Probabilités - Corrigé

Probabilités - Corrigé

Exercice 1 : On complète un premier tableau (en gras les valeurs de l’énoncé, les autres s’obtiennent par soustraction)

Employés Syndiqué Non syndiqué Total

Marié 208 216 424

Non marié 144 232 376

Total 352 448 800

Puis un deuxième tableau avec les hommes :

Hommes Syndiqué Non syndiqué Total

Marié 144 22 166

Non marié 44 90 134

Total 188 112 300

Enfin : 232 − 90 = 142 : il y a donc 142 femmes célibataires non syndiquées.

Exercice 2 : 1)

2) a) ∩ ̅ = × ̅ = 0,2 × 0,8 = 0,16 ?

b) ̅ = ∩ ̅ + ∩ ̅ = 0,8 × 0,9 + 0,16 = 0,72 + 0,16 = 0,88

La probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est bien égale à 0,88.

3) On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.

= ∩

=0,2 × 0,2

1 − 0,88 =0,04 0,12 =1

3 La probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B est de 1/3.

Exercice 3 :

On suppose que les évènements A et F sont indépendants donc ∩ = × La probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 : = 0,02 La probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0,069 : ∪ = 0,069

Or : ∪ = + − ∩ ⇔ 0,069 = 0,02 + − ×

⇔ − 0,02 × = 0,069 − 0,02 ⇔ 0,98 × = 0,049 ⇔ =0,049

0,98 = 0,05 La probabilité que l’appareil présente un défaut de fonctionnement est donc de 0,05.

0,8

0,2 0,2

0,1 0,9

0,8 A

B

S S

S S

Exercice 4 : 1) Notons l’événement « l’une au moins des cartes est un as » et déterminons la probabilité de son contraire ̅ « Aucune des cartes n’est un as »

̅ ="284 #

"324 #

=

4! × 24!28!

4! × 28!32!

= 28 × 27 × 26 × 25

32 × 31 × 30 × 29 =4 095

7 192 donc = 1 −4 095

7 192 =3 097 7 192 2 Les 4 cartes sont de la même couleur : "41#"8

4#

"324 #

= 4 × 8 × 7 × 6 × 5 32 × 31 × 30 × 29 = 7

899

3 Les 4 cartes sont de la même hauteur ∶ "81#

"324 #

= 8

32 × 31 × 30 × 29 = 1 4495 4 Les 4 cartes ont des hauteurs distinctes ∶"84#"4

1#

7

"324 #

= 8 × 7 × 6 × 5 × 4⁷

32 × 31 × 30 × 29 =448 899

Exercice 5 : A et B sont deux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient : A = 0,4, 8 B = 0,7 et ₈ 9 B : = 0,1.

On reporte les informations sur un arbre de probabilités :

; A =A ∩ B

B = A × ₈ B

A × 8 B + 9A: × ₈ B = 0,4 × 0,7

0,4 × 0,7 + 0,6 × 0,9 =0,28 0,82 =28

82 =14 41 La proposition est vraie.

Exercice 6 :

1. Distribution de probabilité :

a) La variable aléatoire <₌ suit la loi de Bernoulli de paramètre =_>?@A^> =_AB^> = 0,4 b) < = 1 = 0,4 et < = 0 = 1 − 0,4 = 0,6

Tableau de distribution de <₌ :

C 0 1

<₌ = C 0,6 0,4

c) D< = = 0,4 et E< = 1 − = 0,4 × 0,6 = 0,24

2. a) X a pour valeurs tous les entiers entre 0 et 10 :⟦0; 10⟧ = I0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10J b) La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres 10 et 0,4.

c) < = 5 = 0,2007 par lecture sur les tables.

d) D< = K = 10 × 0,4 = 4 et E< = K1 − = 10 × 0,4 × 0,6 = 2,4 0,4

0,6 0,9

0,7 0,3

0,1 A

A

B B

B B

Exercice 7 : 1. On considère la variable aléatoire <_L donnant le nombre de tirs, sur les K, atteignant la cible. Les tirs sont supposés indépendant, on est donc en présence d’un schéma de Bernoulli dont la probabilité de succès est 0,3 : <_L ↪ ℬK; 0,3.

On en déduit que : _L = <_L ≥ 1 = 1 − <_L = 0 = 1 − 0,7^L

_L ≥ 0,9 ⇔ 1 − 0,7^L ≥ 0,9 ⇔ 0,7^L ≤ 0,1 ⇔ K ln 0,7 ≤ ln 0,1 ⇔ K ≥ln 0,1

ln 0,7 ⇒ K ≥ 7 C’est donc la réponse b.

2. Notons X la variable aléatoire égale au nombre de fois où le joueur perd sur les 5 lancers.

Les lancers étant indépendants, il est clair que < ↪ ℬ "5;^@_R#. < = 3 = "53# × S1

6T

U× S5 6T

A = 10 × 1 6^U×25

6^A =250 6^V C’est donc la réponse a.

3. On sait que ∪ = + − ∩

Or, et sont indépendants donc ∩ = × On en déduit que :

+ − × = 0,65 ⇔ 0,3 + − 0,3 × = 0,65 ⇔ 1 − 0,3 = 0,65 − 0,3 Et donc =^B,UV_B,W = 0,5. C’est encore la réponse a.

