Remédiation A10 – A11 : Correction

Compétences A10 – A11 : correction

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Seconde – Lycée Desfontaines – Melle Remédiation A10 – A11 : Correction

A10 : Résoudre une équation en se ramenant à une équation type du premier degré - A11 : Mettre un problème en équation

Exemple guidé : Résoudre l’équation (5x+3)(x−2)=x²−4

(5x+3)(x−2)=x²−4 Remarque : ce n’est pas une équation du 1^er degré…

ñ(5x+3)(x−2)−

(

x²−4

)

=0 On transforme pour que le second membre soit nul.

ñ ( 5x+3)(x−2)−(x−2)(x+2)=0 ñ(x−2)[(5x+3)−(x+2)]=0 ñ (x−2)(4x+1)=0

On transforme le membre de gauche afin de se ramener à une équation produit

ñ x−2=0 ou 4x+1=0 ñ x= 2 ou x=-1

4

On applique la méthode de résolution dans le cas d’une équation produit

Donc S=





 -1 

4;2 On conclut

Résoudre les équations : (x−1)²−9=0 ; -3x+6

x+3 =0 ; 1 x+1− 2

x−1=x−5 x²−1 Résolvons (x−1)²−9=0

Il n’y a pas de valeurs interdites donc :

(x−1)²−9=0ñ(x−1)²−3²=0ñ[x−1−3][x−1+3]=0ñ(x−4)(x+2)=0ñx−4=0 ou x+2=0 ñ x=4 ou x=-2 Donc S={-2;4}

Résolvons -3x+6 x+3 =0.

Recherche des valeurs interdites : x+3=0ñx=-3. Posons E=Ë\{-3}

Dans E, -3x+6

x+3 =0ñ−3x+6=0ñx=2 donc S={2}

Résolvons 1 x+1− 2

x−1=x−5 x²−1 Recherche des valeurs interdites :

o x+1=0ñx=-1 o x−1=0ñx=1

o x²−1=0ñ(x−1 )(x+1 )=0ñx=1 ou x=-1 Soit E=Ë\{-1;1}

Dans E, 1 x+1− 2

x−1=x−5

x²−1 ñ 1 x+1− 2

x−1−x−5

x²−1= 0ñ x−1

(x+1)(x−1)− 2(x+1)

(x−1)(x+1)− x−5

(x−1)(x+1)=0 ñ x−1−2x−2−x+5

(x−1)(x+1) =0 ñ -2x+2

(x−1)(x+1)=0 ñ -2x+2=0 ñ x=1 Or 1∉_{E donc S=Ø}

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Mettre un problème en équation :

Le problème : Merlin et son chien pèsent 35 kg à eux deux ; Merlin pèse 20 kg de plus que son chien.

Quel est le poids du chien ? Quel est le poids de Merlin ? Analysons le problème :

1. Choix de l’inconnue :

Soit x le poids, en kg, du chien.

Alors le poids de Merlin est x+20.

2. Recherche des valeurs possibles de x :

x est le poids du chien et un poids est positif. L’ensemble des valeurs possibles de x sera donc E=Ë⁺

Mise en équation :

La mise en équation donne donc x+(x+20)=35

3.

On résout l’équation dans E.

Dans Ë⁺, x+(x+20)=35ñ2x+20=35ñ2x=15ñx=15

2 donc S=





 15

2

4.

On conclut, en répondant aux questions posées.

Le poids du chien de Merlin est donc 7,5 kg et celui de Merlin 27,5 kg (7,5+20=27,5)

A vous :

Trouver les nombres réels dont le double est égal au cube.

Soit x un nombre cherché alors le double de x est 2x et son cube est x³, on doit donc résoudre dans Ë, 2x=x³ Or, dans Ë, 2x=x³ñ2x−x³=0ñx

(

^2−x2

)

^=0ñx

[ ⁽

²

⁾

^2−x2

]

^=0ñx

⁽

^2−x

^{) (}

^2+x

⁾

⁼⁰

ñx=0 ou 2−x=0 ou 2+x=0 ñx=0 ou x= 2 ou x=- 2 Do nc S=

{

^- 2;0; 2

}

Ainsi les réels dont le double est égal au cube sont - 2; 0 et 2 .

Quels sont les angles d’un triangle ABC rectangle en A tels que l’angle en C soit le triple de l’angle en B ?

Soient _A

Ç

_{, B}

Ç

_{et C}

Ç

des mesures des angles en A, B et C (en degré). (

Ç

_{A, B}

Ç

_{et C}

Ç

sont des mesures d’angles en degré donc les valeurs possibles appartiennent à l’intervalle [0;180].

ABC est rectangle en A donc _B

Ç

_{et C}

Ç

sont complémentaires donc

Ç

_B+C

Ç

_=90°.

De p lus _C

Ç

_=3B

Ç

donc on doit résoudre dans [0;180], _B

Ç

₊₃

Ç

_B=90.

Dans [0;180]; _B

Ç

_+3B

Ç

_=90ñ4

Ç

_B=90ñB

Ç

_=22,5

Donc S={22,5}.

La mesure de l’angle en B est donc 22,5° et celle de l’angle en C est 67,5° (22,5×3=67,5)