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TS Les systèmes linéaires
I. Généralités
Définition de systèmes équivalents
On dit que deux systèmes sont équivalents lorsqu’ils ont le même ensemble de solutions.
(Le mot « équivalent » s’utilise aussi pour des équations ou des inéquations ; on dit que deux équations ou que deux inéquations sont équivalentes lorsqu’elles ont le même ensemble de solutions).
Systèmes linéaires de 2 équations à 2 inconnues
Systèmes linéaires de 3 équations à 3 inconnues
Définition
' ' '
ax by c a x b y c
' ' ' '
" " " "
ax by cz d a x b y c z d a x b y c z d
Interprétation géométrique
Si
a b;
0 ; 0
et
a' ; 'b
0 ; 0
, intersection des droites:
D ax by c et
' : ' ' '
D a x b y c
dans le plan muni d’un repère
Si
a b c; ;
0 ; 0 ; 0
,
a' ; ' ; 'b c
0 ; 0 ; 0
,
a'' ; '' ; ''b c
0 ; 0 ; 0
, intersection des plans:
P ax by czd,
' : ' ' ' '
P a x b y c z d ,
'' : '' '' '' ''
P a x b y c zd dans l’espace muni d’un repère
Déterminant
' '
' '
a b ab a b a b
Si 0, alors il y a un unique couple solution
Si 0, il y a :
- soit aucun couple solution
- soit une infinité de couples solutions
Pas en terminale
Méthodes de résolution par le calcul
substitution
combinaison linéaire Dans les 2 cas, on procède par équivalence donc il n’y a pas de vérification à faire.
substitution
combinaison linéaire hors programme
Vérification obligatoire
Quelle est l’utilité du déterminant pour un système linéaire de deux équations à deux inconnues ?
Il sert à savoir si le système admet un unique couple solution (sans la calculer).
2 II. Exemples de résolutions de systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues dans le cas où le déterminant est nul
1°) Exemple 1 2 1 (1)
4 2 6 (2)
x y
x y
Recensement des coefficients 2
a ; b1 ; c1 ; 'a 4 ; 'b 2 ; 'c 6 Déterminant
' ' D a b a b
2 2 4 1 D
0 D
0
D donc d’après le théorème fondamental, le système admet soit aucun couple solution, soit une infinité de couples solutions.
Il faut trancher.
2 1 (1)
4 2 6 (2)
x y
x y
On divise par 2 la 2e équation de façon à obtenir le même nombre de x et de y dans le 1er membre.
2 1
2 3
x y x y
2 résultats différents Impossible
S
2°) Exemple 2 2 3 1 (1)
6 9 3 (2)
x y x y
Recensement 2
a ; b3 ; c1 ; 'a 6 ; 'b 9 ; 'c 3 Déterminant
' ' D a b a b
2 9 6 3
D D = 0
3 D = 0 donc d’après le théorème fondamental, le système admet soit aucun couple solution, soit une infinité de couples solutions.
2 3 1 (1)
6 9 3 (2)
x y x y
On divise par 3 la seconde équation de façon à obtenir le même nombre de x et de y dans le 1er membre.
Puis on compare.
2 3 1 (1) 2 3 1 (2)
x y x y
2x 3y 1
1 2 3 y x
L’ensemble des solutions est l’ensemble des couples de la forme 1 2
; 3
x x
avec x. Il y a donc une infinité de couples solutions (par exemple, 1
0 ;3
, (1 ; 1) sont des couples de solutions).
III. Exemple de résolution d’un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues
4 3 2 9 1
2 3 4 2
3 2 5 3
x y z
S x y z
x y z
On reconnaît un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues.
On résout le système par substitution.
3 donne : z 5 3x2y.On reporte l’expression de z dans les équations (1) et (2).
