david Delaunay
1
ermai 2015
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Première partie
Algèbre
Chapitre 1
Groupes
1.1 L’ensemble Z /n Z
1.1.1 Relation d’équivalence
Définition
On appelle relation d’équivalence sur un ensembleEtoute relation binaireRvérifiant 1)Rest réflexive i.e.∀x∈E, xRx;
2)Rest symétrique i.e.∀x, y∈E, xRy⇒yRx: 3)Rest transitive i.e.∀x, y, z∈E, xRyetyRz⇒xRz; Exemple L’égalité est une relation d’équivalence surE.
Exemple L’équivalence des suites (ou de fonctions au voisinage dea∈ ¯
R) est une relation d’équivalence.
Exemple L’équivalence des matrices deMn,p(K).
Remarque Plus généralement, pour une applicationf :E→F, la relationRdonnée par xRy⇔f(x) =f(y)
définit une relation d’équivalence surE.
Remarque En fait, une relation d’équivalence se comprend comme « une égalité modulo certains critères » .
1.1. L’ENSEMBLEZ/NZ
1.1.2 Classe d’équivalence
SoitRune relation d’équivalence surE.
Définition
On appelle classe d’équivalence d’un élémentxdeEpour la relationR, le sous-ensemble noté Cl(x)formé des éléments qui sont en relation avecx
Cl(x) =
déf{y∈E/xRy}
La classe d’équivalence dexest encore souvent notéex,˙ x,¯ x,. . .ˆ Exemple ConsidéronsE={a, b, c, d, e}etf :E→ {0,1,2}définie par
f(a) = 0, f(b) = 1, f(c) = 0, f(d) = 1etf(e) = 2 La relationRdéfinie par
xRy⇔f(x) =f(y) est une relation d’équivalence que l’on peut visualiser ainsi
Pour celle-ciCl(a) =Cl(c) ={a, c},Cl(b) =Cl(d) ={b, d}etCl(e) ={e}.
Remarque Cl(x)réunit les éléments deEqui sont « égaux modulo la relationR» . Théorème
a)∀x∈E, x∈Cl(x);
b)∀x, y∈E,xRy⇒Cl(x) =Cl(y); c)∀x, y∈E,x6 Ry⇒Cl(x)∩Cl(y) =∅
Ainsi une classe d’équivalence n’est jamais vide et deux classes d’équivalence distinctes sont disjointes.
dém. :
x∈Cl(x)car la relationRest réflexive.
SixRyalors pour toutz ∈Cl(y)on ayRzet doncxRzpar transitivité. AinsiCl(y)⊂Cl(x)et par symétrie on a l’autre inclusion et donc l’égalité.
Enfin, par contraposée, siCl(x)∩Cl(y)6=∅alors pour un certainz∈Cl(x)∩Cl(y), on axRzetyRz donc par symétrie et transitivité, on obtientxRy.
Remarque Siyest élément d’une classe d’équivalenceCl(x)alorsxRyet doncCl(x) =Cl(y). Ainsi, tout élément d’une classe d’équivalence détermine celle-ci.
Définition
Tout élémentyd’une classe d’équivalence est appelé représentant de celle-ci.
1.1.3 Ensemble quotient
SoitRune relation d’équivalence surE. Les classes d’équivalence réalisent une partition deE; cette partition est obtenue en regroupant entre eux les éléments qui sont « égaux modulo la relationR» . Exemple Considérons la relation d’équivalence précédente surE={a, b, c, d, e}.
Celle-ci réalise une partition deEen 3 classes d’équivalence.
Définition
On appelle ensemble quotient de E par Rl’ensemble des classes d’équivalence pour rela- tionR.
On le noteE/R.
Remarque E/Rse comprend comme l’ensemble obtenu lorsqu’on « identifie entre eux les éléments qui sont égaux moduloR» .
Exemple L’ensembleQdes nombres rationnels se construit comme l’ensemble quotient deZ×Z? pour la relation
(a, b)R(c, d)⇔ad=bc La classe d’équivalence d’un couple(a, b)est alors notéea/b.
1.1.4 L’ensemble Z /n Z
Soitn∈N?. Définition
On définit surZla relation de congruence modulonpar a≡b [n]⇔n|(b−a)
Proposition
La relation de congruence modulonest une relation d’équivalence surZ. dém. :
La relation est réflexive cara≡a [n]puisquen|(a−a).
La relation est symétrique cara≡b [n]⇒b≡a [n]puisquen|(b−a)⇒n|(a−b).
Enfin, la relation est transitive cara≡b [n] etb≡c [n]⇒a≡c [n]puisquen| (b−a)etn| (c−b)⇒n|(c−a).
1.1. L’ENSEMBLEZ/NZ
Définition
Pour a ∈ Z, on note ¯a la classe d’équivalence de a ∈ Z pour la relation de congruence modulon.
Ainsi
¯
a={a+kn/k∈Z}=a+nZ
Définition
On noteZ/nZl’ensemble quotient deZpour la relation de congruence modulon.
Théorème
Z/nZest un ensemble fini ànéléments qui sont
¯0,¯1, . . . ,(n−1)
dém. :
¯0,¯1, . . . ,(n−1)sont des éléments deZ/nZ. Poura, b∈ {0, . . . , n−1},
¯
a= ¯b⇒n|(b−a)⇒a=b Par suite, les classes¯0,¯1, . . . ,(n−1)sont deux à deux distinctes.
Pour tout¯a∈Z/nZ, en considérant le rester∈ {0,1, . . . , n−1}de la division euclidienne deaparn, on obtient¯a= ¯r. Ainsi toutes les classes d’équivalence figurent parmi¯0,¯1, . . . ,(n−1).
Exemple Z/2Z={¯0,¯1},Z/3Z={¯0,¯1,¯2},Z/4Z={¯0,¯1,¯2,¯3}, etc.
Proposition
Pour touta, b, a0, b0 ∈Z,
a≡a0 [n] etb≡b0 [n]⇒a+b≡a0+b0 [n] etab≡a0b0 [n]
dém. :
n|a0−aetn|b0−bentraînentn|(a0+b0)−(a+b) = (a0−a) + (b0−b)etn|(a0b0)−(ab) = (a0−a)b0+a(b0−b)
Définition
On définit deux opérations+et×surZ/nZen posant
¯ a+ ¯b=
défa+bet¯aׯb=
défab
Remarque La définition ci-dessus est consistante puisque le résultat de ces opérations ne dépend pas des représentantsa, bchoisis pour chaque classe.
Exemple DansZ/6Z,
¯3 + ¯5 = ¯8 = ¯2ou encore¯3 + ¯5 = ¯3 +−1 = ¯2.
¯3ׯ5 = 15 = ¯3ou encore¯3ׯ5 = ¯3× −1 =−3 = ¯3.
1.2 Structure de groupe
1.2.1 Définition
Définition
On appelle groupe tout couple(G, ?)formé d’un ensembleGet d’une loi de composition interne?surGvérifiant :
1) ? est associative i.e.
∀a, b, c∈G,(a ? b)? c=a ?(b ? c); 2) ? possède un neutre i.e.
∃e∈G,∀a∈G, a ? e=a=e ? a cet élémenteest alors unique ;
3) tout élément deGest symétrisable ? i.e.
∀a∈G,∃b∈G, a ? b=e=b ? a cet élémentbest alors unique et appelé symétrique dea, notéa−1. Si de plus la loi?est commutative, on parle de groupe abélien.
Lorsque la loi est notée ×ou., on dit que le groupe est noté multiplicativement ( e → 1, a ? b→ab)
Lorsque la loi est notée +, on dit que le groupe est noté additivement(e→0,a ? b→a+b, a−1→ −a). Cette dernière notation est réservée au groupe commutatif.
Attention : Lorsque la loi?n’est pas commutative : - la neutralité deese vérifie par deux compositions ;
- l’inversibilité d’un élément se vérifie par deux compositions ; - on a(a ? b)−1=b−1? a−1.
Exemple (C,+),(R,+),(Z,+)sont des groupes abéliens de neutre 0.
Exemple (C?,×),(R?,×),(R+?,×)sont des groupes abéliens de neutre 1.
Exemple (GLn(K),×)est un groupe non commutatif de neutreIn.
1.2. STRUCTURE DE GROUPE
1.2.2 Itéré d’un élément
Soit(G, ?)un groupe de neutree.
