Physique du solide

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Physique du solide

Prepared by Sam Kinyera OBWOYA

Par Sam Kinyera OBWOYA

Note

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License (abréviation « cc-by »), Version 2.5.

Table des maTières

I. Physique du Solide ________________________________________5 II. Connaissances préalables/ Pré requis __________________________5 III. Temps d’apprentissage Nécessaire ____________________________5 IV. Matériels Requis __________________________________________5 V. Justification du module ____________________________________ 5 VI. Contenu _________________________________________________6 6.1 Vue d’ensemble _________________________________________6 6.2 Aperçu________________________________________________7 6.3 Représentation Graphique ________________________________ 8 VII. Objectif(s) Général (aux) ____________________________________8 VIII. Objectifs Spécifiques liés aux activités d’apprentissage) _____________9 IX. Évaluation Préliminaire _____________________________________11 X. Activités d’enseignement et d’apprentissage _____________________17 XI. Liste Compilée de tous les Concepts Clé ________________________87 XII. Liste Compilée de Lectures Obligatoires _______________________90 XIII. Liste compilée (optionnelle) des ressources multimédias __________92 XIV. Liste Compilée de liens utiles ________________________________93 XV. Résumé du Module _______________________________________114 XVI. Évaluation sommative ____________________________________116 XVII. Références ____________________________________________119 XVIII. Auteur Principal du Module _______________________________120 XIX. Structure du fichier _______________________________________120

Avant-propos

Ce module a quatre sections majeures

La première section est la section Introduction qui est composée de cinq parties : Titre:- Le titre du module est clairement décrit

Connaissances préalables/ Pré requis : Ce module vous fournit des informations sur les connaissances spécifiques préalables et les compétences nécessaires pour com- mencer à étudier ce module. Examiner avec soin les exigences car cela vous aidera à décider si vous avez besoin de faire des révisions ou pas.

Temps d’apprentissage Nécessaire: Cette section vous donne le temps total (en heures) requis pour apprendre le module. Tous les autotests, activités et évaluations sont à faire dans le temps spécifié.

Matériels Requis: Dans cette section, vous trouverez la liste du matériel nécessaire pour étudier le module. Une partie du matériel fait partie de la trousse du cours que vous allez recevoir dans un CD-Rom ou vous pouvez y accéder via l’internet.

Le matériel recommandé, pour mener à bien des expériences, peut être obtenu par votre institution hôte (Institution partenaire de l’AVU) ou vous pouvez l’acquérir, l’emprunter ou par d’autres moyens.

Justification du module: Dans cette section, vous aurez la réponse à vos questions comme ‘’ Pourquoi devrais-je étudier ce module en tant que professeur en apprentis- sage ? En quoi est-ce pertinent pour ma carrière ?’’

La deuxième section est le Contenu qui est composé de trois parties:

Vue d’ensemble: Le contenu de ce module est présenté brièvement. Dans cette sec- tion, vous trouverez une vidéo (Quicktime, .mov) dans laquelle l’auteur du module est interviewé pour faire un résumé du module. Le paragraphe ‘’vue d’ensemble’’ du module est suivi d’un aperçu du contenu incluant le temps approximatif requis pour étudier chaque section. Une organisation graphique de tout le contenu est présentée après l’aperçu. Les trois éléments mentionnés ci-dessus vont vous aider à avoir une idée sur l’organisation du module.

Objectif(s) Général (aux): Des objectifs clairs, informatifs, concis et atteignables sont fournis pour vous donner les connaissances et attitudes qu’on attend de vous pour atteindre ces objectifs au terme de l’étude de ce module.

Objectifs spécifiques liés aux activités d’apprentissage (Objectifs formateurs):

Chacun des objectifs spécifiques, énoncés dans cette section, est au cœur d’une activité d’apprentissage et d’enseignement. Les unités, éléments et thèmes de cette section sont destinés à réaliser les objectifs spécifiques et tout autre type d’évaluation est basé sur les objectifs devant être atteints. Vous êtes invités à prêter un maximum d’attention aux objectifs spécifiques car ils sont essentiels afin d’organiser vos efforts dans l’étude de ce module.

La troisième section constitue le gros du module. C’est la section dans laquelle on passe le plus de temps et elle représente les Activités d’enseignement et d’appren- tissage. L’essentiel des neufs composantes est énuméré ci-dessous:

Évaluation préliminaire: Une série de questions, qui vont évaluer quantitativement votre niveau de préparation par rapport aux objectifs de ce module, est présentée dans cette section. Les questions d’évaluation préliminaire vont vous aider à identifier ce que vous savez et ce que vous devrez savoir, afin que votre niveau de préoccupation augmente et que vous jugiez votre niveau de maitrise. Des réponses clés sont four- nies pour la série de questions et quelques commentaires pédagogiques sont fournis à la fin.

Activités d’enseignement et d’apprentissage: C’est le cœur du module. Vous devrez suivre le guide d’apprentissage dans cette section. Divers types d’activités sont fournis.

Lisez chaque activité. À certains moments, vous n’allez pas nécessairement suivre l’ordre dans lequel les activités sont présentées. Il est important de noter que:

• Les évaluations formatives et sommatives sont menées en profondeur.

• Toutes les lectures obligatoires et ressources sont faites

• Le plus de liens utiles possibles sont visités

• Il est possible de communiquer avec le professeur et de lui faire des sugges- tions Liste Compilée de tous les Concepts clés (glossaire) : Cette section contient des définitions courtes et concises de termes utilisés dans ce module.

Cela vous aidera avec les termes qui ne vous seraient pas familiers dans le module

Liste Compilée de toutes les Lectures obligatoires : Un minimum de trois lectu- res obligatoires vous est fourni dans le module. Il est obligatoire de lire ces docu- ments.

Liste Compilée de toutes les Ressources Multimédias (Optionnelles): Un minimum de deux vidéos et un fichier audio avec un résumé sous forme texte sont fournis dans cette section.

Liste Compilée de tous les Liens utiles: Une liste d’au moins de dix sites web est fourni dans cette section. Cela vous aidera à négocier avec le contenu de manière approfondie.

Synthèse du Module : Le Résumé du module est présenté Évaluation Sommative :

Aimez votre travail sur ce module

i. Physique du solide

Par Sam Kinyera, Université Obwoya Kyambogo, Uganda.

ii Connaissances préalables/ Pré requis

Les pré-requis de base pour ce module sont la physique à l’école que vous avez appris. En particulier, une connaissance des cours suivants est essentielle afin de pouvoir suivre et comprendre le module d’une façon efficace. Un des cours pré-requis est l’électricité et le magnétisme. Le concept de la force et la loi de Coulomb sont essentiels lorsqu’on apprend la structure atomique. Une connaissance préalable de la chaleur et de la thermodynamique est aussi requise afin d’apprendre le module. En particulier, vous avez besoin de réviser la capacité thermique à un volume constant et à une pression constante. En plus, vous aurez besoin de réviser les concepts d’entropie, d’enthalpie et les fonctions thermodynamiques. Comme une exigence générale, vous avez besoin de maîtriser le calcul en mathématiques

iii Temps Nécessaire

Ce module peut être étudié en 120 heures.

iV matériels requis

Le matériel requis pour le module nécessite un accès à un ordinateur, mais encore il est plus important d’avoir accès à Internet. L’internet va fournir beaucoup de références essentielles et de ressources multimédia. Ces ressources multimédia sont impor- tantes car dans certains cas elles servent comme conférencier virtuel et les sources de l’équipement qui peuvent être utilisées pour réaliser des expériences virtuelles.

