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INTEGRALES 1

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

INTEGRALES 1

PLAN

1 INTEGRALE : DEFINITIONS ... 1

1.1 EXEMPLE DAPPROCHE ... 1

1.2 DEFINITIONS... 2

1.2.1 Les différentes acceptions ... 2

1.2.2 Intégrale selon Riemann ... 2

1.2.3 Propriétés immédiates ... 3

1.3 VALEUR MOYENNE DUNE FONCTION ... 4

1.3.1 Cas général ... 4

1.3.2 Fonctions périodiques ... 4

2 PRIMITIVES D’UNE FONCTION CONTINUE ... 5

2.1 DEFINITION ET RESULTAT IMMEDIAT ... 5

2.2 PRIMITIVES DE FONCTIONS USUELLES... 5

2.3 LIEN ENTRE PRIMITIVE ET INTEGRALE ... 6

2.4 UTILISATION DES SYMETRIES OU DE LA PERIODICITE ... 6

3 PROCEDES D’INTEGRATION ... 7

3.1 LE CHANGEMENT DE VARIABLE ... 7

3.2 L’INTEGRATION PAR PARTIES ... 8

4 FONCTIONS A DEUX OU PLUSIEURS VARIABLES ... 9

4.1 INTEGRALES DOUBLES ... 9

4.1.1 Intégrale double sur un domaine rectangulaire ... 9

4.1.2 Intégrale double généralisée ...10

4.2 INTEGRALES TRIPLES ...10

4.3 COMPLEMENT : INTEGRALES MULTIPLES ET CHANGEMENT DE VARIABLE ...11

5 QUELQUES APPLICATIONS ...12

5.1 LONGUEURS, AIRES, VOLUMES ...12

5.1.1 Périmètre du cercle ...12

5.1.2 Aire du disque ...13

5.1.3 Aire de la sphère ...14

5.1.4 Volume de la boule ...14

5.2 AUTRES MESURES PHYSIQUES ...15

5.2.1 Calcul de la masse d’un corps ...15

5.2.2 Position d’un centre de gravité ...16

(2)

1 Intégrale : définitions 1.1 Exemple d’approche

On considère une lampe halogène à variateur de puissance. Utilisée à puissance P constante, cette lampe aura consommé, pendant un temps ∆t, une quantité d’énergie E = P.∆t (P en watts, t en secondes, E en joules ; ou bien P en kW, ∆t en heures et donc E en kW.h ; etc.). Le diagramme temporel ci-contre représente la situation décrite.

On remarque que la quantité d’énergie est alors géométriquement l’aire du rectangle de largeur ∆t et de hauteur P.

Que se passe-t-il si, cette fois, P devient variable dans l’intervalle de temps considéré ?

Il n’y a plus de formule physique directe pour calculer la quantité d’énergie dépensée. Cependant, cette quantité E vaut Pmoy.∆t… encore faut-il bien définir la puissance moyenne dans l’intervalle [a ; b].

La notion d’intégrales de Riemann, dont on parle plus bas, nous aidera à comprendre que l’énergie totale dépensée dans l’intervalle est à nouveau une aire sur le graphique : l’aire comprise entre la courbe de la fonction P, l’axe des abscisses et les deux droites « verticales » d’équations x = a et x = b.

Quant à la puissance moyenne, Pmoy, c’est celle qu’on aurait dû fixer (constante) si on avait voulu dépenser autant d’énergie dans le même intervalle ; graphiquement : Pmoy permet de construire un rectangle dont l’aire vaut celle présente sous la courbe.

On le voit, à partir de cet exemple physique extrêmement simple, savoir calculer l’aire « sous une courbe » est primordial pour nombre d’applications pratiques. C’est un des objectifs du calcul intégral : le calcul intégral permet de mesurer des longueurs, aires et volumes relativement à des courbes définies, des positions de centres de gravité, mais il trouve également des applications dans de nombreux domaines scientifiques et techniques par le calcul de grandeurs physiques, ou de géométrie du solide (moment statique, moment d’inertie, produit d’inertie), etc.

(3)

1.2 Définitions

1.2.1 Les différentes acceptions

Intégrale définie d’une fonction f sur l’intervalle

[ ]

a b; : nombre obtenu comme limite d’une somme de termes infinitésimaux et qui représente l’aire (algébrique) comprise entre la courbe représentative de la fonction f, l’axe des x et les deux verticales d’abscisses a et b. I =

ab f x

( )

.dx.

Fonction intégrale d’une fonction f : fonction g obtenue en considérant une intégrale définie de f comme dépendant de la borne supérieure de l’intervalle d’intégration : g x

( )

=

axf t

( )

.dt

Intégrale d’une équation différentielle : fonction, solution de cette équation différentielle.