Définition
Poura∈Getk∈Z, on noteakl’itéré d’ordrekde l’élémenta: - pourk >0,ak=
défa ?· · ·? a(ktermes) ; - pourk= 0,a0=
défe; - pourk <0,ak=
défa−1?· · ·? a−1(|k|termes).
Proposition On a
∀k, `∈Z,ak? a`=ak+`et(ak)`=ak`
dém. :
Il suffit de discuter selon les signes des exposants d’itérations considérés, c’est un peu lourd. . .
Remarque Si le groupe est noté additivement, on notek.al’itéré d’ordrekdea. On a alors k.a+`.a= (k+`).aet`.(k.a) = (k`).a
Attention : En général
(a ? b)p6=ap? bp En effet
(a ? b)p= (a ? b)?(a ? b)? . . . ?(a ? b) et
ap? bp= (a ? a ? . . . ? a)?(b ? b ? . . . ? b) Cependant, siaetbcommutent alors(a ? b)p=ap? bp
1.2.3 Le groupe symétrique
Définition
On noteSEl’ensemble des permutations deEi.e. des bijections deEversE.
Théorème
(SE,◦)est un groupe de neutre IdE.
Ce groupe est non commutatif dès que CardE>3.
Exemple Sn=S({1, . . . , n})est un groupe de cardinaln!.
Parmi ses éléments signalons :
- les transpositionsτ= ( i j) vérifiantτ2=Id ; - lesp-cyclesc= ( a1 a2 . . . ap) vérifiantcp=Id.
1.2.4 Le groupe ( Z /n Z , +)
Théorème
(Z/nZ,+)est un groupe abélien ànéléments de neutre¯0.
De plus
∀¯a∈Z/nZ, −¯a= (−a)
dém. :
¯
a+ ¯b= (a+b) = (b+a) = ¯b+ ¯adonc+est commutative surZ/nZ.
(¯a+ ¯b) + ¯c=a+b+ ¯c= (a+b) +c=a+ (b+c) = ¯a+ (¯b+ ¯c)donc+est associative surZ/nZ.
¯
a+ ¯0 =a+ 0 = ¯a= ¯0 + ¯adonc¯0est élément neutre de(Z/nZ,+).
¯
a+ (−a) =a−a= ¯0 = (−a) + ¯adonc¯aest symétrisable et−¯a= (−a).
Exemple n= 2,Z/2Z={¯0,¯1}.
+ ¯0 ¯1
¯0 ¯0 ¯1
¯1 ¯1 ¯0
Exemple n= 3,Z/3Z={¯0,¯1,¯2}.
+ ¯0 ¯1 ¯2
¯0 ¯0 ¯1 ¯2
¯1 ¯1 ¯2 ¯0
¯2 ¯2 ¯0 ¯1
Remarque Dans une table d’opérations, sur chaque ligne figure chaque élément de groupe ; cela provient de la bijectivité de l’applicationx7→a ? xsurG. On a la même propriété sur les colonnes.
Théorème
Pour tout¯a∈Z/nZetk∈Z
k.¯a=k×a
dém. :
Par récurrence pourk∈N. Cask= 0:0.¯a= ¯0 = 0.a.
Supposons la propriété vraie au rangk>0.
(k+ 1).¯a=k.¯a+ ¯a =
HRka+ ¯a=ka+a= (k+ 1)a Récurrence établie.
Pourk∈Z−, on peut écrirek=−pavecp∈N. On a alors
k.¯a=−(p.¯a) =−pa=−pa=ka
1.2. STRUCTURE DE GROUPE
1.2.5 Produit fini de groupes
Définition
Soit?1, . . . , ?ndes lois de composition interne sur des ensemblesE1, . . . , En. On appelle loi produit surE=E1× · · · ×Enla loi ? définie par
(x1, . . . , xn)?(y1, . . . , yn) =
déf(x1?1y1, . . . , xn?nyn)
Proposition
Si(G1, ?1),. . . ,(Gn, ?n)sont des groupes de neutrese1, . . . , en alorsG =G1×. . .×Gn muni de la loi produit? est un groupe de neutree= (e1, . . . , en).
De plus :
- l’inverse d’un élément(x1, . . . , xn)∈Gest(x−11 , . . . , x−1n );
- si tous les groupes(G1, ?1),. . . ,(Gn, ?n)sont commutatifs, le groupe(G, ?)l’est aussi.
dém. :
Soitx= (x1, . . . , xn),y= (y1, . . . , yn)etz= (z1, . . . , zn)éléments deG1×. . .×Gn. On a
x ?(y ? z) = (. . . , xi?i(yi?izi), . . .) et
(x ? y)? z= (. . . ,(xi?iyi)?izi, . . .) Puisque les lois?isont associatives, on obtient
x ?(y ? z) = (x ? y)? z L’élémenteest neutre car
x ? e= (. . . , xi?iei, . . .) =xete ? x= (. . . , ei?ixi, . . .) =x L’élémentxest symétrisable de symétriquex0= (x−11 , . . . , x−1n )car
x ? x0= (. . . , xi?ix−1i , . . .) =eetx0? x= (. . . , x−1i ?ixi, . . .) =e Ainsi(G, ?)est bien un groupe.
Si de plus les lois?isont toutes commutatives
x ? y= (. . . , xi? yi, . . .) = (. . . , yi? xi, . . .) =y ? x
Exemple Si(G, ?)est un groupe de neutreealors(Gn, ?)est un groupe de neutre(e, . . . , e).
Exemple Pour(G1, ?1) = (G2, ?2) = (Z,+), la loi produit surZ2que nous notons+est définie par : (x1, x2) + (y1, y2) = (x1+y1, x2+y2)
(Z2,+)est un groupe abélien de neutre0Z2= (0,0).
Exemple Pour(G1, ?1) = (R+?,×)et(G2, ?2) = (R,+), la loi produit surR+?×Rque nous notons
?est définie par :
(r, θ)?(r0, θ0) = (rr0, θ+θ0) (R+?×R, ?)est alors un groupe abélien de neutree= (1,0).
De plus
(r, θ)−1= (1/r,−θ)
1.3 Sous-groupes
(G, ?)désigne un groupe de neutree.
1.3.1 Définition
Définition
On appelle sous-groupe d’un groupe(G, ?)toute partieHdeGvérifiant : 1)e∈H;
2)∀x, y∈H, x ? y−1∈H.
Exemple {e}etGdes sont sous-groupes de(G, ?).
Remarque Le point 1) peut aussi être transposé enH 6=∅car alorsH6=∅et 2) entraînee∈H. Le point 2) peut aussi être transposé en 2a)∀x, y∈H, x ? y∈H et 2.b)∀x∈H, x−1∈H.
Remarque Si le groupe est noté additivement 1) et 2) se relisent0∈Het∀x, y∈H, x−y∈H. Théorème
SiH est un sous-groupe d’un groupe(G, ?)alors(H, ?)est un groupe de même neutre.
Exemple L’ensemble des racinesn-ième de l’unité est
Un={z∈C/zn= 1}
C’est un sous-groupe de(C?,×).
(Un,×)est le groupe des racinesn-ième de l’unité.
Rappelons
Un =n
e2ikπ/n/k∈J0, n−1K o
=
ωk/k∈J0, n−1K avecω= e2iπ/n.
Exemple L’ensemble des matrices orthogonale est On(R) =
A∈ Mn(R)/tAA=In
C’est un sous-groupe de(GLn(R),×).
(On(R),×)est un groupe, c’est le groupe orthogonal d’ordren.
1.3. SOUS-GROUPES
1.3.2 Intersection d’une famille de sous-groupes
Théorème
Si(Hi)i∈Iest une famille de sous-groupes de(G, ?)alors leur intersectionH =\
i∈I
Hiest un sous-groupe de(G, ?).
dém. :
H ⊂Gete∈Hcareest élément de chaqueHi.
Soitx, y∈H. Pour touti∈I,x, y∈Hidoncx ? y−1∈Hipuisx ? y−1∈H.
Remarque La réunion de deux sous-groupes n’est pas un sous-groupe sauf cas d’inclusion de l’un dans l’autre.
1.3.3 Sous-groupe engendré par un élément
Définition
On appelle sous-groupe engendré par un élémenta∈Gl’ensemble hai=
déf
ak/k∈Z
Remarque En notation additive,
hai={k.a/k∈Z}
Théorème
haiest un sous-groupe de(G, ?)contenanta.
