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La propagation des ondes électromagnétiques au-dessus
du sol. Solution du problème de l’onde de surface
T. Kahan, G. Eckart
To cite this version:
LA PROPAGATION DES ONDES
ÉLECTROMAGNÉTIQUES
AU-DESSUS DU SOL. SOLUTION DUPROBLÈME
DE L’ONDE DE SURFACEPar T. KAHAN et G. ECKART.
Office National d’Études et de Recherches
Aéronautiques.
Sommaire. 2014 A.
L’objet de la controverse : 1. Remarques historiques sur le problème du rayonnement
dipolaire jusqu’à la parution du travail de Sommerfeld. 2014 2. La solution de Sommerfeld. 2014 3. La
solution de Weyl, en particulier sous la forme donnée par Noether.
B. Le développement ultérieur de la controverse : 1. Remarques d’ordre mathématique eL physique. 2014
2. Travaux des autres
auteurs
(théoriques et expérimentaux). 20143. Les observations
d’Epstein.
C. Solution du problème : 1. L’unicité garantie par l’Ausstrahlungsbedingung. 2014 2. L’onde de surface
ne satisfait pas à cette condition. 2014 3. Étude des chemins
d’intégration.
a. La position des coupures de ramification chez Sommerfeld. Déplacement de ces coupures. 2014
b. Représentation conforme du plan 03BB de Sommerfeld sur le plan ~ de Weyl. 2014 c. Le col
passé inaperçu
chez Sommerfeld. 2014 d.
Remarques sur la coupure autour de k2.
d. Résumé. 2014
e. Bibliographie.
A.
L’objet
de la controverse. - 1.Aperçu
historique
sur leproblème.
-- Avec l’avènementde la
Télégraphie
sansFil,
l’intérêt desphysiciens
et des
ingénieurs
s’estporté
sur lesphénomènes
de
propagation
dansl’espace.
Une despremières
tentatives faites pourexpliquer
lagrande portée
des ondes
électromagnétiques
est due â H. Poincaré.Son travail avait
précisément
pourobjet
lapropa-gation
de ces ondes sur unesphère parfaitement
conductrice. Plus tard
( ~ go ~),
Zenneckentrepi it
l’étude d’un nouveautype
d’onde,
dite de surfaceconçue comme onde
plane
sans poser laquestion
de savoir si ce
type
d’onde faisaitpartie
durayon-nement
dipolaire
ou non. Dansl’hypothèse
d’une conductivité infinie du sol, Max Abraham a étudié lerayonnement
d’undipôle.
Dans ce castoutefois,
tous les
problèmes
à traiter par la suites’éliminent,
de sorte que ce travail n’est autre chose
qu’un
caslimite intéressant.
C’est en Igog que
parut
le célèbre travail deSommerfeld [2] qui
avait pourobjet
le rayon-nement dudipôle
sur un sol de conductivité finie. Sommerfeld trouva dans sa solution une ondequi,
auxgrandes
distances del’émetteur,
se réduisait autype
étudié par Zenneck etqui
aux faiblesdistances,
avait le caractère d’une ondecylindrique,
correspondant
autype
d’ondequi
seproduit
surune
ligne
bifilaire lelong
d’un fil. On était à cemoment unanimement d’avis que le
problème
de lapropagation
des ondes de T. S; F. lelong
de laTerre ronde avait de ce
chef
trouvé sasolution,
l’existence de
l’ionosphère
n’étant pasencore
connueà cette
époque.
En igig
Weyl
revient dans un mémoirerit]
surle même
sujet,
ne retrouve pas dans sa solution l’onde de surface et s’enprend
à laconception
de Sommerfeld. Cette controverse n’a pas trouvéjusqu’à
cejour
sa solution définitive. Ungrand
nombre d’auteurs tant en
Europe
qu’en Amérique
se sontpenchés
sur ceproblème
sans en toucherle fond.
Dans le
présent
travail leproblème
trouve sasolution sous une forme
qui,
d’unepart,
met enévidence
l’impossibilité physique
de l’onde desurface
dans lerayonnement
dipolaire
etqui,
d’autre
part,
montre immédiatement que Sommer-feld ne s’est pas aperçu del’existence,
dans sondéveloppement asymptotique,
d’un col. Pourper-mettre au lecteur de se faire une idée
complète
dela
question,
nous allons en retracer les diversesétapes.
Pour cela nousreproduirons
d’abord le raisonnement deSommerfeld,
pour exposer ensuitela méthode de
Weyl
sous une formeplus simple
due à Noether
[6].
Nous mettrons enfin en reliefles deux
points qui
touchent au fond duproblème.
2. La solution de Sommerfeld. - Voici le
problème
de Sommerfeldi).
Soient deux milieuxsuperposés séparés
par unplan
desépa-ration infiniment étendu.
Soient £1
la constantediélectrique
du milieusupérieur i
et 71 saconduc-tivité ;
soient
et cr 2
les mêmes constantesrelatives
au milieu inférieur 2 et posons
(1)
en
supposant .1
et u2(perméabilités relatives)
égaux
à i. Soit un
dipôle
vertical hertzien situé sur leplan
deséparation.
~
Fig. 1 .
On recherche le
champ
derayonnement
dû àce
dipôle.
