particulièrement très bon pour ça)
Activité 1.3.11: Espace de réseau réciproque et la sphère d’Ewald
Dans cette activité, vous allez déterminer les plans dans un cristal qui sont respon-sables de la diffractométrie des rayons X
(a) Vous devez noter que c’est difficile d’imaginer un faisceau de rayons X entrant dans un cristal peut se comporter, avec tellement de plans fixés à tous les angles du faisceau et tous avec des distances interréticulaires diffé-rentes. Lequel d’entre eux va satisfaire le loi de Bragg et refléter le faisceau ? L’utilisation du réseau réciproque afin de comprendre la diffraction a été démontrée en 1913 par P. P. Ewald. Les points d’un réseau réciproque re-présentent les plans du réseau direct (réel) qui est formé. Le réseau direct détermine (via des relations définies) les vecteurs du réseau réciproque, les espacements des points de réseau et les directions réciproques associées.. Considerez deux réseaux directs bidimensionnels montrés dans la Fig. 1.17. Il est défini par deux vrais vecteurs a et b, et l’ angle γ . Les espacements des plans (100) et (010) ( d100 et d010) sont montrés. Un réseau direct tri-dimensionnel pourrait introduire un vecteur de réseau c perpendiculaire au plan du diagramme.
Figure 1.17: Réseau direct bidimensionnel
Le réseau réciproque va avoir les vecteurs récriproques a* et b*, sépararés par l’ angle *
γ a* sera perpendiculaire aux plans (100) et est égale en intensité à l’inverse de 100
d . Similairement, b* sera perpendiculaire aux plans (010) et est égale en intensité à l’inverse de d010. Doncγ et *γ vont s’ajouter à 180º.
• Étudier attentivement comme un exemple de construction d'espace récipro-que à partir d'un espace réel est fait ci-dessous.
Soit a*, b*, et c* des vecteurs de réseaux réciproques. a* est perpendiculaire aux (100) plans.
b*, est perpendiculaire aux (010) plans c*, est perpendiculaire aux (001) plans.
La longueur de a* est 100 1 d , b * est 010 1 d , et c * est
1
d
001.
100 110 010 110 120 110 100 000 020 120 110 010 * a b * Reciprocal space a b Real space( )
100 pla ne(
010)
pla neFigure 1.18: Construction d’un espace réciproque a partie d’un espace réel Notez que les vecteurs a* et b*sont dessinés perpendiculairement aux plans (100) et (010) respectivement.
Points Importants à noter sur la construction de la sphère d’Ewald
(i) En construisant un réseau réciproque, on commence par définir l’origine 000 ensuite les axes. Cette origine est fixée et est centrale à tout le réseau et c’est le point sur lequel tous les indices de tous les autres points sont liés. Le vrai réseau, d’autre part, n’a pas d’origine fixe et tous les points sont identiques
(ii) Le réseau réciproque diffère dans cette manière fondamentale du vrai réseau du fait que ce n’est pas répétitif (à part le fait d’avoir des points également espacés). Son origine reste l’origine, et les points 001 et 002 points par exemple ont leurs propres identités et ne peuvent pas être inter changées, à la différence des vrais réseaux. Ces points représentent des plans contraire-ment au cas de l’espace réel, où les points représentent les atomes.
Le réseau réciproque et la loi de Bragg
Le réseau réciproque donne une façon simple et élégante de représenter la réflexion des rayons X par plans de cristal. Ceci est obtenu en construisant la sphère d’ Ewald. Étapes Essentielles à suivre pendant qu’on construit la sphère d’Ewald
Utilisez les paramètres de réseau donnés afin de déterminer la longueur des vecteurs dans un espace réciproque, la longueur de a* est
100 1 d , b * est 010 1 d , et c * est 001 1 d Soit a = 0.3 nm; b = 0.5 nm; λ=0.25 nm Si n = 1 donc 0.25 sin 0.5 θ = ⇔θ =14.50. 200 420 010 X-rays 000 b a * a b * θ cryst al Q
Figure 1.19: Construction de la Sphère d’Ewald
1. Construire l’espace réciproque à partir d’un espace réel montré dans la Fig. 1.19.
2. Choisir un des points sur le réseau réciproque pour 000.
3. Étiqueter tous les autres points qui dans ce cas représentent les plans. 4. Utilisez l’équation de Bragg et calculer l’angle d’incidence en utilisant les
variables fournies. Supposez que l’instruction est que, la réflexion prend place à partir de (010), la séparation inter planétaire, d est égale à la valeur du paramètre de réseau b. Si la réflexion est de (100) plans, puis la valeur d est égale à la valeur du paramètre de réseau a.