Cependant, quelques CD-ROM seront aussi disponibles pour compléter l’utilisation de l’internet. D’autres matériels incluent les lectures et les ressources obligatoires qui peuvent être disponibles dans les librairies ou écoles à proximité.

V Justification du module

Ce module est désigné pour fournir une fondation de base en physique aux étudiants.

Cela permettra aux étudiants de pouvoir expliquer les propriétés physiques, thermi- ques, électriques et optiques des corps solides. Le module est structuré de telle façon que l’apprenant puisse faire les activités telles que c’est prescrit. Le module global va fournir à l’étudiant des idées de base sur ce que sont les corps solides en fonction de leur comportement et par conséquent lui permettra d’être capable d’enseigner une grande partie de la physique d’école.

Vi Contenu

6.1 Vue d’ensemble

Ce cours est destiné aux étudiants qui s’inscrivent à un BSc en Éducation et aux di- plômes BEd. La physique du solide forme l’épine dorsale de la physique. Le module a quatre unités : Introduction à la physique du solide ; défauts cristallins et propriétés mécaniques ; propriétés thermiques et électriques ; et la théorie des bandes et les propriétés optiques.

Dans la première unité/activité, introduction à la physique du solide, l’étudiant est censé capable d’expliquer la structure atomique, de décrire les différentes liaisons atomiques telles que les liaisons ioniques et les liaisons covalentes. L’apprentissage va aussi exiger aux étudiants de faire la distinction entre le cristallin et les matières amorphes ; polycristal et les matières amorphes et d’expliquer la production et l’uti- lisation de la diffractométrie des rayons X. Dans la seconde unité, l’étudiant étudiera les défauts cristallins et propriétés mécaniques ; l’apprentissage, exige de l’étudiant qu’il puisse faire la distinction entre les différents types de défauts cristallins : les défauts ponctuels (Lacunes, Atomes Interstitiels et Ponctuels) et les dislocations (vis et coins). Ici, l’étudiant apprend que les défauts ponctuels sont très localisés et sont de tailles atomiques, tandis que la dislocation est un désordre qui s’étend au delà du volume d’un ou deux atomes. Les effets des défauts sur les propriétés mécaniques et électriques de ces défauts font aussi partie de l’apprentissage du module. Dans la troisième unité, les résultats de l’apprentissage contiennent les définitions de la capacité thermique, et les explications de la variation de la capacité thermique avec la température basée sur les modèles classiques d’Einstein et Debye. Les étudiants seront requis d’utiliser la théorie de l’électron libre pour expliquer les hautes conduc- tivités électriques et thermiques des métaux ainsi que d’être capables de démontrer et d’appliquer la loi Wiedermann-Frantz. Finalement, dans l’activité quatre, l’appren- tissage attendu devrait permettre aux étudiants d’utiliser la théorie des bandes pour expliquer les différences entre les conducteurs, semi-conducteurs et isolants, expliquer les différences entre les semi-conducteurs intrinsèques et extrinsèques en relation avec le rôle du dopage. A la fin, les étudiants utilisent les concepts d’interaction des ondes électromagnétiques (lumière) avec les matériaux pour expliquer l’absorption optique, la réflectivité et la transmittance.

6.2 Aperçu

L’aperçu de ce cours consiste en quatre activités: Introduction à la physique du solide

; défauts cristallins et propriétés mécaniques ; propriétés thermiques et électriques ; la théorie des bandes et les propriétés optiques. Les composantes de chaque activité sont listés comme suit

Introduction à la physique du solide (40 heures)

• Révision de la structure atomique Cristalline,

• Polycristal et matières Amorphes.

• Diffractométrie des rayons X, loi de Bragg et applications.

Défauts cristallins et propriétés mécaniques: (20 heures)

• Lacunes, Atomes Interstitiels et Dislocations

• Propriétés mécaniques

Propriétés thermiques et électriques: (40 heures)

• Capacité thermiques: modèle classique,

• Modèle d'Einstein et modèle de Debye

• Conductivité électrique et thermique.

• La théorie de l'électron libre

La théorie des bandes et les propriétés optiques: (20 heures)

• Métaux,

• Semi-conducteurs (intrinsèque and extrinsèque).

• Isolants ;

• Propriétés Optiques

6.3 Représentation Graphique

Vii. Objectif(s) Général (aux)

Après avoir étudier ce module, l’étudiant sera capable de :

• Comprendre le comportement thermique, mécanique, électrique et optique des corps solides d'un point de vue fondamental.

Physique du Solide

A. Introduction à la physique du solide

D.Théorie des bandes et propriétes optiques

C.Propriétés hermiques et Electriques

B. Défauts cristallins et propriétes mécaniques

Capacité Thermique

Modèle classique, modèle d'Einstein et de Debye

Conductivité Electrique et Thermique La théorie de l'électron libre

-- Révision de la structure atomique -- Cristallins, policristallins et solides Amorphes

-- Diffractométrie des rayons X. loi de Bragg et applications.

-- Lacunes, Interstiels et Dislocations -- Propriétés mécaniques Métaux, Semi-conducteurs (intrinséque

et extrinsèque). Isolants

Absorption, Réflectivite, Transmissivité

Viii. Objectifs spécifiques aux activités d’apprentissage

(Objectifs formateurs)

Introduction à la physique du solide (40 heures)

• Révision de la structure atomique Cristalline,

• Polycristal et matières Amorphes.

• Diffractométrie des rayons X, loi de Bragg et applications.

Défauts cristallins et propriétés mécaniques: (20 heures)

• Lacunes, Atomes Interstitiels et Dislocations

• Propriétés mécaniques

Propriétés thermiques et électriques: (40 heures)

• Capacité thermiques: modèle classique,

• Modèle d'Einstein et modèle de Debye

• Conductivité électrique et thermique.

• La théorie de l'électron libre

La théorie des bandes et les propriétés optiques: (20 heures)

• Métaux,

• Semi-conducteurs (intrinsèque and extrinsèque).

• Isolants ;

• Propriétés Optiques

Contenu Objectifs d’apprentissage

Après avoir compléter cette section, vous allez être capable:

1. Introduction à la physique du solide (40 heures)

• Révision de la structure atomique

• Cristal, Polycristal et matières Amor- phes.

• Diffractométrie des rayons X, loi de Bragg et applications.

• Expliquer la structure atomique;

• Décrire les différentes liaisons atomiques;

• Distinguer entre les cristallines, poly cristaux et les matières amorphes et expliquer comment la diffractométrie des rayons X est utilisée

2. Défauts cristallins et propriétés mécaniques: (20 heures)

• Lacunes, Atomes Interstitiels et Disloca- tions,

Propriétés mécaniques

• Expliquer le concept de défaut cristallin

• Relater les défauts cristallins à quelques propriétés mécaniques observées et autres propriétés.

3. Propriétés thermiques et électri- ques (40 heures).

• Capacités thermiques: modèle classi- que,

• Modèle d’Einstein et de Debye

• Conductivité électrique et thermique.

• La théorie de l’électron libre.

• Définir la capacité thermique et expliquer la variation de la capacité thermique avec la température basé sur les modèles classiques d’Einstein et de Debye;

• Utiliser la théorie de l’électron libre pour expliquer les hautes conductivités thermiques et électriques des métaux;

• Démontrer et appliquer la loi Weidermann – Frantz.

4. La théorie des bandes et les propriétés optiques: (20 heures)

• Métaux

• Semi-conducteurs (intrinsèque et extrinsèque).