1.2.2 Intégrale selon Riemann a. Les sommes de Darboux

Soit une fonction f définie et bornée sur un intervalle

[ ]

a b; .

Soit X = {x1= a, x2, …xn-1, xn = b} une subdivision de

[ ]

a b; .

On définit pour f dans X deux sommes de Darboux :

La somme inférieure

( ) ( )

1

, .inf

i

n i I i

s f X h f

=

=

et la

somme supérieure

( ) ( )

1

, .sup

i

n i i I

S f X h f

=

=

.

où hi = xi - xi-1 est l’amplitude du ie sous-intervalle Ii

= [xi-1 ; xi].

Définition :

Considérons l’ensemble Sa,b de toutes les subdivisions possibles de

[ ]

a b; .

f est dite Riemann-intégrable sur

[ ]

a b; ssi les deux nombres suivants

sont égaux :

( ) ( )

,

sup ,

a b

b a

X S

s f s f X

= et

( ) ( )

,

inf ,

a b

b

a X S

S f S f X

= .

Ce nombre est alors appelé intégrale de Riemann de f sur [a, b] et se note :

ab f x

( )

.dx

b. La somme de Riemann

Il n’est pas aisé de calculer s et S. Plutôt que d’envisager dans chaque sous-intervalle Ii les valeurs supérieure et inférieure de f, choisissons un réel λi dans chaque intervalle Ii, et écrivons ce que l’on nomme la somme de Riemann correspondante :

(

1

) ( ) (

1 2 1

) ( )

2 ...

R= xa f λ + xx f λ +

(mathématicien allemand, 1826-1866)

(4)

1.2.3 Propriétés immédiates

a. Encadrement :

(

ba

)

inf f

( [ ]

a b;

)

abf x

( )

.dx≤ −

(

b a

)

supf

( [ ]

a b;

)

b. Permutation des bornes :

ab f x

( )

.dx= −

ba f x

( )

.dx

c. Relation de Chasles : (pour tous réels a, b, c)

( )

.d

( )

.d

( )

.d

b c b

a f x x= a f x x+ c f x x

∫ ∫ ∫

d. Somme de deux fonctions :

ab

(

f x

( ) ( )

+g x

)

.dx=

ab f x

( )

.dx+

abg x

( )

.dx

e. Généralisation : propriété de linéarité : (λ et µ réels quelconques fixés)

( ) ( )

(

. .

)

.d .

( )

.d .

( )

.d

b b b

a

λ

f x +

µ

g x x=

λ

a f x x+

µ

a g x x

∫ ∫ ∫

f. Comparaison de deux fonctions : Si f gsur

[ ]

a b; , alors

abf x

( )

.dx

abg x

( )

.dx

g. Signe d’une intégrale :

Fonction positive : fonction négative :

Intégrale positive. * Intégrale négative. *

* pour des fonctions intégrées de gauche à droite

h. Intégrale de la différence de deux fonctions :

Considérons une fonction f et une fonction g inférieure à f sur

[ ]

a b; . L’intégrale

ab

(

f x

( ) ( )

g x

)

.d est l’aire de la x zone située entre les deux courbes.

En résumé, l’intégrale d’une fonction f d’une variable sur un intervalle

[ ]

a b; est l’aire algébrique de la surface délimitée par sa courbe, l’axe des abscisses et les deux droites verticales d’équation x = a et x = b.

(5)

1.3 Valeur moyenne d’une fonction

1.3.1 Cas général

Théorème : Soit f une fonction bornée sur

[ ]

a b; par les réels m et M. Si f est intégrable sur

[ ]

a b; , alors

il existe un nombre µ appartenant au segment

[

m M;

]

tel que :

abf x

( )

.dx=µ

(

ba

)

.

Définition : µ est appelé valeur moyenne de la fonction f sur

[ ]

a b; , et 1 abf x

( )

.dx

b a µ=

Remarque 1 : on sait qu’il existe au moins un réel ξ dans [a, b] tel que µ = f (ξ).

On a : ∀ ∈x

[ ]

a b, m f x

( )

M

abm x.d

ab f x

( )

.dx

abM x.d

Soit : m b

(

− ≤a

) ∫

ab f x

( )

.dxM b

(

a

)

, c’est à dire : m 1 abf x

( )

. x M

b a

≤ ≤

d

Remarque 2 : cette définition est l’écho de celle de la moyenne arithmétique en statistiques à une

variable : " d .

( )

"

( )

.d

( )

.d

; d d

b b

i i a a

b i

a

f x x f x x

n x x f x

x n x x b a

µ

= =   = = −

∫ ∫

∑ ∑

∑ ∑ ∫

1.3.2 Fonctions périodiques

Définitions : Soit f une fonction périodique de période T et x0 un réel quelconque fixé.

Valeur moyenne de f : Valeur efficace de f :

( )

0

0

1 x T .

moy x

f f x dx

T

=

+ 0

( ( ) )

.