Exercice 8 : 1. (a) Sur deux services, il peut en réussir 2 ou 1 ou aucun : < peut donc prendre trois valeurs : 0, 1 ou 2

XA

X_@

X_A XA

X@

XA

< = 0 = 9X@∩ XA: = 9X@: × _YZ9XA: = 1 − 0,7 × 1 − 0,7 = 0,09 < = 2 = X@∩ XA = X@ × Y_ZXA = 0,7 × 0,8 = 0,56

< = 1 = 1 − < = 2 − < = 0 = 1 − 0,56 − 0,09 = 0,35 car les événements [< = 0\, [< = 1\

et [< = 2\ forment une partition de l’univers des possibles.

On peut aussi calculer < = 1 = 9X@∩ XA: + 9X@∩ XA: = X@ × Y_Z9XA: + X@ × Y_Z9XA: = ⋯ On peut regrouper les valeurs obtenues dans un tableau :

C 0 1 2

< = C 0,09 0,35 0,56

(b) < = 0 × 0,09 + 1 × 0,35 + 2 × 0,56 = 1,47 . 2. (a) D’après l’énoncé : _Y^XL?@ =0,8 et _Y

^XL?@ = 0,7. (b)

XL?@

XL

X_L?@

XL?@

XL

XL?@

0,7

0,3 0,7

0,8

0,2

0,3

0,8 0,2 0,7 0,3 _L

1 − _L

Pour tout entier naturel non nul K, en utilisant la partition 9XL, XL:, d’après la formule des probabilités totales : XL?@ = XL × Y_^XL?@ + 9XL: × _Y^XL?@ = XL × 0,8 + 9XL: × 0,7

On obtient alors : _L?@= 0,8_L+ 0,71 − _L = 0,8_L+ 0,7 − 0,7_L = 0,1_L+ 0,7 3. Soit la suite `L définie pour tout entier naturel non nul par `L= 9_L− 7.

(a) Pour tout entier naturel non nul, `<sub>L?@</sub>= 9_<sub>L?@</sub>− 7 = 90,1_<sub>L</sub>+ 0,7 − 7 = 0,9_<sub>L</sub>+ 6,3 − 7 Finalement : `L?@= 0,9_L− 0,7 = 0,19_L− 7 = 0,1`L.

La suite `L est donc géométrique de raison 0,1 et de premier terme `@= 9_@− 7 = 9 × 0,7 − 7 = −0,7 On en déduit que : pour tout entier naturel K non nul, `L= −0,7 × 0,1^La@

Puis : _L=`L+ 7

9 =−0,7 × 0,1^La@+ 7

9 =7

9 − 7

90 0,1^La@

(b) −1 < 0,1 < 1 donc lim0,1^La@= 0 et par suite : lim_L= ^W_d≈ 0,78 Sur un grand nombre de services, le taux de réussite se rapproche de 78 % .

Exercice 9 :

1) Le cas le plus favorable est d’obtenir une boule blanche au premier tirage (< = 1) et le moins favorable est de tirer d’abord toutes les boules noires puis la première boule blanche au tirage K − 1 (< = K − 1).

Tous les cas intermédiaires sont possibles : <Ω = I1; 2; … ; K − 1J = ⟦1; K − 1⟧

2 I< = 1J =2

K et I< = 2J =K − 2

K × 2

K − 1 =2K − 2 KK − 1 3) Pour tout C ∈ I3; … ; K − 1J,

I< = CJ =K − 2

K ×K − 3

K − 1 ×K − 4

K − 2 × … ×K − 2 − C − 2

K − C − 2 × 2 K − C − 1 On en déduit que :

I< = CJ = K − 2K − 3 … K − C + 1K − C × 2

KK − 1K − 2 … K − C + 2K − C + 1 =2K − C KK − 1

On retrouve les valeurs de la question 2) en remplaçant C par 1 puis par 2, cette formule est donc valable pour tout C ∈ I1; 2; … ; K − 1J

Exercice 10 : 1) Il est clair que l’urne contient 1 + 2 + ⋯ + K =^LL?@_A boules.

2) Pour tout entier C  I1, . . . , KJ,

< = C = C KK + 1

2

= 2C KK + 1 En particulier, < = K = 2K

KK + 1 = 2 K + 1 3 D< = l C< = C

L mn@

= l C × 2C KK + 1

L mn@

= 2

KK + 1 l C^A

L mn@

= 2

KK + 1 ×KK + 12K + 1

6 =2K + 1

3 4) On tire maintenant 10 fois une boule avec remise dans cette urne, et on note Y la variable aléatoire

représentant le nombre de fois où l’on a obtenu une boule numérotée n (succès) : les conditions sont celles d’une la loi binomiale de paramètres 10 et = < = K =_L?@^A .

o ↪ ℬ S10; 2 K + 1T

5) Do = 10 ×_L?@^A =_L?@^AB et Eo = 10 ×_L?@^A × "1 −_L?@^A # =^ABLa@_L?@p

6) On tire maintenant une infinité de fois une boule avec remise et on note Z la variable aléatoire représentant le numéro du tirage où pour la première fois on obtient une boule numérotée n. Il est clair que Z suit une loi géométrique de paramètre ^A

L?@. 7 Dq = 1

K + 12

=K + 1

2 et Eq =

1 − 2K + 1

" 2K + 1#

A =

K − 1 K + 1 K + 14 ^A

=K − 1

K + 1 ×K + 1^A

4 =K^A− 1 4