• Isolants ;

• Absorption optique, la réflectivité et la transmittance

• Décrire la théorie des bandes

• Expliquer la différence entre conducteurs, semi- conducteurs et isolants;

• Expliquer la différence entre les semi-conduc- teurs intrinsèque et extrinsèque – le rôle du dopage. &

• Expliquer, basé sur l’interaction des ondes électromagnétiques) lumière et les matériaux:

- Absorption optique, la réflectivité et la trans- mittance

iX. Évaluation Préliminaire

Êtes-vous prêt pour ce module ?

Titre de l’évaluation préliminaire: Physique du Solide Justification :

L’évaluation préliminaire fournie ici est destinée à déterminer le degré de maîtrise des prérequis du module, physique du solide. Donc, elle sert à motiver les étudiants, à plus les impliquer, et à les rendre plus attentifs dans les expériences d’enseignement et d’apprentissage ; la pré-évaluation aide à identifier plus clairement ce qu’ils savent et ce qu’ils ont besoin de savoir. Les questions fournies sont aussi destinées à évaluer l’étudiant sur ce qu’il sait ou ce qu’il ne sait pas en répondant à ces questions. Ceci va probablement relever le niveau de préoccupation de l’apprenant en signalant ce dont il a besoin d’apprendre.

Questions Auto-évaluation

1. Des sites qui normalement occupés par un atome mais qui sont inoccupés sont appelés

(A) lacunes (B) interstitiels (C) substitutionnel (D) dislocation

2. Une dislocation causée par la germination d’un plan d’atomes au milieu d’un cristal est connue comme

(A) vis (B) coins (C) vecteur de burger (D) vide 3. Dans un espace réseau réciproque, le vecteur a* est donné par

(A)

* 2

( )

a b c

a b c

p ×

= × ×

^(B)

* 2

( )

a a b

a b c

p ×

= × ×

(C) * 2

.( )

a b c

a b c

p ×

= × (D) * 2

.( )

a a c

b a c

p ×

= × .

4 3

2 1

4. Le diagramme ci-dessus représente une partie de 2D en treillis. Lequel des contours ne représente pas une cellule d’unité primitive ?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

5. Pour le réseau cfc avec une base d’un atome quel est le nombre de coordinations ? (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12

6. Un faisceau de rayons X d’une longueur d’onde de 0.25 nm est incident d’un cristal de séparation interplan de 0.30 nm. Calculez l’angle d’incidence pour le premier ordre de diffraction.

(A) 24.6⁰ (B) 36.0⁰ (C) 56.4⁰ (D) 54.8⁰

7. Le constante de réseau d’un réseau cubique est 2.4 nm. Trouver l’espacement de maille pour le plan (122).

(A) 0.8 (B) 0.48 (C) 7.2 (D) 1.25 8. Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?

(A) Les liaisons métalliques ont des caractéristiques non-directionnelles : (B) La liaison métallique consiste en une « mer d’électrons libres » entourant

des ions positifs

(C) Une des caractéristiques qui contribuent aux propriétés d’un solide métallique est d’avoir une surface qui brille

(D) Une liaison métallique est formée par un partage d’électrons qui arrive entre deux atomes ou plus

9. Lequel des énoncés suivants n’est pas un effet de dislocation

(A) La présence de dislocations se traduit par une déformation de réseau (dis- torsion).

(B) La direction et l’intensité d’une telle distorsion sont exprimées en termes de vecteur de Burger, b.

(C) Pour un type coin, b est perpendiculaire à la ligne de dislocation, alors que dans les cas du type vis ils sont parallèles.

(D) Dans les matériaux métalliques, b est aligné avec des directions cristallo- graphiques et son intensité est équivalente à deux espacements interatomi- ques

10. Une force de 160 N agit perpendiculairement à une section transverse avec une surface de 0.002 m². Calculez la constante Young du matériau si la tension produite est 0.004.

(A) 1.28 x 10^-7 (B) 5.0 x 10^-6 (C) 2 x 10⁷ (D) 8.0 x 10

11. Laquelle des propositions suivantes n’est pas impliquée dans la diffractométrie des rayons X à travers un cristal ?

(A) Transition d’électron (B) Plans cristallographiques (C) Interactions Nucléaires (D) Interférence Constructive

12. Un cristal a un réseau primitif avec un espacement entre (100) plans de 0.420 nm. Quelle sera la valeur de l’angle de Bragg pour les 100 réflexions de rayons X de longueur d’onde 0.154 nm.

(A) 5.3⁰ (B) 10.6⁰ (C) 21.2⁰ (D) 42.6⁰ 13. Laquelle des affirmations suivantes est fausse ?

(A) Le niveau de Fermi est le haut de la collecte de niveau d’énergie de électrons à une température de zéro absolu.

(B) Puisque les électrons sont des fermions et par le principe d’exclusion de Pauli, il ne peut exister deux électrons dans des états d’énergies identiques. Donc à zéro absolu, ils s’entassent dans des états d’énergies disponibles les plus bas et construisent une ‘’mer de Fermi’’ d’états d’énergies des électrons (C) Le niveau de Fermi est la surface de cette mer à zéro absolu où les électrons

ont assez d’énergie pour s’élever au dessus de la surface. Donc, le niveau de Fermi est situé dans l’écart des bandes

(D) Dans un conducteur, le niveau de Fermi se trouve dans la bande de conduc- tion, telle que la bande soit seulement remplie à moitié avec des électrons.

Dans ce cas, seulement une petite quantité d’énergie est nécessaire pour que les électrons trouvent d’autres états non-occupés pour s’y emmagasiner et permettre ainsi le passage du courant.

14. Dans les gaz diatomiques, la présence de degrés internes de liberté est apparente c’est à dire, en plus des trois degrés de liberté de translation, il y a des degrés de liberté de rotation et de vibration.

(i) Il y a un total de trois degrés de rotation de liberté, un correspondant à la rotation sur chacun des axes d’un espace à trois-dimensions

(ii) Seulement deux degrés de liberté de rotation pour des molécules linéaires sont considérés en pratique parce que le moment d’inertie autour de l’axe internucléaire est extrèmement petit par rapport aux autres moments d’inertie dans la molécule

(iii) En mécanique quantique, l’intervalle entre des énergies successives de ro- tation, est directement proportionnel au moment d’inertie autour des axes 15. Laquelle des affirmations suivantes est fausse ?

(A) La conductivité électrique est plus ou moins fortement dépendante de la température.

(B) Dans les métaux, la conductivité électrique diminue quand la température augmente.

(C) Dans les semi-conducteurs, la conductivité électrique augmente avec la température...

(D) Sur une large gamme de température, la valeur approchée de la conductivité électrique est directement proportionnelle à la température.

16. Laquelle des expressions suivantes est correcte ?

(A) _V

V

C S

T

⎛ ∂ ⎞

= ⎜⎝∂ ⎟⎠ (B) C =_V

V

T Q T

⎛δ ⎞

⎜ ∂ ⎟

⎝ ⎠

(C) _P

P

C H

T

⎛∂ ⎞

= ⎜⎝ ∂ ⎟⎠ (D) _P

P

C S

T

⎛ ∂ ⎞

= ⎜⎝∂ ⎟⎠

où

C et V C sont les capacités thermiques à volume constant et à pression constante _P respectivement...

δQ

est la quantité infinitésimale de chaleur ajoutée, dT est l’augmentation subséquente de la température.

∂ U est le changement dans l’énergie interne.

∂ H est le changement dans l’enthalpie.