0

1 2 x T d

eff x

f f x x

T

=

+

La notion de valeur efficace intervient en électricité, et plus généralement lorsqu'il est question de déterminer l'énergie d'un système.

Application : calculer la valeur moyenne et la valeur efficace d’un signal sinusoïdal d’amplitude A et de période 2π (une fois le calcul intégral vu…).

(6)

2 Primitives d’une fonction continue 2.1 Définition et résultat immédiat

Définition :

Soit une fonction fdéfinie et continue sur un intervalle

[ ]

a b; . Dire qu’une fonction F est une primitive de f sur [a, b], c’est dire que pour tout x ∈

[ ]

a b; , F x

( )

= f x

( )

.

Exemple :

Soit la fonction f définie sur ℝ par f (x) = 6x – 5.

La fonction F0 : x → 3x² - 5x est une primitive de f puisque F0’(x) = f (x).

Mais la fonction F4 : x → 3x² - 5x + 4 est aussi une primitive de f puisque F4’(x) = f (x).

Puis la fonction F-2,5 : x → 3x² - 5x – 2,5 en est aussi une puisque F-2,5’(x) = f (x).

Théorème :

* La fonction f admet une infinité de primitives ;

* F et G sont deux primitives de f ⇔ G = F + k (où k est une constante réelle)

* F est une primitive de f ⇔ toutes les primitives de f sont les toutes les fonctions G = F + k (où k est une constante réelle)

2.2 primitives de fonctions usuelles

f F f F

xα α réel ≠ -1

x k

α

α

+ +

+

1

1 −x2

1

1 arcsin

( )

x +k

x 1 u

u

( )

ln x +k

( )

ln u +k +x2

1

1 arctan

( )

x +k

ax b+

e ax b k

a

+ + 1e

+x2 1

1 ln x+ 1+x2 +k

ax

ln ax

a+k cos1

( )

x ln tan2x+π4 +k

( )

cos ax+b 1sin

(

ax b

)

k

a + + sin1

( )

x ln tan   2x +k

( )

sin ax+b cos

(

ax b

)

k

−1a + +

(7)

2.3 Lien entre primitive et intégrale

Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle

[ ]

a b; .

Définissons la fonction F sur

[ ]

a b; par : F x

( )

=

axf t

( )

.d . t

On a alors : F x

(

+ −h

)

F x

( )

=

xx h+ f t

( )

.d (1) (si bien sûr t x+ ∈h

[ ]

a b; )

Or d’après la relation de la moyenne on sait qu’il existe un réel x + λh, λ ∈ [0 ;1], tel que

( )

.

( )

x h

x f t t

f x h

h λ

+

= +

d

(2).

(1) et (2) donnent : F x

(

h

)

F x

( )

f x

(

h

)

h λ

+ − = +

La limite de ce nombre, lorsque h tend vers zéro, existe et est la même par valeurs inférieures comme par valeurs supérieures, puisqu’il s’agit de f (x), valeur d’une fonction continue.

Donc le nombre dérivé de F existe et vaut f (x).

Nous obtenons donc le résultat suivant :

( ) ( )

xx h

( ) .

F x h + − F x = ∫

+

f t d tF est une primitive de f

ou avec des notations plus convenues :

( )

.

( ) ( ) ( )

, .

est une primitive de sur

d pour tout couple de

b a

F f I

f x x F b F a a b I

= −

Remarque 1 : on vérifie alors la propriété b. citée en 1.2.3 :

ab f x

( )

.dx= −

ba f x

( )

.dx

Remarque 2 : F b

( )

F a

( )

se note aussi F x

( )

ba.

2.4 Utilisation des symétries ou de la périodicité

Fonctions paires, impaires :

La fonction est paire : f

( )

− =x f x

( )

+aaf x

( )

.dx=2

0af x

( )

.dx

La fonction est impaire : f

( )

− = −x f x

( )

+aaf x

( )

.dx=0

Fonctions périodiques :

Pour les fonctions périodiques, on pourra faire « glisser » les bornes d’intégration si elles sont espacées d’une période :

f x ( + = T ) ( ) f x

aa+Tf x

( )

.dx=

bb+Tf x

( )

.dx a b,

( T ) ( )

f x n + = f x

. Si on calcule l’intégrale sur un nombre n entier de périodes on aura :

( )

.

( )

.

T T

d d

a n a

a+ f x x= ×n a+ f x x

∫ ∫

(8)

3 Procédés d’intégration

Il est rare que la primitive recherchée puisse se trouver directement et rapidement.

On présente en 3.1 et 3.2 deux moyens pour surmonter cette difficulté, dans certains cas…

3.1 Le changement de variable

Considérons une fonction f, Riemann-intégrable de a à b, continue sur

] [

a b; , dont on cherche à trouver l’intégrale définie I=

abf x

( )

.dx.

