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Chapitre 7
La demande d’assurance
Sommaire
7.1 Introduction . . . . 1
7.2 Élaboration d’un contrat d’assurance élémentaire . . . . 3
7.2.1 Quelques relations . . . 4
7.2.2 La demande d’assurance . . . 7
7.3 Contrat d’assurance optimal . . . . 12
7.4 L’auto-assurance . . . . 15
7.5 L’auto-protection . . . . 19
7.1 Introduction
N
OUS SAVONS QUE LES PERSPECTIVES RISQUÉESont un indice d’utilité égal à leur espérance d’utilité. Considé- rons un individu ayant une aversion pour le risque. Il est confronté à une infinité de perspectives risquées définies de la façon suivante :– il existe deux états du mondes1ets2; – les probabilités sont (1−p) etp;
– les gains (revenus, richesses ...) sont des grandeurs monétairesw1etw2variant de zéro à l’infini.
Si la fonction d’utilité du revenu certain de l’individu estu, l’utilité d’une perspective risquéequelconques’écrit U¡
w1,w2;(1−p),p¢
=(1−p)u(w1)+p u(w2), ∀(w1w2)∈R2+,p∈[0 1].
Si on admet quepest fixé, alors cette fonction ne dépend que du couple (w1,w2) et peut se représenter sous forme de courbes d’indifférence. On montre facilement1que les courbes d’indifférence d’un individu présentant une aversion pour le risque (u0>0 etu00<0) sont convexes.
La première bissectrice s’appelle laligne de certitude. Elle décrit toutes les perspectives risquées qui ont la particularité d’êtrecertaines(sur la première bissectrice, on a en effetw1=w2). Le taux marginal de substitution entre richesse dans l’état du monde 1 et richesse dans l’état du monde 2 s’écrit,
TMS12= −d w2
d w1=(1−p)u0(w1)
pu0(w2) >0 (7.1)
et il est classiquement défini comme l’opposé de la pente en un point d’une courbe d’indifférence. Une des particularités du TMS est la valeur qu’il prend sur la ligne de certitude. Sur cette dernière, on a par définition w1=w2. Par conséquent, le TMS s’écrit,
TMS12=(1−p)u0(w1) pu0(w1) =1−p
p (7.2)
On a donc la proposition,
1. Faites le !
1
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0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
w1
2
lignedecertitude
FIGURE7.1 –Courbes d’indifférence et ligne de certitude
Proposition 1. En tout point de la ligne de certitude, le taux marginal de substitution est égal au rapport des
probabilités des deux états du monde. ä
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
w1
w2
lignedecertitude
b TMS=1−pp
U=U⋆
FIGURE7.2 –TMS et ligne de certitude
Supposons qu’un individu soit confronté à la situation risquée suivante représentée par le pointOdans le graphique 7.3 : dans l’état du monde 1 sa richesse vautw1=6 alors que dans l’état du monde 2 elle ne vaut que w2=0,5. Une représentation sous forme de courbes d’indifférence montre qu’il existe une infinité de couples (w1,w2)∈R2+qui lui procureraient plus de satisfaction. Certains de ces couples — comme les pointsA1,A2, ... — sont certains. D’autres — comme les pointsB1,B2, ... — sont risqués.
Considérons maintenant l’ensemble des perspectives risquées qui ont la même espérance de gain que notre projet risqué originalO=(w1?,w?2).
L’espérance de gain au pointO— qu’on notera par commoditéE[O] — est,
E[O]=(1−p)w?1+pw2?. (7.3)
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=−p1−p
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+ E
[O] p
b
O
b
A1
b
A2
b
B3
b
A3
b
B1
b
B2
U=U⋆
FIGURE7.3 –Comparaison des perspectives risquées
AppelonsΩl’ensemble des perspectives risquées ayant la même espérance de gain que le projetO, Ω=©
(w1,w2)∈R2+¯
¯E[O]=(1−p)w1+pw2ª
. (7.4)
Un calcul élémentaire montre que l’ensemble des couples deΩdéfinissent une droite, w2= −1−p
p w1+E[O]
p = −1−p
p w1+(1−p)w?1+pw2?
p , (7.5)
de pente−1−pp et passant par le pointO.
Le graphique 7.3 montre que :
– certaines perspectives risquées commeB1,B2,A3sont préférées par l’individu tout en « rapportant plus en moyenne » que la perspective risquée originale ;
– certaines perspectives risquées commeB3sont plus appréciées bien qu’elles « rapportent moins en moyenne » ; – d’autres commeA2sont plus appréciées tout en ayant la même espérance de gain ;
– enfin, il en existe une — le pointA1— dont l’utilité est identique à celle de la perspective risquée originale mais qui est « certaine ». Ce n’est rien d’autre que ce que nous avons déjà appelé lerevenu équivalent certain deO.
On pourrait généraliser ce graphique en traçant des courbes « d’iso-espérance de gain ». Je vous laisse tracer un tel graphique à titre d’exercice.
Ces préliminaires étant faits, nous allons commencer à nous intéresser aux assurances. Mais avant de nous y plonger tout à fait, j’aimerais vous faire remarquer que dans le graphique précédent il existe plusieurs zones inté- ressantes. Dans le graphique 7.4, on constate qu’il existe une zone où les projets risqués sont plus appréciés que Otout en « rapportant moins en moyenne » queO. C’est la présence de cette zone2qui permet de comprendre l’existence des entreprises d’assurance.
7.2 Élaboration d’un contrat d’assurance élémentaire
Considérons un individu possédant une certaine richesse composée d’une partie certaine et d’une partie risquée.
Pour fixer les idées, on admettra que l’individu possède de l’argent (w0) et une maison qui vautA. Cette maison est soumise à un risque (unique) d’incendie. Pour simplifier (considérablement) les choses, on admettra que s’il
2. Chez un individu qui présente une aversion pour le risque.
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w1
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+ ++
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lignedecertitude w2
=−p1−p
w1
+ E
[O] p
b
O
U=U⋆
FIGURE7.4 –Une zone intéressante
n’y a pas d’incendie, elle vautAalors que s’il y a un incendie elle vaut zéro. La probabilité d’un incendie pendant une période donnée estp.
La valeur de la maison est donc une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli.
On a l’habitude de travailler avec une variable aléatoire équivalente qui rend compte des dommages subis par la maison. Si on noteDla valeur des dommages, on aura,
Pr[D=0]=1−p (7.6)
Pr[D=A]=p (7.7)
En supposant que la partie certaine de la richesse vaut 3, que la maison vaut 2, la situation d’un individu qui n’est pas assuré se représente par le pointOsur la figure 7.5.