5. En utilisant un des axes, mesurer l’angle θ à partir de cet axe. Dessiner une ligne qui marque cet angle tel que, la ligne passe à travers l’origine 000. Cette ligne représente la direction des rayons X.
6. Calculez la réciproque de λ, la longueur d’onde des rayons X utilisés par la diffraction. Le réciproque de λ est égal au rayon, r, de la sphère d’Ewald,
i. r 1 λ =
7. En commençant à partir de 000, mesurer r au long de la ligne qui marque l’angle d’incidence. La fin de r dans ce cas représente le centre de la sphère d’Ewald ou le cristal est sûr d’être placé. Appelez ce point P
8. Dessiner une sphère de rayon r autour de P. Cette sphère forme la sphère d’Ewald. Bien sûr dans un espace bidimensionnel, c’est un cercle.
9. Sur la construction de la sphère, identifier les points qui se trouvent sur la sphère, Les points qui sont sur la sphère par exemple le Point Q représente les plans qui sont responsables de la réflexion des rayons X, tandis que les points par exemple S qui touchent seulement la sphère, reflètent les rayons X partiellement. Si n en est un donc les plans sont responsables de la dif-fraction de premier ordre.
Hauts ordres de diffractions
Il y a deux façons de faire cela. La première serait de suivre les procédures ci-dessous mais pendant qu’on détermine θ en utilisant l’équation de Bragg, n doit être prise avec la valeur 2, pour une diffraction de deuxième ordre et comme valeur 3 pour une diffraction de troisième ordre etc.
Deuxièment, les plans responsables pour les hauts ordres de diffraction sont obte-nus comme suit:
1. Utilisez la sphère d’Ewald afin de déterminer les plans responsables pour une diffraction de premier ordre.
2. Avec l’aide d’un papier calque, tracer le contour du la sphère sur le papier calque
3. Fixez le contour en utilisant une aiguille ou crayon à environ 000.
4. Tournez le contour autour de 000 dans le sens des aiguilles d’une montre jusqu’à ce que de nouveaux ensembles de points soient sur la sphère. Ces points vont correspondre aux plans responsables de la diffraction de deuxième ordre.
5. Afin d’obtenir les plans responsables pour le 3ème, 4ème etc… continuez à tourner dans le sens des aiguilles d’une montre, tout en localisant d’autres plans qui se trouvent sur la sphère
Approche Générale aux réseaux réciproques.
Amplitude de la diffusion des ondes
Figure 1.20: Amplitude de la diffusion des ondes.
Le diagramme dans la Fig. 1.20 montre une onde diffusée à partir d’un point situé une distance r de l’origine O.
(a) Utilisez quelques références : ( http://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_struc-ture), fournies et montrant que la condition pour tous les vecteurs réseaux R, l’interférence constructive dans un réseau réciproque est
Δ
k.R = G.R =2np
. (1.5) k est le vecteur d’onde donné par k =( )
2p /λ.R = ua + vb + wc est levecteur de réseau. u, v, et w sont des nombres entiers.
(b) Déterminez les propriétés de l’onde exp(iG.r) qui satisfait la condition G.R = 2np .
(c) Les Conditions de Laue pour la diffraction Une façon alternative de nommer la condition que Δk. R = G.R =2np
est que R = ua + vb + wc est de dire G.a =
2ph
.G.b =
2pk.
G.c =
2pl
.La condition est satisfaite si on définit Ghkl = ha* + kb* + l c* avec a*.a = 2p , a*.b = 0, a*.c = 0.
b*.b = 2p , b*.a = 0, b*.c = 0. c*.c = 2p , c*.b = 0, c*.a = 0.
Les affirmations ci-dessus signifient que a* est perpendiculaire aux vecteurs primitifs b et c du réseau direct (vrai).
(e) Utilisez les conditions de Laue pour la diffraction et montrez que: (i) a* = 2
p
(
b c)
a c b × × . (ii) b* = 2p
(
b c)
a a c × × . and (iii) c* =2p a×b
a.(b×c).
Auto Evaluation 1
1. Discutez les caractéristiques d’un composant ionique à température ambiante
2. Identifiez les réseaux donnés dans la Fig. 1.21 et nommez les nombres d’atomes par point de réseau.
Figure 1.21: Structure cristalline
3. Déterminez le nombre de symétrie rotationnelle pour: (i) un réseau cubique.
(ii) un cristal équilatéral.
4. Pourquoi tous les réseaux possèdent une symétrie transrationnelle ?
5. Expliquez pourquoi l’ordre de rotation correspondant à un ordre 5 ou 6 n’existe pas.
6. L’ombre dans un plan (100), un plan (001) et un plan (111) 7. Montrez que le taux de remplissage (la compacité) dans
(i) un cristal cubique centré est 68%. (ii) un cristal à face centrée est 74%.