PROPAGATION D'ONDES VIBRATOIRES DANS UN SOL

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HAL Id: jpa-00230376

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Submitted on 1 Jan 1990

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PROPAGATION D’ONDES VIBRATOIRES DANS UN SOL

D. Habault

To cite this version:

D. Habault. PROPAGATION D’ONDES VIBRATOIRES DANS UN SOL. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-29-C2-32. �10.1051/jphyscol:1990207�. �jpa-00230376�

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C O L L O Q U E D E P H Y S I Q U E

C o l l o q u e C 2 , s u p p l é m e n t a u n ° 2 . T o m e 5 1 , F é v r i e r 1 9 9 0 1er Congrès Français d'Acoustique 1990

C2-29

P R O P A G A T I O N D ' O N D E S V I B R A T O I R E S D A N S U N S O L

D. H A B A U L T

CNRS, Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique, 31 chemin J. Alguler, F-13402 Marseille Cedex 9, France

Résumé : L'objet de cet article est l'étude de la propagation d'ondes vibratoires dans un sol stratifié. Le milieu de propagation est tout d'abord modélisé par une couche de matériau viscoélastique, homogène, d'épaisseur constante. Le déplacement est calculé à l'aide de la théorie des distributions et d'une transformée de Fourier spatiale. On suppose ensuite que la couche contient un obstacle de dimensions non négligeables par rapport aux longueurs d'onde du signal d'excitation. L'exemple présenté ici est celui d'une tranchée. Le déplacement est calculé par une méthode d'équations intégrales (ou éléments finis de frontière). Dans les deux cas, les problèmes étudiés sont bidimensionnels et l'excitation est harmonique.

Abstract : The aim of this paper is the study of the propagation of vibrating waves in a stratified medium. First, the propagation medium is represented by a constant depth layer of viscoelastic material. The evaluation of the displacement is based upon the theory of distributions and a spatial Fourier transform. Then the displacement is computed for the same model of layer in presence of a trench, by using a boundary element method. In both cases, the problem considered is two-dimensional and the excitation is periodic.

I - INTRODUCTION

Le sujet de cette étude est la propagation des vibrations dans un sol stratifié. Une de ses principales applications est l'étude (et la réduction) de la gêne vibratoire due aux infrastructures productrices de vibrations, telles que les réseaux de transports.

L'aspect particulier considéré ici est le calcul du déplacement dû à une source harmonique dans une couche de matériau viscoélastique.

Au paragraphe 2, le milieu de propagation est modélisé par une couche de matériau homogène, viscoélastique, d'épaisseur constante. Au-dessus de cette couche, se trouve un fluide léger (l'air) ; au-dessous, un second milieu viscoélastique semi-infini. Le déplacement dans chacun des deux milieux est obtenu à l'aide de la théorie des distributions et par transformation de Fourier spatiale partielle.

Au paragraphe 3, la couche contient un obstacle de dimensions comparables à celles de la longueur d'onde du signal d'excitation. L'exemple choisi est celui d'une tranchée creusée à la surface du sol ; la tranchée est soit ouverte (emplie d'air), soit emplie d'un autre matériau viscoélastique. Ces tranchées, en vibrations, peuvent jouer un rôle analogue à celui des écrans en Acoustique et donc apporter une solution (partielle) aux problèmes de gêne vibratoire. Ce paragraphe est donc consacré à l'étude de l'efficacité de ces techniques. La méthode de prédiction des niveaux de vibration est basée sur la formule de Betti et les méthodes d'éléments finis de frontière.

Pour l'ensemble de cette étude, les problèmes considérés sont bidimensionnels, ce qui est suffisant dans une première étude pour dégager quelques lois générales.

II - PROPAGATION DANS UNE COUCHE D'EPAISSEUR CONSTANTE

La couche est modélisée par un matériau homogène, viscoélastique d'épaisseur constante h ; elle est caractérisée par un module d'Young complexe E,, un coefficient de Poisson v, et une densité p, . Le module d'Young est complexe pour tenir compte de l'absorption dans le matériau. La face supérieure de la couche est en contact avec l'air, la condition aux limites est donc une condition de surface libre. La face inférieure repose sur un second milieu viscoélastique semi-infini de caractéristiques E?, v2 et p2 ; les conditions aux limites sont les conditions de continuité des déplacements et des contraintes.

La source d'excitation est située dans la couche ; son comportement est périodique en fonction du temps (exp(-iwt)). Dans le plan (0,y,z), la couche est le milieu 0«z«h. La

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990207

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COLLOQUE DE PHYSIQUE

géométrie du problème est présentée sur la figure 1.

Soient u et a, le champ de déplacement et le tenseur des contraintes dans la couche ; soient v et T, le champ de déplacement et le tenseur des contraintes dans le milieu semi-infini.

Ils vérifient le système d'équations suivant :

où Ai est 1 'opérateur matriciel classique en Elasticité /1,2/. F représente la source excitatrice. La théorie des distributions appliquée aux opérateurs A montrent que u et v peuvent s'écrire :

u = r l

*

( F + S + T ) v = S * W

où

r1

et ? sont les tenseurs, solutions de :

(conditions I l'infini pour

ri

6 représente la distribution de Dirac.

r

est la solution élémentaire classique. S et T sont deux vecteurs "sauts" dus aux discontinuités de u et sa dérivée première aux frontières z=O et z=h respectivement. W est un vecteur correspondant aux discontinuités de v et sa dérivée en z=h. Ils sont définis par :

où a, p, Y, E , a et b sont des vecteurs directement reliés aux valeurs de u, v et leurs

dérivées premières en z=O et z=h.