Supposons maintenant qu’une entreprise d’assurance propose à cet individu le contrat suivant : – l’individu paie une primeP=1, disons en début d’année ;
– L’assurance lui rembourse sa maison si elle brûle. Le dédommagement — qu’on noteq— est égal à la valeur du dommage subi si le risque se réalise, c.-à-d.D=A.
Le fait de payer une primeP=1 va réduire la richesse de l’assuré dans les deux états du monde. En effet, la prime est versée en début d’année de façon certaine. Que la maison brûle ou pas, l’assuré sera moins riche du montant de la prime. Sur le graphique 7.5, l’assuré est situé au pointO0=(4,2) une fois la prime payée.
Si l’affaire devait en rester là, il est clair que l’assuré refuserait la proposition de l’assureur : sa richesse étant inférieure à ce qu’elle était dans lesdeuxétats du monde, son niveau d’utilité est évidemment plus faible (UO0<U?).
Mais l’affaire n’en reste justement pas là : dans l’état du monde où le risque d’incendie se réalise, l’assureur va verser un dédommagement égal à la valeur de la maison (d=2). Par conséquent, la situation finale de l’individu est en réalité représentée par le pointO00=(4,4).
Or, on constate que le pointO00correspond ici à une situation certaine et, surtout, l’indice d’utilité de l’individu a augmenté (UO00>U?).
On en déduit que — dans le cas présent — l’individu acceptera volontiers la proposition de l’assureur
Nous venons de voir qu’un contrat d’assurance est constitué par la donnée d’une prime et d’un dédommagement, c.-à-d. d’un couple (P,q). Il nous reste à affiner notre présentation.
7.2.1 Quelques relations
Relation indemnité-dommage. On se doute qu’il doit exister une relation entre le montant du dédommage- mentqet le dommage subiD. On ne voit pas pourquoi l’assurance verserait une indemnité pour un dommage
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w1
Richesse si pas d’incendie
Richessesiincendie
w2
lignedecertitude
b
O
b
O′
b
O′′
U=U⋆
FIGURE7.5 –Prime et dédommagement
qui n’existe pas et inversement que l’assuré paierait une prime pour être dédommagé de la même façon selon que sa maison est détruite ou qu’elle subit un dommage mineur. Dans le cas général, on doit donc admettre qu’une relation existe ; on la notera
q=Q(D). (7.8)
La fonctionQpossède les propriétés suivantes :
– siD=0 alorsq=0. L’absence de dommage entraîne l’absence de dédommagement ; – dDd q ≥0. L’indemnité ne peut décroître lorsque le dommage devient plus important ; – dDd q ≤1. L’indemnité ne croît jamais plus vite que la valeur du dommage.
Avec ces hypothèses, on montre facilement queq≤D.
Exercice 1. Démontrer la proposition précédente. ♣
On notera que le dédommagement est une variable aléatoire3dont la densité de probabilitéf(q) se déduit de f(D). Elle est bornée par le dédommagement minimum (q=0) et le dédommagement maximum (qmax≤D).
Nous venons d’évoquer de façon « générique » le lien entre indemnité et dommage. Il n’est sans doute pas inutile de préciser la forme que prend la fonctionQ. Parmi l’infinité diversitédes fonctionsQpossibles, on distingue traditionnellement deux fonctions élémentaires. Elles donnent naissance à ce qu’on appelle :
– le contrat de coassurance ; – le contrat avec franchise.
On parlera de contrat de coassurance lorsque l’indemnité est une proportion donnée du montant du dommage subi,
q=aD, 0≤a≤1. (7.9)
Cela signifie que l’assuré prend à sa charge uneproportiondu dommage Sia=0 l’indemnité est nulle. On dit alors qu’il y aconservation totaledu risque par l’assuré. En revanche, sia=1, l’indemnité est toujours égale au dommage et l’assuré n’a plus à subir les conséquences financières de la réalisation du risque. Ainsi, il y a coassurance si votre assureur vous dit qu’il prendra en charge 90% de la valeur des réparations de votre voiture lorsque vous avez un accident.
3. Allez vérifier dans votre cours de probabilité que cette proposition est vraie !
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On parlera de contrat avec franchise lorsqu’unepartie donnée de la valeurdes dommages reste à la charge de l’assuré lorsque le risque se réalise,
(q=0 siq≤F,
q=D−F siq>F. (7.10)
Il y a franchise lorsque votre assureur vous dit qu’il prendra en charge l’intégralité des frais de réparation de votre automobile, à l’exception — par exemple — des premiers 1 000(, qui restent à votre charge.
20 40 60 80 100
20 40 60 80 100
D q
coassurance assurance avec franchise
franchise
FIGURE7.6 –Relation dommage-indemnité : la coassurance et la franchise
Il existe évidemment dans la réalité uneinfinité de possibilitéspour la fonctionQ. L’une de celles qui vient immédiatement à l’esprit est par exemple un mélange des deux systèmes précédents, c.-à-d. un système de coassurance avec franchise. Mais on trouve aussi ce que les anglo-saxons appellent « disappearing deductible », c.-à-d. une franchise suivie d’un remboursement total ou encore un « plafonnement de l’indemnité », c.-à-d.
un remboursement couvrant l’intégralité des dégâts jusqu’à un certain montant à partir duquel l’indemnité n’augmente plus.
La relation prime dédommagement
L’activité essentielle d’une société d’assurance est d’offrir des contrats d’assurance, c.-à-d. des engagements mutuels de l’assuré et de l’assurance de payer une prime (ou cotisation) contre le versement d’une prestation si un risque se réalise (qu’on appelle le « sinistre ») au cours d’une période donnée.