On admettra des ondesharmoniques
évoluant suivant exp. On est amené àrésoudre les
équations
de Maxwell avec les conditions auxlimites
classiques :
continuité descomposantes
tangentielles
de E et de H sur la surface desépa-ration. On a ainsi pour les deux milieux
On définit le vecteur de Hertz par
où Il ne
possède,
en vertu deshypothèses
faites,
qu’une
seulecomposante
z. Il vient’ alorsdonc
où l’on
peut
encoredisposer
de cp. Enportant
dans(2)
Avec
on obtient
kl, 2
étant défini par(1).
De même nous écrirons dans ces deux milieux 1
et 2
Les conditions aux limites sur
la
surface desépa-ration des deux milieux s’écrivent
Ceci
posé,
cherchons avec Sommerfeld[2],
[9]
~3) Nous utilisons te système d’unités pratiques M. K. S.
deux fonctions
Ih
pour z > o etTI2
pour z ojouissant
despropriétés
suivantes :sont des
quantités
finies et continues ainsi que toutes leursdérivées,
aupoint z
= ocompris.
Ici .
est la distance
émetteur-récepteur
et r le rayoncylindrique
horizontal.Sommerfeld suppose tout d’abord que les deux
constantes ki et k2 (ou
tout au moins l’uned’elles)
sont «
dissipatives
» et établit sa démonstrationd’unicité dans cette
hypothèse
considérée commeessentielle. Il
ajoute
que dans le cas de valeurspurement
réelles dekL2’
lI doit s’annuler à l’infinisuivant des ordres de
grandeurs
supérieur
à )’7
sanss’appesantir
sur ce cas.Or,
dans un travailpublié
en
igi3
[2]
sur la fonction de Green del’équation
d’ondes,
Sommerfeld montre que pour un ensemblede
dipôles
et de conducteurs situés à distancefinie,
l’unicité de la solution est
garantie
par la condition dite «Ausstrahlungsbedingung »
ou conditiond’existence d’ondes
divergentes
qui
se substitueà la
conjecture
que Il devait s’annulerplus
rapi-dement
que, ii.
Nous aurons l’occasion de revenirsur ce cas et de
compléter
la démonstration d’unicité de Sommerfeld pour le cas d’un espacediélectrique
s’étendant à l’infini. Cela nous
permettra
d’obtenir un critère essentiellementphysique
pour lanon-existence de l’onde de surface
dans
lerayonnement
dipolaire.
Ceci
posé,
superposons le «rayonnement
primaire »
dû au
dipôle
au «rayonnement
secondaire » dûà la « réflexion » sur la surface de
séparation.
Sommerfeld écrit cesgrandeurs
sous formed’inté-grales
étendues sur la fonction de Bessel(j.
paramètre d’intégration)
de lafaçon
suivante. Nous avons dans le milieusupérieur 1
La
racine
~f~î. ~
est choisie de telle sortemême dans le milieu inférieur 2
Pour tenir
compte
durayonnement
«secondaire }>,
Sommerfeld introduit de même des fonctions
d’ «
amplitude
»/1 (À)
et/2 (À),
de sortequ’il
obtientpour le
champ
total dans les deux milieux :Il
et/2
permettent
précisément
de satisfaire auxconditions aux limites
(11)
et(II);
il vient ainsiCe faisant on tient
compte
que pour des_ raisonsde convergence on ne doit pas dériver le rayon-,,v
nement
primaire
sous lesigne
somme pour z =o,
mais que pour z =
o, sa dérivée par
rapport
à z est nulle.- ’
En vertu de
(13),
(14), (15), (16), (17), (18)
onobtient
Nous allons nous borner désormais à la discussion de
l’intégrale
pourfil.
Sommerfeldprocède
ainsi. Il substitue àJo
CAr)
la relationclassique
(fonctions
de
Hankel)
Le chemin
d’intégration
del’intégrale
deH2
dans le
plan ~
qui
coïncide d’abord avec l’axe réelest
déplacé
ensuite vers l’axeimaginaire négatif
( fig.
~);
l’intégrale prise
sur legrand
quart
de cercle s’annule(tracé
enpointillé).
Le chemind’inté-gration
del’intégrale
de est de mêmedéplacé
dans le
demi-plan imaginaire positif.
Là encorel’intégrale prise
lelong
duquart
de cercle(en
poin-tillé)
dont le rayon est infini est nulle. Les deuxparties
del’intégrale
prises
sur l’axeimaginaire
positif
etnégatif
secompensent
et il ne reste queles contributions dues aux
points singuliers
del’expression
àintégrer,
situés dans ledemi-plan
supérieur.
Cessingularités
sont : 10 les deux coupuresde branchement
qui
partent
despoints ~
=k1
et 2,
= k~
pour aboutir à l’infini etqui
sont tracées par Sommerfeld defaçon
que les racines~/~@2
- ki ,
y soientpurement
imaginaires;
ces courbes sont alors deshyperboles équilatères
passant
par lespoints kt.2
= î~,qui
ont pourasymptotes
les axeséel et
imaginaire
de ~..Lorsque
k1
et k2
deviennentpurement
réels elles serapprochent
indéfinimentde ces axes pour se confondre finalement avec eux;
2~ le
pôle
dû au zéro du dénominateur del’intégrale.
Ce zéro est donné par .
Nous reviendrons par la suite à la
position
exactede ce
pôle.
Sommerfeld montre que lepôle
se trouve sur le feuilletsupérieur
duplan 1B
armé des coupuressusmentionnées et il situe le
pôle
à peuprès
comme nous l’avons fait sur lafigure
2. Nous verronsqu’il
.