De plus, pour tout sous-groupeHdeG
a∈H ⇒ hai ⊂H Ainsihaiapparaît comme le plus petit sous-groupe contenanta.
dém. :
hai ⊂G,e=a0∈ haiet pour toutx, y∈ hai, on peut écrirex=ak,y=a`aveck, `∈Zet alors x ? y−1=ak−`∈ hai
haiest donc un sous-groupe de(G, ?)eta=a1∈ hai.
De plus, siHest un sous-groupe de(G, ?)contenantaalors
a0=e∈H,a1=a∈H,a2=a ? a∈H,a3=a2? a∈H,. . . Par une récurrence facile,
∀k∈N,ak ∈H
Pourk∈Z−,k=−pavecp∈N,ak =a−p= (ap)−1∈H carap∈H.
Ainsi
∀k∈Z, ak ∈H
ce qui signifiehai ⊂H.
Remarque Même si la loi?n’est pas commutative, le sous-groupehaiest commutatif car ak? a`=ak+`=a`+k=a`? ak
Exemple Dans(C,+),
hai={ak/k∈Z}=aZ
Exemple Dans(C?,×),
hai=
ak/k∈Z En particulier
h2i=
2k/k∈Z ={. . . ,1/8,1/4,1/2,1,2,4,8, . . .}
et pourω= e2iπ/n
hωi=
ωk/k∈Z =
1, ω, . . . , ωn−1 =Un
carωn= 1.
Exemple Dans(S4,◦)considérons le cyclec= 1 2 3 4 . hci=
Id, 1 2 3 4
, 1 3
◦ 2 4
, 4 3 2 1
1.3.4 Sous-groupe engendré par une partie
Définition
On appelle groupe engendré par une partieAdeGl’intersection de tous les sous-groupes de (G, ?)qui contiennentA. On le notehAi
Théorème
hAiest un sous-groupe de(G, ?)qui contientA.
De plus, pour tout sous-groupeH de(G, ?),
A⊂H ⇒ hAi ⊂H AinsihAiapparaît comme le plus petit sous-groupe contenantA.
dém. :
PosonsS ={Hsous - groupe de(G, ?)/A⊂H}. Par définition hAi= \
H∈S
H
1.3. SOUS-GROUPES
hAiest un sous-groupe car intersection d’une famille de sous-groupes.
PuisqueAest inclus dans chaqueH∈ S, on aA⊂ hAi.
Enfin, siH est un sous-groupe de(G, ?)
A⊂H⇒H ∈ S ⇒ hAi ⊂H
Exemple Poura∈G,
h{a}i=
ak/k∈Z =hai
Exemple Poura, b∈G, h{a, b}i=
ak1b`1. . . aknb`n/n∈N?, k1, . . . , kn, `1, . . . , `n∈Z En fait
h{a, b}i={produits finis d’itérés deaetb}
Siaetbcommutent, on peut simplifier
h{a, b}i=
akb`/k, `∈Z
Exemple Dans(Z2,+)
h{(a, b),(c, d)}i={(ka+`c, kb+`d)/k, `∈Z} On peut montrer que ce groupe se confond avecZ2si, et seulement si,ad−bc=±1.
Exemple DansSn, considéronsT l’ensemble des transpositions éléments deSn. On a hT i=Sn
car il est connu que toute permutation peut s’écrire comme un produit de transpositions.
1.3.5 Les sous-groupes de ( Z , +)
Théorème
Les sous-groupes de(Z,+)sont lesnZavecn∈N. dém. :
nZest un sous-groupe de(Z,+)car
nZ={kn/k∈Z}=hni Inversement, soitHun sous-groupe de(Z,+).
CasH ={0}: on aH=nZavecn= 0.
CasH 6={0}: on introduitH+={x∈H/x >0}.
Il existex0∈Htel quex06= 0. Six0>0alorsx0∈H+, sinon−x0∈H+. Dans les deux casH+6=∅.
Rappelons : Toute partie non vide deNadmet un plus petit élément.
IciH+est une partie non vide deN, on peut donc introduiren= minH+. On an∈HdoncnZ=hni ⊂H.
Inversement, soitx∈H. Par division euclidienne,x=qn+ravec06r < n.
On a alorsr=x−qn∈Hcarqn∈nZ⊂H.
Sir >0alorsr∈H+ce qui est impossible carr < n= minH+. Il rester= 0et doncx=qn∈nZ.
AinsiH ⊂nZpuis par double inclusionH =nZ.
Remarque Le naturelntel queH =nZest unique car
SiH ={0}alorsn= 0et siH 6={0}alorsn= min{x∈H/x >0}.
1.4 Morphisme de groupes
Soit(G, ?),(G0,>)et(G00,⊥)des groupes.
1.4.1 Définition
Définition
On appelle morphisme du groupe(G, ?)vers le groupe(G0,>)toute applicationϕ:G→G0 vérifiant
∀x, y∈G, ϕ(x ? y) =ϕ(x)>ϕ(y)
Exemple L’application constanteϕ:G→Gdéfinie parϕ(x) =eest un morphisme du groupe(G, ?) vers lui-même.
Exemple L’identité IdGest un morphisme du groupe(G, ?)vers lui-même.
Remarque Un morphisme d’un groupe vers lui-même est souvent appelé endomorphisme.
Exemple lnest un morphisme de(R+?,×)vers(R,+).
En effet, pour touta, b >0,
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
Exemple expest un morphisme de(C,+)vers(C?,×).
En effet, pour toutz, z0∈C,
exp(z+z0) = exp(z) exp(z0)
Exemple Le déterminant définit par restriction un morphisme de(GLn(K),×)vers(K?,×)
1.4. MORPHISME DE GROUPES
Exemple La signatureε:Sn → {1,−1}avec ε(σ) = Y
16i<j6n
σ(j)−σ(i) j−i est un morphisme du groupe(Sn,◦)vers({1,−1},×).
En effet,
∀σ, σ0∈ Sn, ε(σ◦σ0) =ε(σ)×ε(σ0) Rappelons que siτest une transposition alorsε(τ) =−1.
En conséquence, sicest un cycle de longueurpalorsε(c) = (−1)p−1carcest un produit dep−1 transpositions
a1 a2 . . . ap
= a1 a2
◦ a2 a3
◦. . .◦ ap−1 ap
Exemple Soitaun élément d’un groupe(G, ?).
L’applicationϕ:Z→Gdéfinie parϕ(k) =akest un morphisme de groupes.
En effet
ϕ(n+p) =a?(n+p)=a?n? a?p=ϕ(n)? ϕ(p)
1.4.2 Propriétés
Proposition
Siϕ:G→G0etψ:G0→G00sont des morphismes de groupes alorsψ◦ϕ:G→G00en est un aussi.
dém. :
Soitx, y∈G. On a
ψ◦ϕ(x ? y) =ψ(ϕ(x)>ϕ(y)) = (ψ◦ϕ(x))⊥(ψ◦ϕ(y))
Remarque La composée de deux endomorphismes d’un groupe(G, ?)est un endomorphisme du groupe(G, ?).
Proposition
Siϕest un morphisme d’un groupe(G, ?)vers un groupe(H,>)alors ϕ(e) =e0et∀x∈G,ϕ(x−1) =ϕ(x)−1 Plus généralement
∀x∈G,∀n∈Z, ϕ(xn) =ϕ(x)n
dém. :
ϕ(e) =ϕ(e ? e) =ϕ(e)>ϕ(e)et en composant parϕ(e)−1on obtiente0=ϕ(e).
Aussiϕ(x)>ϕ(x−1) =ϕ(x ? x−1) =ϕ(e) =e0donc en composant parϕ(x)−1à gauche on obtient ϕ(x−1) =ϕ(x)−1
Par récurrence, on vérifie aisément
∀n∈N, ϕ(xn) =ϕ(x)n puis par passage au symétrique, on étend cette propriété àn∈Z.
Remarque On peut aussi établir
∀x1, . . . , xn∈G, f n
i=1? xi
= >n
i=1
f(xi)
Théorème
L’image directe (resp. réciproque) d’un sous-groupe par un morphisme de groupes est un sous- groupe.
dém. :
Soitϕ:G→G0morphisme de groupes.
SoitHun sous-groupe de(G, ?). Montrons que
ϕ(H) ={ϕ(x)/x∈H} est un sous-groupe de(G0,>).
D’une parte0 ∈ϕ(H)care0 =ϕ(e)avece∈H.
