Chapitre 8 résumé : Systèmes linéaires.

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Lycée Louis Barthou Denis Augier

Chapitre 8 résumé : Systèmes linéaires.

Nous allons procéder en suivant un système linéaireclassique :

$

’’

&

’’

%

y`3z`2t“a x`3z`2t“b 3x`2y´z´2t“c

2x`y`z“d 3x`y´4z´4t“e

matrice associée

¨

˚

˝

0 1 3 2

1 0 3 2

3 2 ´1 ´2

2 1 1 0

3 1 ´4 ´4

˛

‹

‚ pour

¨

˚

˝ a b c d e

˛

‹

‚

soit B1 “

¨

˚

˝ 17 15

´1 7

´18

˛

‹

‚

soitB2“

¨

˚

˝ 7 5 1 3 0

˛

‹

‚

• lapermutationdes lignes i et j correspond à l’échange des lignes i et j dans le système. On note Li ÐÑLj.

• la dilatation de la ligne i de rapportλ‰ 0 correspond à la multiplication de la lignei par λ.

On noteLiÐλLi

• la transvectionentre les lignes iet j de rapport λ correspond à l’ajout à la lignei de la ligne j multipliée parλ. On noteL_i ÐL_i`λL_j

Méthode 1(Opérations sur les lignes :)

Étant donné un système linéaire pSq, tout systèmepS¹q qui peut être obtenu à partir de pSq avec un nombre fini d’opérations élémentaires sur les lignes est équivalent àpSq.

On obtient la même définition pour les matrices bien sûr.

Définition-Proposition 1(Systèmes équivalents.)

On appellematrice échelonnée en lignes, toute matrice telle que :

• Si une ligne est nulle, les suivantes le sont aussi

• à partir de la deuxième ligne, le premier coefficient non nul de chaque ligne est strictement à droite de celui de la ligne précédente.

Définition 1 (Définition d’une matrice échelonnée en lignes)

Si lamatrice est échelonnée en lignes,

• on appellepivot, le premier coefficient non nul de chaque ligne,

• les inconnues correspondant aux pivots sont les inconnues principalesdu système,

• les autres inconnues sont les inconnues secondairesou paramètresdu système.

Toute matrice est équivalente à une matrice échelonnée.

Définition-Proposition 2

Si l’on reprend la matrice précédente, après opération sur les lignes, on obtient lamatrice échelonnéeéquivalente (on remarquera donc ici que le système ou la matrice sont de rang 3) :

(L₁ ÐÑ L₂, L₃ Ð L₃´3L₁,L₄ Ð L₄ ´4L₁, L₅ Ð L₅ ´3L₁, L₃ Ð L₃ ´2L₂, L₄ ´L₂, L₅ Ð L₅ ´L₂, L4ÐL4´¹₂L3,L5ÐL5´L3)

¨

˚

˝

1 0 3 2

0 1 3 2

0 0 ´16 ´12

0 0 0 0

˛

‹

‚

res 1

¨

˚

˝ 15 17

´80 0 0

˛

‹

‚ res 2

¨

˚

˝ 5 7

´28 0 6

˛

‹

‚

Les inconnues principales sontx,yetz. L’inconnue secondaire (une ici) c’est-à-dire le paramètre estt.Attention : Ici on peut déjà affirmer qu’il y a une infinité de solution pourB1 et aucune pour B2.

BCPST 1 2019-2020 1

(2)

On appelle rang du système ou de la matrice associée, le nombre de pivot d’une matrice échelonnée équivalente. (Ce nombre est unique !)

Définition-Proposition 3(Rang d’un système ou d’une matrice)

Une matrice échelonnée réduiteen ligne est une matrice échelonnée en ligne telle que :

• les pivots valent 1

• les pivots sont les seuls coefficients non nuls de leur colonne.

Toute matrice est équivalente à une matrice échelonnée.

Définition-Proposition 4

Si l’on reprend la matrice précédente, après opération sur les lignes, on obtient lamatrice échelonnée équiva- lente :

( L₃ Ð ´₁₆¹L₃,L₂ Ð ´3L₃,L₁ ÐL₁´3L₃)

¨

˚

˝

1 0 0 ^´1₄ 0 1 0 ^´1₄ 0 0 1 ³₄

0 0 0 0

˛

‹

‚

res 1

¨

˚

˝ 0 2 5 0 0

˛

‹

‚ res 2

¨

˚

˝

´0,25 1,75 1,75 0 6

˛

‹

‚

Maintenant, si l’on traduit les résultats précédents avec les variables avec l’exempleB₁ (pourB₂ pas de solution puisque 0“6), on obtient :

$

’’

&

’’

%

x´ ¹₄t“0 y´1

4t“2 z`³₄t“5

0“0 0“0

ô

$

’&

’%

x“ ¹₄t y“2`¹₄t z“5´ ³₄t

ô

¨

˚

˝ x y z t

˛

‹

‚

“

¨

˚

˝ 0 2 5 0

˛

‹

‚

`t

¨

˚

˝

1 41 4

´3 4

1

˛

‹

‚

L’ensemble solution est : S“

"ˆ 1

4t; 2`1

4t; 5´3 4t;t

˙

PR⁴, tPR

*

Un système qui admet des solutions est ditcompatible.Dans le cas contraire, il est ditincompatible.

Définition 2 (Compatible et incompatible.)

Ici pourB1 le système est compatible et pour B2 le système est dit incompatible.