Dès 1776, Adam Smith évoque dansLa richesse des nationsle lien qui doit exister entre la prime versée par l’assuré, le dédommagement et ... d’autres choses encore :
Pour que l’assurance, ou contre l’incendie, ou contre les risques de mer, soit une industrie, il faut que la prime ordinaire soit suffisante pour compenser les pertes ordinaires, payer les frais de l’établissement et fournir le profit qu’aurait pu rapporter le même capital employé à tout autre commerce. (Smith, 1991)
À la fin du XIXesiècle, Alfred Marshall évoque dans une note de bas de page le calcul d’une prime d’assurance : But of course every insurance office, after calculating what is a theoretically fair premium, has to share in addition to it enough to pay profits on its own capital, and to cover its own expenses of working, among which are often to be reckoned very heavy items for advertising and for losses by fraud. (Marshall, 1979, III,VI,6)
Tout ce que nous avons dit jusqu’à présent est assez sommaire parce que nous nous sommes focalisés sur des risques binaires. Ce n’est évidemment qu’une simplification grossière (mais pratique) de la réalité. Imaginons maintenant que l’assuré verse une primePmais que le risque auquel il est soumis conduise à unéventail de valeurs possiblesde dommages et donc de dédommagements. Dans le cas d’une automobile, par exemple, les dommages peuvent aller du simple rétroviseur cassé à une destruction totale du véhicule. La façon la plus simple de faire une synthèse des dédommagements possibles compte tenu du lien évoqué précédemment entre dommage et dédommagement (voir relation 7.8) est d’en calculer l’espérance. NotonsE[q] l’espérance de dédommagement.
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Comme l’avaient noté Smith et Marshall, le « travail d’assurance » est une activité coûteuse. Plus près de nous, Artur Raviv précise en quoi consiste ces coûts :
Provision of the insurance is costly, with the cost consisting of fixed and variable (depending of the size of the insurance payments) components. (Raviv, 1979)
Avec lui, on noterac(q) le coût d’un dédommagementq, avec
c(0)=a≥0, c0(.)≥0, c00(.)≥0 (7.11)
La fonction de coût est croissante, elle incorpore éventuellement des frais fixes (lorsquea>0) et les coûts marginaux sont non décroissants. Il s’ensuit que tout dédommagement d’un montantqse traduit par une dépenseq+c(q) ou, si on préfère, tout dommage d’un montantD se traduit — pour l’assureur — par une dépenseQ(D)+c(Q(D)).
Les primes demandées aux assurés doivent globalement couvrir les dépenses (dont nous avons dit qu’elles étaient aléatoires). Par conséquent,Pdoit vérifier4
P≥E[Q(D)+c(Q(D))] (=E[q+c(q)]) (7.12)
Pour simplifier les choses, on suppose généralement que dans (7.11), les coûts fixes sont nuls (a=0) et les coûts marginaux constants (c0(q)=λ)5. Si les coûts incluent la rémunération normale du capital, alors la prime demandée doit vérifier
P=(1+λ)E[Q(D)] (=(1+λ)E[q]) (7.13)
On appelle alorsλletaux de chargement.
7.2.2 La demande d’assurance
Les modèles de demande d’assurance consistent à étudier le comportement d’un consommateur lorsqu’on lui propose un contrat d’assurance dont les caractéristiques (taux de chargement, existence ou non d’une franchise, proportion de coassurance, etc.) sont fixées de façon exogène (Mossin, 1968; Smith, 1968).
position du problème
Nous nous plaçons dans le cas décrit à la section 7.2 d’un individu possédant une richesse certaine et une maison soumise au risque d’incendie. Si l’individu ne s’assure pas, sa richesse vaudraw0+As’il n’y a pas d’incendie et w0en cas d’incendie. L’utilité de cette perspective risquée est
(1−p)u(w0+A)+pu(w0). (7.14)
S’il s’assure, sa richesse vaudraw0+A−Ps’il n’y a pas d’incendie etw0−P+qdans le cas contraire. Nous avons vu précédemment quePetqsont en réalité des fonctions et donc, de façon générale, on peut écrire l’utilité une fois assuré sous la forme
(1−p)u³
w0+A−(1+λ)E[q(D)]
| {z }
P
´ +p u³
w0−(1+λ)E[q(D)]
| {z }
P
+q(D)
| {z }
q
´. (7.15)
L’individu choisira de s’assurer si — compte tenu deλet deq(D) — l’utilité une fois assuré est supérieure à celle lorsqu’il ne l’est pas, c.-à-d. si
(1−p)u³
w0+A−(1+λ)E[q(D)]
| {z }
P
´ +p u³
w0−(1+λ)E[q(D)]
| {z }
P
+q(D)
| {z }
q
´
≥(1−p)u(w0+A)+pu(w0). (7.16)
Comme on le constate, ce problème ne peut être traité que si on connaît le taux de chargement et la fonction d’indemnité. Pour fixer les idées, servons-nous des deux formes élémentaires de contrats que nous avons déjà évoqués : la coassurance et la franchise.
4. En fait, ceci n’est vrai que si l’assureur est neutre par rapport au risque.
5. Dans ces conditions, la fonction de coût s’écritc(Q(D))=λQ(D).
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la coassurance Dans le cas de la coassurance, les grandeurs qui nous manquent s’écrivent : 1. q=q(D)=aD, or, commeD=A, il vientq=a A
2. P=(1+λ)E[q(D)]=(1+λ)E[aD]=(1+λ)a E[D]=(1+λ)a¡
(1−p)0+pD¢
=(1+λ)a p D. Comme D=A, il vientP=(1+λ)a p D=(1+λ)p q
3. λ=λ¯
la franchise Dans le cas de la franchise, les grandeurs qui nous manquent s’écrivent : 1. q=q(D)=D−FsiD>F. CommeD=A>F6, il vientq=A−F
2. P=(1+λ)E[q(D)]=(1+λ)E[D−F]=(1+λ)¡
(1−p)0+p(D−F)¢
=(1+λ)p(D−F) et donc, puisqueA=D, on aP=(1+λ)p(A−F)=(1+λ)p q
3. λ=λ¯
Si vous examinez attentivement les deux points 2) ci-dessus, vous constaterez que la coassurance et la franchise conduisent toutes deux à une règle simple mettant en relation la prime versée et le montant du remboursement.