D’autre part, pourx0, y0∈ϕ(H), on peut écrirex0=ϕ(x)ety0 =ϕ(y)avecx, y∈H et alors x0>y0−1=ϕ(x ? y−1)∈ϕ(H)
carx ? y−1∈H.
Ainsiϕ(H)est un sous-groupe de(G0,>).
SoitH0un sous-groupe de(G,>). Montrons que
ϕ−1(H0) ={x∈G/ϕ(x)∈H0} est un sous-groupe de(G, ?).
D’une parte∈ϕ−1(H0)carϕ(e) =e0∈H0.
D’autre part, pourx, y∈ϕ−1(H0), on aϕ(x ? y−1) =ϕ(x)>ϕ(y)−1∈H0carϕ(x), ϕ(y)∈H0. Ainsiϕ−1(H0)est un sous-groupe de(G, ?).
1.4.3 Noyau et image
Définition
Siϕest un morphisme du groupe(G, ?)vers le groupe(G0,>), on introduit - son noyaukerϕ=ϕ−1({e0})qui est un sous-groupe de(G, ?);
- son image Imϕ=ϕ(G)qui est un sous-groupe de(G0,>).
Exemple Déterminons image et noyau du morphisme deϕ:C?→C?défini parϕ(z) =|z|.
Imϕ=R+?etkerϕ=U
1.4. MORPHISME DE GROUPES
Exemple Déterminons image et noyau du morphismeexp :C→C?. Pourz=a+ib, on aexp(z) = eaeib.
PourZ∈C?, on peut écrireZ =reiθ.
En posantz= lnr+iθ, on aexp(z) =Z. Ainsi
Im(exp) =C? Aussi, pourz=a+ib
exp(z) = 1⇔ea = 1eteib= 1 Par suite
ker(exp) = 2iπZ
Exemple Déterminons image et noyau dedet :GLn(K)→K?.
On a Imdet =K?car avec une matrice diagonale il est facile de construire une matrice inversible de déterminant tel que voulu. Aussi
ker det ={M ∈GLn(K)/detM = 1}=SLn(K) appelé groupe spécial linéaire d’ordren.
Exemple Déterminons image et noyau deε:Sn → {−1,1}pourn>2.
On a Imε={1,−1}et
kerε=An appelé groupe alterné (ou groupe des permutations paires).
Théorème
Soitϕun morphisme du groupe(G, ?)vers le groupe(G0,>).
a)ϕest injectif si, et seulement si,kerϕ={e}. b)ϕest surjectif si, et seulement si, Imϕ=G0. dém. :
a) Siϕest injectif,e0possède au plus un antécédent parϕ. Puisqueϕ(e) =e0, on obtient kerϕ={e}
Inversement, supposonskerϕ={e}. Soitx, y∈Gtels queϕ(x) =ϕ(y).
On aϕ(x ? y−1) =ϕ(x)>ϕ(y)−1=e0et doncx ? y−1∈kerϕ. Ainsix ? y−1=epuisx=y.
b) C’est une évidence et ne dépend du fait queϕsoit un morphisme.
1.4.4 Isomorphisme de groupes
Définition
On appelle isomorphisme de groupes tout morphisme de groupes bijectif.
Exemple ln :R+?→Rest un isomorphisme de R+?,×
vers(R,+).
Proposition
Siϕ:G→G0etψ:G0 →G00sont des isomorphismes de groupes alorsψ◦ϕ:G→G00en est un aussi.
Théorème
Siϕ:G→G0est un isomorphisme de groupes alorsϕ−1 :G0 →Gest un isomorphisme de groupes.
dém. : dém. :
Pour toutx0, y0 ∈G0, il existex, y∈Gtel queϕ(x) =x0etϕ(y) =y0. On a alors
ϕ−1(x0>y0) =ϕ−1(ϕ(x)>ϕ(y)) =ϕ−1(ϕ(x ? y)) =x ? y=ϕ−1(x0)? ϕ−1(y0) Ainsiϕ−1est un morphisme de groupes et il est de plus bien connu queϕ−1est bijective.
Définition
On appelle automorphisme du groupe(G, ?)tout isomorphisme du groupe (G, ?)dans lui- même.
Exemple Siaest un élément du groupe(G, ?)alors l’applicationτa:G→Gdéfinie par τa(x) =axa−1
est un automorphisme de groupe.
Proposition
L’ensemble Aut(G)des automorphismes d’un groupe(G, ?)est un sous-groupe de(SG,◦).
dém. :
Aut(G)est bien une partie deSG.
L’identité est automorphisme de groupe, la composée de deux automorphismes de groupe est un auto- morphisme de groupe et, enfin, l’application réciproque d’un automorphisme de groupe est encore un automorphisme de groupe.
1.4.5 Groupes isomorphes
Définition
S’il existe un isomorphisme entre deux groupes, ceux-ci sont dits isomorphes.
Ceux-ci se comportent alors de façon identique d’un point de vue calculatoire.
Exemple Les groupes R+?,×
et(R,+)sont isomorphes (via le logarithme népérien).
La multiplication surR+?et l’addition surRont les mêmes propriétés.
En revanche les groupes(R?,×)et(R,+)ne sont pas isomorphes.
En effet, l’équationx2= 1possède deux solutions dans(R?,×)alors que l’équation analogue2x= 0 n’en possède qu’une dans(R,+).
1.5. GROUPES ENGENDRÉ PAR UN ÉLÉMENT
Exemple Comparons les tables d’opérations dans(Z/4Z,+)et(U4,×): + ¯0 ¯1 ¯2 ¯3
¯0 ¯0 ¯1 ¯2 ¯3
¯1 ¯1 ¯2 ¯3 ¯0
¯2 ¯2 ¯3 ¯0 ¯1
¯3 ¯3 ¯0 ¯1 ¯2 et
× 1 i −1 −i
1 1 i −1 −i
i i −1 −i 1
−1 −1 −i 1 i
−i −i 1 i −1
Les deux groupes(Z/4Z,+)et(U4,×)se comportent de façon semblables ; ils sont isomorphes via l’applicationϕqui envoie¯ksurik.
Exemple Considérons en revanche la table d’opérations dans (Z/2Z)2,+ :
+ e a b c
e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e
en notant
e= (¯0,¯0) a= (¯1,¯0) b= (¯0,¯1) c= (¯1,¯1) (Z/2Z)2,+
se comporte d’une façon différente ; il n’est pas isomorphe aux groupes précédents.
1.5 Groupes engendré par un élément
1.5.1 Groupes monogènes
Définition
Un groupe(G, ?)est dit monogène s’il existea∈Gtel queG=hai.
Cet élémentaest alors appelé générateur du groupe.
Remarque Un groupe monogène est nécessairement commutatif car ak? a`=ak+`=a`? ak
Exemple (Z,+)est monogène carZ=h1i.
Exemple (Un,×)est monogène carUn =hωiavecω= e2iπ/n.
Exemple (C,+)et(C?,×)ne sont pas des groupes monogènes.
Exemple Pourn>3, le groupe(Sn,◦)n’est pas monogène car non commutatif.
1.5.2 Groupes cycliques
Définition
Un groupe est dit cyclique s’il est monogène et fini.
Exemple (Un,×)est un groupe cyclique.
Théorème
(Z/nZ,+)est un groupe cyclique dont les générateurs sont lesm¯ pourm∈Zavecm∧n= 1.
dém. :
Z/nZ=h¯1icar
h¯1i={k.¯1/k∈Z}=k/k¯ ∈Z =Z/nZ
Sim¯ est générateur deZ/nZalors il existek∈Ztel quek.m¯ = ¯1et donckm≡1 [n]. Il existe alors
`∈Ztel que
km+n`= 1 et ainsim∧n= 1en vertu du théorème de Bézout.
Inversement, sim∧n= 1alors il existek, `∈Ztels quekm+`n= 1et donc km≡1 [n]
d’oùk.m¯ = ¯1. Ainsi¯1∈ hmi¯ orh¯1i=Z/nZdonc hmi¯ =Z/nZ
1.5.3 Description des groupes monogènes
Théorème
Soit(G, ?)un groupe monogène.
Si CardG= +∞alors(G, ?)est isomorphe à(Z,+).