On obtient alors le système
4 3 2 5 3 2 9
2 3 5 3 2 4
x y x y
x y x y
(système linéaire de 2 équations à 2 inconnues)
4 3 10 6 4 9
7 15 9 6 4
x y x y
x y x y
(S’) 2 1
7 5 11
x y x y
Calculons le déterminant
2 5 7 1 10 7 3 donc 0 par suite le système (S’) admet un unique couple solution.
On peut résoudre (S’) par substitution ou par combinaison.
Par substitution, on obtient : y 2x1
4 Donc en remplaçant dans la première équation de (S’), 7x5
2x1
113x6 x = 2
On en déduit 2
5 1 x y z
.
Vérification (obligatoire) :
On vérifie que le triplet
2 ; 5 ; 1
est solution de (S).8 15 2 9
4 5 3 4
6 10 1 5
Le triplet (2 ; – 5 ; 1) vérifie donc le système.
Conclusion : le système (S) admet (2 ; – 5 ; 1) pour unique triplet solution.
N.B. : Pour noter le triplet solution, on écrit d’abord la valeur de x, puis la valeur de y puis la valeur de z (on n’écrit pas du tout les solutions dans l’ordre croissant).
IV. Exemple de détermination d’un système d’équations paramétriques d’une droite définie par 2 équations cartésiennes de plans
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les plans
: 2 3
P xy z
' : 4 1
P x y z
Démontrer que P et P’ sont sécants.
On sait que le vecteur n
1 ;1 ;2
est normal à P et que le vecteur n' 1 ; 1 ; 4
est normal à P’.
Les vecteurs n et 'n
ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.
Par conséquent, les plans P et P’ ne sont pas parallèles ; ils sont donc sécants suivant une droite.
On pose PP'.
On sait qu’une droite de l’espace est caractérisée par deux équations de plans.
Ici est caractérisée par le système formé par les équations de plans 2 3
4 1
x y z x y z
.
(Un point M de l’espace appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient les deux équations).
On va chercher un système d’équations paramétriques de .
Déterminer un système d’équations paramétriques de .
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On résout le système 2 3
4 1
x y z x y z
.
Il s’agit d’un système linéaire de 2 équations à 3 inconnues.
Il y a donc pléthore d’inconnues par rapport au nombre d’équations ; on dit que le système est pléthorique en inconnues par rapport au nombre d’équations ou surabondant en inconnues par rapport au nombre d’équations.
On choisit z comme paramètre (on peut tout aussi bien choisir x ou y).
On pose z = .
Le système initial peut donc s’écrire
3 2 1 4 x y x y z
(système linéaire de 3 équations à 3 inconnues ; on a rééquilibré le nombre d’équations par rapport au nombre d’inconnues).
On résout le système (S) 3 2 1 4 x y x y
(système linéaire de deux équations à deux inconnues) Calcul du déterminant
1 1 2 0
étant fixé, le système
S admet un unique couple solution.Résolution par combinaison
On forme une 1ère équation en additionnant membre à membre les deux équations (ce qui enlève les termes en y) et une 2e équation en soustrayant membre à membre les deux équations (ce qui enlève les termes en x).
N.B. : lorsque les coefficients ne sont pas aussi simples, on peut multiplier les équations par des coefficients et les ajouter de façon à enlever l’une des inconnues.
(S) 2 2 2
2 4 6
x y
1
2 3 x y
La droite d’intersection des plans P et P’ admet comme système d’équations paramétriques
1 2 3 x
y z
.
Donc est la droite passant par le point A(1 ; 2 ; 0) et admettant le vecteur u
1 ; 3 ;1
pour vecteur directeur.6
Notes importantes à dire
Pour déterminer la droite d’intersection de deux plans P et P’ on ne fait pas P = P’ comme le croit certains élèves.
De même pour déterminer l’intersection de deux droites dans l’espace on ne fait pas D = D’ (ou plutôt on ne fait pas exactement).
Selon que l’on prend x, y ou z comme paramètre on obtiendra un système d’équations différent de la droite d’intersection (ce qui est normal car on sait qu’une droite admet une infinité de systèmes d’équations paramétriques).