En effet, dans les deux cas, on a
P=(1+λ)p q. (7.17)
Puisque la probabilitépest connue et queλest fixé par l’assureur, on peut simplifier cette expression en
P=γqavecγ=(1+λ)p. (7.18)
Proposition 2. Les deux contrats types conduisent — dans le cas d’un risque binaire7— à une relation linéaire entre prime et dédommagement. Désormais,γsera appelé le « coefficient de prime ». ä Nous allons représenter le choix effectif de l’assuré sous la forme d’un problème de maximisation de l’utilité sous contrainte. De façon générale, le choix d’un assuré s’exprime sous la forme du tableau 7.1. On note (w1?,w?2) la
TABLE7.1 – CHOIX D’UN INDIVIDU ASSURABLE
pas d’incendie incendie pas d’assurance w?1=w0+A w?2=w0+A−D=w0
assurance w1=w1?−P w2=w2?−P+q
richesse initiale de l’individu dans les deux états du monde. On note (w1,w2) sa richesse finale dans les deux états du monde s’il s’assure. On suppose que l’assureur propose un coefficient de primeγet que l’individu est libre de choisir le montant de la primequ’il souhaite verser ou, ce qui revient au même, le montant de l’indemnité B
qu’il entend recevoir si le risque se réalise. Dans le cas de la coassurance, choisir la primePrevient à choisir le coefficienta. Dans le cas de la franchise, cela revient à choisir la franchiseF.
On peut établir la contrainte budgétaire de l’individu assurable. En effet,
P= −w1+w?1 (7.19)
puisqueP=γq, w2=w2?−P(1−1
γ) (7.20)
=⇒w2=w2?−(1−1
γ)(−w1+w1?) (7.21)
=⇒w2=(1−1
γ)w1+w2?−(1−1
γ)w?1 (7.22)
Puisqueγ,w?1etw?2sont des paramètres connus, on reconnaît là l’équation d’une droite de pente 1−γ1 <0 pas- sant par le point caractérisant la situation originelle (w1?,w2?). Cette droite représente la contrainte budgétaire
6. Comme il s’agit d’un risque binaire, la maison est soit intacte soit détruite. En cas de destruction, le problème n’a évidemment d’intérêt que si la franchise est inférieure à la valeur de la maison. Si la franchise est égale à la valeur de la maison, cela revient à dire que l’assureur ne doitjamaisrien à l’assuré et on ne voit pas qui serait assez fou pour payer une prime pour finalement ... ne pas être assuré.
7. La précision est importante.
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d’un individu assurable : elle décrit l’ensemble de toutes les combinaisons de richesses qui lui sont accessibles du fait du contrat linéaire au tauxγproposé par l’assurance.
On vérifie facilement que,
1−1 γ=1−1
Pq
=1−q
P =P−q P =q−P
−P <0 (7.23)
Puisque l’individu peut choisir le montant de la prime (et donc du remboursement induit par le coefficient de primeγ), il est clair qu’il va sélectionner la combinaison finale (w1,w2) qui maximise son espérance d’utilité.
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
w1
Richesse si pas d’incendie
Richessesiincendie
w2 q−P
P b
w2=(1−γ1)w1+w⋆2−(1−1γ)w1⋆
(w1⋆,w⋆2)
b(w1,w2)
P⋆ q⋆−P⋆
FIGURE7.7 –Contrainte budgétaire de l’individu assurable
Dans le graphique 7.7, le système d’axe correspond aux richesses possibles de l’individu dans les deux états du monde. La richesse initiale est représentée au point (w1?,w2?). La contrainte budgétaire de l’individu assurable est la droite de pente−(1−1γ) passant par le point de richesse initiale.
Supposons qu’un assureur propose un contrat avec un certain « coefficient de prime »γà un individu dont la richesse initiale est (w1?,w2?). Compte tenu de ce coefficient de prime, admettons que l’individu choisisse de payer une primeP?pour un dédommagement « net » deq?−P?. Dans ces conditions, sa richesse finale dans les deux états du monde est (w1,w2). Le « deuxième » système d’axe dont l’origine est située au point de richesse initiale montre le lien entre prime, remboursement net et richesse dans les deux états du monde8.
La prime optimale pour unγdonné
L’assureur propose un « coefficient de prime »γet le libre choix du montant de la prime. Nous avons vu que nous pouvons en déduire la contrainte budgétaire 7.22.
Notre assuré se voit donc offrir un choix. Comme il a des préférences sur les couples (w1,w2), il va sélectionner le couple qui maximise son utilité, c.-à-d., il va résoudre le programme,
8. Dans le deuxième système d’axe, l’axe des abscisses représente les primes qui réduisentw?1et l’axe des ordonnées le remboursement obtenu en cas de sinistre déduction faite de la prime, c.-à-d. ce que perçoit réellement l’assuré et qui augmentew2?.
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wmax1,w2(1−p)u(w1)+pu(w2) (7.24) sc :w2=(1−1
γ)w1+w?2−(1−1
γ)w1? (7.25)
On remarque que les variables caractéristiques d’un contrat d’assurance (P,q) ont « disparu ». Ce n’est évi- demment qu’une illusion. Comme on le voit sur le graphique 7.7, il est clair queP=w1?−w1de même que q−P=w2−w2?.
Écrivons le lagrangien du programme,
L(.)=(1−p)u(w1)+pu(w2)+λ¡
w2−(1−1
γ)w1−w2?−(1−1 γ)w?1¢
(7.26) La solution optimale doit vérifier,
∂L(.)
∂w1 =(1−p)u0(w1)−λ¡ 1−1γ¢
=0
∂L(.)
∂w2 =pu0(w2)+λ=0
∂L(.)
∂λ =w2−(1−1γ)w1−w2?−(1−1γ)w?1=0
(7.27)
Ce qui conduit à la condition,
(1−p)u0(w1) pu0(w2) =1−γ
γ (7.28)
On reconnaît évidemment dans le membre de gauche le taux marginal de substitution entre richesses dans les deux états du monde et dans le membre de droite l’opposé de la pente de la contrainte budgétaire de l’assuré. Il faut par ailleurs que la contrainte budgétaire soit saturée.
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
w1
Richesse si pas d’incendie
Richessesiincendie
w2
lignedecertitude
(w⋆1,w2⋆) Po
qo−Po
b
b (w1,w2)
−1−γγ
−(1−pup)u′(w′(w2)1)
FIGURE7.8 –Sélection d’une prime optimale
Graphiquement (voirfigure 7.8), le point optimal est situé au point de tangence entre le plus « haute » des courbes d’indifférence et la contrainte budgétaire de l’assuré. Compte tenu de ses préférences et notamment, son aversion pour le risque, sa richesse optimale est (w1,w2) dans les deux états du monde, ce qui signifie que
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l’individu va verser une primePopour recevoir — dans l’état du monde défavorable — un remboursement net deqo−Po.
On constate que dans notre illustration graphique, l’individu n’est pas assuré « parfaitement ». En effet, en dépit de l’assurance, il existe une variabilité résiduelle de ses ressources dans les deux états du monde puisquew1reste supérieur àw2. Il serait judicieux de se demander dans quelles circonstances l’individu peut être parfaitement assuré. La réponse est étonnamment simple.
