorces
Sylvain Lefebvre, Fabrice Neyret
To cite this version:
Sylvain Lefebvre, Fabrice Neyret. Simulation visuelle de croissance d’écorces. 14èmes Journées de l’Association Française d’Informatique Graphique (AFIG’01), AFIG, Nov 2001, Limoges, France.
pp.187–197. �inria-00537506�
Sylvain Lefebvre Fabrice Neyret
Sylvain.Lefebvre@imag.fr Fabrice.Neyret@imag.fr
iMAGIS y
-GRAVIR / IMAG-INRIA
Résumé: Andepouvoiratteindreleréalismeexigéparlesapplicationsactuelles,lasynthèse
d'imagesdoitêtredotéed'outils facilitantlamodélisation desscènesnaturelles. C'est danscette
optique quenous proposons unmodèle de croissance de déchirures appliqué aux écorces. Après
uneétudedecasquinous apermisdecaractériserlephénomèneàreprésenter,nousutilisonsun
modèledematériausimpledontlespropriétésphysiquesenrupturesontconnues,poursimulerle
comportementcomplexed'uneécorce.Lamatièreestainsireprésentéeparunensembled'éléments
parallèlescapablesdesefractureretdelaisserapparaîtrelesubstrat.Lacroissanceestautomatique
unefoislesparamètressaisisparl'utilisateur,maispeutaussiêtreinuencéeenincisantlasurface
encoursdesimulation.Lesdéchiruresobtenuessontcomparablesàcellesobservéessurdesécorces
réelles.Ilestégalementpossibled'en obtenirdiérentes variétés.
Mots-clés :fractures,déchirures,écorce,croissance,scènesnaturelles
1 Introduction
Lorsquel'ondésirereprésenterdesscènesnaturellesensynthèsed'images,ilfautfairefaceàdeux
dicultés majeures. Non seulement leur taille,en terme de représentationgéométrique,dépasse
très largement les capacités des ordinateurs d'aujourd'hui, mais de plus il est long et dicile,
pourunartiste, delesmodéliserdèlementtout enconservantune bonnecomplexité apparente.
D'autantplus que les aspects des surfaces naturelles résultent de leur évolution dans le temps,
et sont fortement inuencés par l'environnement. S'il est donc essentiel de pouvoir réduire la
complexitégéométriquedesscènesnaturelles, ilfautégalementfournirauxartistesdesoutilsqui
prennentenchargeunepartiedelaréalisation,notammentauniveaudesdétails.
Danscetteoptique,uncertainnombred'étudessesontattachéesàproduiredesmodèlesdecrois-
sance d'arbres très réalistes. C'est ce que permet parexemple le logiciel AMAP [dREF +
88] du
Cirad [Cir, Bio]. De tels algorithmes considèrent généralement que la limite entre la géométrie
et ledétailsesitueauniveaudel'écorce.Celle-ciest doncreprésentéegrâceàune texture,c'est
à dire une image appliquée sur le tronc. Néanmoins, ces outils se restreignent pour le moment
auplacagedelaphotographied'unéchantillonréel d'écorce.Orlesalgorithmesdesimulationde
croissancetiennentcompted'ungrandnombredeparamètrescommel'hydrométrieetl'ensoleille-
ment[SSBD01],ilest doncimportantde nepasbriserleréalismeainsi obtenuparunemauvaise
représentationdesdétailsdel'habillage,notammentdanslecasoùlepointdevueestproche.De
plus, disposer d'un véritable modèle de croissance d'écorcepermettrait de visualiserl'évolution
de celle-ci au cours du vieillissement de l'arbre. L'écorce générée serait ainsi inuencée par les
mêmesconditionsextérieuresquel'arbrequilaporte,etluicorrespondraitparfaitement.Ilserait
égalementpossibled'obtenirfacilementunegrandevariétéd'individusauseind'unemêmeespèce.
Notre but est d'obtenir unmodèle de croissanced'écorce, capabled'en créer une représentation
visuelle, voire géométrique. De plus, nous nous attacherons à orir un bon contrôle à l'artiste
surl'aspectnaldurésultat,ce quiimpliquedepouvoirinuencerinteractivementlacroissance.
