Lycée Fénelon Ste-Marie – la Plaine-Monceau Classe de MP
Année 2018-2019 Mathématiques
Nom : Prénom :
Interrogation n ◦ 02 — lundi 15 octobre
Durée : 20 minutes — 1 exercice au choix à traiter — ni calculatrice ni document
Exercice CCP n
◦38
On noteR[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
On pose :∀P ∈R[X],N1(P) =
n
X
i=0
|ai|et N∞(P) = max
0≤i≤n|ai|oùP =
n
X
i=0
aiXi avecn>degP.
1. (a) Démontrer queN∞ est une norme surR[X].
Dans la suite de l’exercice, on admet queN1 est une norme surR[X].
(b) Démontrer que tout ouvert pour la normeN∞est un ouvert pour la normeN1. (c) Démontrer que les normesN1 etN∞ne sont pas équivalentes.
2. On noteRk[X]le sous-espace vectoriel deR[X]constitué par les polynômes de degré inférieur ou égal à k. On note N10 la restriction deN1 à Rk[X] etN∞0 la restriction deN∞à Rk[X].
Les normes N10 etN∞0 sont-elles équivalentes ?
1
Exercice CCP n
◦44
SoitE un espace vectoriel normé. SoientAet B deux parties non vides deE.
1. (a) Rappeler la caractérisation de l’adhérence d’un ensemble à l’aide des suites.
(b) Montrer que :A⊂B=⇒A⊂B.
2. Montrer que : A∪B =A∪B.
Remarque: une réponse sans utiliser les suites est aussi acceptée.
3. (a) Montrer que :A∩B⊂A∩B.
(b) Montrer, à l’aide d’un exemple, que l’autre inclusion n’est pas forcément vérifiée (on pourra prendreE=R).
2
