Chapitre 7 ; les systèmes linéaires ; Résumé I. Généralités
Un système linéaire est de la forme
𝑎11𝑥1+ ⋯ + 𝑎1𝑝𝑥𝑝 = 𝑏1
… … … . 𝑎𝑛1𝑥1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑝𝑥𝑝 = 𝑏𝑛
(S) Il est homogène lorsque 𝑏𝑖 = 0 ∀𝑖 ∈ {1 , 2 , … , 𝑛}
Il est compatible lorsqu’il admet au moins une solution Il est échelonné lorsque :
1) si les coefficients de x1, … , xk sont nuls sur une ligne alors ceux de x1, … , xk+1 sont nuls sur la ligne suivante
2) Si le membre de gauche d′une ligne est nul alors il en est de même pour toutes les lignes suivantes
Dans un système échelonné, on appelle pivot le 1° coefficient non nul de chaque ligne non nulle
Le système est normalisé lorsque tous les pivots sont égaux à 1 (c’est plus commode lorsqu’on fait le calcul « à la main » )
Les inconnues « principales » sont les inconnues « accolées » aux pivots, les autres sont « secondaires » (paramètres)
Le rang du système (S) est le nombre de pivots et donc le nombre d’inconnues principales, noté 𝑅𝑔(𝑆)
Intuitivement : le rang est le nombre d’équations « utiles » II. Matrice d’un système
La matrice du système (𝑆) est la matrice 𝑀 = (𝑎𝑖𝑗) ; (S) s’écrit alors 𝑀𝑋 = 𝐵 Si 𝑀 est inversible alors on peut écrire : 𝑋 = 𝑀−1𝐵
La matrice augmentée du système (S) est la matrice
𝑎11 𝑎1𝑝 𝑏1
… … … . 𝑎𝑛1 𝑎𝑛𝑝 𝑏𝑛
Le rang de la matrice 𝑀 est le rang d’un système dont 𝑀 est la matrice Deux systèmes sont équivalents lorsqu’ils ont même ensemble de solution ; on note 𝑆 ⟺ (𝑆′)
Comme pour les matrices, on effectue des « opérations sur les lignes »
Théorème : Si on applique une opération sur les lignes , on transforme un système en un système équivalent
III. Résolution d’un système linéaire : Méthode du pivot de Gauss
Soit (𝑆) un système comportant 𝑛 équations et 𝑝 inconnues
1. On commence par préparer le système en échangeant s’il y a lieu l’ordre des équations et des inconnues de sorte que le premier coefficient de la première ligne soit différent de 0
2. On échelonne le système :
S’il apparait une équation du type 0𝑥1+ 0𝑥2+ ⋯ + 0𝑥𝑝 = 𝑏𝑖 ≠ 0 , alors le système est incompatible et n’admet pas de solution
S’il apparait une équation du type 0𝑥1+ 0𝑥2+ ⋯ + 0𝑥𝑝 = 0 , alors on l’élimine 3. On aboutit alors à un système échelonné (𝑆𝐸)
S’il n’y a pas d’inconnues auxiliaires (de paramètres) c'est-à-dire si 𝑟𝑔 (𝑆) = 𝑟𝑔(𝑆𝐸) = 𝑝 alors (S) admet une solution unique obtenue en
« remontant » le système échelonné (SE)
S’il y a des inconnues auxiliaires, c'est-à-dire si 𝑟𝑔(𝐸) = 𝑟𝑔(𝑆𝐸) < 𝑝 alors (S) admet une infinité de solutions obtenues en « basculant » les inconnues secondaires dans les membres de gauche et en « remontant » le système , les inconnues principales s’exprimant alors en fonction des inconnues secondaires