Fig. 2.
est
plus
correct de situer lepôle
à l’endroitmarqué
d’une croix sur lafigure
2. En introduisantl’angle
de Brewster
(ou
depolarisation)
défini paril
vient
quantité
qui
est réelle pourk1,2
réel etqui
devientcomplexe quand k1
ouk2
l’est.Or,
eh calculant lesintégrales,
le lacet autour de cepôle
fournit,
sousforme de résidu l’onde de surface
qu’on
peut écrire,
pour lesgrandes
distances à l’émetteur(où
lafonction de Hankel
Hl’,’
(~r)
se confond avec sondéveloppement
asymptotique)
sous la forme(K
étantune
constante)
Elle se
présente
sous la forme d’une ondecylin-drique
etcorrespond
au facteur2013
près,
à uneonde
plane
dontl’angle
d’incidence sur la surfacede
séparation
est Sik_1 et k2
sontréels,
;¡~
devient réel ainsiqu’il
a été ditplus
haut;
si l’un desk1~2
est
complexe,
il seproduit
une onde avec unangle
d’incidencecomplexe,
ondesingulière
pourlaquelle
les surfaces dephase
etd’amplitude
constantes nese confondent pas. C’est une onde
qui
se propagesur la surface d’un conducteur d’une
ligne
bifilaire etqui
porte
pour cela le nom d’onde de {~ Lecher »,à la différence des ondes
guidées
dans unguide
d’ondes. Elle nécessite
[8, 12]
un conducteur de retourqui
n’existe pas dans notre cas(ci.
aussi Noether[5]);
nous y reviendrons par la suite.Dès 1907, Zenneck avait étudié son affaiblissement
le
long
du sol.Passons maintenant à l’étude des
intégrales
prises
sur les coupures.Pour k2 complexe, l’intégrale
prise
sur la seconde coupure fournit unecontri-bution
exponentiellement
atténuée avec r et z.Lorsque k2
estpurement
réel,
cette contributions’affaiblit
exponentiellement
quand z
croît;
elleest de l’ordre
de I
etpeut
être laissée de côté.112
Ce
point
n’ajamais
faitl’objet
d’unlitige.
L’intégrale prise
sur lacoupure k,
estreprésentée
par Sommerfeld
asymptotiquement
Cette solution se confond avec celle de
Weyl.
Nous verrons par la suite que Sommerfeld ne s’est pasaperçu que dans cette
représentation asymptotique,
l’intégrale prise
lelong
de la coupure i renfermeen
plus
l’onde de surface affectée dusigne
contraireet
qu’elle
annule parconséquent
l’onde de surfacedue au
pôle.
2. La solution de
Weyl.
- EnIgiq
parut
dansles Annalen der
Phtlsik
le travaildéjà
cité deWeyl
[4]
relatif au mêmeproblème
danslequel
lareprésentation asymptotique complète
aboutit àl’onde Q
del’équation
(26).
AussiWeyl
mit-ilen doute l’existence de l’onde de surface. En I g2g,
Noether a
repris
les calculs deWeyl ([51, ci.
aussi[10],
p. r 53 et
suiv.)
sous une formeplus
claire.Sommer-feld avait
déjà indiqué,
dans son mémoire de Jgog,la
possibilité
dudéveloppement
suivant des ondesplanes qui
est lepoint
dedépart
deWeyl.
Ce dernier auteurintègre
suivant un groupe d’ondesplanes
d’égale amplitude,
mais de directions différentesauquel
il y a lieud’ajouter
des ondes de cosinusdirecteurs
complexes.
Sonrayonnement primaire
s’écrit(avec
exp. (-jml),
au lieu de exp.(jwt)
deWeyl)
’
.
où dw est un
angle
solide(qui
peut
devenircomplexe
dans certaines
conditions)
sur lasphère
unité.oc,
p, Y
sont les cosinusdirecteurs,
également
enpartie complexes,
des ondes élémentairesplanes
par
rapport
auxquels
onintégre. x,
y, z sont les coordonnées dupoint
d’observation. Introduisons au lieu etplace
des trois cosinus directeurs a,~,
y,reliés par la relation
-les coordonnées
angulaires :7
(=
distancepolaire)
Fig. 3.
et
9 (= azimuth)
3);
il vient alors pour lerayonnement
primaire
L’intégration
parrapport
à 9’ doit se faire lelong
du chemin de lafigure
4 :
de o
à 7
sur l’axeréel,
2
Fig. @.
puis
lelong -
- A dans ledemi-plan imaginaire
2
négatif.
Bien entendu tous les cheminséquivalents
en vertu du théorème de
Cauchy
sont admissibles.Weyl ajoute
encore à ces ondesplanes
l’onderéfléchie sur le sol et l’onde
qui
ypénètre
etsuper-pose toutes ces ondes. Nous avons
déjà
introduit,
pour le
système
danslequel
on effectuel’intégration,
nouvelles coordonnées
polaires
r, Z dans leplan
x, y et undéplacement
de coordonnées 9 - z -§,
ilrésulte de
(29)
1
En effectuant
l’intégration
suivant~~,
onobtiendrait la fonction de Bessel
Jo
(k1
rsin B)
etl’on voit que la
quantité kl sin;:¡
correspond
auparamètre
~. de SommerfeldNous reviendrons encore sur la
représentation
conforme entre lesplans
I, et ~moyennant
cetterelation. Comme
après l’adjonction
de l’onde réfléchie dans le milieusupérieur,
Weyl
effectueFig. 5.
l’intégration suivant ?
et sous formeasympto-tique
d’une manièreplutôt compliquée,
nous suivonsl’exposé plus simple
de Noether[5].
