10, à rendre pour le 29/1/07

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10, à rendre pour le 29/1/07

La règle de l'Hospital

1 Soit deux fonctions f et g dérivables en 0, telles que f(0) = g(0) = 0, et que g⁰(0)6= 0. Montrer que lim

x→0f(x)/g(x) =f⁰(0)/g⁰(0). Par changement de variable, obtenir une formule analogue (sous des hypothèses qu'on précisera) quand x tend vers a. Pourquoi la condition f(0) = g(0) = 0 est-elle nécessaire ? Est-ce un inconvénient en pratique ?

2 La règle de l'Hospital (due à Guillaume de l'Hospital, en 1696) s'énonçait géné- ralement ainsi : si lim

a f = lim

a g = 0, et si f et g sont dérivables, lim

x→af(x)/g(x) =

x→alimf⁰(x)/g⁰(x). Montrer que cette règle est plus générale que celle de 1.

3 Le lemme de Rolle arme qu'étant donné une fonction ϕ continue sur

[

^{a, b}

]

^et

dérivable sur

]

^{a, b}

[

, telle que ϕ(a) = ϕ(b), il existe un nombre c tel que a < c < b et que ϕ⁰(c) = 0. Expliquez à l'aide d'une gure pourquoi ce résultat est vrai- semblable. L'appliquer à la fonction ϕ(x) = f(x)−(x−a)(f(b)−f(a))/(b−a): quel résultat en déduit-on ?

Les deux questions suivantes sont facultatives

4 On va démontrer un théorème plus général : si f et g sont dérivables sur

]

^{a, b}

[

^et

continues sur

[

^{a, b}

]

^{, si g(b)6=g(a), et sig0} ne s'annule pas sur

]

^{a, b}

[

, il existe unc tel que a < c < b et que

(?) f⁰(c)

g⁰(c) = f(b)−f(a) g(b)−g(a)

Pour démontrer ce résultat, on va construire une fonction auxiliaireh, de la forme Af +Bg (A etB constantes), et telle que h(a) =h(b). Montrer qu'en appliquant le lemme de Rolle à une fonction h quelconque vériant ces hypothèses, on peut conclure qu'il existe un ctel que f⁰(c)/g⁰(c) =−B/A. Démontrer alors la formule (?) à l'aide d'une fonction h bien choisie.

5 En supposant toujours que les fonctionsf etgsont dérivables sur

]

^{a, b}

[

et continues sur

[

^{a, b}

]

, et en appliquant la formule précédente, montrer que si lim

x→a

f⁰(x)

g⁰(x) existe, il en est de m^eme de lim

x→a

f(x)−f(a)

g(x)−g(a) et qu'alors ces deux limites sont égales (on essaiera d'expliquer clairement ce qui se passe pour l' exception g(a) = g(b)); reformuler rigoureusement la règle de l'Hospital donnée en 2. Y a-t-il une diérence ? Donner un exemple de fonctions f et g vériant les hypothèses faites (en particulier lim

a f = lim

a g= 0) et telles que lim

a f /g existe, et pas lim

a f⁰/g⁰. On admettra désormais que la règle donnée en 2 s'applique à toutes les fonctions usuelles

6 Il peut arriver que la limite de f⁰/g⁰soit à son tour une forme indéterminée du type 0/0; rédiger une règle de l'Hospital généralisée utilisant les dérivées n^`emes. D'autre part, montrer, à l'aide du changement de variable X = 1/x, qu'une règle analogue existe pour des limites en +∞ (on précisera les conditions nécessaires).

7 Appliquer la règle de l'Hospital (éventuellement généralisée) pour déterminer les trois limites suivantes :

x→+∞lim x(Arc tanx−π/2) ; lim

x→0

1−cosx

tgx ; lim

x→0

1

sin²x − 1 x²

Démontrer (par récurrence) que lim

x→0

e^x− Xn

k=0

x^k k!

xⁿ⁺¹ = 1

(n+ 1)!.