• Aucun résultat trouvé

Devoir surveill´ e terminal

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Devoir surveill´ e terminal"

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

Universit´e Bordeaux 1

Licence de Sciences et Technologies 2011-2012

Fondamentaux pour les Math´ematiques et l’Informatique M1MI1002

Devoir surveill´ e terminal

16 janvier 2012, Dur´ee 1h30 Documents non autoris´es.

Les cinq exercices sont ind´ ependants.

Exercice 1. Formuler en langage courant la proposition suivante :

∀a∈R,∀b∈R,(a < b⇒ ∃c∈Q, a < c < b) Exprimer sa n´egation `a l’aide de quantificateurs, puis en langage courant.

Exercice 2. Montrer par r´ecurrence que pour tout entier naturel non nul n on a :

n

X

i=1

(−1)ii= (−1)n(2n+ 1)−1 4

Exercice 3. On d´efinit sur R la relation binaire R par xRy⇐⇒x2−y2 =x−y.

1. Montrer que R est une relation d’´equivalence.

2. D´eterminer les classes d’´equivalence de 0,1 et 12. Exercice 4.

1. On souhaite d´eterminer tous les couples (a, b) d’entiers naturels solutions du syst`eme (S) :

(PGCD(a, b) = 15 a+b = 180

(a) D´eterminer tous les couples (x, y) d’entiers naturels premiers entre eux tels quex+y= 12 (on rappelle que deux entiers x ety sont premiers entre eux si PGCD(x, y) = 1).

(b) Montrer que (a, b) est solution du syst`eme (S) si et seulement si il existe des entiers naturels a0 etb0 premiers entre eux tels que a= 15a0, b = 15b0 et a0+b0 = 12.

(c) D´eduire de ce qui pr´ec`ede la liste de tous les couples (a, b) d’entiers naturels dont le PGCD vaut 15 et la somme 180.

2. Soit

f :N×N −→N×N

(x, y) 7−→(PGCD(x, y), x+y) L’application f est-elle injective ? Surjective ? Justifiez.

tourner svp →

(2)

Exercice 5. SoitE un ensemble fini non vide, eta0un ´el´ement fix´e deE. On noteP(E) l’ensemble des parties de E et on consid`ere l’application

f :P(E) −→ P(E) A 7−→

(A∪ {a0} sia0 6∈A A\ {a0} sia0 ∈A

.

1. Montrez que si CardA est pair alors Cardf(A) est impair, et que si CardA est impair alors Cardf(A) est pair.

2. Montrer que ∀A∈ P(E), f ◦f(A) =A.

3. En d´eduire que f est bijective.

4. D´eduire de ce qui pr´ec`ede une d´emonstration de l’affirmation : «Un ensemble fini et non vide poss`ede autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal impair ».

Références

Documents relatifs

Attention: Ce résultat n'est plus vrai pour les ensembles infinis.. III) Opérations sur les ensembles finis, dénombrement Intersection.. Propriété: Si E et F sont des ensembles

Un rangement est un procédé qui à chaque paire de chaussettes associe un tiroir, c’est donc un application de l’ensemble des chaussettes dans l’ensemble des tiroirs.. Si CardF ă

D´ eduire de ce qui pr´ ec` ede une d´ emonstration de l’affirmation : « Un ensemble fini et non vide poss` ede autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal impair

Pour les deux autres, on aura intérêt à fixer le cardinal d’une intersection (ou d’une union) et dénombrer les configurations correspondantes pour, dans un deuxième temps,

Th´ eor` eme 3 (cardinal et ensemble des applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini)) : Soient E et F deux ensembles finis... Un k-uplet d’´el´ements de E est donc une

Combien de menus différents composés d’une entrée, d’un plat et d’un dessert peut-on constituerb. Même question si le dessert est une tarte aux

Dans un naufrage ult´ erieur, seuls le tr´ esor, six pirates et le cuisinier sont sauv´ es, et le partage donnerait alors cinq pi` eces d’or ` a ce dernier2. Quelle est la

2) La répétition : Si on remet chaque boule tirée dans l’urne avant de tirer la suivante, on peut tirer plusieurs fois la même boule : on parle alors d’un tirage avec répétition