On effectue successivement les opérations sur les lignes :

1. Échange éventuel de deux lignes pour mettre en première ligne celle qui a le moins de zéros au début, (permutation)

2. Multiplication de cette ligne par l’inverse de son premier coefficient non nul, (dilatation)

3. Annulation des autres coefficients de la colonne avec des matrices de transvection à partir de cette ligne.

4. On recommence cet algorithme sur la sous-matrice à laquelle on enlève les premières colonnes déjà traitées.

On obtient une matrice échelonnée réduite après un nombre fini d’opérations.

Méthode 2(Algorithme du Pivot.)

Un système admet soit aucune, soit 1, soit une infinité de solutions.

Proposition 5(Nombres de solution)

BCPST 1 2019-2020 2

(3)

1. Commencer par obtenir une matrice échelonnée en utilisant les opérations sur les lignes (soit avec l’algorithme du Pivot, soit d’autres astuces plus rapides)

2. Dès lors, il est possible de savoir si le système est compatible ou incompatible en regardant les lignes en dessous du dernier pivot.

3. Si le système est compatible, continuer les opérations jusqu’à une matrice échelonnée réduite.

4. En déduire l’ensemble solution.

A savoir :

• Déterminer le rang d’un système.

• Lorsque l’on a obtenu le système échelonné, savoir s’il est compatible (avec des solution(s)) ou incompatible (aucune solution).

• Lorsque l’on a obtenu le système échelonné, savoir déterminer les variables principales et les paramètres.

• Lorsque l’on a obtenu le système échelonnéréduit, savoir donner l’ensemble solution.

Méthode 3(Pour résoudre un système)

Si l’on veut résoudre le système avecB quelconque. On peut voir les variablesa,b,c,detecomme on le fait pourx,y,z ett.

Le système de départ s’écrit alors :

¨

˚

˝

0 1 3 2

1 0 3 2

3 2 ´1 ´2

2 1 1 0

3 1 ´4 ´4

˛

‹

‚ et

¨

˚

˝

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

˛

‹

‚

Pour obtenir la matrice échelonnée :

¨

˚

˝

1 0 3 2

0 1 3 2

0 0 ´16 ´12

0 0 0 0

˛

‹

‚

et

¨

˚

˝

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

´2 ´3 1 0 0 0 ´1{2 ´1{2 1 0

1 0 ´1 0 1

˛

‹

‚

Pour obtenir la matrice échelonnée réduite :

¨

˚

˝

1 0 0 ^´1₄ 0 1 0 ^´1₄ 0 0 1 ³₄

0 0 0 0

˛

‹

‚

¨

˚

˝

´3{8 7{16 3{16 0 0 5{8 ´9{16 3{16 0 0 1{8 3{16 ´1{16 0 0 0 ´1{2 ´1{2 1 0

1 0 ´1 0 0

˛

‹

‚

On peut le traduire par :

$

’’

&

’’

%

x´¹₄t“ ^´3₈ a`₁₆⁷ b`₁₆³c y´ 1

4t“ ⁵₈a´ ₁₆⁹b`₁₆³c z` ³₄t“ ¹₈ `₁₆³ b´ ₁₆¹c

0“ ´¹₂b´¹₂c`d 0“a´c

Une condition nécessaire et suffisante pour que le système admette une solution est :

"

0“ ´¹₂b´¹₂c`d 0“a´c

BCPST 1 2019-2020 3

(4)

D’autre exemple : Exemple 1.

$

&

%

y`3z“9 x`3z“7 3x`2y´z“7

matrice associée

¨

˝

0 1 3

1 0 3

3 2 ´1

˛

‚ et B “

¨

˝ 9 7 7

˛

‚

Après opération sur les lignes, on obtient le système échelonné réduit :

¨

˝

1 0 0 0 1 0 0 0 1

˛

‚ et

¨

˝ 1 3 2

˛

‚

Ce système est de rang 3 avec 3 inconnues. Il existe une unique solution qui estp1; 3; 2q.

Point de vue géométrique : On est un présence de l’intersection de 3 plans. Ici l’intersection est réduite à un point.

Exemple 2. Si le système échelonné réduit est :

1 2 0 0 0 1 0 0 0 3 4 0

Le rang du système est 2 (car deux pivots). Les deux variables principales sont x et z. La variable secondaire (encore une seule ici) esty. La traduction avec les variables sont :

$

&

%

x“3´2y z“4 0“0

ô

¨

˝ x y z

˛

‚“

¨

˝ 3 0 4

˛

‚`y

¨

˝

´2 0 0

˛

‚

L’ensemble solution est :S “ p3´2y;y; 4q PR³{yPR(

Point de vue géométrique : Ici on est en présente d’une droite de l’espace passant par le point de coordonnéesp3; 0; 4q et de vecteur directeur : ¯u :

¨

˝

´2 0 0

˛

‚

Exemple 3. Pour le système échelonné réduit :

1 2 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0

¨

˝ x y z

˛

‚“

¨

˝ 4 0 0

˛

‚`y

¨

˝

´2 1 0

˛

‚`z

¨

˝

´3 0 1

˛

‚ S“ p4´2y´3z;y;zq PR³{py, zq PR²(

C’est un plan passant par le point de coordonnéesp4; 0; 0q et de vecteurs directeurs ¯u:

¨

˝

´2 1 0

˛

‚et ¯v:

¨

˝

´3 0 1

˛

‚

BCPST 1 2019-2020 4