Supposons que l’individu choisisse de s’assurer parfaitement. Cela veut dire deux choses : 1. puisque c’est un choix, il est forcément optimal. Donc la relation (7.28) est vérifiée ;
2. puisque l’assurance est parfaite, les revenus dans les deux états du monde sont égaux :w1=w2. Par conséquent, notre problème s’écrit,
(1−p)u0(w1) pu0(w2) =1−γ
γ (7.29)
w1=w2 (7.30)
=⇒(1−p)u0(w1) pu0(w1) =1−γ
γ =⇒1−p p =1−γ
γ (7.31)
=⇒γ=p (7.32)
Par conséquent, nous pouvons avancer la proposition suivante :
Proposition 3. lorsque le coefficient de primeγpratiqué par l’assureur est égal à la probabilité pour que le risque
se réalise, l’assuré choisira de s’assurer parfaitement. ä
Maintenant, nous pouvons pousser un peu plus loin notre investigation. Nous avons vu précédemment que le couple (w1,w2) choisi par l’assuré dépend de la pente de la contrainte budgétaire, c.-à-d.in finedu coefficient de prime pratiqué par l’assureur. On se doute que lorsque ce coefficient de prime varie (c.-à-d., lorsque la contrainte budgétaire pivote), le point optimal change. Même si les termes utilisés sont volontairement vagues, on voit qu’on peut établir une relation entre la « quantité d’assurance demandée » (exprimée par le montant de la prime versée) et le « prix » de l’assurance (exprimé par le coefficientγ). Sous réserve d’une analyse plus approfondie, on retrouve une relation similaire à une fonction de demande : le montant de la prime est une fonction décroissante du coefficient de prime, c.-à-d. la quantité d’assurance demandée est d’autant plus faible que le prix de l’assurance est élevé.
Il nous reste maintenant à revenir sur nos deux contrats types : coassurance et franchise.
Nous avons vu page 8 que le contrat de coassurance se caractérise par le fait queP=(1+λ)a p D=(1+λ)p q.
Dans notre approche générale, nous avons déterminé pour chaque valeur deγ=(1+λ)pun couple (w1,w2) optimal et donc une primePooptimale. PuisquepetDsont connus, on peut écrire
Po(λ)=(1+λ)a p D=⇒a= Po(λ)
(1+λ)p D (7.33)
Dans un contrat de coassurance, choisir une prime optimale revient pour l’assuré à choisr le tauxade coassu- rance. Le taux choisi dépend du taux de chargementλpratiqué par l’assurance.
On montre facilement que si le taux de chargement est nul, un individu s’assurera totalement et, de plus,a=1.
En effet, nous avons vu avec la proposition 3 que l’assurance est totale sip=γ. Commeγ=(1+λ)p, on en déduit queλest égal à zéro.
Proposition 4. Dans un contrat de coassurance, un taux de chargement nul conduit l’assuré à s’assurer totale-
ment. ä
Si l’assuré s’assure totalement, alorsw1=w2. On a donc,
w1?−P=w2?−P+q, (7.34)
=⇒w0+A−P=w0+A−D−P+q, (7.35)
=⇒q=D. (7.36)
Or, commeq=aD, il vient,
aD=D=⇒a=1. (7.37)
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Dans le cas de la franchise, on aP=(1+λ)p(A−F)=(1+λ)p q. On peut donc écrire Po(λ)=(1+λ)a p(A−F)=⇒F=A− Po(λ)
(1+λ)p D. (7.38)
Dans un contrat avec franchise, choisir une prime optimale est équivalent à choisir un montant de franchise optimal. Ce montant dépend du taux de chargementλpratiqué par l’assureur. Une fois encore, on montre aisément que si le taux de chargement est nul, l’assuré s’assurera totalement et le montant de la franchise sera nul.
Proposition 5. Dans un contrat avec franchise, un taux de chargement nul se traduit par une assurance totale et
par le choix d’une franchise nulle. ä
Exercice 2. Montrer la proposition précédente. ♣
7.3 Contrat d’assurance optimal
Nous avons jusqu’à présent décrit des contrats d’assurance simples où la prime dépend de la valeur actuarielle du contrat et le montant de l’indemnité varie « linéairement » avec le montant des dommages subis (contrat de coassurance ou contrat avec franchise). On sait cependant que la forme générale d’un contrat est un couple (P,q) oùqest une fonctionQdu montant du préjudice subi. Cela signifie donc qu’ilexiste une infinité de contrats B
concevablesqui ne diffèrent que par la forme de la fonctionQ. On est en droit de se demander s’il n’existe pas un contrat qui soit « le meilleur », c.-à-d. en d’autres termes, un contrat optimal au sens de Pareto.
On trouve une analyse très détaillée de ce problème dans Raviv (1979). Dans l’introduction de son article, il remarque qu’il existe deux façons de traiter le problème de l’assurance :
Almost every phase of economic behavior is affected by uncertainty. The economic system has adapted to uncertainty by developing methods that facilitate the reallocation of risk among indi- viduals and firms. The most apparent and familiar form for shifting risks is the ordinary insurance policy. Previous insurance decision analyses can be divided into those in which the insurance policy was exogenously specified (see John Gould, Jan Mossin, and Vernon Smith), and those in which it was not (see Karl Borch, 1960, and Kenneth Arrow, 1971, 1973).
La particularité de le deuxième approche est qu’elle est plus ambitieuse :
Borch (1960) was the first to take the more general approach of deriving the optimal insurance policy form endogenously. He sought to characterize a Pareto optimal risk-sharing arrangement in a situation where several risk averters were to bear a stochastic loss. This framework was then used by Arrow (1971) to obtain Pareto optimal policies in two distinct cases: 1) if the insurance seller is risk averse, the insured prefers a policy that involves some element of coinsurance; (i.e., the coverage will be some fraction (less than 1) of the loss); and 2) if the premium is based on the actuarial value of the policy plus a proportional loading (i.e., the insurer is risk neutral) and the insurance reimbursement is restricted to be nonnegative, the insurance policy will extend full coverage of losses above a deductible. Arrow (1973) extended this result to the case of state dependent utility functions. In this case, the optimality of a deductible which depends upon the state was proved.
Robert Wilson also dealt with the endogenous determination of optimal risk-sharing arrangements, focusing on the incentive problem and the existence of surrogate functions.
