Chap 18 : Systèmes linéaires
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Chap 18 : Systèmes linéaires
I. Généralités
11 1
1 1
11 1
1 1
1 1
1
1
...
( ) [ ] ( ... ) ( ) ...
...
... 0
...
... 0
coefficients, matrice et second membre du système
système homogène associé En ré
n t
i j i j
m m n
n
m m
n mn
m
n m
n
n n
a x a x b
a A a B b b
a x a x b
a x a x
a x a x
S
sumé : AX B AX 0
Interprétations : Opérateur / Formes linéaires / Intersection d'hyperplans affines
( ) 0 ( )
solutions du système , solutions du système homogène. est compatible lorsque
S S S S S
( ) 0
Si S est compatible, l'ensemble des solutions de est un espace affine dirigé par SS
dim 0 rg dim
Le rang du système est celui de A S n A S (si non vide)
II. Systèmes de Cramer
est dit de Cramer lorsque est inversible
mn AX B A
( ) 0 {0}
,( ) ,( )
On a équivalence entre : est de Cramer
possède une unique solution possède au plus unique solution S
B B
S
S S
1 1 1
1, 1 det( ,..., , , ,..., )
det
Formule de Cramer : si est inversible, la solution de est donnée par
i , i i i n
A AX B
n x C C B C C
A
0 0 0
0 0 0
0
( ) ,| | | | 0 0 | | | | | | | |)
Hadamard : n tq, i i i j inversible( , sol , i i i i i i j
j i j i
A i a a A AX X x X a x x a
M
' ' ' '
2, ' ' '
' ' ' '
c b a c
ax by c c b a c
n x y
a b a b
a x b y c
a b a b
III. Critère de compatibilité
1 1
( ) rg( ... , ) rg
( ... )
compatible Tous les mineurs bordants faisant intervenir sont nuls inconnues principales, déterminées par un système de Cramer
n r
C C B A B
x x
S
IV. Application aux valeurs propres
rg( ) 1
( ) 0
valeur propre de
Pour trouver un vecteur propre, on résout
A A I n
A I X
( ) rg( ) 1 rg ( ) 1
0
val. propre simple On fixe une inconnue puis : Une colone de fournit le vecteur propre cherché
I A I n A I
A I