Commenousleverrons parlasuite,lacomplexitéet laméconnaissancedespropriétésphysiques
précises d'une écorce, mais également l'objectif de maintenir une interactivité entre l'artiste et
l'outil,exclulerecoursàdesrésolutionsnumériquesdemodèlesphysiquesnstelsqueleséléments
nis.Ceux-cisonteneet gourmandsen tempsdecalcul et plusdestinésàobtenirdesrésultats
quantitatifsquequalitatifs.
Parmi l'innie variété d'écorces que l'on peut observer dans la nature, nous nous sommes plus
particulièrementintéressésauxécorcesprésentantdelargesdéchirures.Eneet,cephénomèneest
trèsprésentdanslanatureet assezpeuétudiéjusqu'àaujourd'hui.Lagure1présentequelques
écorces de ce type. Notre approche est à la fois basée sur une étude de cas, qui nous a permis
iMAGISestunprojetcommunCNRS/INRIA/UJF/INPG.
matériaux.Nousproposonsunsimulateurdefracturationd'écorcesencoursdecroissancedontle
coûtdecalculréduitautoriseuneinteractivitéavecl'utilisateur.Lerésultatobtenupeut-êtremis
sousformetexturellevoiresousformegéométriqueand'obteniruneécorceenrelief.
Cetarticleeststructurécommesuit:nousferonstoutd'abordunrapidetourd'horizondestravaux
en synthèse d'images qui traitent de sujets proches puis en 2.2 nous aborderons les principes
physiques à la base de la rupture des matériaux. Enn, nous présenterons en 3 notre modèle
de croissance et les résultats obtenus. Un dernier chapitre mettra en évidence les principales
limitationsdecepremiermodèleetlesvoiesderecherchefutures.
Fig.1Diérentes espècesprésentantdesdéchirures[Vau93 ].
2 Travaux antérieurs
2.1 Synthèse d'images
Nous nous intéressons essentiellement àl'habillage des arbres. Dans ce domaine, il est possible
de distinguerdeux grandes catégories:l'habillagestatique, basé sur des textureséventuellement
procédurales,et l'habillageparsimulation.
Danslecasdel'habillagedutroncparunetexture,ladicultémajeureconcernelaparamétrisation
dutroncdel'arbre.Celle-cidénitdequellemanièrelatexturevaêtreappliquéesurlasurface.Or
lesembranchements,maisaussilesirrégularitésdanslediamètreet lacourburedutroncrendent
dicile ladénition d'uneparamétrisationsatisfaisante.Bloomental [Blo85], pourconstruire les
embranchements,utilisedescourbessplinessurlesquelles estconstruiteuneparamétrisationqui,
si elleprovoque desdistortions, n'introduit pasde discontinuité dans l'apparence del'écorce. J.
Hart et B. Baker[HB] proposentde créerune paramétrisationdutronc enreprésentantcelui-ci
parunmélange de cônes implicites. Dans leurarticle, K.Maritaud et al.[MDG00] utilisent des
masques de mélange pour appliquer une image d'écorce réelle sur le tronc, sans discontinuités.
Enn, danslelongmétraged'animation Abugs Life,lesstudios Pixar[Stu99]ont utilisépour
lesgrosplanssurl'arbredeuxparamétrisationsdiérentesdutronc.Celles-cisontmélangéesentre
elles,cequi permetde neconserverlespropriétésintéressantesdel'unequesur leszonesoùelle
secomportemieuxquelaseconde.
Parmilestravauxorientés verslacroissance d'écorces,P. Federlet P. Prusimkiewicz[PP96]ont
proposéuneméthodedecréationdetexturescraqueléesbaséesurunréseaumasseressortattaché
autronc.Lesressortspeuventsedéformersanscontrainteendessousd'unseuild'élongation.Au
dessusdeceseuil,uneprobabilitéderupturedéterminesileressortdoitsebriserounon.K.Hirota
etal. [HKK98] ontétenduleursprécédentstravauxconcernantlesssures[HTK98] àunmodèle
decroissanced'écorce.Celle-ciest représentéeparunréseaumasses-ressortsàplusieurscouches.