Dans son article, Artur Raviv se place dans une configuration très générale qui lui permet — au prix d’une longue démonstration — d’obtenir des résultats eux-mêmes très généraux. Nous allons nous contenter de traiter un cas simple (celui de Arrow) en nous inspirant de la démonstration de Henriet et Rochet (1991)9même si le cadre général du modèle est celui de Raviv.
Comme vous le savez, un problème d’optimum met en jeu deux acteurs10poursuivant chacun leurpropre objectif compte tenu d’éventuelles contraintes.
L’assuré possède une richesse initiale ¯wet il est confronté à un risque de perteD. On admet que cette perte est une variable aléatoire de densité de probabilitéf(D). On suppose quef(D)>0 et 0≤D≤T avecT≤W.
9. Il existe plusieurs pistes mathématiques pour la démonstration : celle de Arrow (2000) en termes de calcul des variations, celle de Eeckhoudt et Gollier (1992) en termes de dominance stochastique et celle de Raviv (1979) en termes de contrôle optimal.
10. Plus précisément,au minimumdeux acteurs.
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Comme nous le savons, le contrat d’assurance est un couple (P,q(D)) sachant que pour tout dommageD, le remboursement vérifie 0≤g(D)≤D.
Si on noteu(u0(w)>0,u00(w)<0) la fonction d’utilité de l’assuré, il est clair que celui-ci ne s’assurera que si Z T
0 u( ¯w−P−D+q(D))f(D)dD≥ ZT
0 u( ¯w−D)f(D)dD (7.39)
Admettons qu’il existedescouples (P,q(D)) satisfaisant cette condition. L’objectif de l’assuré sera évidemment de privilégier celui ou ceux qui maximisent son espérance d’utilité.
Examinons maintenant le cas de l’assureur. L’offre d’assurance est une activité coûteuse. On suppose générale- ment qu’il existe des coûts fixes et des coûts variables qui dépendent de l’importance des indemnités versées. Si on notec(q) le coût du versement d’un indemnitéq, on admet que,
c(0)=a≥0, c0(q)≥0, c00(q)≥0 (7.40)
L’assureur peut présenter une aversion pour le risque ou tout simplement être neutre par rapport au risque.
Appelonsv(W) sa fonction d’utilité avec, pour tout niveau de richesseW,v0(W)>0 etv0(W)≤0.
SiW0désigne le niveau initial de richesse de l’assureur, alors, il n’acceptera d’offrir le contrat (P,q(D)) que si ZT
0
¡v(W0+P−q(D)−c(q(D)))¢
f(D)dD≥v(W0). (7.41)
De la même façon que pour l’assuré, on peut dire s’il existedescouples (P,q(D)) satisfaisant cette condition, l’objectif11de l’assureur sera évidemment de privilégier celui ou ceux quimaximisent son espérance d’utilité.
Nous allons nous placer dans un cas particulier en supposant que l’assureur est neutre par rapport au risque et que la fonction de coût est d’une simplicité désarmante. En particulier nous admettrons que les coûts fixes sont nuls et que les coûts variables sont proportionnels aux dédommagements
c(q(D))= (7.42)
Théorème 1. Si c(D)=λD et si l’assureur est neutre au risque, le contrat optimal est I(x)=
(0 D≤D¯1
D−D¯1 D>D¯1 ä
Il appartient à Arrow (voir Arrow (2000), p. 108et sq) d’avoir montré la proposition suivante :
Proposition 6. Si une entreprise d’assurance neutre au risque est prête à offrir tout contrat d’assurance que désire un assuré contre une prime qui ne dépend que de la valeur actuarielle du contrat, alors le contrat choisi par un assuré ayant une aversion pour le risque prend la forme d’une couverture à 100 % au-delà d’une franchise
donnée. ä
DÉMONSTRATION. Soit ¯Rla richesse initiale de l’agent,Dle risque de perte,Pla prime. On noteQ(D) le montant du remboursement dû à l’assuré si une perte d’un montantDsurvient.
Nous allons supposer queDest une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est notéef(D). La richesse finale de l’individu est donc une variable aléatoire
R(D)=R¯−P−D+Q(D). (7.43)
L’individu qui cherche à s’assurer maximise son espérance d’utilité U(Q,P)=
Z ∞
0 u( ¯R−P−D+Q(D))f(D)dD. (7.44)
Nous allons poser que∀D,D≥Q(D)≥0 ce qui signifie que le remboursement de l’assurance est nécessairement positif ou nul et qu’il ne peut excéder le montant des dommages subis par l’assuré.
11. J’ai mis en italique le terme « objectif » pour l’assureur et l’assuré pour bien souligner le fait que chacun poursuit sonpropreobjectif.
L’optimalité au sens de Pareto consiste à trouver un couple (p,q(D)) qui satisfait « de la meilleure façon qui soit » les deux objectifs simultanément.
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Nous supposons que le profit de l’assurance est la différence entre le montant de la primePet de la valeur actuarielle du contrat (c.-à-d. l’espérance de dédommagement) augmentée des frais de chargementλ>0
B(Q,P)=P−(1+λ)Z∞
0 Q(D)f(D)dD. (7.45)
On remarquera qu’on recherche un contratoptimal au sens de Pareto. Par conséquent, il s’obtient en maximisant W=αB(Q,P)+(1−α)U(Q,P), 0<α<1, (7.46)
sc : D ≥Q(D)≥0. (7.47)
Explicitons l’expressionW W=αP+
Z∞
0
³(1−α)u¡R¯−P−D+Q(D)¢
−α(1+λ)Q(D)´
f(D)dD. (7.48)
On se souvient qu’on ne connaît pas lafonction Q(D) et que c’est elle qu’on recherche.
Pour queW soit maximal, il faut évidemment que l’expression sous l’intégrale soit maximale. Si on se souvient qu’une intégrale est en certain sens une « somme » selonD,il faut que pour chaque D, l’écart entre le terme contenantu¡R¯−P−D+Q(D)¢
et le terme contenantQ(D) soit le plus grand possible. Or, cet écart dépend de la valeur deQpour unDdonné. Pour maximiserW, nous sommes donc amené à résoudre
∀D≥0,Q(D) réalise
maxQ
³(1−α)u¡R¯−P−D+Q¢
−α(1+λ)Q´
sous la contrainte 0≤Q≤D (7.49)
oùQest ici considéré comme lenombremaximisant l’expression (7.49) pour unDdonné.
