E1 - Notion de fonction
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NOTION DE FONCTION 1
Pour travailler sur les fonctions, nous allons utiliser des nombres qui font partie de l’ensemble des nombres réels, noté .
I. Généralités
1) Définition
Une fonction est un procédé qui, à chaque nombre , associe un unique nombre.
2) Notations et vocabulaire
• Pour une fonction donnée, on note : → (lire : au nombre on associe de )
• Le nombre est l'image de par la fonction .
• Le nombre est un antécédent de par la fonction . Remarques :
- Un nombre ne possède qu'une seule image par une fonction.
- Un nombre peut avoir plusieurs antécédents.
3) Ensemble de définition :
Pour une fonction, tous les points n’ont pas nécessairement une image ; Exemple : : →
Pour 0, il n’y a pas d’image.
II. Détermination d’une fonction
1) Représentation graphique d’une fonction Rappel
Un repère du plan est constitué d'une droite graduée appelée axe des abscisses et d'une deuxième droite graduée appelée axe des ordonnées. Les coordonnées d'un point permettent de repérer n'importe quel point du plan ; .
Abscisse Ordonnée
L'intersection des deux axes est appelée l'origine.
Soit le plan rapporté à un repère , , , on appelle courbe représentative d'une fonction la courbe constituée de tous les points de coordonnées ; définis par l’ensemble de définition de la fonction.
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Application : On donne la courbe représentative d'une fonction .
a) Comment lire l'image du nombre 10 sur la courbe ? (voir méthode ci-contre):
Placer 10 sur l'axe des abscisses
Tracer une verticale qui rencontre la courbe
Tracer une horizontale qui rencontre l'axe des ordonnées.
Lire sur l'axe des ordonnées : Ici, et
b) Comment lire le ou les antécédents du nombre 8 sur la courbe (voir méthode ci-contre):
Placer 8 sur l'axe des ordonnées.
Tracer une horizontale qui rencontre la courbe.
Tracer deux verticales qui
rencontrent l'axe des ordonnées.
Lire les deux antécédents sur l'axe des ordonnées.
Ici, pour , on a et
Axe des images
Axe des antécédents Courbe
représentative de la fonction f
x f(x)
Point (x;f(x))
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2) Tableau de valeurs d’une fonction
Un tableau de valeurs permet de connaître les valeurs prises par une fonction pour certaines valeurs de la variable. On peut alors placer les points correspondants dans un repère. Si l’on connaît suffisamment de valeurs, on peut les relier pour tracer, de façon approchée, la représentation graphique de cette fonction.
Exemple :
Soit 4 − 2
−2 −1 0 1 2 3
( ) −10 −6 −2 2 6 10
3) Expression d’une fonction
Soit la fonction définie par ( ) = 2 − 9
Le procédé permettant d'obtenir l'image d'un nombre est donné par l'expression 2 − 9 . Pour chaque valeur de , on peut calculer son image ( ) à l'aide de cette expression.
Exemple : Soit = −3,
alors (−3) = 2 × (−3) − 9 = −6 − 9 = −15 Application
a) Soit la fonction déjà définie ci-dessus. Calculer l'image de 1 par . (1) = 2 × 1 − 9 = −7
L’image de 1 par est −7.
b) On peut calculer l’antécédent d’un nombre. Calculer le ou ses antécédents de 6.
Il faut résoudre l'équation ( ) = 6 Soit 2 − 9 = 6 :
2 = 6 + 9
⇔ =15 2
⇔ = 7,5
L'antécédent de 6 par est 7,5.