Par undépla-cement du chemin dans 9 vers l’infini
qui,
enprincipe,
correspond
chez Sommerfeld au passage aux fonctions et on obtientl’intégrale
oû -n
est l’angle
directeur du rayon réfractécorres-pondant
àl’angle
d’incidence 3,
défini parqui
est la loi deréfraction,
valable aussi dans lecomplexe.
Le chemind’intégration
dans leplan
que nous avons à suivre ici est
représenté
sur lafigure
5,
alors que lafigure 6
dessine le nouveauchemin AA’ dans le
plan
.1i. Onpeut
sans enfreindrela convergence, passer à l’infini dans les deux
inté-grales,
dans les intervalles hachuréscompris
entre oet ~±- 7!. Or on voit que le chemin dans
If (fig.
5)
doit fournir si l’on
intègre
d’abord suivant~.! ,
ce
qui
n’est pasindispensable
par ailleurs. Or ilexiste pour
’f =
o un col ainsiqu’entre
o et "-’ sur 2l’axe réel du
plan
3. Noether effectuel’intégration
Fig. 6.
sous forme d’une
intégrale
double et aboutit avecWeyl
à un résultatqui
se confondcomplètement
avec l’onde
d’espace Q
deSommerfeld,
si l’onprend
dans(26)
laquantité z
dans unepremière
approximation
pour cos3, pour
des valeurs de 3 m~.
La solution deWeyl
que nousn’expliciterons
pasvaut en
général
pourchaque point z,
r tandis que .la solution de Sommerfeld
représente
sondéve-loppement
pour de faibles hauteurs au-dessus du sol. Pour nous il est essentiel de faire remarquerqu’il
n’estquestion
chezWeyl
d’aucune onde de surface car son chemin ne passe par aucunpôle.
B.
Évolution
de la controverse. - 1. Lacontro-verse a donc
pris
naissance avec laparution
du travail deWeyl.
Tout d’abord la clarification fut rendueplus
difficile par le fait que Sommerfeldexclut
expressément
dans sasolution,
des valeurspurement
réellesde k1
etk2,
de sorte que l’ondede surface est affectée d’une atténuation
expo-nentielle même
quand k,
est réel et quek2
estcomplexe.
Une telle atténuation ne seproduit
paspour k,
et k2
réels. C’estpourquoi,
dans undéve-loppement
asymptotique
duchamp
total,
l’onde de surfaceserait,
pour undéveloppement
suivantles
puissances négatives
de r,identiquement
nulle,donc elle ne
figurerait
pas chezWeyl,
ce queSommer-feld avait
déjà
dit dans son travail de gog. Comme toutefoisWeyl
ne se restreint pas à des valeurscomplexes
dek1 et k2
cetteinterprétation
tombeen défaut : pour des valeurs
purement
réellesde kl
170
sur tous les autres termes en vertu du facteur
I_
n.
sans atténuation
exponentielle.
Par ailleurs Noether fait
l’objection
suivantecontre l’onde de surface : l’onde de surface est,
ainsi que nous l’avons
déjà
souligné,
une ondesur fil
qui
nécessite un conducteur de retour pourson
régime
qui
n’existe pas dans notreproblème.
En Ig2g cetargument
ne semblait pasabsolument
valable. Or il résulte de divers travaux
(déjà cités)
effectués
depuis
que pour les ondes T. E. M. ilfaut un conducteur de retour. Il y a donc là
déjà
comme un critère pourl’impossibilité
de l’ondede surface. ,
2. Norton
[6] reprit
leproblème
sans retrouver l’onde de surface. Il futincapable
de résoudrel’énigme.
Du côtéexpérimental
leproblème
fut abordé par Burrowsqui
étudia lapropagation
sur un
plan
conducteur. Il choisit des conditions danslesquelles
l’onde de surface devait être centfois
plus
intense que l’onded’espace
(longueur
d’onde de l’ordre de 1 m, au-dessus d’unlac,
aux~. U.
d’A.).
Il
prit
énormément de soins au coursde ses essais et obtint avec une
grande précision
l’onde
l’espace
tandis que l’onde de surfacequi
devaitl’emporter
debeaucoup
sur l’onded’espace,
échappait
àl’expérience. Remarquons
ici enpassant
que comme le montrera l’un de nous
[16]
l’onded’espace
rendcompte
d’unphénomène
connu dans lediagramme
vertical durayonnement
d’un émetteurà savoir le coude au
voisinage
du sol7).
Fig.’7.
.
3.
Epstein
a été récemment[7]
amené auxconclu-sions suivantes :
n Le
problème
n’est pas bien défini(unique)
et la démonstration d’unicité de Sommerfeld
perd
sa validité en
présence
d’une source derayon-nement.
Cela est incorrect car la démonstration d’unicité
de Sommerfeld tient essentiellement
compte
de lasource située à
l’origine
ainsi que nous le verronsencore par la suite. Nous étendrons la démonstration
de Sommerfeld à des milieux
purement
diélec-triques
en l’établissant pour le cas d’une sourcesituée à
l’origine;
2°
Epstein
soutient enplus qu’en
raison de lanon-unicité susmentionnée du
problème
tant l’ondede surface que l’onde
d’espace
due à la coupurede branchement constituent deux solutions distinctes
dont la
première
serait, en tantqu’onae cylindrique,
singulière
tout lelong
de la verticale àl’origine,
singularité
que la sourcedipolaire
neprésente
pasà
l’origine.