Prenons le temps d’examiner cette expression. D’un côté, on a tout intérêt à prendre la valeur la plus grande possible pourQ(c.-à-d.,Q=D) puisqueuest une fonction croissante deQ. D’un autre côté, en choisissant la plus grande valeur possible deQon pousse au maximum l’effet négatif de−α(1+λ)Q! On peut se douter en partant par exemple deQ=0, que tant que l’effet sur (1−α)u(.) d’un accroissement marginal deQest supérieur à l’effet négatif sur le terme−α(1+λ)Q, le maximum n’aura pas été atteint et qu’il le sera lorsque les deux effets marginaux se compenseront.
Essayons de formaliser ceci.
Pour chaqueD, on cherche à résoudre le programme maxQ
³(1−α)u¡R¯−P−D+Q¢
−α(1+λ)Q´
sc :Q≥0 sc :D−Q≥0 (7.50) De façon classique, la solution optimaleQ?est telle que
Q?vérifie (1−α)u0¡R¯−P−D+Q¢
=(1+λ)α si Q?∈]0,D[ Q?=0 si (1−α)u0¡R¯−P−D¢
≤(1+λ)α Q?=D si (1−α)u0¡R¯−P¢
≥(1+λ)α
(7.51)
Ce qui correspond à notre approche intuitive du problème. Si on part deQ=0 plusieurs configurations se présentent.
(i) si le gain marginal qu’on obtient sur (1−α)u(.) est plus faible que (ou égal à) la perte marginale (1+λ)α, alors on ne peut pas augmenter³
(1−α)u¡R¯−P−D+Q¢
−α(1+λ)Q´
etQ?=0 est le maximum ; (ii) si le gain marginal qu’on obtient sur (1−α)u(.) est plus grand que la perte marginale (1+λ)α, alors on
peut augmenter³
(1−α)u¡R¯−P−D+Q¢
−α(1+λ)Q´
en augmentantQ. Le maximum sera atteint pour la valeurQ?telle que le gain marginal d’une augmentationdQdeQest égal à la perte marginale qu’elle induit ;
(iii) si en augmentant progressivementQ, le gain marginal reste toujours supérieur à la perte marginale et ce, jusqu’au plafondQ=D, alors le maximum est atteint enQ?=D.
On détermine ainsi — pour chaque valeur deD— une valeur optimale deQ.
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N’oublions pas toutefois que nous maximisonsW. Il faut donc également que
∂W
∂P =0 (7.52)
Nous sommes confrontés ici a une petite difficulté. En effet, nous venons de montrer qu’à toutD, on peut associer une quantité optimaleQ?. Mais cette quantité optimale dépend évidemment du paramètreP. Toutefois, en appliquant le théorème de Wong-Viner outhéorème de l’enveloppe, la condition d’un maximum s’écrit simplement
∂W
∂P =0⇐⇒α= Z ∞
0 (1−α)u0(R−P−D+Q(D))f(D)d D (7.53) Définissons maintenant un nombreF≥0 tel que
(F=0 si (1−α)u0¡R¯−P¢
≥(1+λ)α Fvérifie (1−α)u0¡R¯−P−F¢
=(1+λ)α si (1−α)u0¡R¯−P¢
<(1+λ)α (7.54) Cette façon de définirFparaît cohérente. En effet,uétant concave, sa dérivéeu0est décroissante. Par conséquent, si (1−α)u0¡R¯−P¢
<(1+λ)α, on peut — ensoustrayantune quantitéFpositive ou nulle à ( ¯R−P) — faire croître (1−α)u0¡R¯−P−F¢
jusqu’à le rendre égal à (1+λ)α. Dans le cas contraire, c’est impossible et on poseF=0.
Vous noterez queFest un nombre qui ne dépend pas deD.
Reportons-nous maintenant aux deux première équations de (7.51) On voit que pour toutD, il suffit de poser
Q(D)=D−FlorsqueD>F Q(D)=0 lorsqueD=F Q(D)=0 lorsqueD<F
(7.55)
Ce qu’on peut résumer en
(Q(D)=D−F si D≥F
Q(D)=0 si D<F (7.56)
Ce qui démontre la proposition. Le casF=0 est impossible. En effet, cela signifierait que∀D,Q(D)=D. Dans ce cas, on aurait
Z∞
0 (1−α)u0( ¯R−P−D+Q(D))f(D)d D=(1−α)u0( ¯R−P)≥α(1+λ)>α (7.57)
ce qui contredirait la condition (7.54). ■
Le contrat d’assurance optimal est une fonction qui, à tout dommage subiD, associe un remboursement égal à la perte subie, moins une franchiseF. Si la perte est inférieure à la franchise, le remboursement dû est nul.
Comme nous l’avons remarqué plus haut,Fest unnombre constant12, qui vient en déduction de la valeur du sinistre : c’est bien ce qu’on appelle dans le langage des assurances unefranchise.
7.4 L’auto-assurance
Le recours à un contrat d’assurance offert par une entreprise d’assurance n’est pas la seule technique dont dispose un individu pour réduire le risque. Toute personne peut, en effet, prendre diverses mesures visant à : – réduire l’ampleur des dommages subis ;
– réduire la probabilité de l’état du monde défavorable.
On parle dans le premier cas « d’auto-assurance » et dans le second « d’auto-protection ».
12. Qui reste à déterminer dans chaque cas concret.
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Two alternatives to market insurance that have not been systematically analyzed in the literature on insurance are self-insurance — a reduction in the size of a loss — and self-protection — a reduction in the probability of a loss. For example, sprinkler systems reduce the loss from fires; burglar alarms reduce the probability of illegal entry; cash balances reduce fluctuations in consumption;
medicines, certain foods, and medical checkups reduce vulnerability to illness; and good lawyers reduce both the probability of conviction and the punishment for crime. As these examples indicate, it is somewhat artificial to distinguish behavior that reduces the probability of a loss from behavior that reduces the size of a loss, since many actions do both. Nevertheless, we do so for expository convenience and because self-insurance clearly illustrates the insurance principle of redistributing income toward less favorable states. (Ehrlich et Becker, 1972)
Nous allons dans un premier temps nous intéresser à l’auto-assurance puis nous aborderons dans un second temps l’auto-protection.
Il y a quelques années, les constructeurs automobiles proposaient des airbags en option sur leurs véhicules. Ce système était évidemment coûteux (les options sont payantes). Les personnes achetant ce dispositif savaient que
— s’il ne changeait pas la probabilité d’un accident — il réduisait considérablement l’importance des dommages corporels subis par le conducteur lors d’un choc violent.