Si CardG=n∈N?alors(G, ?)est isomorphisme à(Z/nZ,+).
dém. :
Soitaun générateur deG. L’applicationϕ:Z→Gdéfinie parϕ(k) =akest un morphisme de groupes car
ϕ(k+`) =ak+`=ak? a`=ϕ(k)? ϕ(`) Il est de plus surjectif caraest générateur deGet donc
G=
ak/k∈Z
Le noyau deϕest un sous-groupe de(Z,+). Il existe doncn∈Ntel quekerϕ=nZ.
Casn= 0:ϕest injectif, c’est un isomorphisme de groupes.(G, ?)est alors isomorphe à(Z,+)etG est de cardinal infini.
Casn6= 0: On a
ϕ(k) =ϕ(`)⇔k−`∈kerϕ
1.5. GROUPES ENGENDRÉ PAR UN ÉLÉMENT
donc
ak=a`⇔k≡` [n]
On peut alors considérer l’applicationϕ¯:Z/nZ→Gdéterminée parϕ(¯¯ k) =ak.
¯
ϕest un morphisme de groupes car
¯
ϕ(¯k+ ¯`) = ¯ϕ(k+`) =ak+`=ak? a`= ¯ϕ(¯k)?ϕ(¯¯ `) D’une part Imϕ¯=
ak/k∈Z =Get d’autre part
¯k∈ker ¯ϕ⇔ak=a0⇔¯k= ¯0 doncker ¯ϕ={¯0}. On en déduit queϕ¯définit un isomorphisme.
Le groupe(G, ?)est alors isomorphe à(Z/nZ,+)et en particulierGest de cardinaln.
Corollaire
(Z/nZ,+)et(Un,×)sont isomorphes via l’applicationk¯7→ωk = e2ikπ/n. Les générateurs de(Un,×)sont donc lesωm= e2imπ/navecm∧n= 1 Ces éléments sont appelés racines primitivesn-ième de l’unité.
dém. :
Puisqueωest générateur de(Un,×), l’applicationϕ¯: ¯k7→ωkest un isomorphisme de groupes. Celui-ci échange les générateurs de(Z/nZ,+)avec ceux de(Un,×).
Exemple Déterminons les générateurs des groupes(U1,×),(U2,×),(U3,×),(U4,×).
1.5.4 Ordre d’un élément dans un groupe
Définition
On dit qu’un élémentad’un groupe(G, ?)est d’ordre fini s’il existen∈N?vérifiantan=e On appelle alors ordre deale plus petitn∈N?vérifiantan=e.
Exemple Dans(C?,×), l’élément 2 n’est pas d’ordre fini.
En revanche, l’élémentω= e2iπ/nest d’ordre fini égal àn.
Exemple Le neutreeest l’unique élément d’ordre fini égal à 1 du groupe(G, ?).
Théorème
Siaest d’ordre fini égal ànalors
∀m∈Z, am=e⇔n|m
dém. :
(⇐)immédiat.
(⇒) Supposonsam=eet introduisons le resterde la division euclidienne demparn.
m=qn+ravec06r < n On a
ar=am−qn=am?(an)−q =e
Ornest le plus petit naturel non nul vérifiantan=edoncr= 0puisndivisem.
Exemple Siaest d’ordrenalorsakest d’ordren/pgcd(n, k).
Corollaire On a alors
∀k, `∈Z, ak=a`⇔k≡` [n]
dém. : Car
ak =a`⇔ak−`=e
Théorème
Siaest un élément d’ordre fini d’un groupe(G, ?)alors son ordrenest le cardinal du sous- groupehaiqu’il engendre et ce dernier est isomorphe à(Z/nZ,+)
dém. :
hai=
ak/k∈Z =
e, a, . . . , an−1 avece, a, . . . , an−1deux à deux distincts.
haiest un groupe cyclique ànéléments donc isomorphe à(Z/nZ,+)viaϕ¯: ¯k7→ak.
1.5.5 Elément d’un groupe fini
Théorème
Si(G, ?)est un groupe fini de cardinalnalors
∀a∈G, an=e
1.5. GROUPES ENGENDRÉ PAR UN ÉLÉMENT
dém. :
Cas(G, ?)commutatif
Soita∈G. L’applicationτ:x7→a ? xest une permutation deG. On en déduit Y
x∈G
τ(x) = Y
x∈G
x
Or
Y
x∈G
τ(x) = Y
x∈G
(a ? x) =aCardG? Y
x∈G
x
Et par conséquent
aCardG=e Cas général
On définit surGune relation binaireRen posant
xRy⇔ ∃k∈Z, y=ak? x
On vérifie aisément queRest une relation d’équivalence et que pour toutx∈G Cl(x) ={b ? x/b∈ hai}
En particulier
∀x∈G,CardCl(x) =Cardhai En notantple nombre de classe d’équivalence de la relationR, on obtient
CardG=np
Corollaire
Si(G, ?)est un groupe fini alors tous ses éléments sont d’ordre fini et leur ordre divise le cardinal du groupe.
Exemple Dans(Z/6Z,+),¯0est d’ordre 1,¯3est d’ordre 2,¯2,¯4sont d’ordre 3 et¯1,¯5sont d’ordre 6.
Exemple Dans un groupe à 6 éléments, il peut y a avoir des éléments d’ordre 2 et 3, mais pas d’éléments d’ordre 4.
1.5.6 Musculation : sous-groupes de ( Z /n Z , +)
Exemple Montrer que les sous-groupes de(Z/nZ,+)sont cycliques. SoitHun sous-groupe de (Z/nZ,+).
PosonsA={x∈Z/x¯∈H}. On vérifie aisément queAest un sous-groupe de(Z,+)et donc il existe c∈Ntel queA=cZ. Pourx∈Z, on a
¯
x∈H ⇔ ∃k∈Z, x=kc⇔ ∃k∈Z,x¯=k.¯c On en déduit
H =h¯ci
Exemple Montrons que(Z/nZ,+)possède un unique sous-groupe de cardinaldpour chaqued divisantn.Soitdun diviseur den.
Posonsc=n/detH =h¯ci. On a
H ={¯0,¯c,2¯c, . . . ,(d−1)¯c}
etHest un sous-groupe a exactementdéléments.
Inversement, soitHun sous-groupe àdéléments de(Z/nZ,+).
Tout élément deHd’ordre divisantdet donc
∀x¯∈H, d.¯x= ¯0 i.e.
∀¯x∈H, n|dx puis
∀¯x∈H, c|x Ainsi
H ⊂ {¯0,¯c,2¯c, . . . ,(d−1)¯c}
et l’égalité est acquise par cardinalité.
1.5. GROUPES ENGENDRÉ PAR UN ÉLÉMENT
Chapitre 2
Anneaux
KdésigneRouC.
2.1 Structure d’anneau
2.1.1 Définition
Définition
On appelle anneau tout triplet(A,+,×)formé d’un ensembleAet de deux lois de composition internes usuellement notées+et×surAvérifiant :
1)(A,+)est un groupe abélien de neutre0A; 2)×est associative et possède un neutre1A; 3)×est distributive sur+i.e.
∀a, b, c∈A, a(b+c) =ab+acet(b+c)a=ba+ca Si de plus la loi×est commutative, on dit que l’anneau(A,+,×)est commutatif.
Exemple (Z,+,×),(R,+,×),(C,+,×)sont des anneaux commutatifs de neutres 0 et 1.
Exemple SoitXun ensemble etF(X,K)l’ensemble des fonctions deX versK. (F(X,K),+,×)est un anneau de neutres˜0et˜1(fonctions constantes).
En particulier, siX =N, l’ensembleKNdes suites d’éléments deKest un anneau.
Exemple (Mn(K),+,×)est un anneau de neutresOnetIn.
Exemple SiEest unK-espace vectoriel,(L(E),+,◦)est un anneau de neutres˜0et IdE.
Exemple A={0A}est un anneau (c’est le seul pour lequel1A= 0A).
2.1. STRUCTURE D’ANNEAU
2.1.2 Calculs dans un anneau
Proposition On a
∀a, b∈A,0A×a=a×0A= 0A,(−a)×b=−(ab) =a×(−b) Plus généralement
∀n∈Z,(n.a)×b=n.(ab) =a×(n.b)
Théorème
Siaetbsont deux éléments commutant (i.e.ab=ba) d’un anneauAon a pour toutn∈N (ab)n=anbn,(a+b)n=
n
X
k=0
n k
! akbn−k
et
an−bn= (a−b)
n−1
X
k=0
akbn−1−k
2.1.3 Groupe des inversibles
Définition
Un élémentad’un anneau(A,+,×)est dit inversible s’il existeb∈Atel que ab=ba= 1
Cet élémentbest alors unique, on l’appelle inverse deaet il est notéa−1. Exemple 1Aest inversible et1−1A = 1A.