Il est possible de faire un changement de variable t→ =g x g t

( )

(ou xu→ =t u x

( )

) de sorte que l’intégrale « en t » soit calculable plus aisément que celle « en x ».

Pour cela, il faut que g soit définie et continue sur un intervalle

[

α β;

]

, à valeurs dans

[ ]

a b; , dérivable sur

]

α β;

[

, et enfin que g’ soit Riemann-intégrable de α à β.

changement de variable : x=g t

( )

* changer les bornes de l’intégrale : α=g1

( )

a , β =g1

( )

b

* changer la différentielle dx : dx=g t

( )

.dt

* changer (au besoin) l’expression de la fonction : f x

( )

= f g t

( ( ) ) ( ( ) ) ( )

( )

( ) . .

1

1 d

g b

g a

I f g t g t t

=

Exemple 1 : e cos ln

( ( ) )

. ln

1 x d avec e (donc t )

I x x t x

x

=

π = = :

* bornes : ln1=0 ; lneπ = π

* différentielle : d d

e d

d

x t x

x t

t = = ⇔ x =

Substituons dans l’expression initiale : e cos ln

( ( ) )

. cos

( )

.

[ ]

sin

1 x d 0 d 0 0

I x t t t

x

π π π

=

=

= =

Exemple 2 : .

1

2 2

0

d avec 1

1

x

x

I x x t x

x

=

=

= = +

+

* bornes : 1 0+ 2=1 ; 1 1+ =2 2

* différentielle : d 1

2 d d

d 2

t x x x t

x= ⇔ =

Substituons dans l’expression initiale : 1 2. 12 .

[ ]

ln 21 ln 0

1 1 1 1

d d 2

1 2 2 2

x

x

I x x t t

x t

=

=

= = = =

+

Remarque : dans l’intégrande (la fonction à intégrer), on « flairait » une expression en u u

′, ce qui a inspiré le changement de variable proposé. On pouvait tout aussi bien intégrer directement :

( )

. . ln ln

1 1 1

2

2 2 0

0 0

1 2 1 1

d d 1 2

1 2 1 2 2

x x

x x

x x

I x x x

x x

= =

= =

 

=

+ =

+ =  +  =

(9)

3.2 L’intégration par parties

On connaît l’expression de la dérivée du produit de deux fonctions :

( )

uv=u v +uv (1).

Il est possible d’exprimer une fonction à intégrer sous la forme d’un produit de deux fonctions bien choisies : f x

( ) ( ) ( )

=u x v x .

La relation (1) nous permet alors d’écrire : f x

( ) ( ) ( ) ( )( )

= uv x u v x , relation que l’on peut intégrer (si les fonctions sont intégrables…) :

f x

( )

.dx=

∫ ( ) ( )

uv x .dx

∫ ( )( )

u v x .dx+K.

Allégeons les écritures :

sans bornes : recherche d’une primitive de f :

f =uv

u v′ +K avec bornes : calcul d’une intégrale de f : b

[ ]

ba b

a a

f = uvu v

∫ ∫

Cette méthode est utile si la fonction u’v est plus facilement intégrable que la fonction uv’, ou si elle donnera lieu, utilement, à une nouvelle intégration par parties.

Exemple 1 : I =

01x.arctan

( )

x .dx

On peut poser :

( )

arctan

( ) ( )

2

1

u x x u x 1

x

= ⇒ =

+ et

( ) ( )

2

2

v x′ = ⇐x v x = x . Ainsi :

( ) ( )

[ ] ( )

.arctan . .arctan .

. arctan

2 1 2 2

1 1 1

2 2

0 0 0

0

1 1 1

2 2

0 0 0

1 1

0 0

1 1 1 1

d d d

2 2 1 8 2 1

1 1 1 1 d

1 d d

8 2 1 8 2 2 1

1 1 1 2

8 2 2 8 2 8 4

x x x

I x x x x x x

x x

x x x

x x

x x

  π + −

= =  − + = − +

π   π

= −  − +  = − + +

π π π π −

= − +   = − + =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Exemple 2 : Exprimer les primitives de lnx On peut poser : u x

( )

lnx u x

( )

1

x

= ⇒ = et v x

( )

= ⇐1 v x

( )

=x. Ainsi :

( )

ln .d ln 1 .d ln

F x x x x x x x K x x x K

=

= −

x + = − +

(10)

4 Fonctions à deux ou plusieurs variables 4.1 Intégrales doubles

Nous traitons ici d’intégrales sur deux variables.

4.1.1 Intégrale double sur un domaine rectangulaire

Dans le cas des intégrales simples, nous travaillons sur un intervalle d’intégration

[ ]

a b; (on dit qu’on intègre la fonction sur un segment).