En utilisant la représentation (2), on peut remplacer les inconnues u(y,z) et v(y,z) par les six vecteurs introduits dans (4) qui ne dépendent que de y. Ces six vecteurs s'obtiennent à partir des conditions aux limites du système (1). En utilisant une transformation de Fourier par rapport à la variable y et après quelques simplifications, on remplace ces conditions par un système algébrique d'ordre 6 qui est résolu numériquement.

Le déplacement u est alors obtenu comme la somme d'un champ incident et d'une transformée de Fourier inverse. Cette transformée est calculée numériquement par une méthode d'intégration de type Gauss, amél iorée.

La figure 2 présente un exemple numérique de courbe de déplacement en fonction de la distance horizontale entre source et point d'observation. La force excitatrice est :

F =

[a]

^p, ^;elle est située en S=(O,s), s=O,hn. La fréquence est 10tiz Les points d'obser- vation sont sur la surface. Les parametres caractérisant la couche sont :

El = 5. IO7

-

i 0.25 10' N/m2 ; v1 = 1/3 ; p, = 2000 kg/m3 ; h = 5 0 m ;

Le milieu semi-infini est caractérisé par :

(4)

E2 = 1.7 109 - i 0.14 109 N/mz ; V, = 1/3 ; 4 = 2740 kg/$.

Les courbes représentent l'amplitude du déplacement vertical. La courbe continue correspond au cas de la couche reposant sur un deuxième matériau viscoélastique. La courbe en pointil lé, tracée à titre de comparaison, représente le déplacement vertical pour une couche reposant sur un milieu parfaitement rigide, calculé par le même type de méthode. Dans ce cas particulier (milieu semi -infini de module d'Young et de densité nettement supérieures h ceux de la couche), les deux courbes sont très semblables.

III

-

EFFICACITE DES TRANCHEES

La géométrie du problème est présenté sur la figure 3. Le calcul du déplacement dans la couche est basé sur une méthode d'équations intégrales de frontière. La formule de Betti est appliquée au déplacement inconnu et au noyau de Green correspondant au déplacement dans une couche de matériau viscoélastique. On obtient ainsi un système d' équations intégrales sur le bord de la tranchée.

La figure 4 présente un exemple de comparaison d'efficacité entre une tranchée ouverte et une tranchée pleine.

Le matériau viscoélastique dans la couche est caractérisé par les trois parametres : E, = 4.612 107 - i 0.355 107 N/m2 ; v = 0.25 ; p, = 1753 kg/$.

Le matériau dans la tranchée est caractkrisé par :

E, = 15.82 108 - i 6.75 108 N/m2 ; v, = 0.25 ; 4 = 2400 kg/$

.

La force d'excitation est le vecteur F = p, .La fréquence émise est 50 Hz (longueur

[al

d'onde de l'onde de Rayleigh d'environ 1.89m). Le point d'excitation est situé h 9.5m du bord gauche de la tranchée et à la surface du sol. Les points d'observation sont également à la surface ; ils sont situés à une distance comprise entre x,et 10% du bord droit de la tranchée.

La tranchée est rectangulaire, de profondeur

x,

et de largeur x,/2. L'épaisseur de la couche est 6m. L'efficacité est définie comme le rapport des amplitudes des déplacements :

déplacement en présence de la tranchée déplacement en 1 'absence de 1 a tranchée

.

Les courbes sont tracées en fonction de la distance horizontale entre source et point d'observation. Les traits continus correspondent à la tranchée pleine et les croix à la tranchée ouverte.

IV - CONCLUSION

Les résultats présentés correspondent à des problèmes bidimensionnels mais les dévelop- pements théoriques sont les mêmes en dimension 3. La différence se situe uniquement au niveau numérique (transformées de Fourier à deux variables au 1 ieu d'une, par exemple).

Il n'y a pas non plus de difficulté à utiliser 1 'ensemble de ces méthodes pour des modèles de sol avec un plus grand nombre de couches. Les méthodes présentées ici ont été testées l'aide de résultats publiés par d'autres auteurs /3/.

BIBLIOGRAPHIE

1. L. BREKHOVSKIKH and V. GONCHAROV, 1985, Mechanics of Continua and Wave Dvnamics. Springer series on Wave Phenomena, vol .l, Springer - Verlag, Berlin.

2. D. HABAULT, 1989, "Etude de la propagation dans un sol modélisé", Rapport final de la Convention n086251 avec le Ministère chargé de l'Environnement.

3. D. E. BESKOS, B. DASGUPTA and 1 .G. VARDOULAKIS, 1986, Comoutational Mechanics 1, p.43-63.

"Vibration isolation using open or filled trenches, Part 1 : 2-D homogeneous soil".

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COLLOQUE DE PHYSIQUE

a i r

O

'

^-^S^Y

I s = ( o , s ) I I I

I x M=(y,z)

h l

F i g u r e 1

F i g u r e 2

F i g u r e 3