Exemple SiAn’est pas l’anneau nul,0An’est pas inversible.
Exemple Six∈Aest inversible alorsx−1aussi et(x−1)−1=x.
Sixety∈Asont inversibles alorsxyest inversible et(xy)−1=y−1x−1.
Théorème
L’ensembleU(A)des éléments inversibles de l’anneau(A,+,×)est un groupe multiplicatif.
Exemple U(Z) ={1,−1},U(K) =K?, U(Mn(K)) =GLn(K)etU(L(E)) =GL(E).
2.1.4 Produit fini d’anneaux
Soit(A1,+,×),. . . ,(An,+,×)des anneaux etA=A1×. . .×An. On définit des lois+et×surAen posant
(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) =
déf(x1+y1, . . . , xn+yn) et
(x1, . . . , xn)×(y1, . . . , yn) =
déf(x1×y1, . . . , xn×yn) Théorème
L’ensembleAmuni des lois+et×définies ci-dessus est un anneau de neutres 0A= (0A1, . . . ,0An)et1A= (1A1, . . . ,1An)
De plus, un élément(a1, . . . , an)∈Aest inversible si, et seulement si, lesa1, . . . , anle sont et son inverse est alors(a−11 , . . . , a−1n ).
Corollaire
U(A) =U(A1)×. . .×U(An).
Exemple (An,+,×)est un anneau de neutre0An= (0A, . . . ,0A)et1An= (1A, . . . ,1A).
Exemple (Z2,+,×)est un anneau commutatif où
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)et(a, b)×(c, d) = (ac, bd) On a
U Z2
={(1,1),(1,−1),(−1,1),(−1,−1)}
2.1.5 Sous-anneau
(A,+,×)désigne un anneau Définition
On appelle sous-anneau de(A,+,×)toute partieBdeAvérifiant : 1)1A∈B;
2)∀x, y∈B, x−y∈B; 3)∀x, y∈B, xy∈B.
Attention : Vérifier1A∈Bet non0A∈Bou seulementB6=∅.
Exemple Zest un sous-anneau de(R,+,×)mais pas2Zbien que stable par différence et produit
Exemple Aest un sous-anneau de(A,+,×), mais généralement pas{0A}.
2.1. STRUCTURE D’ANNEAU
Exemple On noteCl’ensemble des suites réelles convergentes.
Montrons queCest un sous-anneau de(RN,+,×).
On a évidemmentC ⊂RN, la suite constante égale à 1 est convergente et la différence et le produit de deux suites convergentes sont des suites convergentes.
En revanche, l’ensemble des suites réelles convergeant vers 0 n’est pas un sous-anneau.
Exemple SoitIun intervalle deRd’intérieur non vide etk∈N∪ {∞}.
Vérifions queCk(I,R)est un sous-anneau de(F(I,R),+,×).
On a évidemmentCk(I,R)⊂ F(I,R), la fonction constante égale à 1 est de classeCket la différence et le produit de deux fonctions de classeCksont des fonctions de classeCk.
Théorème
SiB est un sous-anneau de(A,+,×)alorsB peut être muni des lois+ et×définies par restriction des lois surAet(B,+,×)est alors un anneau de mêmes neutres queA.
dém. :
Best un sous-groupe du groupe abélien(A,+)donc(B,+)est un groupe abélien.
Best stable par×donc on peut définir la restriction de la loi×surB.
Celle-ci est associative surAet possède un neutre1A ∈Bdonc×est associative surBet y possède un neutre.
Enfin,×est distributive sur+surAdonc a fortiori aussi surB.
Exemple Considérons
Z[i] ={a+ib/a, b∈Z} et montrons que(Z[i],+,×)est un anneau commutatif.
Montrons queZ[i]un sous-anneau de l’anneau commutatif(C,+,×).
On a évidemmentZ[i]⊂C. 1 = 1 +i.0∈Z[i].
Pourx, y∈Z[i], on peut écrirex=a+ibety=c+idaveca, b, c, d∈Z. On a
x−y= (a−c) +i(b−d)∈Z[i]
cara−c, b−d∈Z et
xy= (ac−bd) +i(ad+bc)∈Z[i]
Ainsi,Z[i]est un sous-anneau de(C,+,×)et donc(Z[i],+,×)est un anneau commutatif.
2.1.6 L’anneau ( Z /n Z , +, ×)
Théorème
(Z/nZ,+,×)est un anneau commutatif de neutres¯0et¯1.
De plus, dans(Z/nZ,+,×),m¯ est inversible si, et seulement si,m∧n= 1.
dém. :
(Z/nZ,+)est un groupe abélien de neutre¯0.
On vérifie aisément que la loi×est commutative, associative surZ/nZet possède un neutre¯1. On vérifie aussi que la loi×est distributive sur+.
Soitm¯ ∈Z/nZ.
¯
minversible si, et seulement si, il existe¯k ∈ Z/nZvérifiantk¯m¯ = ¯1i.e. si, et seulement si, il existe k∈Ztel quekm≡1 [n]. Ainsim¯ est inversible si, et seulement si, il existek, `∈Ztels que
km+`n= 1 Par le théorème de Bézout, cela revient à affirmerm∧n= 1.
Remarque Sim∧n= 1alors une égalité de Bézoutum+vn= 1fournitm¯−1= ¯u.
Exemple Résolvons l’équation4x+ 2≡0 [11]
DansZ/11Zl’équation dévient
¯4¯x+ ¯2 = ¯0 Par opérations
¯4¯x+ ¯2 = ¯0⇔¯4¯x= ¯9 Puisque4∧11 = 1,¯4est inversible dansZ/11Zet on observe
¯4−1= ¯3 On a alors
¯4¯x= ¯9⇔x¯= ¯3ׯ9 Ainsi
¯4¯x+ ¯2 = ¯0⇔x¯= ¯5 Les solutions de l’équation étudiées sont donc les5 + 11kaveck∈Z.
Exemple Résolvons l’équation4x≡6 [10]
Ici4et10ne sont pas premiers entre eux, mais l’équation est simplifiable par leur PGCD 4x≡6 [10]⇔ ∃k∈Z,4x= 6 + 10k⇔ ∃k∈Z,2x= 3 + 5k ce qui nous ramène à l’équation2x≡3 [5]avec2∧5 = 1qu’on peut résoudre.
2x≡3 [5]⇔x≡3×3 = 4 [5]
Les solutions sont les4 + 5kaveck∈Z.
Exemple Résolvons l’équation4x≡7 [10]
Ici 4 et 10 ne sont pas premiers entre eux et l’équation n’est pas simplifiable : il n’y a pas de solutions.
2.1. STRUCTURE D’ANNEAU
2.1.7 Anneaux intègres
Soit(A,+,×)un anneau.
2.1.7.1 Diviseurs de zéro Attention : On sait
∀a, b∈A, a= 0Aoub= 0A⇒ab= 0A
La réciproque n’est pas toujours vraie !
Exemple Dans l’anneau(Z2,+,×), on a(1,0)×(0,1) = (0,0)alors que(1,0),(0,1)6= (0,0) Exemple Dans l’anneau(F(R,R),+,×), considérons les fonctions données par
On af g= ˜0alors quef, g6= ˜0.
Exemple Dans(M2(R),+,×), pour A=
1 1 1 1
etB=
1 1
−1 −1
on aAB=O2alors queA, B6=O2.
Exemple Dans(Z/6Z,+,×),¯2ׯ3 = ¯0alors que¯2,¯36= ¯0.
Définition
Lorsquea, b∈Avérifientab= 0Aaveca, b6= 0A, on dit queaetbsont des diviseurs de zéro.
Attention : On ne considère pas que0Aest un diviseur de zéro.
Exemple En général, les anneauxF(X,K),L(E)etMn(K)possèdent des diviseurs de zéros.
Exemple Les éléments inversibles d’un anneau ne sont pas diviseurs de zéros.
En effet, siab= 0Aavecainversible alors
b=a−1×(ab) =a−1×0A= 0A
Exemple Dans(R2,+,×)les diviseurs de zéros sont les(x,0)et(0, x)avecx6= 0.
2.1.7.2 Intégrité Définition
Un anneau(A,+,×)est dit intègre si 1)Anon réduit à{0A};
2)Ane possède pas de diviseurs de zéros.