Ces deux approches permettent de simuler les fractures de petites échelles, mais pas de larges
ouvertures. D'autrepart,ilest nécessaired'avoirungrandnombrederessortsand'obtenir des
résultatsintéressants.Anoterque[HKK98]proposeuneméthodepourtraiterlesembranchements.
D'autrestravaux eectués en synthèse d'image dans lecadre de lasimulation dela rupture des
matériaux ont un rapport direct avec notre sujet. L'ensemble de ces méthodes se concentrent
sur le fait de briserdes objets déformables ou solides. Ceci ne concerne qu'une partie de notre
problème,danslamesureoùnousdésironssimulerlarupturedelacroûtesupercielled'unarbre,
puis représenter les phénomènes qui interviennent lors de l'élargissement des ouvertures ainsi
crées. Ces travaux sont néanmoins d'intérêt pour ce qui concerne la simulation de l'apparition
visco-élastiques. Les fractures sont représentés par desdiscontinuités dans lemodèle. Norton et
al.[NTB +
91]ontproposéunmodèlepermettantdebriserdesobjetstridimensionnels.Lesobjets
sont découpés en cubesreliés entre eux par des ressorts. Cetteméthode induit unfort aliasing
dans les fractures et nécessite donc de découperles objets en de nombreux petits éléments. En
1999, O'Brien et al. [OH99] ontutilisé leséléments nispour déterminer lespoints d'initiation
desfractures et leur direction de propagation.Si laméthode présente desrésultats visuellement
excellents, elle soure d'un temps de calcul très élevé dû à la fois à la nécessité de remailler
l'objet lors des fractures, mais aussi aux méthodes de résolution employées qui nécessitent un
pasdetempsn.DansleurarticleSmith,WitkinetBara[SWB00]proposentunetechniquede
fracturebaséesurdescontraintesdedistance.Cecipermetdereprésenterl'objetcommeunsolide
et donc d'éviter lesproblèmes dûsaux méthodes d'intégration. Néanmoins, il est nécessaire de
tétrahédriserl'objetetlesfracturessuiventlesarêtesdumaillage.Enn,Mulleretal.[MMDJ01]
ontprésentéunetechniquepermettantdebriserdesobjetsentempsréel.Leurapprocheestbasée
surdesélémentsnisdontlarésolutionn'intervientquelorsdesimpactsandecréerlesfractures.
Lerestedutemps lesobjetssontconsidéréscommesolides.Lesfracturesdevantsuivrelesplans
destétrahèdres,lesformesobtenuessontassezgrossièresetperdentenréalisme.
2.2 Eléments de physique
Une rupture apparaît dans un matériau lorsque les contraintes internes dépassent un seuil de
résistance.Lelienentreatomesestalorsbriséetlaruptures'initie.Celle-cisepropagetantquele
systèmen'estpasrevenudansunétaténergétiquestable,àl'équilibre.Lesfracturessepropagent
orthogonalement à la direction d'eort maximal. Les imperfections du matériau ont une forte
inuencesursoncomportementenrupture.Ilfautdistinguerdeuxmodesderupture:
rupture fragile:cetypederupturenécessitepeud'énergieet sepropagedoncrapidement
danslematériau.Ellerésulte généralementenunebrisurerapidedel'objet.
rupture ductile:laruptureductilesedistinguedelarupturefragileparlaprésenced'une
zonededéformationplastiqueauxpointsdepropagation.L'énergieestdissipéeendéforma-
tionplastiqueetlafractureestdoncmoinsbrutale.
Ilexisteunlienentrelesrupturesfragilesetductiles.Eneet,unobjetquiprésentehabituellement
desfracturesductilespeutnéanmoinsformerdesfracturesfragileslorsqu'ilestsoumisàdeseorts
brefsouintenses.Larupturefragileestmodéliséeparlamécaniquedesfracturesélastiques[Bro91,
And95,TF88].
