ExerciceI(11points) L’espaceestrapportéàunrepèreorthonormaldirectO;~ı,~,~ k .(Σ)estlasphèrede centreO,derayon2.Toutpointde(Σ)estrepéréparsalongitudeθetsalatitudeϕ(en radians). x
y
z O θ
ϕ
r
M 1°)SoitMunpointde(Σ).ÉcrirelescoordonnéescartésiennesdeMenfonctiondeθ etdeϕ. 2°)Faireunefigurequel’oncompléteraaufuretàmesuredesquestions. 3°)Donneruneéquationcartésiennedelasphère(Σ). 4°)OnconsidèrelespointsAetBdontondonnelescoordonnéescartésiennes: A√ 2;0;√ 2 etB(0;2;0). MontrerqueAetBsontdeuxpointsde(Σ). 5°)OnconsidèrelepointCde(Σ)définiparθ=π 4etϕ=0. a)DéterminerlescoordonnéescartésiennesdeC. b)Calculerlesproduitsscalaires−−→ OB.−→ OC,−→ OA.−→ OC,−→ OA.−−→ OB. Endéduirelesvaleursexactesdecosa,cosbetcoscoù a=mesdBOC,b=mesdAOC,c=mesdAOB, puiscellesdesina,sinbetsinc. c)DéterminerlesdernièrescaractéristiquesdutrianglesphèriqueABC. d)Calculer,à10−3 près,l’airedutrianglesphèriqueABC. GTMAT2/3
6°)SoitNlepôlenorddelasphère(Σ).SoitIl’inversiondepôleNetdepuissance8. a)Quelleestl’imagede(Σ),privéedupointN,parl’inversionI?Endonnerune équation. b)DéterminerlescoordonnéescartésiennesdespointsA′,B′etC′,imagesrespectives despointsA,BetCparl’inversionI. c)CalculerlesdistancesA′B′,A′C′etB′C′. ExerciceII(9points) Lareprésentationparamétriqued’unecourbeCestdonnéepar:( x(t)=sin(t) y(t)=sin(2t),t∈[−π;π] 1°)Étudierlaparitédesfonctionsxety;endéduireunesymétriedelacourbe.Àquel intervallepeut-onrestreindrel’étude? 2°)Calculerx(π−t)ety(π−t);endéduireunenouvellesymétriedelacourbe. 3°)Étudierlesvariationsdesfonctionsxetysurh 0;π 2i etdresserletableaudes variations. 4°)OnnoteA,B,C,DetElespointsdeCdeparamètresrespectifs0,π 6,π 4,π 3etπ 2. Recopieretcompléterletableausuivant: PointABCDE t0π 6
π 4
π 3
π 2 x(t) y(t) x′ (t) y′(t) 5°)Dansunrepèreorthonormal(unitégraphique:4cm),représenterles5pointsA,B, C,DetEaveclestangentesauxpointsA,C,EpuistracerlacourbeC. 6°)Enutilisantlefaitque,pourtoutréelt,sin(2t)=2sin(t)cos(t),résoudrel’équation sin(t)=sin(2t).Endéduirelescoordonnéesdespointsdelacourbesituéssurladroite d’équationy=x. GTMAT3/3