Pour les intégrales doubles nous travaillerons sur une aire d’intégration dite « rectangulaire », produit de deux intervalles :

[ ] [ ]

a b; × c d; .

Ainsi on crée un quadrillage du rectangle grâce à

une subdivision de

[ ]

a b; : x0 =a x x, 1, 2, ...,xi1,xi, ...,xn1,xn=b

et une subdivision de

[ ]

c d; : y0=c y, 1,y2, ...,yj1,yj, ...,yp1,yp=d

Ceci permet de formuler sur le rectangle d’intégration la somme de Riemann suivante où f est une fonction des deux variables x et y : i n

(

i i

)

. j p

(

j j

) (

. ij, ij

)

i j

R = x x = y y f λ µ

= =

  

=  −  − 

  

 

1

1

1 1

dans laquelle : ∀ ∈i

[ ]

1,n λij

[

xi1,xi

]

et ∀ ∈j

[ ]

1,p µij∈yj1,yj

Rendons la subdivision infinitésimale : Max x

(

1a,...,xixi1,...,b x n1,y1c,...,yjyj1,...,dyp1

)

0.

Dans ce cas, si R converge vers une limite finie I, on dit que la fonction f est intégrable sur le rectangle

[ ] [ ]

a b; × c d; et on appelle I intégrale double de la fonction f sur

[ ] [ ]

a b; × c d; .

On note : I =

∫ ∫

x ax b== y cy d== f x y

( )

, .d dy x. =

∫ ∫

y cy d== x ax b== f x y

( )

, .d dx y.

Le calcul d’une telle intégrale double se ramène à celui de deux intégrales simples :

( )

, .d .d

( )

, .d .d

x b y d y d x b

x a y c y c x a

I = = f x y y x I = = f x y x y

= = = =

   

=



 =





Interprétation des intégrales doubles Surface z = f (x, y)

Si la fonction à intégrer est constante et égale à 1 on détermine des aires (comme celle grisée sur la figure ci-contre).

On pourra aussi calculer la masse d’une plaque matérielle correspondant au domaine d’intégration et dont la densité variable est exprimée par la fonction f.

Ou encore cette intégrale peut s’interpréter comme le volume limité par la surface d’équation z = f (x, y), le plan (xOy) et le cylindre de génératrices parallèles à (Oz) ayant pour base la courbe C délimitant le domaine d’intégration.

(11)

Exemple 1 : 2 sin .cos . .

0 0 d d

y x

y x

I x y x y

=π

= =

=

∫ ∫

(variables séparées, dissociation des intégrales)

( ) ( )

( ) [ ] [ ]

sin .cos . . sin .cos . . cos . sin . .

sin . . cos . cos . sin

2 2 2

0 0 0 0 0 0

2 2

0 0

0 0

d d d d d d

d d 2 1 2

y x y x y x

y x y x y x

x y x y

x y

x y

I x y x y x y x y y x x y

x x y y x y

π π π

= = =

= = = = = =

π π

= =

= =

= =

= = =

= = − = × =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Exemple 2 : I =

∫ ∫

yy==02π xx==01y.cos

( )

xy . .d dx y (variables non séparées)

(

1 .cos

( )

.

)

. sin

( )

1. sin .

[

cos

]

2 2 2 2

0 0

0 0 d d 0 d 0 d 1

y x y x y y

x y

y x y y

I y xy x y xy y y y y

π π π π

= = = = = =

= =

= = = =

=

∫ ∫

=

  =

= − =

4.1.2 Intégrale double généralisée

Nous intégrons sur un domaine non rectangulaire. Dans ce cas les bornes d’intégration d’une variable ne sont pas fixes : elles dépendent de la valeur de l’autre. On démontre que l’on peut encore définir les suites de Riemann dont la limite est égale à l’intégrale double considérée.

Exemple : .

3 2

1 1 2

1.d d

x y x

x y

I x y

y

= =

= =

=

∫ ∫

. . . .

2

2 2

3 3 3 3

2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 3

1

1 d 1 1

.d d d d 1 d

1 1 4

3 1 1

3 3

x

x y x x y x x

x y x y x

I x y y x x x

y y y x

x x

= = = = =

= = = = =

     

= =   = −  =  − 

 

   

 

= +  = + − − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

4.2 Intégrales triples

On peut développer une théorie analogue à la précédente pour les fonctions de trois variables définies sur une partie bornée de ℝ3. On écrit, avec le domaine D sur lequel on intègre,

(

, ,

)

.d d d. .

D

f x y z x y z

∫∫∫

.

Toutes les propriétés des intégrales doubles s’appliquent aux intégrales triples, et donc on est

« simplement » amené de la même manière au calcul de deux ou trois intégrales successives.