17. Laquelle des caractéristiques suivantes est fausse pour des matériaux ?

(A) Dans les solides cristallins, les atomes interagissent avec leurs voisins, et les niveaux d’énergie des

électrons dans des atomes isolés se transforment en bandes.

(B) Les électrons dans un corps solide remplissent les bandes d’énergie jusqu’à un certain niveau, appelé énergie de Fermi.

(C) Les bandes qui sont complètement remplies d’électrons peuvent conduire l’électricité, parce qu’il n’y a pas d’état d’énergie proche sur lequel les électrons peuvent aller dessus.

Cependant dans certains cas, la théorie des bandes se brise et les matériaux prédits pour être des conducteurs par cette théorie se révèlent être des isolants. Les isolants de Mott et les isolants de transfert de charge sont deux catégories d’isolants.

18. Laquelle des affirmations suivantes est fausse ?

(A) La conductivité thermique d’un matériau dépend de sa structure.

(B) La conductivité thermique d’un matériau dépend de la température.

(C) Des substances cristallines pures présentent des conductivités thermiques très variables autour des axes différents de cristal, dues aux différences de couplages de phonon au long d’une dimension du cristal.

(D) L’air et d’autres gaz sont généralement de bons isolants même en présence de convection.

Réponses clés : 1. A 2. B 3. C 4. D 5. D 6. A 7. A 8. B 9. D 10. C 11. C 12. B 13. C 14. D 15. D 16. C 17. C 18. D

Commentaires Pédagogiques pour les apprenants

Vous n’avez pas besoin de désespérer en cas de mauvais résultats dans la pré-éva- luation. Ce que le résultat de l’évaluation préliminaire vous dit est que vous avez besoin de travailler et de se concentrer davantage pendant l’étude et l’apprentissage du module. Comme vous le remarquez, la plupart des questions contiennent des sujets qui ne sont normalement pas traités à l’école.

Au début de ce module, vous apprendrez tout sur les structures atomiques qui de- vraient fournir une base pour l’étude de ce module. Cela vous permet de comprendre au finish les lignes de symétrie, les indices de Miller, qui sont utilisés pour l’iden- tification des avions, la loi de Bragg et enfin la construction de la sphère d’Ewald qui aide à déterminer les avions responsables de la diffractométrie des rayons X. Il est conseillé à l’étudiant Un étudiant est conseillé de faire les activités dans l’ordre chronologique préétabli. Pour tout ce qui exige la maîtrise des connaissances préa- lables, il est conseillé à l’étudiant de commencer par les thèmes d’électricité et de magnétisme avant de poursuivre.

Un certain nombre de références sont mentionnées dans les activités. Un étudiant a besoin d’avoir accès à ces références. La plupart d’entre elles sont en ligne. Si un étudiant n’a pas un accès permanent à Internet, l’étudiant est conseillé de téléchar- ger ces documents et de garder des copies papier. Un certain nombre de ressources multimédias sont également inclues. Elles sont très utiles car elles agissent en tant que conférenciers virtuels ou les sources de laboratoire virtuel. Les étudiants sont encouragés à utiliser ces ressources multimédias tout le temps

X. activités d’enseignement et d’apprentissage

Activité 1: Introduction à la physique de l’état solide

Vous aurez besoin de 40 heures pour faire cette activité. Assurez-vous que vous allez parcourir les activités systématiquement. Dans certains cas, vous aurez besoin de lire les cours et les pré-requis avant d’entamer le module

Objectifs spécifiques d’enseignement et d’apprentissage:

Au terme du module, l’étudiant doit être capable de :

• Expliquer la structure atomique

• Décrire les diverses liaisons atomiques

• Distinguer les cristallins des solides amorphes ; cristallins, polycristallins et solides amorphes et expliquer l'occurrence et l'utilisation de la diffractométrie des rayons X

Résumé de l’Activité d’Apprentissage

Les résultats de l’apprentissage incluent de savoir qu’un atome est composé de trois types de particules: électrons, protons et neutrons et que la constante d’Avogadro est la quantité qui contient 6.02 x 10²³ de particules par mole. L’apprentissage et la discussion aussi incluent les similarités et différences des quatre types de liaisons.

Cette activité inclut aussi l’apprentissage sur les structures de cristal, des polycristaux et des solides amorphes dont l’identification des plans utilisant les indices de Miller forme une partie majeure. Dans la suite du module vous aurez des explications sur, les calculs de densité, la démonstration de la loi de Bragg et l’utilisation ultérieure de la construction de la sphère d’Ewald afin de déterminer les plans responsables de la diffractométrie des rayons X.

Liste des lectures pertinentes Lecture 1: Structure Cristalline.

Référence Compléte: From Wikipedia.

URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_structure Consultée le 20 Avril 2007

Résumé: Ce matériel de lecture décrit brièvement l’unité cellule, la classification des cristaux par symétrie, propriétés physiques des cristaux et des liens sont donnés à différents sites dans Wikipedia et autres sites.

Justification: Ce matériel de lecture fournit des discussions élaborées sur les contenus de la première activité du module.

Lecture 2: Structure Cristalline.

Référence Compléte: From University of Exeter

URL : http://newton.ex.ac.uk/teaching/resources/rjh/phy2009/

Consultée le 20 Avril 2007

Résumé: Dans cet article, la structure cristalline est décrite avec des diagrammes bien illustrés. Les exercices dans l’article aident le lecteur à consolider les sujets appris.

Justification: L’article donne une autre façon de regarder les structures cristallines. En outre les tests d’échantillon et des exercices donnés à la fin, fournissent une bonne occasion d’utiliser les théories et les principes décrits à partir de perspectives différentes.

Liste de Ressources Multimédias Pertinentes

Ressource #1

Titre: The crystal structure of Cu-Zn brass

URL: http://video.google.com/videoplay?docid=5897475989157955721&q=cry stal+structure&hl=en

Description: Illustrations et explications sont fournies, Date de Consultation : 20/05/2007

Ressource #2

Titre: Great Ball of Glass

URL: http://video.google.com/videoplay?docid=2134572208219565504&q=po lycrystalline+solid&hl=en

Description: C’est une bonne ressource d’apprentissage.

Date de Consultation : 20/05/2007 Ressource #3

Titre: Two Dimensional Lattice: Real and Reciprocal

URL: http://solidstate.physics.sunysb.edu/teach/intlearn/lattice/lattice.html Description: Les sites fournissent d’excellents matériels d’apprentissage Date de consultation: 16/11/2007

Ressource #4

Titre: Exploring materials engineering

URL: http://www.engr.sjsu.edu/WofMatE/Structure.htm

Description: On a des matériaux d’apprentissage et d’animation sur la structure atomique: RCC, CFC.

Date de consultation : 19/11/2007.

Liste des Liens Utiles Pertinents

Liens Utiles #1: Wikipedia Titre: Crystal Structure

URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_structure, Capture d’écran:

Description: La structure cristalline d’un matériau est souvent discutée en termes de maille élémentaire. La maille élémentaire est un arrangement spatial d’atomes qui est tuilé dans un espace tridimensionnel pour décrire le cristal.

La maille élémentaire est donnée par ses paramètres de réseau, la longueur des mailles de coin et les angles entre eux, tandis que les positions de l’atome à l’intérieur de la maille élémentaire sont décrites par l’ensemble des positions atomiques (x, y, z) mesure d’un point de réseau. La page Wikipedia a une bonne description de ceci telle que montré sur la capture d’écran

Date de consultation : 29/11/2006:

Liens Utiles #2

Titre: Atomic Structure

URL: http://web.jjay.cuny.edu/~acarpi/NSC/3-atoms.htm Capture d’écran:

Description: Ce site est un voyage à travers les merveilles des sciences naturelles.