Ilexistedeuxapprochesdistinctesauproblèmedelarupturedesmatériauxélastiques.L'approche
d'Inglis [Ing13], basée sur leseorts,permet d'évaluerl'intensité des contraintes aux extrémités
d'unefracture.L'eortdépenddirectementdurapportentrelalongueuretlalargeur.L'approche
deGrith[Gri20]dénitlaconditionlimitedefracturecommel'instantoùl'agrandissementdela
ssurealieusousdesconditionsd'équilibre,sanschangementbrutaldel'énergietotaledusystème.
Ainsi,pourqu'unessure dansune plaquesoumise àune contrainte s'agrandisse,il doityavoir
assezd'énergie potentielleemmagasinéepourcompenserlacréationdesnouvellessurfaces.
3 Modélisation d'écorces
Danscettesection,nousdécrivonsnotremodèle"fondamental"degénérationd'écorces.L'habillage
visuelferal'objetdelasection4.Uneécorceestunmatériauextrêmementcomplexe(cf. [Vau93,
MS]). Ilpeut-êtrebreux,présenter une multitude de couches plusoumoins liéesentre elles,et
sespropriétésmécaniquespeuventgrandementvarierle longdutroncde l'arbre.Ilnous adonc
semblévain devouloirmodéliserdelèmentsa structure. Nous avonsdonc préféréuneapproche
phénoménologique: à partir d'observations d'écorces, nous avons extrait un certain nombre de
structures et comportements.Parlasuite, nousallonssimuler unmatériau ayantdes propriétés
mécaniquessimplesmaisdontlecomportementglobalcorrespondraànosobservations.
présencedelargesdéchiruresdeformessimilairesrésultantdelacroissancedel'arbre;
conservationdelasurfaced'origine;
fracturation de lacroûte à diérentes échelles (refractureà l'intérieur des déchirures déja
ouvertes);
diérentsmodesd'ouverture(manière dontlamatièresecomportedansladéchirure).
3.1 Hypothèses
Andefaciliterlamodélisation,nousavonsformuléleshypothèsessuivantes:
la croûte simulée subit une déformation dûe à une croissance des couches de matière in-
férieures. Mécaniquement, elle n'a pas d'inuence rétroactive sur celles-ci, par contre son
comportementpropredéterminesonaspect visuel.Dans lecasdesarbres, commeexpliqué
dans[Vau93],lestissusencroissancesontsituésenprofondeur sousl'écorce.
lephénomènededéchirureestsupposéquasi-statique:àchaqueinstantsimulélesystèmeest
àl'équilibre.Cettehypothèseest conrméeparl'observation:sil'ondécoupeunéchantillon
d'écorce,ellerestedanssonétatinitial.
lematériauestglobalementplastique,maisauncomportementinstantanéélastiquedûàla
petiteéchelledetempsdesélongations(cf.relationsfracturefragile/ductileensection 2.2).
Lemécanismederuptureestdoncceluidesfracturesélastiques.
laplaquedematièresimuléeestsoumiseàunesuccessiondepetitesélongationsinstantanées.
lacroissances'eectue dansunedirectionprivilégiéxée.Eneet,letroncd'unarbresubit
une croissanceuniquementradiale.
Pourobtenirdesperformancesentempsdecalculquiautorisentl'interactivité,maisaussiàcause
de la complexité des phénomènes mis en jeu, la simulationpar élémentsnis à été écartée. En
eet,ce typed'approcheest pertinentlorsque l'on possèdeun modèleprécisdécrivantle phéno-
mène, comme c'est le cas des ruptures fragiles de matériaux homogènes simulées dans [OH99].
En revanche, ellen'estpas indiquée lorsque lephénomène dépend de nombreuxparamètresmal
connus et délicats àmettre en évidence. D'autrepart,comme l'objectif est lasynthèse d'image,
l'on s'attache àcréerun modèle qui, tout en étant soutenu pardes bases physiques précises, se
veutvisuellement convainquant et facileà contrôler. Il ne s'agit pas d'obtenir des informations
quantitativessurlespropriétésd'unmatériau, maisbiendesimulerqualitativementsoncompor-
tement.