On peut interpréter le calcul d’une intégrale triple comme le calcul du volume de D lorsque la fonction à intégrer est la fonction constante de valeur 1. Lorsque la fonction f correspond à une densité (donc positive) on calcule ainsi la masse du volume considéré.

Exemple :

Sur le domaine D suivant : x

[ ]

0,a y

[

0 2, π

]

z0,π

2 , calculer 3.cos .sin . . .d d d

D

I =

∫∫∫

x z z x y z Comme pour une intégrale double nous factorisons les constantes par rapport à chaque variable d’intégration pour nous ramener au calcul de trois intégrales :

[ ]

sin

4 2 2 4 4

2 a 2 1

x a y z x z a a

π π

= = π=    π   π

   

=

∫ ∫ ∫

= = π =

(12)

4.3 Complément : intégrales multiples et changement de variable

Lors d’une intégration utilisant au moins deux variables et requérant des changements de variables, se pose la question de l’expression des différentielles.

Supposons que nos variables de départ soient x1, x2, …, xn et que l’on effectue les changements de variables suivants : x1 = φ1(u1, u2, … , un) , x2 = φ2(u1, u2, … , un) , … , xn = φn(u1, u2, … , un).

Les bornes d’intégration devront être modifiées, ainsi que l’expression de la fonction. Mais la principale difficulté réside en l’expression du produit dx1.dx2. … .dxn en fonction de du1.du2. … .dun.

On définit la matrice Jacobienne du changement de variables :

...

...

... ... ... ...

...

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

n

n

n n n

n

u u u

u u u

u u u

∂ ∂ ∂

 

∂ ∂ ∂ 

 

∂ ∂ ∂ 

 

∂ ∂ ∂

= 

 

 

∂ ∂ ∂

 

∂ ∂ ∂ 

 

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ

J

On a alors le résultat suivant : dx1.dx2. … .dxn = det(J).du1.du2. … .dun

Exemple :

Appliquons cela dans un cas simple en dimension 2 : celui du passage de coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires. Soit à calculer l’intégrale double x 11 y01 x2

(

2 2

)

. .d d

x= y= − x y x y

=− = +

∫ ∫

, assez difficile à

traiter sans changement de variable. Imposons donc le passage en coordonnées polaires, et pour faire le parallèle avec la page précédente :

notre exemple x = ρ.cosθ

y = ρ.sinθ J=cossinθ ρcossinθ θ ρ θ

le cours x1 = φ1(u1, u2)

x2 = φ2(u1, u2) 11 12

2 2

1 2

u u

u u

∂ ∂

 

∂ ∂ 

 

=∂ ∂ 

∂ ∂ 

 

φ φ φ φ J

dx.dy = (ρcos²θ + ρsin²θ).dρ.dθ = ρ.dρ.dθ dx1.dx2 = det(J).du1.du2

Résolution de l’intégrale :

* Les bornes de y montrent clairement que le domaine d’intégration n’est pas rectangulaire et surtout qu’il est à l’intérieur du cercle de centre (0, 0) et de rayon 1. De plus, x varie de -1 à 1 et à x fixé, y parcourt tout le segment reliant l’axe (Ox) à ce cercle, positivement. Le domaine d’intégration est donc le demi-disque de centre O, de rayon 1 et de points d’ordonnées positives.

Ainsi, les bornes de ρ seront 0 à 1 et celles de θ seront 0 à π.

* L’expression (x² + y²) devient ρ². D’où :

( )

. . . . .

( )

.

.

1 1 2 1 1

2 2 2 3

1 0 0 0 0 0

4 1

1 3

0

0

d d d d d d

d 4 4

x y x

x= y= − x y x y π

=− = = = = =

=

+ = =

  π

= π = π  =

 

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

π

ρ θ ρ θ

ρ

ρ ρ ρ θ ρ θ ρ

ρ ρ ρ

(13)

5 Quelques applications 5.1 Longueurs, aires, volumes

Il s’agit de retrouver en utilisant le calcul intégral quelques formules de calcul de longueur, d’aire et de volume. Vous verrez sur ces exemples que tout l’art réside dans le bon choix :

- de l’élément d’intégration, c’est à dire la longueur, l’aire ou le volume élémentaire (dont au moins une des dimensions est infinitésimale) – que vous allez sommer par intégration, de taille éventuellement variable, mais sans créer de manques ni de chevauchements ! ;

- de la ou des variables, définies sur la/les dimension(s) infinitésimale(s) de l’élément, ce qui déterminera si vous traiterez votre cas par une intégrale simple ou multiple.

Cette approche est bien sûr valable dans de nombreux domaines scientifiques et techniques tels que l’électricité ou la mécanique des solides et des fluides.

5.1.1 Périmètre du cercle

Pour parcourir la circonférence d’un cercle, on peut imaginer un segment de longueur élémentaire dL, repéré par un angle θ et que l’on va répéter à l’identique sur tout le tour.