En utilisant l’animation et l’interaction afin d’améliorer l’expérience, le site permet à l’usager d’explorer des concepts en science basique incluant la méthode scien- tifique, la nature de la matière, la structure atomique, la liaison chimique, ADN, l’astronomie, structure cellulaire et bien plus. Ce site a été organisé pour NSC107:

‘’An Introduction to Science in Society at John Jay College of the City University of New York’’, cependant les leçons sont conçues pour l’usage général et tous les visiteurs sont les bienvenus. Utilisez la barre du menu à gauche afin de naviguer à travers le contenu du cours.

Svp emailez-les commentaire et suggestions afin d’aider à améliorer le site.

Justification: le site fournit du matériel d’apprentissage utile pour le cours.

Description Détaillée de l’Activité (Principaux Éléments Théoriques)

Dans cette section, un mélange de la théorie, des instructions de ce que l’apprenant devrait faire tout en étudiant le module sont prescrites. L’apprenant est conseillé d’étudier pleinement chaque section du module avant de passer à la prochaine sec- tion ou activité. Pour chaque section, il est conseillé à l’apprenant de consulter les références recommandées. Ceci est important parce que les instructions et activités décrites le sont dans des formes brèves.

Activité 1.1: Structure Atomique

Dans cette activité, vous allez expliquer la structure atomique. Afin de faire cela, vous aurez besoin de connaissances préalables de la physique de l’école.

A l’école, vous avez appris que les atomes sont des particules d’éléments, ou des substances qui ne peuvent pas être décomposées à nouveau. Mais, en examinant la structure atomique, on doit clarifier cette affirmation. U atome ne peut pas être brisé à nouveau sans changer la nature chimique de la substance. Par exemple, si vous avez 1 kilogramme, 1 gramme ou 1 atome de nitrogène, toutes ces unités ont la même propriété. On peut dire que l’atome de nitrogène est composé d’une combinaison de trois types de particules : électrons, protons, et neutrons.

(i) Utilisez les références fournies dans les ressources multimédias et

• Prendre quelques notes de cours détaillant les différentes propriétés de ces trois particules.

• Décrire comment l’existence de molécules/atomes peut être démontrée par l’expérience du mouvement Brownien. Utilisez les références fournies pour faire cela

Activite1.1.1 La constante d’Avogadro, la mole

(a) Prendre quelques notes de cours sur les masses moléculaires et atomiques et décrire comment elles sont mesurées.

(b) Souligner le fait que sur une balance, la masse atomique du carbone-12 est prise comme exactement égale à 12, celle de l’hydrogène 1.008 et celle de l’oxygène 16.

Vous devrez être capable de tirer une conclusion que:

• En général 1g d’hydrogène contient le même nombre d’atomes que 12g de carbone. La masse atomique de tout élément exprimée en grammes, contient le même nombre d’atomes que 12g d’atomes. Ce nombre par définition est donc une constante. C’est la constante d’Avogadro. Sa valeur est 6.02

1023

×

• Une quantité qui contient 6.02 × 10 de particules est la mole. On peut ²³

avoir une mole d’atomes, une mole de molécules, une mole d’ions, une mole d’électrons ; toutes contiennent 6.02 × 10²³ particules. Donc la constante d’Avogadro

N

^{A = 6.02×1023} particules par mole.

Activité 1.1.2

Utilisons un atome d’oxygène comme exemple pour illustrer quelques propriétés. Un atome d’oxygène a 8 électrons, 8 protons et 8 neutrons. Ceci implique que l’oxygène a un total de 8 charges négatives portées par 8 électrons; 8 charges positives portées par 8 protons. Les Neutrons ne portent aucune charge électrique.

Activité 1.1.3

Répétez le même exercice avec d’autres atomes jusqu’à ce que vous vous sentiez assez confiant.

Activité 1.2: Liaisons Atomiques

Utiliser les références fournies et tout autre auxquelles vous aurez accès pour effectuer les activités suivantes.

(i) Expliquer comment les atomes sont maintenus ensembles par des forces d’attraction

(ii) Rédiger des notes de cours incluant les différents types de liaisons: liaisons ioniques, liaisons covalentes, liaisons métalliques et les liaisons Van der Waals. Une illustration d’une liaison covalente est donnée comme suit.

Dans la liaison covalente, les partages d’électrons arrivent entre deux ou plus d’atomes.

Par exemple, chaque atome de carbone (C), (Fig. 1.1) a quatre électrons externes, qui peuvent tous être partagés avec quatre autre atomes de carbone pour faire quatre liaisons, chacune formée de deux nuages d’électrons qui s’accrochent

C

Liaison covalente

Figure 1.1: Atome de carbone avec quatre liaisons

Vous devez noter que les liaisons covalentes sont aussi fortes et que beaucoup de composés ont des propriétés mécaniques similaires à celles des composés ioniques.

Contrairement, aux liaisons ioniques, elles ne conduisent pas l’électricité quand les composés qui les contiennent sont fondus.

(iii) Montrez que la force électrostatique entre deux charges ponctuelles distantes l’une de l’autre de r est donnée par Eq. 1.1

2 2

4

0

F q pε r

=

( ) 1.1

(Conseil: Utilisez la loi de Coulomb).

(iv) Montrez que le travail effectué pendant que les ions sont situés à une distance variant de r à l’infini est donnée par Eq. 1.2

2

4 0 r

U F dr q pε r

∞

=

∫

=

( ) 1.2

(v) Dans vos notes, comparez chaque type de liaisons entre elles.

Activité 1.3 Cristallin, polycristallin et solides amorphes Activité 1.3.1: Solides Cristallins

(a) Utilisez les références et notez les définitions du cristallin, polycristallin et les solides amorphes

(b) Donnez des exemples de chaque type faisant partie de vos notes

Activité 1.3.2: Crystal Arrière-plan

En cristallographie, une structure cristalline est un arrangement unique d’atomes dans un cristal. Une structure cristalline est composée de maille élémentaire, un en- semble d’atomes arrangé d’une façon particulière; qui est périodiquement dans trois dimensions sur un réseau. L’espacement entre les mailles simples dans des directions variées est appelé paramètres de réseaux. Les propriétés de symétrie du cristal sont incarnées dans cet espace groupe. La structure d’un cristal et la symétrie jouent un rôle en déterminant beaucoup de ses propriétés, telles que le clivage, la structure de bande électronique et les propriétés optiques.

(a) Afin de comprendre certains de ces concepts, vous devez savoir par exemple la signification du réseau

(b) Un réseau est une géométrie simplifiée d’un cristal dans lequel les atomes sont balayés laissant seulement un squelette des points mathématiques par lesquels chaque point remplace n’importe quoi de un à plusieurs centaines d’atomes à l’état initial. Chaque groupe de ces atomes est appelé la base.

(c) Dans deux dimensions, il y a seulement cinq réseaux: monoclinique, cubique, orthorhombique, tétragonale, hexagonale. Ils sont généralement connus comme le Réseau de Bravais.

(d) Considérez un exemple donné dans la Fig. 1.2 comment un réseau est construit à partir d’une structure cristalline

An obliqu e lattice obtained

from th e cry stal stru cture . Eac h poin t on the lattice

represe nts a pair of atoms in the stru cture

A crys tal stru cture consi sting of large and sm all atom s

Figure 1.2: Un réseau construit à partir d’une structure cristalline

Notez que les points de réseau dessiné doivent se conformer à

• Un motif infini de points

• Tous les points ayant le même entourage dans la même direction.