3.2 Modélisation des déchirures
Notremodèledecomportementdistinguetroisphénomènes:
l'initiationdesdéchirures,c'est àdirelafracturedelacroûte.
lapropagationdesdéchirures.
l'ouverturedesdéchirures.
Lebutestdecontrôlercestroisphénomènessoitenutilisantdesrésultatsphysiques,soitencréant
desloisdecomportementphénoménologiquesàpartird'observations.Lagure2réunitlesynopsis
denotremodélisation duphénomène.
Elongationrelative
Perturbationaléatoire
Cartedefaiblesses
Perturbationaléatoire Perturbationaléatoire
Inglisa/b Ligneeortmax
Perturbationaléatoire Direction
Seuil
Ouverture
Systèmeàl'équilibre
Courberigidité
Courbureglobale Lieu
Seuil
Fracture Propagation
Déchirure
Commel'illustrelagure3,nousavonsreprésentélamatièreparunesériedebandelettesparallèles
àladirection d'élongationet capablesde sefracturer.Lorsde lafracturation,desélémentsplus
souplesquelacroûtesontintroduitsentreleslèvresdelafracture.Ceux-cipermettentdesimuler
lecomportementenouverturedesdéchirures.
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bandelettedematièrecorrespondante
ladéchiruemodielocalementlarigiditédelasurface
moded'ouverturecentral
croûte croûte
déchirure lamellecréeeparl'entrelacementdesdéchirures
déchirures
évoluantsur
labandelette
unebandelettedynamique
directiond'élongation
Fig.3A gauche:étude d'une déchirure, àdroite: notremodélisationen bandelettes.
D'aprèsleshypothèsesfaitesprécédemment,lesbandelettesdoiventavoiruncomportementgloba-
lementplastique,maisleurréponseàune élongationsusammentrapideest purementélastique.
Uneélongationsusammentrapideestuneélongationdontl'échelledetempsesttrèsinférieureà
l'échelledeplasticitédumatériau. Ladirectiond'élongationestxeetparallèleauxbandelettes.
Chaquebandeletteestconstituéed'unechaîned'élémentsquipeuventêtresoitdelacroûte(surface
présente àl'origine), soit l'intérieur d'une déchirure (surface qui apparaît). Même si le compor-
tement global desélémentsest plastique, c'est leur comportementélastique instantané qui nous
intéressepour lafacturation, c'est pourquoinous lesappellerons éléments élastiques. Les déchi-
rures sont donc représentées par des éléments insérés sur les bandelettes de matière lors d'une
fracturedelacroûte,ouunepropagationd'unedéchirurevoisine.Leurélargissementest contrôlé
enmodiantlaraideurdesélémentsélastiquesquilescomposent.Lagure3montrel'étatd'une
plaquedematièreencours desimulation.
Notesur les raideursdes élémentsélastiques
K
2
= l
0 K
l
2 K1=
l
0 K
l
1
l
0
l1
l2 K
Fig. 4 Raideur des élé-
mentsélastiques.
Selon la loi de Hooke, un élément élastique linéaire 1D de raideur
K,subissantuneélongationeproduit uneortF =Ke.Néanmoins
il faut bien distinguer raideur du matériau et raideur de l'élément.
En eet, un élément de longueur à vide l
0
constitué d'unematière
de raideurR présente une raideurpropreK = R
l0
. Ceci est très im-
portantcarlorsqu'un élémentdecroûteserompt,il doitêtrescindé
endeuxélémentséquivalents.Leurraideurdoitdoncêtreajustéeen
conséquence(cf.gure4).Lesélémentsdedéchirure, eux,n'ontpas
lecomportementd'unematièreélastiquedanslesensoùleurrigidité
nesuitpascetteloi(cf.section3.3,paragrapheOuverture).
Lephénomènesimuléétantsupposéquasi-statique,lesélémentsélas-
tiques d'une bandelette doivent être à l'équilibre. A chaque pasde
temps,lesystème d'équationsforméparlesélémentsdechaquebandelettedoitdoncêtrerésolu.
Larésolution s'eectueavec laméthodedugradientbi-conjugué, proposéeparlalibrairieITL 1
.
1.IterativeTemplateLibrary
