Calculs de Sommes

Stanislas

T.D. 2

Calculs de Sommes

2015/2016

Partie I : Propriétés élémentaires Définition 2.

Soient I un sous-ensemble ni de N et(z_i)i∈I une famille de nombres complexes indexée par I. La somme des nombres complexes(z_i)i∈I est notée P

i∈I

z_i. Par convention, si la famille I est vide, P

i∈I

zi = 0.

Exemple 1.

Soientm, n∈Ntels quem6n. On suppose que I =Jm, nK={m, . . . , n}. z_m+z_m+1+· · ·+z_n=

n

X

k=m

z_k= X

m6k6n

z_k.

Exercice 1.Soient(m, n)∈(N^?)² tels quen > metλ∈C. Calculer les sommes suivantes.

1. S₁=

n

P

k=m

1. 2.S₂ =

n

P

k=m+1

n. 3. S₃ =

n

P

k=1

k(k+ 1).

Partie II : Changements d’indice Exemple 2.

Dans la somme suivante, on eectue le changement de variable`=k−2.

n+2

X

k=3

k= X

36k6n+2

k= X

36`+26n+2

(`+ 2) =

n

X

`=1

(`+ 2) = n(n+ 1)

2 + 2n= n(n+ 5) 2 .

Exercice 2. (Méthode de Gauss pour la somme des entiers)Soitn∈N^?. 1. Montrer que P²ⁿ

k=1

k=

n

P

k=1

k+

n

P

`=1

(2n+ 1−`). 2. En déduire, sans récurrence, la valeur de P²ⁿ

k=1

k, puis celle de²ⁿ⁺¹P

k=1

k. Exercice 3. (Formule de Bernoulli)Soient (a, b, q)∈C³ etn∈N^?. 1. Montrer sans récurrence que

aⁿ−bⁿ= (a−b)

n−1

X

k=0

a^kb^n−1−k.

2. Écrire cette formule lorsquen= 2. Factorisera²+b². 3. Soitx un nombre réel. Factoriser1−x³ puis 1 +x³.

4.En déduire la somme desnpremiers termes d'une suite géométrique de raisonq et de premier terme1.

Stanislas A. Camanes

T.D. 2. Calculs de Sommes MPSI 1

Exercice 4. (Autour de la formule de Pascal)Soient n, p∈N^?. Calculer les sommes suivantes.

1. S₁=

n

P

k=p k p

. 2. S2 =

n−1

P

i=0 p+i

p

.

Exercice 5.Soit n∈N^?. En utilisant la formule du binôme de Newton et les relations classiques sur les coecients binomiaux, calculer les sommes suivantes.

1. S1=

n

P

k=1

(−1)^{k n}_k

. 2.S2 =

n

P

k=0

1 k+ 1

n k

. 3. S3 =

n

P

k=1

k ⁿ_k

. 4. S4 =

n

P

k=1

k^{2 n}_k . Soientp=_n

2

etq =_n−1

2

. Avec des combinaisons linéaires, calculer les sommes suivantes.

5. S5=

p

P

k=0 n 2k

etT5=

q

P

k=0 n 2k+1

. 6. S6 =

p

P

k=0

(−1)^k _2kⁿ

etT6 =

q

P

k=0

(−1)^k _2k+1ⁿ .

Partie III : Regroupements par paquets Théorème 3 (Sommes télescopiques).

Soientm, n∈Net(zk)k∈Jm,n+1K une famille de nombres complexes. Alors,

n

X

k=m

(z_k+1−z_k) =z_n+1−z_m.

Exercice 6.Soitn∈N^?. On se propose de retrouver la somme desnpremiers carrés d'entiers.

1. Soitk∈J1, nK. Montrer que (k+ 1)³−k³ = 3k²+ 3k+ 1. 2. En déduire sans récurrence Pⁿ

k=1

k².

3. Par une méthode analogue, retrouver la somme Pⁿ

k=1

k³. Exercice 7.Calculer les sommes suivantes.

1. S1=

n

P

k=1 1

k(k+1). 2.S2 =

n

P

k=1

k·(k!). 3. S3 =

n

P

k=1 k (k+1)!. Exercice 8.Calculer les sommes suivantes

1. S1=

n

P

k=1

(2k+ 1)². 2.S₂ =

3n−1

P

k=1

_k

3

. 3. S3 =

n²−1

P

k=1

j√

k k.

Exercice 9.Déterminer le dernier chire, puis les deux derniers chires de l'écriture décimale du nombre²⁰¹⁶P

k=0

k!.

Partie IV : Somme double

Exercice 10. (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soient n un entier naturel non nul et (a1, . . . , an, b1, . . . , bn)∈R²ⁿ. En développant

X

16i,j6n

(a_ib_j−a_jb_i)² =

n

X

i=1 n

X

j=1

(a_ib_j−a_jb_i)²,

montrer l'inégalité

n

X

i=1

aibi

!2

6

n

X

i=1

a²_i

! _n X

i=1

b²_i

! .

Stanislas A. Camanes