(e) La différence fondamentale entre le monocristal, les polycristallins et les matières amorphes est l’échelle de longueur sur laquelle les atomes sont liés les uns aux autres par la symétrie de translation (périodicité ou ordre à longue distance). Les monocristaux ont une périodicité infinie, les polycristaux ont une périodicité locale, et les solides amorphes (et liquides) n’ont aucun ordre à longue portée.

• Un monocristal idéal a une structure atomique qui se répète périodiquement à travers son volume entier. Même à des échelles de longueur infinie, cha- que atome est lié à chaque autre atome équivalent dans la structure par la symétrie de translation.

• Un solide polycristallin ou polycristal est composé de nombreux grains in- dividuels ou cristallites. Chaque grain peut être considéré comme un cristal unique, dans lequel la structure atomique a un ordre à longue portée. Dans un solide polycristallin isotrope, il n’y a pas de relation entre les grains voisins. Par conséquent, sur une grande échelle de longueur suffisante, il n’y a pas de périodicité pour un échantillon polycristallin.

Les matériaux amorphes, comme le verre à vitre, ont un ordre à courte portée, ils n’ont donc aucune symétrie de translation.

Exemple.

Pour identifier les nombres d’atomes à chaque point qui peut être construit d’une structure cristalline donnée par Fig. 1.3.

Figure 1.3: Structure cristalline

• Le réseau de cette structure cristalline est le réseau orthorhombique, ayant deux atomes par point de réseau

Activité 1.3.3: Maille élémentaire, et maille primitive

(a) (i) Utilisez les références (Steadman R, 1982, Crystallography, Van Nos- trand

Reinhold (UK) Co. Ltd, Norfolk ), ou toute autre référence et définir une maille élémentaire et une maille primitive. Notez la différence entre les deux.

(ii) Une maille élémentaire est définie par six éléments ou paramètres : a, b, c les longueurs des coins de la maille (pris comme des axes) ;

α,β,

^et

γ

, les angles entre les directions axiales telles que montrées dans la Fig. 1.4.

c

b a

β

γ

α

Figure 1.4: Les six éléments d’une maille élémentaire

(b) Exemple de mailles simples données dans la Fig.1.5 construites à partir d’un réseau donné.

Figure 1.5: Exemple de mailles simples données construites à partir d’un réseau donné.

(c) Suivez les instructions ci-dessous et construisez une maille de Wigner-Seitz qui est un exemple d’une maille primitive. Voir Fig. 1.6.

1. Dessinez des lignes pour connecter un point donné du réseau à tous les points du réseau à proximité.

2. Dessinez des nouvelles lignes ou plans au point du milieu et normales à ces lignes. Le plus petit volume clôturé de cette façon est la maille primitive de Wigner-Seitz.

Figure 1.6: Construction d’une maille primitive de Wigner-Seitz

(d) Lisez tout ce qui concerne ce sujet http://newton.ex.ac.uk/teaching/resour- ces/rjh/phy2009/

Activité 1.3.4: Systèmes cristallins; Réseaux tridimensionnels

(a) Le réseau tridimensionnel est d’abord compris en reconnaissant les sept systèmes d’axes qui donnent sept mailles simples appelées systèmes cris- tallins. Il y a des axes donnés ci-dessus sous les mailles élémentaires. Les intensités des des vecteurs a, b, et c sont a, b, et c respectivement. Ce sont les paramètres d’une maille élémentaire.

(b) Utilisez les références (http://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_structure,) et décrivez les systèmes cristallins (réseaux): triclinique, monoclinique, ortho- rhombique, tétragone, rhomboédrique, hexagonal et cubique en termes de paramètres de réseaux, a, b, c et ; , ,α β γ , les angles entre les directions axiales.

Activité 1.3.5: Classification des cristaux par symétrie

La propriété qui définit un cristal est sa symétrie inhérente, on entend par là que sous certaines opérations, le cristal demeure inchangé quand il est vu sous un certain angle.

Par exemple, tourner le cristal de 190 degrés autour d’une certain axe peut donner une configuration atomique identique à la configuration initiale. Le cristal est alors dit avoir une double symétrie de rotation autour de cet axe. En plus des symétries de rotation de ce genre, un cristal peut avoir des symétries sous la forme de plans de réflexion et les symé- tries de translation, et aussi celles appelées symétries composés qui sont une combinaison de translation et de rotation / miroir symétries. Un classement complet d’un cristal est obtenu lorsque l’ensemble de ces symétries inhérentes du cristal sont identifiées.

Lire ce sujet et résoudre le plus de problèmes possibles. Utiliser les références fournies.

Déterminer le nombre de symétries rotationnelles pour des réseaux rectangulaires, circulaires, équilatérales et hexagonales.

(a) Quand un réseau carré montré dans la Fig. 1.7 est en rotation autour d’un axe à travers son centre. Il va apparaitre exactement quatre fois après être tourné sur 360⁰. Donc, un réseau carré a une symétrie rotationnelle à a quatre plis. A chaque pli, le réseau est tourné de 90⁰ ou / 2p

Figure 1.7: un réseau carré

(i) Notez que les symétries de rotation possibles sont au nombre de : un, deux, trois et 6 ordres de rotation de l’axe qui transporte les réseaux sur eux-mê- mes correspondant à 2 /1p ,

2 / 2, 2 / 3, 2 / 4, 2 / 6 p p p p

. Reconnaissez ces valeurs dans les réseaux donnés dans l’activité 1.3.5 (a) ci-dessous.

LISEZ PLUS SUR CE SUJET!! (Blakemore J.S. 1974, Solid State Physics 2^nd ed., Cambridge University Press, Cambridge).

(c) Lisez et prenez des notes sur les réseaux de Bravais (Utilisez Introduction to solid state physics by C Kittel, Introduction to Solid State Physics, 5th Ed., New York:Wiley, 1976, including the websites; http://pages.physics.

cornell.edu/sss/bravais/bravais.html : (Simulation de réseaux de bravais

Row A

Row B

Exemples de système cubique

Il y a trois réseaux dans le système cubique : le réseau cubique primitif (cp ); le ré- seau cubique centré (rcc) ; le réseau cubique à faces centrées. Ceux-ci sont montrés dans la Fig. 1.8

Figure 1.8: Les trois réseaux dans le système cubique

(ii) Vérifier d’autres références pour comparaison (Vous pouvez avoir ceci dans n’importe laquelle des références)

Activité 1.3.6: Lignes de symétrie

Une expression générale pour une rotation permise dans un réseau périodique est obtenue comme suit

Considérez un réseau de paramètres réseaux tels que montré dans la Fig. 1.9.

.

Figure 1.9: Rotation dans un réseau périodique permis.

Au long de la rangée A, les atomes 1 et m sont séparés par ce réseau. Une rotation autour de l’atome 2 déplace l’atome 1 à la position initialement occupée par un cer- tain atome

1

^I . Similairement, une rotation dans le sens horaire de m autour de m-1 déplace m à

m

^{I. 1I et} m sont sur la rangée B. Leur séparation X est un multiple ^I de a si α est une rotation permise.

Soit X = pa p est une inconnue.