Il faudrait donc choisir au lieu duchemin i de la
figure
8,
qui
contient les ondes de’
Fig. 8.
surface et
d’espace,
le chemin 2qui
laisse de côté l’onde de surface.Epstein
aurait raison icisi,
ainsi que nous l’établirons par lasuite,
la coupurepassant
par k,
ne contenait pas l’onde de surface affectéedu-signe
contraire,
cequi
aéchappé jusqu’à
présent
à tous les auteurs
qui
se sont attachés à l’étude de laquestion (*).
Cet état de choses est bien entendu très peu
satis-faisant.
L’objet
de notre travail estprécisément
de clarifier cette situation.
C. a.- Nous allons tout d’abord lever
l’objection
d’Epstein
concernant la non-unicité duproblème.
Sommerfeld s’estattaché,
quatre
ansaprès
lapublication
du travail enquestion,
à l’étudeappro-fondie des
questions
d’unicité[3].
Il y fait observer que la nature ne réalise bien entenduqu’une
solution
unique
d’un telproblème
derayonnement
et
qu’aussi
bien il nepeut
s’agir
que de trouverla condition
qui distingue
la solution réelleparmi
toutes les conditionspossibles.
Sommerfeld a énoncéla
première
fois cette condition dans le mémoirecité sous le terme d’ 1
«
Ausstrahlungsbedingung
»ou condition d’existence d’ondes
divergentes.
Lasignification
fondamentale de ce travail nous amèneà en
esquisser
rapidement
l’idée centrale.Quand
on veut établir la solution duproblème
défini par les conditions
(I)
à(IV),
cette solutionpourrait
ne pas être bien déterminée etunique
sinotamment elle contenait encore des « vibrations
propres de
l’espace
entier a~, à savoir des ondes stationnaires. Celles-ci doivent s’amortir dans le (*) En tous cas, la flsingulai,ité de ligne montre déjà quel’onde de surface ne peut être contenue dans la solution du
cas de milieux
dissipatifs,
doncdisparaître
de notresolution
qui
se borne aurégime
permanent
théori-quement
établiaprès
une durée infinimentlongue.
Dans le cas de valeurs
purement
réelles dekl et k2
nous éliminons lapossibilité
d’ondes stationnaires-
qui rempliraient
aussi les conditions nécessairesde continuité et de finitude et
qui
pourraient
rendrele
problème
nonunique
-par la condition que,
pour les
grandes
distances àl’émetteur,
lechamp
se compose exclusivement d’ondes
divergentes (ondes
issues de la source et s’en
éloignant indéfiniment)
sans contenir aucun terme
convergent
qui
pourrait
donner naissance
précisément
à des ondesstation-naires. Or Sommerfeld
établit,
ens’appuyant
surcette
condition,
une démonstration d’unicité pourdes aériens au
voisinage
d’un groupe de corps nondissipatifs
situés tous à distance finie etnoyé
dansun milieu indéfini non
dissipatif.
Comme dans notreproblème
le solsupposé purement
diélectrique
s’étend à l’infini nous
compléterons
la démonstration d’unicité de cet auteurpour k1,2
réels enpartant
de la
condition
d’ondesdivergentes
pures. Ce faisant nous reconnaîtrons que lasingularité
desource à
l’origine
n’entame pas la validité de ladémonstration contrairement à ce
qu’affirme
Epstein.
b.
Supposons
donc k, et k2
purement
réels. Dèslors la condition d’ondes
divergentes
s’écrit(avec
sous la forme
(2)
et
n est la normale
pointant
vers l’extérieur d’une surface à l’infinienveloppant
tout ledispositif.
Enprenant
pour celle-ci unegrande
sphère,
cettedirection se confond avec celle de R
(considéré
comme rayonvecteur).
Ceciétant,
reformulonsnotre
problème.
Mettons à laplace
des conditions(I)
à
(IV)
les conditions(I’)
à(IV’),
ces deux groupesde conditions
se *distinguant
en ceci que(IV’)
remplace
(III)
et quekl.2
sont maintenantpurement
réels. Nous cherchons donc deux fonctions111
etTI2
jouissant
despropriétés
suivanteOn a
(2) La condition b fut imposée à cette époque par
Sommerfeld indépendamment de la condition a, Depuis
Relich ([i4], p. 19 5) a démontré que celle-ci est déjà contenue dans la condition a.
’
Récrivons
(IV’)
selon Sommerfeld’
Supposons
que nous ayons deux solutionsdiffé--rentes de ce
problème;
nous allons montrer que leurdifférence est nulle. Soient
nI, H2 la
première solution,
11
Il’ 2
la secondesolution ;
Hi,
112 la première
solutionconjuguée,
lI" W,
la seconde solutionconjuguée.
Posons ~ en outreCeci
posé,
la formule de Greenpeut
se mettresous la forme
où S est le volume du
demi-espace
supérieur
9),
Fig. 9.
cr sa surface. Lie
premier
se compose : Iodel’hémi-sphère
infini;
a~ d’unpetit
hémisphère
entourantla source; 30 du
plan z
= o sous-tendu entre les deuxhémisphères.
