Première – spécialité mathématiques – 2020 / 2021 A4 – cours
1) Sens de variation d'une suite Exemple 1
Si u
n= 3 n + 1, alors
u u
0= 1
1
= 4
u
2= 7 u
3= 10
donc les termes de la suite augmentent : elle semble croissante.
Définition Soit u une suite.
• u est dite croissante si pour tout n ∈ N , u
n+1Ã u
n;
• u est dite décroissante si pour tout n ∈ N , u
n+1Â u
n;
• u est dite stationnaire si pour tout n ∈ N , u
n+1= u
n;
• u est dite monotone si elle est croissante, décroissante ou stationnaire.
Exemple 1 (suite)
Pour démontrer que la suite ( u
n) est croissante il faut donc comparer u
n+1et u
n. Or on sait que a à b ñ a− b à 0.
Donc il va suffire d'étudier le signe de u
n+1− u
n. Mais u
n= 3 n + 1 et donc u
n+1= 3( n+ 1) + 1 = 3 n + 4.
Ainsi u
n+1−u
n= (3 n+ 4) − (3 n + 1) = 3 n + 4 − 3 n − 1 = 3 > 0.
On a donc bien démontré que u
n+1Ã u
n: la suite est bien croissante !
Méthode 1
Si pour tout entier n , u
n+1− u
n? 0, alors la suite ( u
n) est croissante.
Si pour tout entier n , u
n+1− u
n; 0, alors la suite ( u
n) est décroissante.
Exemple 2
Si u
n= 1
n , alors
u
1= 1 u
2=
12
= 0,5 u
3=
13
= 0,33 u
4=
14
= 0,25
et ( u
n) semble décroissante.
u
n+1− u
n= 1
n + 1 − 1
n = n
n ( n+ 1) − n+ 1 n ( n+ 1) =
) 1 (
) 1 (
+ +
− n n
n
n = n−n − 1 n ( n+ 1) =
) 1 (
1 +
− n
n < 0
La suite ( u
n) est donc décroissante.
Exemple 3
v
0= 5 et pour tout n à 0 on pose v
n+1= v
n− n
2.
On a alors :
v v01= =v 5
0− 0
2= 5 v
2=v
1− 1
2= 4 v
3=v
2− 2
2= 0 v
4=v
3− 3
2=- 9
et la suite ( v
n) semble décroissante.
Mais v
n+1−v
n= v
n−n
2−v
n= -n
2Â 0.
Ainsi ( v
n) est décroissante.
Exemple 4 z
n= 2
nn pour n à 1.
On a :
z
1= 2 z
22z
3=
83
z
4= 4 z
5= 6,4
donc la suite ( z
n) semble croissante.
z
n+1−z
n= 2
n+1n + 1 − 2
nn = n 2
n+1− (n + 1)2
nn ( n + 1) … mais l'étude su signe semble difficile.
Essayons autre chose.
Il faut prouver que z
n+1Ã z
n.
Mais puisque z
nest positif, il revient au même, en divisant par z
n, de prouver que z
n+1z
nà 1.
z
n+1z
n=
2n+1 n+1 2n
n