La différence entre les nombres entiers m et p peut être décrite en fonction de α comme

1 2 (m-3)a m-1 m

α

α

a a

1

^{I X}

m

^I

( ³ ) ^{2 cos}

X = pa = m − a + a α cos 3

2 α + − p m

⇔ =

( )

^1.3

Les solutions montrent que des efforts de remplir la surface avec des polygones réguliers de n’importe quelle symétrie de rotation mènent soit à des espaces qui se chevauchent ou gaspillés

Solution de l’équation 1.3

Si m et p sont des nombres entiers, il y a seulement 5 solutions de l’équation telle que la table 1.1 le montre

Table 1.1 : Solutions de l’équation 1.3.

p-m

Cos

_α

_α

Ordre de rotation

-1 1 0 ordre 1

-2 ½ p/3 ordre 6

-3 0 p/2 ordre 4

-4 -1/2 2p/3 ordre 3

-5 -1 p ordre 2

(iii) Vérifiez que l’information dans cette table est correcte.

Activité 1.3.7: Systèmes d’indice pour les plans de cristal (Indices de Miller) Dans cette activité, vous allez apprendre à définir les positions, directions et plans des cristaux : comment les structures sont formées et les deux types distincts.

(a) Positions et directions

(i). La position de tout réseau est donnée par r = ua + vb + wc, où u, v, et w sont des nombres entiers

(ii) La position de tout point en général est r = ua + vb + wc, mais au cas où u, v, et w n’ont pas besoin d’être des nombres entiers

(iv) Les directions sont aussi définies en fonction de r, à partir de l’origine. La direction est notée comme [uvw].

(b) Pour illustrer les deux concepts : la position au centre d’un rcc a des coordonnées fractionnelles (½,½,½) tandis que la direction de ce point à partir de l’origine est [½½½]

(c) Indices de Miller

Les indices de Miller sont utiles pour définir les ensembles de plans dans les cris- taux. Il est utile de spécifier l’orientation d’un plan par des indices déterminés par les règles suivantes :

(i) Trouvez les intersections sur les axes en fonction des paramètres de réseaux, a, b, et c. Dans le cas d’un réseau cubique, a = b =c. Soientt ces intersec- tions 3a, 2b, 3c, Fig. 1.10

2b 3a

3c

Figure 1.10 : Plan utilisé pour calculer les indices de Miller (ii) Prenez les inverses des ces nombres

(iii) Réduire les inverses des trois nombres entiers ayant le même ratio, norma- lement le plus petit des nombres entiers h, k, l. Ceci est fait en multipliant les inverses avec leur LCM.

(IV) Joindre les trois nombres entiers dans des parenthèses comme (hkl). Il ne devrait pas y avoir de virgules entre les indices. (hkl) est appelé l’index du plan ou les indices de Miller pour le plan.

Illustration des procédures ci-dessus:

1. Les valeurs d’intersections sur les axes x-, y-, et z sont 3a, 2b et 3c respective- ment.

2. Les inverses de ces intersections sont

1 1 1 1 1 1

, , , ,

3 a b c 2 3 = 3 2 3

puisque a, b,et c sont des unités de vecteur au long des axes respectifs.

3. Réduire les inverses, par exemple en se multipliant à travers LCM. Dans ce cas, le LCM est 6. Les inverses se réduisent à 2,3,2 respectivement.

4. Les indices de Miller pour un plan est donc (232).

Si un plan coupe un axe sur le côté négatif de l’origine, l’indice correspondant est négatif et est indiqué par un signe «moins» écrit sous forme de barres, par exemple

( hkl )

_{. L’indice} k est interprété comme k barré.

• Notez que dans le cas d’un réseau cubique, toutes les faces semblent identi- ques. Pour cette question, les plans sont équivalents par symétrie. Les plans équivalents par symétrie sont notés par des parenthèses fermées autour des indices.

LISEZ PLUS SUR CE SUJET ET PRENEZ DES NOTES. (Steadman R, 1982, Crystallography, Van Nostrand Reinhold (UK) Co. Ltd, Norfolk)

Exemple

Pour un réseau cubique, un plan avec des indices de Miller

( )

123 est donné tel que suit.

z

x

y plane

( )

¹²³

Figure 1.11: Croquis d’un plan dans un réseau cubique

• Notez que le choix de l’origine est important quand on fait le croquis d’un plan. Dans l’exemple dans la Fig. 1.11, l’origine est au coin droit le plus élevé. Notez aussi la façon dont les coins sont sous-divisés selon les indices correspondants avant de faire le croquis du plan.

(d) Structure empaquetée simple

Dans n’importe quelle matrice empaquetée de sphères, chaque sphère (représentant un atome) a 6 voisins pour un solide monoatomique considéré comme incompressible.

De tels plans dans une symétrie hexagonale peut être empilée pour faire un solide compacte de deux façons simples. Dans les deux arrangements, chaque atome a 12 voisins les plus proches, six dans son plan, trois dans le plan au-dessus et trois dans le plan en-dessous, Voir Fig. 1.12

Séquence d’empilement

Figure 1.12: Séquence d’empilement dans une structure simple empaquetée

Les Sphères sont disposées en une couche simple empaquetée A en plaçant chaque sphère en contact avec les six autres. Cette couche peut servir soit le plan de la base d’une structure hcp ou le (111) plan de la structure cfc. Une deuxième couche identique de sphères peut être placée sur le dessus de la présente, au-dessus et parallèle au plan du dessin avec les centres sur les points marqués B. Il y a deux choix pour une troisième couche. Il peut aller au dessus de A ou au dessus de C. Si ça va au dessus de A, la séquence est ABABAB....et la structure est hexagonale et empaquetée. Si la troisième couche va au dessus de C, la séquence est ABCABCABC...et la structure est cubique à face centrée.

* Pour apprécier ce qui a été décrit sur la séquence d’empilement, prenez des billes ou des modèles sphériques et essayer de les arranger tel que c’est décrit

Activité 1.3.8: Taux de remplissage (Compacité)

Dans cette activité, vous serez capable de calculer le taux de remplissage/compacité de différents cristaux

(a) Lire la théorie et l’exemple fourni concernant le taux de remplissage (com- pacité). Utiliser d’autres références pour suppléer ce qui est fourni ci-des- sus.

(b) Le taux de remplissage est défini comme la proportion maximum du volume disponible qui peut être rempli avec des sphères dures.

(c) Écrivez l’expression mathématique pour une affirmation dans (b).

(d) Un exemple sur comment calculer le taux de remplissage. Considérez un réseau cubique simple (cs) montré dans la Fig. 1.13.

Afin de déterminer le taux de remplissage, on doit d’abord trouver le nombre de points de réseau dans une cellule donnée.

(i) Le point de réseau dans ce cas se réfère à un nombre complet d’atomes qu’une maille élémentaire contient.

(ii) Dans un cs, les atomes sont en contact les uns avec les autres au long des coins de la cellule telle que vu dans Fig. 1.13.

Module Development Template 28

a

a

(ii) In a sc, the atoms are in contact with one another only along the edges of the cell as shown in Fig. 1.13.

Figure 1.13: A simple cubic lattice showing relative positions of atoms on one face.

(iii) All the atoms are at the corners of the cubic lattice.

(iv) Each atom at the corner is shared by 8 cells. Thus, each atom contributes

th 8

1

of it to a unit cell. Since there are 8 atoms at the corners;

The lattice points in sc =

8

1

x 8 = 1.

This means that a unit cell in sc system has one atom to itself.

Thus, volume, V, occupied by this atom is,

3

4 3 4 ,

3 3 2

V =

r =

^{ }  a 2

r = a

(radius of atom in terms of lattice parameter)

( ) ^{( )}

³

3

volume occupied by lattice points Packing fraction =

Volume occupied by unit cell

4 3 2 52%

6

a

a

 

 

= = =

 

 

This means that 48% of the volume of a sc is empty, while 52% is filled with atoms.