Soit d~ l’élément de surface dela
grande
demi-sphère
et soit dwl’angle
solide(-
~~
r pour unesphère);
il vient alors172
il en résulte en vertu de I’
l’intégrale
de surface devant être étendue auxtrois surfaces. On voit maintenant que
l’intégrale
dusecond membre étendue à la
petite demi-sphère
entourant la source s’annule commep2,-
p étant
son rayon.(Ceci
montre enpassant
que la remarqued’Epstein
sur l’invalidité de la démonstration de Sommerfeld enprésence
d’une source n’est pasfondée.)
Car en vertu de(III’)
nousimposons
fini et continu aussi à
l’origine,
fini et continu aussi à
l’origine (y compris
leursdérivées).
’
C’est
pourquoi
est
également
fini et continu avec ses dérivées surla
petite
demi-sphèie.
On y a doncM étant un nombre
positif
fixe suffisammentgrand.
Par suiteConsidérons maintenant
l’intégrale
du secondmembre étendue à la
grande
demi-sphère.
La condi-tion d’ondesdivergentes impose
à u,avec u‘ ~ o pour R-~ oJ. On a donc pour Ul
par
suite,
Avec dl = R2 dw le second membre devient
on
Rui
reste fini pour en vertu de(IV’);
pour R -o ce, dco fini. Ainsi le deuxième terme
sur la
grande
demi-sphère
s’annule dansl’inté 9 rale;
lI1 l4 est réel et
l’intégrale,
finie en vertu de(IV‘~,
est
imaginaire négative.
_ Reste à traiter
l’intégrale
étendue auplan.
Laformule de Green se réduit à
-Le
premier
membre estréel,
lepremier
termedu second membre est
imaginaire.
On a de mêmedans le second milieu
Multiplions
(49)
par >(50)
par2013
etajoutons
membre à
membre,
il vientComme n est la normale
dirigée
vers l’extérieurdu domaine
envisagé,
on a lelong
duplan
En vertu de
(II’)
l’accolade s’annule donc et ilreste une
équation
dont lepremier
membre estpurement
réel et le second membrepurement
imaginaire.
Celle-ci nepeut
donc être vérifiée quesi la différence u,, U2 entre les deux solutions
sup-posées ][Il.2
etdisparaît.
La solution n’est doncpas seulement
unique pour kt 2
complexes
commel’a
jadis
montréSommerfeld
(igog),
mais aussi pourk1.’1
purement
réels. Ladémonstration
d’unicitéprécédente
est bien entendu la réunion des modes2. Nous allons maintenant montrer que l’onde de surface ne
remplit
pas la condition d’ondesdivergentes.
En se
restreignant
auxgrandes
valeurs de ron avait
Avec cos
2¡~
> o. On voitqu’il
s’agit ici
d’unrayonnement
venant de l’infini. Montrons encore_
I 0.
analytiquement
que la condition d’ondesdiver-gentes
n’est pasrespectée,
par substitution dansl’expression
(IV’).
Nous fixons r et convenons quepour z > r .
’ ce
qui
revient à poser ,11 vient alors
car pour des
finis,
Or
l’équation
d’ondes estanalytique
en Si l’on a une. solutionpour k
réel,
onpeut
lapro-longer pour k complexe,
elle reste bien déterminéeen vertu de la démonstration d’unicité de
Sommer-feld,
mais elle ne saurait renfermer. l’onde de surface.3. Si nous voulons donc résoudre notre
problème
nous avons à tracer les chemins
d’intégration
demanière à
remplir
la condition d’ondesdivergentes.
Sommerfeld afourni,
dans son travail sur la fonctionde
Green,
une séried’exemples
à cesujet.
Appli-quons donc ces
principes
à notreproblème.
A ceteffet,
représentons-nous
bien comment Sommerfeld.a tracé les contours
ct’intégration
et avant tout les coupures de branchement et ce sous laforme
qu’elles
revêtent
quand k, et k2
deviennent
réels(fig. I i).
Ainsiqu’il
a été dit(fig. 2),
Sommerfeld choisità titre de coupures des
hyperboles équilatères
issues des
points k,
etk2 qui
ont pourasymptotes
l’axe réel et
imaginaire.
Lorsque, k1 et k2
sontréels,
ces courbes se confondent d’abord avec l’axe réel
compris
respectivement
entrek2,
kl
etl’origine
pour se transformer en l’axe
imaginaire.
Nousdessinons à
part
sur lafigure
1 l, , avantqu’ils
nese
confondent,
les deux bords des coupuressépa-rément. Ainsi par
exemple,
lacoupure kl
est entraits
interrompus;
la lèvrequi
forme le bordsupé-rieur du
demi-plan supérieur
de ~. estmarquée
par des hachures sur laligne
en traitsinterrompus;
, Fie.
1 1.
nous
parlerons
ainsi par la suite de lèvre « hachurée, »et de lèvre « non hachurée ». De même nous marquons
par des traits
mixtes,
une lèvre hachurée et unelèvre non hachurée de la coupure
passant
park2.
Nous
désignerons
ces coupurespar k1
et 4
par i’et
2’respectivement.
Rien ne nousempêche
d’ailleurs
de
déplacer
nos coupures dans ledemi-plan
supérieur
vers lespositions
que nous avonsdésignées
par i’ et2",
chaque
lèvre étant alorsmarquées
par deslignes
doubles(deux
lignes
en traitsinterrompus,
deux
lignes
en traits mixtes avechachurage
simple
des
lèvres).
Nous pouvons encore faire passer lescoupures à notre
guise
dans l’infini. Nous avonsau
préalable
à déterminer laposition
dupôle.