Nous cherchons une longueur L.

L’élément d’intégration est un segment de longueur dL, et ainsi L est la somme, l’intégrale, de cet élément :

L = ∫ d L

Notre seule variable sera l’angle θ, défini sur la figure, que nous ferons évoluer de 0 à 2π. Pour chaque valeur de θ on envisage une variation infinitésimale dθ. Celle-ci produit, au niveau du cercle, un arc de longueur infinitésimale dL = R.dθ.

Le périmètre du cercle est la somme de toutes ces longueurs d’arc infinitésimales dL, lorsque θ varie

de 0 jusqu’à 2π : 2 2

.

0

d

0

d

L

= π

L

π

R

= ∫

θθ=

= ∫ θ

.

Reste à calculer cette intégrale (d’une fonction constante) :

[ ]

20

L = R θ

π = R(2π – 0), d’où

L = 2 π R

dL

θ θ +dθ

0 R

(14)

5.1.2 Aire du disque

Il est possible de choisir plusieurs formes pour l’élément d’intégration.

Traitement à l’aide d’une seule variable :

Pour parcourir la surface d’un disque, on peut imaginer des anneaux d’épaisseur élémentaire dr, chacun repéré par un rayon r et que l’on va empiler en faisant évoluer r.

Nous cherchons une aire S.

L’élément d’intégration est un anneau d’aire dS, et ainsi S est la somme, l’intégrale, de cet élément :

S = ∫ d S

Notre seule variable sera le rayon r, défini sur la figure, que nous ferons évoluer de 0 à R. Pour chaque valeur de r on envisage une variation infinitésimale dr. Celle-ci produit un anneau d’aire infinitésimale dS = 2πr.dr. (une fois « déroulé », l’anneau est assimilable à un rectangle)

Pour obtenir l’aire du disque, il faut sommer ces éléments :

. .

2 2 2

0 0 0

0

d 2 d 2 d 2 2 0

2 2 2

=

=

   

= = π = π = π  = π − 

   

∫ ∫ ∫

R

r R R R

r

r R

S S r r r r , d’où

S = π R

2

Un autre traitement est possible à l’aide d’une seule variable (voir diapo).

Traitement à l’aide de deux variables :

Pour parcourir la surface d’un disque, on peut imaginer des rectangles de longueur et de largeur élémentaires, chacun repéré par un rayon r et par un angle θ, que l’on va empiler en faisant évoluer r et θ.

L’élément d’intégration est un rectangle d’aire dS (ou ici d²S car infinitésimal « d’ordre 2 » : ses deux dimensions sont infinitésimales), produit de sa largeur, dr, par sa longueur, r.dθ. Pour θ fixé et r variant entre 0 et R, on crée un secteur élémentaire ; puis on considère une variation de θ de 0 à 2π pour que ces secteurs couvrent le disque.

On a alors :

(

.

)

. 2. 2.

2 2 2

2 2

0 0d 0 0 d d 0 d 2

2 2

r R r R

r r

R R

S θ S θ r r θ R

θ== π == θ== π == θ θ== π θ

=

∫ ∫

=

∫ ∫

=

= π = π

Remarque 1 : lorsque, dans une intégrale multiple, on peut séparer les variables par produit, on peut alors séparer les intégrales simples et en faire le produit (voir calcul précédent).

Remarque 2 : on pouvait aussi fixer r et faire varier θ de 0 à 2π, créant ainsi un anneau élémentaire et il ne reste plus qu’à faire varier r de 0 à R :

(

.

)

. . 2

2 2

2 2

0 0 d 0 0 d d 0 2 d 2

2

r R r R r R

r r r

S θ S θ r r r r R R

θ θ

θ

= = π = = π =

= = = = =

=

∫ ∫

=

∫ ∫

=

π = π = π

S = π R

2

θ θ +dθ

0 R

dr r+ r

0 R

r d r+ r

(15)

5.1.3 Aire de la sphère

L’élément d’intégration est une surface annulaire d’aire dS car nous cherchons une aire S, qui est la somme, l’intégrale, de cet

élément :

S = ∫ d S

Nous choisissons une seule variable : l’angle θ, défini sur la figure, que nous ferons évoluer de –π/2 à π/2. Pour chaque valeur de θ on envisage une variation infinitésimale dθ.

Celle-ci produit un anneau (ici vu de profil, en gris) d’aire infinitésimale dS = 2πr.Rdθ r est le rayon de l’anneau, variable, mais dépendant directement de θ (et une fois

« déroulé », l’anneau est assimilable à un rectangle de largeur R.dθ et de longueur 2πr).

Pour obtenir l’aire de la sphère, il faut sommer ces éléments : 2 2 .

2 2

2

S θ dS θ r Rd

θ=−=ππ θ=−=ππ

θ

=

=

π .