Exemple (Z,+,×)est un anneau intègre.
Proposition
Dans un anneau intègre(A,+,×)
∀a, b∈A, ab= 0A⇒a= 0Aoub= 0A
dém. :
C’est l’absence de diviseurs de zéro !
Proposition
Dans un anneau intègre(A,+,×):
∀a, b, c∈A,(ab=aceta6= 0A)⇒b=c et
∀a, b, c∈A,(ba=caeta6= 0A)⇒b=c
dém. :
Siab=acalorsab−ac= 0Aet donca(b−c) = 0A.
Si de plusa6= 0Aalors, par intégrité,b−c= 0Aet doncb=c.
Remarque Dans un anneau intègre l’équationx2= 1a pour seules solutions 1 et−1car x2= 1A⇔(x−1A)(x+ 1A) = 0A
Dans(R2,+,×), l’équationx2= 1R2 a pour solutions
(1,1),(−1,−1),(1,−1),(−1,1) Dans(M2(R),+,×), l’équationA2=I2a pour solutions
1 0 0 1
,
−1 0 0 −1
,
1 0 0 −1
,
−1 0 0 1
,
2 −3 1 −2
,. . .
2.1.7.3 Idempotence et nilpotence Définition
Un élémenta∈Aest dit idempotent sia2=a.
2.2. CORPS
Exemple Dans un anneau intègre seuls0Aet1Asont idempotents.
Exemple Dans(R2,+,×),(1,0)et(0,1)sont aussi idempotents.
Exemple Dans(Z/6Z,+,×), l’élément¯3est idempotent.
Exemple Dans(L(E),+,◦)les éléments idempotents sont les projecteurs.
Définition
Un élémenta∈Aest dit nilpotent s’il existen∈N?tel quean= 0A. Exemple Dans un anneau intègre seul0Aest nilpotent.
Exemple Dans(Z/8Z,+,×), l’élément¯2est nilpotent.
Exemple Montrons que siaest nilpotent alors1A−a∈U(A).
Puisqueaest nilpotent, il existen∈Nvérifiantan= 0A. Puisque1Aetacommutent,
1A= 1nA−an= (1−a)
n−1
X
k=0
ak
!
=
n−1
X
k=0
ak
! (1−a) Ainsi,1A−aest inversible et
(1A−a)−1=
n−1
X
k=0
ak
2.2 Corps
2.2.1 Définition
Définition
On appelle corps tout anneau(K,+,×)vérifiant 1)(K,+,×)est commutatif ;
2)Kest non réduit à{0K}et
3) tous les éléments deK, sauf le nul, sont inversibles.
Exemple (Q,+,×),(R,+,×),(C,+,×)et(K(X),+,×)sont des corps usuels.
Proposition
Tout corps est intègre.
dém. :
SoitKun corps.Kest commutatif et non réduit à{0K}.
Poura, b∈K, siab= 0Keta6= 0Kalors on peut introduirea−1et on ab=a−1(ab) = 0K. Ainsi,Kne possède pas de diviseurs de zéro. Il est donc intègre.
2.2.2 Sous-corps
Soit(K,+,×)un corps.
Définition
On appelle sous-corps d’un corps(K,+,×)toute partieLdeKvérifiant : 1)Lest un sous-anneau de(K,+,×);
2)∀x∈L, x6= 0K ⇒x−1∈L.
Exemple Qest un sous-corps de(R,+,×).
Théorème
SiLest un sous-corps de(K,+,×)alors(L,+,×)est un corps.
dém. :
PuisqueLest un sous-anneau de l’anneau commutatif(K,+,×), on peut affirmer que(L,+,×)est un anneau commutatif. Puisque1K∈L, on peut affirmer que l’anneau(L,+,×)n’est pas réduit à 0. Enfin, puisque l’inverse d’un élément non nul deLest élément deL, on peut affirmer que tout élément non nul de l’anneauLest inversible dans celui-ci.
Exemple ConsidéronsQ h√
2i
=n a+b√
2/a, b∈Q o
. Montrons que(Q
h√
2i
,+,×)est un corps.
Pour cela montrons queQ h√
2i
est un sous-corps du corps(R,+,×).
On a évidemmentQ h√
2i
⊂R. 1 = 1 + 0×√
2∈Q h√
2i .
Pourx, y∈Q[i], on peut écrirex=a+b√
2ety=c+d√
2aveca, b, c, d∈Q. On a alors
x−y= (a−c) + (b−d)√ 2∈Q
h√
2i et
xy= (ab+ 2dc) +√
2(ad+bc)∈Q h√
2i Enfin, six6= 0,
x−1= 1 a+b√
2 = a−b√ 2 (a+b√
2)(a−b√
2) = a
a2−2b2 − b a2−2b2
√ 2∈Q
h√
2i
car a
a2+b2,− b
a2+b2 ∈Q.
2.3. MORPHISMES D’ANNEAUX
2.2.3 Le corps ( Z /p Z , +, ×)
Théorème
(Z/pZ,+,×)est un corps si, et seulement si,pest un nombre premier.
dém. :
Supposons que(Z/pZ,+,×)soit un corps.
Pour touta∈ {2, . . . , p−1},¯aest inversible dans(Z/pZ,+,×)donca∧p= 1et par conséquentane divise pasp. On en déduit quepest un nombre premier.
Inversement, supposonspnombre premier.
(Z/pZ,+,×)est un anneau commutatif etZ/pZ6={¯0}carp=Card(Z/pZ)>2.
Pour toutm¯ ∈Z/pZ, sim¯ 6= ¯0alorspne divise pasmet donc, puisquepest un nombre premier, m∧p= 1
On en déduit quem¯ est inversible.
Remarque On note usuellementFp=Z/pZ.
Exemple SoitF2={¯0,¯1}.(F2,+,×)est un corps pour les opérations suivantes + ¯0 ¯1
¯0 ¯0 ¯1
¯1 ¯1 ¯0 et
× ¯0 ¯1
¯0 ¯0 ¯0
¯1 ¯0 ¯1
Exemple SoitF3={¯0,¯1,¯2}.(F3,+,×)est un corps pour les opérations suivantes + ¯0 ¯1 ¯2
¯0 ¯0 ¯1 ¯2
¯1 ¯1 ¯2 ¯0
¯2 ¯2 ¯0 ¯1 et
× ¯0 ¯1 ¯2
¯0 ¯0 ¯0 ¯0
¯1 ¯0 ¯1 ¯2
¯2 ¯0 ¯2 ¯1
2.3 Morphismes d’anneaux
Soit(A,+,×)et(A0,+,×)des anneaux.
2.3.1 Morphisme d’anneaux
Définition
On dit qu’une applicationϕ:A→A0est un morphisme d’anneaux si 1)ϕ(1A) = 1A0;
2)∀x, y∈A, ϕ(x+y) =ϕ(x) +ϕ(y); 3)∀x, y∈A, ϕ(xy) =ϕ(x)ϕ(y).
Exemple L’application identité IdA:A→Aest un morphisme de l’anneau(A,+,×)vers lui-même.
Exemple ConsidéronsCl’anneau des suites réelles convergentes.
L’applicationϕ:u7→ lim
n→+∞unest un morphisme d’anneaux deCversR.
Exemple L’applicationϕ:Z→Adéfinie parϕ(k) =k.1Aest un morphisme d’anneaux de(Z,+,×) vers(A,+,×).
En effet,ϕ(1) = 1A,ϕ(k+`) = (k+`).1A=k.1A+`.1A=ϕ(k) +ϕ(`)et ϕ(k`) = (k`).1A= (k.1A)×(`.1A) =ϕ(k)ϕ(`).
Exemple Soita∈U(A)etτ :A→Adéfinie parτ(x) =axa−1. Vérifions queτest un morphisme d’anneaux bijectif.
τ(1A) =a.1A.a−1= 1A,τ(x+y) =a(x+y)a−1=axa−1+aya−1=τ(x) +τ(y)et τ(xy) =axya−1=ax(a−1a)ya−1=τ(x)τ(y).
Enfin,
y=τ(x)⇔x=a−1ya donc
∀y∈A,∃!x∈A, y=τ(x) L’applicationτest donc bijective.
Attention : Ne pas oublier d’étudierϕ(1A)!
L’applicationx∈R7→(x,0)∈R2n’est pas un morphisme d’anneaux !