Activity 1.3.10: Diffraction and reflection of X-rays

(a) In this activity we look at elastic scattering of waves in periodic structures. This includes the simple derivation of Bragg’s conditions. See reference for animation of crystal diffraction. http://www2.wwnorton.com/college/chemistry/gilbert/tutorials/ch10.htm

(b) When a beam of parallel X-rays of wavelength,
is incident on planes of crytals as shown in Fig. 1.14, the reflection of x-rays by planes in a crystal can be shown to take place only when

2d

_{( )hkl}

sin = n
, n = 1,2,3…. 1.4 ( )

Figure 1.13: Un réseau cubique simple montrant les positions relatifs d’un atome sur une face.

(iii) Tous les atomes sont à des coins d’un réseau cubique.

(iv) Chaque atome au coin est partagé par 8 cellules. Donc, chaque atome contribue 1/8^ème de soi-même dans la maille élémentaire. Puisqu’il y a 8 atomes aux coins;

Les points de réseau dans cs = 8

1 x 8 = 1.

Ceci veut dire qu’une maille élémentaire dans le système cs a un atome à elle-même.

Donc, le volume, V, occupé par l’atome est,

3

4

3

4

3 3 2 ,

V = p r = p ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ a

⎝ ⎠

²

r = a (rayon de l’atome en termes de paramètre de réseau)

Ceci veut dire que 48% du volume d’un cs sont vides, tandis que 52% sont remplis d’atomes

Activité 1.3.10: Diffractométrie et réflexion des rayons X

(a) Dans cette activité, on regarde la diffusion élastique des ondes dans des structures périodiques. Ceci inclut la simple dérivation des conditions de Bragg. Voir Référence pour l’animation de la diffraction du cristal.

http://www2.wwnorton.com/college/chemistry/gilbert/tutorials/ch10.htm

(b) Quand un faisceau de rayons X parallèle de longueur d’onde,

λ

est incident sur des plans de cristaux tels que montré dans la Fig. 1.14, la réflexion des rayons X par plans dans un cristal peut être démontrée seulement lorsque.

2d

_{( )hkl}

sinθ = nλ

, n = 1,2,3….

( ) 1.4

L’équation

( ) 1.4

est connue pour la loi de Bragg. d est l’espacement entre les plans dans le cristal. En général, la réflexion de Bragg peut seulement arriver quand la lon- gueur d’onde λ ≤2d. Ceci explique pourquoi la lumière visible n’est pas utilisée.

La lumière visible a des longueurs d’onde plus longues.

Crys tal planes Reflected beam

Inciden t beam

θ

d

Figure 1.14: Réflexion des Rayons X de plans de cristal.

Un ensemble de couches d’un cristal reflète seulement a un certain angle et l’angle θ , l’angle entre le faisceau et les plans augmente tandis que l’espacement baisse.

θ l’angle d’incidence.

(c) Dans des livres avancés, on peut montrer que la séparation planale, , d, pa- ramètre de réseau, a, et les indices de Miller (hkl) ont une relation donnée par Eq. 1.4.

2 2 2

hkl

d a

h k l

= + +

( ) 1.4

Si une maille élémentaire cubique a une paramètre de réseau a = 1.20 nm, donc

d221=0.4nm, d₂₂₄ =0.2nm.

(d) Montrez que les valeurs ci-dessus de, d, dans 1.3.10(c) sont correctes.

La preuve de la loi de Bragg

Reflected x-rays Inciden t x-rays

θ

d hkl

Z Y

X

Figure 1.15: Rayons X réfléchis de plans de cristal

Dans la Fig. 1.15, la différence générale du chemin = 2x, ou x = XY = YZ

Mais sin x sin

d x d

θ = ⇒ = θ La différence de chemin est donc =

2d

_{( )hkl}

sinθ

^. L’interférence constructive arrive quand la différence de chemin est égale à l’intégrale multiple de λ quand

2d

_{( )hkl}

sinθ = nλ

. n = 1,2 3...

Exemple

Montrez que la séparation interplanétaire, d, le paramètre de réseau, a et les indices de Miller h, k, l sont donnés par

d = a

h

²

+ k

²

+ l

²

Solution

Figure 1.16 : Plan utilisé par dérivation de l’expression de la séparation inter planaire

Utilisons Fig. 1.16 afin de dériver l’expression de la séparation interplanétaire, d.

Du triangle OAB

2 2

2

a a

g h k

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1)

Nous avons aussi

2 2

2 2

sin / .

/

a k e a a

g a h e g k h

φ = = ⇔ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2)

Du triangle OCE

2

2 2

a e f

⎛ ⎞ + =

⎜ ⎟ ⎝ ⎠ l

(3)

Aussi

( )

2 2

2 2

sin / . /

e d e

f a f d a

θ = = ⇔ =

l l (4)

Des équations (2), (3) et (4), on peut montrer que

2 2

2 2 2

d a

h k l

= + +

Activité 1.3.11 : Caméra de Rayon X à poudre

Dans cette activité, vous allez lire et trouver comment une caméra de Rayon X à poudre fonctionne dans l’étude de la structure cristalline. En particulier, pour l’identification de plans dans un cristal et donc fournissant des moyens appropriés afin de déterminer l’angle d’incidence. (Steadman. R, 1982 est particulièrement très bon pour ça).

(a). Utiliser les références fournies afin d’avoir des notes sur l’utilisation de caméra de Rayon X à poudre.

(b) Durant votre prise de note, considérer un cristal cubique simple (cs), un cristal cubique à faces centrées (cfc) et un cristal cubique centré (ccc).

Activité 1.3.11: Espace de réseau réciproque et la sphère d’Ewald

Dans cette activité, vous allez déterminer les plans dans un cristal qui sont respon- sables de la diffractométrie des rayons X

(a) Vous devez noter que c’est difficile d’imaginer un faisceau de rayons X entrant dans un cristal peut se comporter, avec tellement de plans fixés à tous les angles du faisceau et tous avec des distances interréticulaires diffé- rentes. Lequel d’entre eux va satisfaire le loi de Bragg et refléter le faisceau

? L’utilisation du réseau réciproque afin de comprendre la diffraction a été démontrée en 1913 par P. P. Ewald. Les points d’un réseau réciproque re- présentent les plans du réseau direct (réel) qui est formé. Le réseau direct détermine (via des relations définies) les vecteurs du réseau réciproque, les espacements des points de réseau et les directions réciproques associées..

Considerez deux réseaux directs bidimensionnels montrés dans la Fig. 1.17.

Il est défini par deux vrais vecteurs a et b, et l’ angle ^γ . Les espacements des plans (100) et (010) ( d et ¹⁰⁰ d ) sont montrés. Un réseau direct tri-⁰¹⁰ dimensionnel pourrait introduire un vecteur de réseau c perpendiculaire au plan du diagramme.

Figure 1.17: Réseau direct bidimensionnel

Le réseau réciproque va avoir les vecteurs récriproques a* et b*, sépararés par l’ angle γ a* sera perpendiculaire aux plans (100) et est égale en intensité à l’inverse de * d . Similairement, b* sera perpendiculaire aux plans (010) et est égale en intensité 100

à l’inverse de d . Doncγ et *⁰¹⁰ γ vont s’ajouter à 180º.

• Étudier attentivement comme un exemple de construction d'espace récipro- que à partir d'un espace réel est fait ci-dessous.

Soit a^*, b^*, et c^* des vecteurs de réseaux réciproques.

a^* est perpendiculaire aux (100) plans.

b^*, est perpendiculaire aux (010) plans c^*, est perpendiculaire aux (001) plans.