Pourcela
figurons-nous
leplan
découpé
suivant i’ et. 2’.L’équation
à résoudre estCe dénominateur de
l’expression
àintégrer
s’annule pour
Comme
lei
etk
> sonttoujours
situés dans lepremier quadrant,
on voit tout de suite(analogie
de la mise en
parallèle
d’impédances)
quea.
Indiquons
dès lors laposition
exacte. Sommerfeld a montré que la racine se trouve dans le feuilletsupérieur
duplan
armé des coupures i’ et2’,
c’est-à-dire dans le domainequi pour k, et k2
devenantréels va se rétrécissant entre la lèvre hachurée de 1’
main-tenant cette dernière coupure vers la
position
2’ et montrons que lepôle
se trouve situé sur la lèvresupérieure
hachurée de I’(fia. 12).
Ainsiqu’on
leFig.12.
voit le
pôle
se trouve àgauche
dekl,
en unpoint
où les deux radicauxVÀ2-ki,2
dans(54)
sont designe
contraire. Ceux-ci sont normés defaçon
à tendre pour ~, -->- + 00, vers la valeur
~~~,
plus
précisément
vers + oo . Ce choix résulte de lanéces-sité de convergence de nos
intégrales.
Si donc enpartant de +
oo nous considérons les deux radicauxdans
(54),
ils se trouventêtre,
à droite dek,,
tous les deuxpositifs
et ils nepeuvent
pas vérifierl’équation
(54).
Si l’on décrit lapetite
demi-circon-férence inférieure
marquée
sur lafigure,
autour dupoint k2,
(À2 -k)
devientnégatif
imaginaire
et le reste lelong
de l’axe réeljusqu’à
l’origine.
L’expression
est d’abord réellejus-qu’au
point À
=kl.
Si maintenant une valeurréelle À inférieure à
k,
doit être une solution denotre
équation,
il nousfaut,
pour latrouver, décrire,
autour du
point
deramification k,
du radicaly/À 2 - k
§
qui
est unpoint régulier
pour le radical~/~2--k?,
un arc de cercle tel que le
premier
radical ait lesigne
contraire du secondradical;
c’est-à-dire onla trouvera sur le
tronçon
qui
décrit un contour’ vers le haut autour dupoint
= En cepoint
les radicaux ont des
signes
contraires,
ils sont tousles deux
imaginaires
etl’équation
(54)
peut
êtreremplie.
Quand k~
devient d’abordcomplexe,
lepoint
sedéplace
un peu vers lehaut,
reste néanmoins dans le cercle en traitsinterrompus
dessinés sur lafigure
T 2 centré àl’origine,
de rayonSommer-feld avait situé à
l’époque,
lepôle
en unpoint qui
correspond
à peuprès
à la croix de lafigure
12, donc à l’extérieur de ce cercle. C’estpeut-être
làla raison
psychologique
de l’erreur de Sommerfelddont il sera
question
par la suite. Nous voyons àl’avance que par le choix des coupures
1 ",
2" quenous pouvons tracer à notre
gré,
lepôle disparaît
sur le feuillet inférieur du
plan
~. Un contourd’intégration qui
entoure la coupure I" nepeut
rencontrer le
pôle. Lorsque k2
devientinfini,
lepôle pénètre
dans lepoint
de branchementkl;
mais
alors,
ainsi que l’a montréSommerfeld,
lerésidu~ s’annule et l’on obtient la solution connue
d’Abraham
qui
ne renferme bienentendu,
nulleonde de surface.
-b. Nous allons mettre les choses au clair en faisant
d’abord la
représentation
conforme duplan ’3
deWeyl
sur leplan »
deSommerfeld,
enparticulier
pour le cas
de k1
et k2
réels.Moyennant (31)
4 =kl
sin3 onpeut
traduire lafigure
10 dans leplan
~.Nous
découpons
leplan À
lelong
de I" et 2" suivantune droite
parallèle
à l’axeimaginaire;
noushachurons dans les deux
plans,
de la mêmefaçon,
les domainescorrespondants
et choisissons les mêmessymboles
pour deslignes correspondantes.
Nousavons tracé en traits
doubles,
dans les deuxplans
(il
fautsouligner
lacorrespondance
avec le choixdes coupures dessinées en traits
doubles),
unchemin
d’intégration
qui correspond
à celui deWeyl.
Nous ferons d’abord abstraction comme lefait
Sommerfeld,
du contour autour de la coupuredes k~ purement
réels auvoisinage
immédiat dusol;
nous y reviendrons. Or Je chemin de
Weyl
passepar un
col,
situé sur l’axe réel entre oet 2
etqui
2
correspond
à la valeur 3qui correspond
aupoint
de
réception.
Ce col fournit ledéveloppement
asymptotique
del’intégrale.
Cela a un sensphysique
très clair. Lors d’une
intégration
parrapport
àl’angle
d’incidence 3,
cequi
fournit lapartie
prin-cipale
c’est cequi
correspond
àl’angle
réel dupoint
deréception.
,-~
Fig. 14.
Comme nous le voyons
donc,
leslignes
en traitsdoubles se
correspondent.
Le chemin deWeyl
WWcorrespond
au chemin duplan À
qui
passe sur lefeuillet
supérieur
duplan ~ qui,
en raison de l’entaille lelong
deIl’,
ne renfermeplus
aucunpôle.
Sondéveloppement asymptotique
appuyé
sur le colmentionné ne contient pas d’onde de surface. Son
calcul est correct.
c. Or il en résulte une
conséquence
essentielle(fig. 13).