Dans un autre registre, l’installation par un particulier d’un paratonnerre (coûteux) sur sa maison réduit voire annule les dégâts occasionnés par la foudre.
Ces différentes dépenses préventives ont un point commun : elles n’agissent pas sur la probabilité que le sinistre arrive mais sur l’ampleur des dommages subis.
Nous allons donc supposer dans ce qui suit qu’il existe une relation entre les dépenses engagées et les dommages subis
D=D(c), c≥0. (7.58)
Il est naturel de penser que l’importance du dommage est une fonctiondécroissantedes dépenses engagées : plus je me protège et plus les dommages seront faibles.
∂D(.)
∂c <0. (7.59)
Ceci dit, il serait sans doute faux de penser que le montant des dommages décroît proportionnellement avec les dépenses (pensez par exemple à la diminution de l’importance des traumatismes en fonction du nombre d’airbags installés). On fera donc l’hypothèse que le rendement des dépenses est de plus en plus faible
∂2D(.)
∂c2 >0. (7.60)
Dans ces conditions, les individus — s’ils ne s’assurent pas auprès d’une entreprise d’assurance — sont confron- tés à la situation décrite dans le tableau 7.2.
TABLE7.2 – TABLEAU DES RISQUES
le risque se réalise le risque ne se réalise pas
conséquences R−D(c)−c R−c
probabilités p (1−p)
On voit immédiatement que plus un individu accepte de « perdre » dans l’état du monde favorable (valeur importante dec), plus il réduira sa perte dans l’état du monde défavorable (D(c) important). La question qui se pose est donc de savoir quelle est la valeur optimale dec.
Le programme que cherche à résoudre l’individu est donc
maxc pu(R−D(c)−c)+(1−p)u(R−c) (7.61)
sc : c≥0 (7.62)
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La solution13optimalecvérifie
−p(D0(c)+1)u0(R−D(c)−c)−(1−p)u0(R−c)=0 sic>0 (7.63)
−p(D0(0)+1)u0(R−D(0))−(1−p)u0(R)≤0 sic=0 (7.64)
Soit encore
D0(c)+1= − (1−p)u0(R−c)
pu0(R−D(c)−c) sic>0 (7.65)
D0(c)+1≥ − (1−p)u0(R−c)
pu0(R−D(c)−c) sic=0 (7.66)
Le graphique ci-dessous illustre ce résultat pourc>0. Les courbes d’indifférence ont été tracées dans un système d’axey1(richesse si le risque ne se réalise pas)y2(richesse si le risque se réalise). On suppose qu’en l’absence de toute mesure d’auto-assurance, la richesse de l’individu est (R,R−D(0)−0)=(100,50) (point rouge sur la graphique).
Intéressons nous maintenant à l’évolution de la somme des dommages et du coût de protection,c.-à-d. l’ex- pressionD(c)+c, lorsquecvarie. Dans la plupart des cas, cette fonction est décroissante puis croissante. En effet, sa dérivée s’écritD0(c)+1 et on sait queD0(c)<0 etD00(c)>0. Par conséquent, si les premières dépenses d’auto-assurance font rapidement baisser la valeur des dommages, c.-à-d. siD0(c) est fortement négatif, on aura nécessairementD0(c)+1<0. En revanche, pluscaugmente et moins les suppléments de dépenses sont efficaces ; passé un certain seuil, il y a de fortes chances pour queD0(c) soit si faiblement négatif queD0(c)+1 devient positif.
ReprésentonsD(c)+cdans le graphique précédent. Pour ce faire, on construit un système d’axe inversé (c,D(c)+
c) au point (100,100). Vous vérifierez facilement que tout couple (c,D(c)+c) dans ce système d’axes, s’exprime
—dans le système d’axes(y1,y2) — sous la forme d’un couple (100−c, 100−D(c)−c)14.
La valeur optimale dec(point bleu) correspond au point de tangence entre la fonctionD(c)+cet la plus « élevée » des courbes d’indifférence de l’individu15.
Or, en appliquant le théorème de dérivation des fonctions implicites, on montre facilement que la pente d’une courbe d’indifférence en un point est
d y2
d y1= − (1−p)u0(R−c)
pu0(R−D(c)−c) (7.67)
et que celle de la fonctionD(c)+cest
D0(c)+1 (7.68)
L’optimum (intérieur) correspond donc bien à « l’égalité des pentes »
D0(c)+1= − (1−p)u0(R−c)
pu0(R−D(c)−c) (7.69)
13. Il s’agit d’un maximum puisque la fonction objectif est concave.
14. Et inversement.
15. Qu’on suppose exprimées en termes decetD(c)+c.
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20 40 60 80 100
20 40 60 80 100
y1
y2
D(c)+c c
D(c)+c
b
b
coptimal
D(0)+0100−D(0)−0
Nous allons maintenant introduire la possibilité pour l’individu de s’assurer. Nous allons supposer comme précédemment (voir relation 7.18) que la prime est proportionnelle à la couverture dont le montant, s’il est librement choisi par l’assuré, doit cependant rester inférieur à la valeur des dommages.
P=γq
Dans ces conditions, les possibilités offertes à l’individu sont résumées dans le tableau 7.3.
TABLE7.3 – TABLEAU DES RISQUES
le risque se réalise le risque ne se réalise pas conséquences R−D(c)−c+q−γq R−c−γq
probabilités p (1−p)
Désormais, l’individu est amené à choisir le couple (c,q) qui maximise son utilité. Il résout donc le programme
maxc,q p u(R−D(c)−c+(1−γ)q)+(1−p)u(R−c−γq) (7.70)
sc : c≥0 (7.71)
sc : q≥0 (7.72)
D(c)−q≥0 (7.73)
On écrit le lagrangien
L(.)=p u(R−D(c)−c+(1−γ)q
| {z }
A
)+(1−p)u(R−c−γq
| {z }
B
)+λ(D(c)−q). (7.74)
Le couple optimal vérifie
∂L(.)
∂c = −p(D0(c)+1)u0(A)−(1−p)u0(B)+λD0(c)≤0, c≥0
∂L(.)
∂q = −p(1−γ)u0(A)−(1−p)γu0(B)−λ≤0, q≥0 D(c)−q≥0, λ≥0, (avec cs).
(7.75)