La trigonométrie dans le triangle rectangle montre que r = R.cosθ.

On a alors : 2 . 2 2 cos . 2

[

sin

]

22 2

( ( ) )

2

2 2

2 d 2 d 2 2 1 1 4

S θ r R R R R R

θ=ππ

θ

ππ

θ θ θ

ππ

=−

=

π = π

= π = π − − = π

S = 4 π R

2

5.1.4 Volume de la boule

L’élément d’intégration est un volume de mesure dV car nous cherchons un volume V, qui est la somme, l’intégrale, de cet élément :

V = ∫ d V

Notre seule variable sera le rayon r, défini sur la figure, que nous ferons évoluer de 0 à R. Pour chaque valeur de r on envisage une variation infinitésimale dr. Celle-ci produit une « tranche sphérique » de volume infinitésimal admis

dV = 4πr2.dr.

Pour obtenir le volume de la boule, il faut sommer ces éléments : 2.

0 d 0 4 d

r R R

r

V = V r r

=

= =

π . On a alors :

3 3 3

2 2 3

0 0

0

0 4

4 d 4 d 4 4

3 3 3 3

= =

= =

   

= π = π = π  = π − = π

   

∫ ∫

R

r R r R

r r

r R

V r r r r R

4 3

= π3

V R

dS

θ

θ+

0 R

Rcosθ

0 R

r +d r r

(16)

5.2 Autres mesures physiques

5.2.1 Calcul de la masse d’un corps

Imaginons un volume conique de gaz, d’axe (Oz), dans lequel la masse volumique µ (kg.m-3) du gaz dépend de z (m) : µ = 4,5 – 0,6z, relation valable pour z ∈ [0 ; 3]. Le rayon R du cône mesure 0,8 m et sa hauteur H 1,5 m.

Quelle est la masse de ce cône ?

L’équation aux dimensions [masse] = [masse volumique] × [volume] nous incite à travailler sur des volumes élémentaires dV du cône pour lesquels la masse volumique µ est constante, d’obtenir la masse élémentaire correspondante dm = µ.dV et de sommer cette dernière.

De tels volumes élémentaires peuvent être des tranches circulaires du cône, orthogonales à (Oz), dans lesquelles z est constant, et donc µ aussi.

Dans cette configuration : r H z

R H

= − , donc z

r R H

 

=  − 

1  et z .

R z

H

 

= π  − 

 

2

dV 2 1 d .

Notre élément d’intégration est donc :

( ) ( )

. . .

.

2 2

2

3 2

d d 4,5 0,6 1 d 0,64 4,5 0,6 1 2 d

3

0,64 0,8 2,8 6,6 4,5 d

3

m V R z z z z z z

H

z z z z

   

= µ = π −  −  = π −  − 

   

 

= π − + − + 

 

La masse totale de gaz est donc :

1,5 1,5 3 2 .

0 0

3 1,5

4 2

0

d 0,64 0,8 2,8 6,6 4,5 d

3

0,64 0,2 2,8 3,3 4,5 4,298 kg

3 3

z

M z m z z z z

z z z z

=

=

 

= = π − + − + 

 

 

= π − + − +  ≈

 

∫ ∫

(17)

5.2.2 Position d’un centre de gravité

Dans le plan xOy, il est possible de calculer les coordonnées d’une surface située entre la courbe d’une fonction et l’axe des abscisses, ou d’une surface située entre les courbes de deux fonctions, par exemple.

Soit une fonction f continue et positive sur un intervalle

[ ]

a b; , et G le centre de gravité de la zone du plan située entre la courbe de f et l’axe (Ox) et entre les droites d’équations x = a et x = b.

Alors les coordonnées de G sont :

( ) ( )

. .

.

G

d d

b a b a

x f x x x

f x x

=

et

( ) ( )

. .

2 G

1 d

2

d

b a b a

f x x y

f x x

=

Soit deux fonctions f et g continues sur un intervalle

[ ]

a b; et telles que sur cet intervalle f > g, et G le centre de gravité de la zone du plan située entre les courbes des deux fonctions et entre les droites d’équations x = a et x = b.

Alors les coordonnées de G sont :

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

. .

.

G

d d

b a b a

x f x g x x x

f x g x x

= −

et

( ( ) ( ) )

( ) ( )

( )

. .

2 2

G

1 d

2

d

b a

b a

f x g x x

y

f x g x x

= −

Exemple : déterminer la position du centre de gravité de la zone située entre la courbe de la fonction carré et l’axe (Ox), sur l’intervalle [0 ; 1].

. . .

1 2

0

G 1 2

0

d 14 3

1 4

d 3

x x x x

x x

=

= =

et

. .

1 4 0

G 1 2

0

1 d 110 3

2

1 10

d 3

x x x

x x

=

= =

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