Si nous faisons passer de nouveau, dansle
plan
~,
la coupure par lepôle
et si nous déformonsle chemin WW chez
Weyl
de manière que W setransforme dans le chemin W de la
figure
15 etFig. 15.
qu’il
passepar-dessus
lepôle,
le chemin WW ensemble avec le résidu aupôle,
doit donner la même chose que WWprécédemment :
en d’autrestermes, il ne
peut
pas y avoir dans la somme desdeux,
d’onde de surface et, parsuite,
lapartie
W doit renfermer l’onde de surface ou le résidu avecle
signe
contraire. Il sufflt de montrer cela enpremière
approximation,
le théorème deCauchy
garantit
dès lorsqu’il
en est ainsi en touterigueur
16,17).
Nous avonsreprésenté
sur lafigure
1 ~Fig. 16.
’
le
voisinage
dupôle;
lafigure
17représente
lesvaleurs de
l’intégrale
lelong
de AA’ et nousmontrerons
qu’au
point
C il y a un colqui
estentouré par la circulation autour du
pôle
et par lechemin W en sens contraire. En
partant
dupôle
vers le haut
(c’est-à-dire
quand
lapartie
imaginaire
de À va en
croissant),
la valeur del’intégrale
diminue : 10 en raison du facteur
-2013L2013
dû au, 2013
Ap
voisinage
dupôle
et ensuite 20 parce que le facteurexponentiel
e>>e’
qui
est dûasymptotiquement
à la fonction de Hankel sous lesigne
somme, décroîtexponentiellement
comme et celad’autant
plus
rapidement
que r estplus
grand.
Vers le
bas,
bienentendu,
l’expression
àintégrer
décroît d’abordquand
ons’éloigne
dupôle
pour recommencer à croîtreexponentiellement
dansl’autre
direction,
précisément
en vertu de ce facteurexponentiel.
Entre ces deux allures se trouve unpoint
Cqui
est un col.première
approximation
commeintégrale
de col.Sa
partie
principale
serait alors fournie par ce col.Le chemin WW
parcourt
cecol
en sens inverseet annule cette
partie
due aupôle.
Ceci vaut enpremière approximation,
mais il doit en être ainsi en touterigueur
en vertu du théorème deCauchy.
Nous allons encore calculer le col
analytiquement
de la manière suivante. Si nous
remplaçons
lafonc-tion de Hankel
[(21)]
]
par sondév eloppement
asymptotique (ce
qu’on
peut
faire pour rgrand)
et si nous nous
limitons,
pour des raisons desimpli-cité,
à des zpetits (z ~ r)
on a en vertu de(19)
(exp.(2013~~2013/~)
étant défini comme lentementvariable)
dansl’expression
àintégrer
si l’on
développe
le dénominateur autour de saracine avec un coefficient a
Si maintenant on dérive
l’exposant
parrapport
à 1. etqu’on
annule lerésultat,
on obtient’
d’où l’on tire pour le col
ce
qui
montre que pourchaque
rfixe,
le col estsitué au-dessous du
pôle
P.La controverse autour de l’onde de surface
qui
duredepuis
près
de 3o ans se trouve de ce chefdéfinitivement tranchée. Le
développement
asymp-totique
dû à Sommerfeld del’intégrale
prise
surla coupure de
ramification,
s’appuie uniquement
sur le
point k1
ou, ainsi que le montre la solution deWeyl,
sur lapartie
du chemin Wqui
est parcourudevant le
point
k1.
Ce col aéchappé à
Sommerfeldprobablement
parcequ’il
avait dessiné lepôle
simplement
en unpoint (marqué
par une croixsur la
figure
I I )
situé partrop
à droite.d. Il nous reste encore à traiter brièvement la
coupure par
k2.
Quand k,
estcomplexe, l’intégrale
correspondante
estexponentiellement
atténuée lelong
de r(exp. [- -
ôrJ,
avec une valeur convenablede
8)
comme l’a montré Sommerfeld etpeut
êtrenégligée.
Sik2
estpurement
réel, un .calcul effectuépar la méthode du col montre
qu’il
seproduit
une onde
qui
estexponentiellement
atténuée,
versle
haut,
pour croissant etqui
nejoue
un rôlequ’au
voisinage
immédiat du sol. Mais comme nosconsi-dérations se
rapportent
pour des valeurspurement
réelles de
k2,
à un cas limitequi,
4dupoint
de vuede
l’explication
théorique,
estimportant,
et commedes valeurs
purement
réellesde kz
ne seprésentent
guère
sur la surface dusol,
la contribution due à laseconde coupure n’est
guère
mesurable etpeut,
partant,
êtrenégligée.
D. Résumé des conclusions. ~--- ~ 1. L’onde
de surface n’est pas contenue dans le
rayonnement
d’undipôle
sur un solplan
car elle ne vérifie pasla condition des ondes
divergentes.
.
2. Il résulte d’une étude
précise
que les calculs deWeyl
et de Sommerfeld ne diffèrent que parcequ’un
col estpassé
inaperçu
chez cedernier,
colqui
annule lapartie
due àl’onde
de surface. 3. Contrairement à l’affirmationd’Epstein,
leproblème
est bien déterminé etunique.
4.
Le raisonnementd’Epstein
montre néanmoins quel’onde
de surface nepeut
fairepartie
de lasolution car sa
singularité
deligne
contredit celleexigée
par leproblème.
5. Les résultats
expérimentaux
confirment cetteconception théorique.
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