2.3.2 Propriétés
Proposition
La composée de deux morphismes d’anneaux est un morphisme d’anneaux.
Proposition
Siϕ:A→A0est un morphisme d’anneaux alors a)ϕ(0A) = 0A0;
b)∀x∈A, ϕ(−x) =−ϕ(x);
c)∀x∈A,∀n∈Z, ϕ(n.x) =n.ϕ(x); d)∀x∈A,∀n∈N, ϕ(xn) =ϕ(x)n;
e)∀x∈A, x∈U(A)⇒ϕ(x)∈U(A0)avecϕ(x)−1=ϕ(x−1) dém. :
ϕest un morphisme du groupe(A,+)vers(A0,+)donc
∀x∈A,∀n∈Z, ϕ(n.x) =n.ϕ(x) Par récurrence, on obtient aisément
∀x∈A,∀n∈N, ϕ(xn) =ϕ(x)n
2.3. MORPHISMES D’ANNEAUX
Enfin, six∈U(A)alorsϕ(xx−1) =ϕ(1A)donneϕ(x)ϕ(x−1) = 1A0. Aussiϕ(x−1)ϕ(x) = 1A0 donc ϕ(x)∈U(A0)etϕ(x)−1=ϕ(x−1).
2.3.3 Image et noyaux
Définition
Soitϕ:A→A0un morphisme d’anneaux.
On appelle image et noyau du morphismeϕles ensembles Imϕ=ϕ(A)et kerϕ=ϕ−1({0A0})
Remarque Ce sont en fait les images et noyaux deϕen tant que morphisme de groupes additifs.
Remarque On vérifie aisément que Imϕest un sous-anneaux deA0. En revanche,kerϕn’est généralement pas un sous-anneau de(A,+,×).
Proposition
ϕest injective si, et seulement si,kerϕ={0A}.
ϕest surjective si, et seulement si, Imϕ=A0. dém. :
Carϕest en particulier un morphisme de groupes additifs.
2.3.4 Isomorphisme d’anneaux
Définition
On dit qu’une applicationϕ:A→A0est un isomorphisme d’anneaux si a)ϕest un morphisme d’anneaux ;
b)ϕest bijective.
Proposition
La composée de deux isomorphismes d’anneaux est un isomorphisme d’anneaux.
L’application réciproque d’un isomorphisme d’anneaux et un isomorphisme d’anneaux.
Définition
On dit que deux anneauxAetA0 sont isomorphes s’il existe un isomorphisme d’anneaux de l’un vers l’autre : ces deux anneaux possèdent alors les mêmes propriétés calculatoires.
Exemple Considéronsϕ:C→ M2(R)définie par ϕ(a+i.b) =
a −b b a
On vérifie queϕest un morphisme d’anneaux injectifs.
En conséquence
Imϕ=
a −b b a
/a, b∈R2 est un sous-anneau deM2(R)isomorphe à(C,+,×).
2.3.5 Théorème des restes chinois
Soitmetndeux entiers naturels non nuls. Pourk∈Z, on note on note¯k,ˆketk˙les classes d’équivalence dekdansZ/mnZ,Z/mZetZ/nZ.
Théorème
Simetnsont premiers entre eux alors l’application
π:Z/mnZ→Z/mZ×Z/nZ définie par
π(¯k) = ( ˙k,ˆk) est un isomorphisme d’anneaux.
dém. :
L’application est bien définie car
k=` [mn]⇒k=` [m] etk=` [n]
et ainsi
k¯= ¯`⇒ˆk= ˆ`etk˙ = ˙` On vérifie aisément que cette application est un morphisme d’anneaux.
Etudions le noyau deπ.
Six¯ ∈ kerπalorsπ(¯x) = ( ˙0,ˆ0)i.e.x¯ = ¯0etx˙ = ˙0. On alorsm | xetn | xdoncmn | xpuisque m∧n= 1. Ainsix¯= ¯0ce qui permet d’affirmerkerπ={¯0}.
Le morphismeπest donc injectif.
Puisque
Card(Z/nmZ) =nm=Card(Z/nZ)Card(Z/mZ)<+∞
on peut affirmer par cardinalité queπest bijective et finalementπest un isomorphisme.
Remarque Soit à résoudre un système du type
x≡a [m]
x≡b [n]
avecm∧n= 1. Par ce qui précède, ce système possède une unique solution modulomn.
Pour la déterminer, il suffit de trouverx1etx2solutions respectives des systèmes x≡1 [m]
x≡0 [n] et
x≡0 [m]
x≡1 [n]
Par morphisme,x=ax1+bx2est alors solution du système initial.
Pour déterminerx1etx2, on part de la relation de Bézout mu+nv= 1 et l’on prendx1=nvetx2=mu.
2.4. IDÉAL D’UN ANNEAU COMMUTATIF
Exemple Résolvons le système
x≡1 [5]
x≡7 [9]
5∧9 = 1avec la relation de Bézout2×5−9 = 1.
−9et10sont solutions des systèmes
x≡1 [5]
x≡0 [9] et
x≡0 [5]
x≡1 [9]
doncx= 1×(−9) + 7×10 = 61est solution du système posé.
La solution générale est alors
16 + 45kaveck∈Z
Exemple Résolvons le système
(9x≡3 [21]
5x≡2 [8]
9x≡3 [21]⇔3x≡1 [7]
Puisque3∧7 = 1,¯3est inversible et¯3−1= ¯5dansZ/7Z. Ainsi
3x≡1 [7]⇔x≡5 [7]
De même
5x≡2 [8]⇔x≡2 [8]
car5−1= ¯5dansZ/8Z Ainsi
9x≡3 [21]
5x≡2 [8] ⇔
x≡5 [7]
x≡2 [8]
7∧8 = 1avec la relation de Bézout(−1)×7 + 8 = 1.
x= 5×8 + 2×(−7) = 26est solution de ce système dont la solution générale est x= 26 + 56kaveck∈Z
2.4 Idéal d’un anneau commutatif
Soit(A,+,×)un anneau commutatif.
2.4.1 Définition
Définition
On appelle idéal de l’anneau(A,+,×)toute partieIdeAvérifiant : 1)0A∈I;
2)∀x, y∈I, x+y∈I;
3)∀a∈A,∀x∈I, ax∈I[absorption].
Remarque Un idéal est en particulier un sous-groupe additif (il suffit d’exploiter l’absorption avec a=−1)
Exemple {0A}etAsont des idéaux de(A,+,×).
Exemple nZest un idéal de(Z,+,×).
Exemple Le noyau d’un morphisme d’anneauxϕ:A→A0est un idéal de(A,+,×).
En effet,kerϕ⊂A,0A∈kerϕcarϕ(0A) = 0A0. Soitx, y∈kerϕ.
ϕ(x+y) =ϕ(x) +ϕ(y) = 0A0+ 0A0= 0A0doncx+y∈kerϕ.
Soit de plusa∈A.
ϕ(ax) =ϕ(a)ϕ(x) =ϕ(a)×0A0 = 0A0 doncax∈kerϕ.
Proposition
SoitIun idéal de l’anneau(A,+,×) Si1A∈IalorsI=A.
SiI∩U(A)6=∅alorsI=A.
dém. :
Par absorption1A∈IentraîneA⊂Ipuis=.
De même, par absorption,I∩U(A)6=∅entraîne1A∈IpuisI=A.
Remarque Les seuls idéaux d’un corps sont{0K}et lui-même.
2.4.2 Opérations
Proposition
SiIetJ sont deux idéaux de(A,+,×)alorsI∩Jest un idéal.
De plus,I∩Jest inclus dansIetJ et contient tout idéal inclus dansIetJ. dém. :
I∩J ⊂A,0A∈Iet0A∈Jdonc0A∈I∩J.
Six, y∈I∩Jalorsx, y∈Idoncx+y∈I. De mêmex+y∈J doncx+y∈I∩J. Sia∈Aetx∈I∩J alorsx∈Idoncax∈I. De mêmeax ∈Jdoncax∈I∩J.
Proposition
SiIetJ sont deux idéaux de(A,+,×)alors I+J=
déf{x+y/x∈I, y∈J} est un idéal.
De plus,I+J contientIetJet est inclus dans tout idéal contenantIetJ. dém. :
Pourx∈I,x=x+ 0A∈I+Jcar0A∈J. AinsiI⊂I+Jet de mêmeJ ⊂I+J.
0A∈I+Jcar0A= 0A+ 0Aavec0A∈I, J.
