Mathématiques – cours : Chap 25 : Systèmes linéaires
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Chap 25 : Systèmes linéaires
I. Introduction et vocabulaire
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11 1 1 1
1,
1, , 1,
1
1 1
( )
( ) On écrit :
Système linéaire à inc
où les sont les onnues
inconnues d
: donnée de et d
u s e
n
b n
n p
p p
i j j i j j p
n
i j i n j p
n p p
b
n
j
n
p a
x a x b
a
x x
b
a b
a x a x
×
∈
∈ ∈
=
∈ ∈
+
+ =
=
+ =
+
∑
1
0
0 0
( ... )
ystème
Une solution du système est soient vérifiées
On notera : l'ensemble des solution
telle que les équations de
le système homogène associé l'ensemble des solutions d
s
e
p
p n
x x ∈
S S
1
1
1, , 1, 1
( ) ( ) ( )
Ecri
Inconnue : se réécrit :
ture matricielle :
n
p
b i
n i n j p n p
b
x n
x
j n
X AX
A a B
B
∈ ∈
=
= ∈ ∈
∈
=
= M
M
1
( , )
( ) , ( )
( ) ( )
Interprétation vectorielle : de dim et base , de dim et base
Chercher p tq revient à chercher tel que
E F E p F n
A b F B b
X AX B x E x b
ϕ ϕ
ϕ
∈
= ∈ =
∈ = ∈ =
BC C
L B C
Mat Mat
M
1 1
1
( ... ) ( ) ( ... )
Autre interprétation : p p p p est solution de p
j
n j j
v x ssi b x
A v x v
=
=
=MatC ∈M ∈
∑
: ( ) rg( ) rg( ) On appelle rang de rg = A = ϕ
II. Ensemble des solutions
Im ( ... )1
a au moins une solution ssi b∈ ϕssi b Vect v∈ vp
rg( ) 1( )
Si =n, pour tout B∈Mn , a au moins une solution
0 est un −ev de dimension p−rg( )S (X∈ 0 ⇔ ∈x ker )ϕ
S
) 0 {(0,0,...,0)}
Si rg( = p, =
Mathématiques – cours : Chap 25 : Systèmes linéaires
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0 { 0, 0 0
0 }
Si S≠ et Y∈S, alors S= +Y S = Y+X X ∈S
Im , rg( )
Im
Si est un espace affine de dimension Si ,
b b
ϕ p ϕ
∈ ≠
∉ = ∅
∅ −
S S
rg( ) est un système de Cramer si
On dit que = =n p
1
1 1 1 1
... ) 1 det( ... , , ... )
det( )
Formules de Cramer : , avec ( Posons
est l'unique solution de
p
p j j j p
x x
C x C C B C
X B C
A A C
A X
− +
=
=
= =
Preuve : det(C1...Cj−1, ,B Cj+1...Cn)=det(C1...Cj−1,
∑
xkC Ck, j+1...Cn)=xjdet( )A (antisymétrie)III. Méthode de résolution : pivot de Gauss
On réalise un pivot de Gauss pour trouver le rang du système et les solutions éventuelles.
Pour les solutions, on ne manipule que les lignes (sauf changement d’ordre des colonnes)
1
1 ( 1)
1
1
( | ) ( ( )
* * *
* *
0 *
0 0
... | )
0 On utilise la matrice augmentée du système :
On se ramène à une matrice "triangulaire" par le pivot de Gauss : avec
CNS p
p n
r
b
b p
n
C A B C
a
B B
a B
+
= ∈
=
M
1,
, 0our avoir des solutions : ∀ ∈ +j r n bj =
1 1
1
* * *
* *
( 0 *
0 0 0
)
... ) ) ( ... )
0
( (
le système dont la matrice augmentée est
a une unique solu S
tio oit
Quels que soient fixés, n
r r
r p p
p r
b
b a
x
x x x
a
−
∈
