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1M002 Suites, int´egrales, alg´ebre lin´eaire2015-2016
Feuille 7 int´ egration 1
Il y a plusieurs types d’exercices : les exercices dits«de calculs» – marqu´es par un (C) – que vous devez pouvoir traiter en autonomie et sans erreur : des questions de ce type seront pos´ees `a l’examen.
Exercice 1 ((C) Premiers calculs). D´eterminer les primitives des fonctions suivantes, puis calculer l’int´egrale demand´ee.
1. f :R→R,t7→ |t|. CalculerR1
−1f(t)dt.
2. f : R→Rd´efinie parf(t) = sin(t) (resp.cos(t)). CalculerRπ2
0 f(t)dt.
3. f : R∗+ → R, t 7→ 1
√t. Calculer F(x) = R1
x f(t)dt et d´eterminer si limx→0+F(x) existe.
4. f :R→R,t 7→ 1+t12. Calculer, pour toutx∈R, Rx
−f(t)dt. D´eterminer si limx→+∞Rx
−xf(t)dtexiste.
5. f :R→R,t7→cos(t)2. CalculerRπ2
0 f(t)dt.
Exercice 2 ((C) Int´egrations par parties). D´eterminer une primitive des fonc- tions suivantes :
1. f : R+∗ →Rd´efinie parf(t) = ln(t). Calculer, pour toutx >0,Rx 1 f(t)dt.
2. f : R→Rd´efinie parf(t) =tcos(t). CalculerRπ
0 tcos(t)dt.
3. f : R→Rd´efinie parf(t) =t2et. Calculer, pour toutx∈R,Rx 0 f(t)dt.
4. f :R+∗ →Rd´efinie parf(t) = ln(t)t . Calculer, pour toutx∈R,Rx 1 f(t)dt.
Exercice 3 ((C) Changement de variable). En utilisant des changements de variables, calculer :
I1= Z 1
0
et
et+ 1dt I2= Z x
0
1
ch(t)dt I3= Z √12
0
√ 1
1−t2dt I4=
Z π4
0
tan(t)dt I5= Z e
1
ln(t) t dt.
Exercice 4. Soitf : [a, b]7→Rd´erivable de d´eriv´eef0>0 et continue.
1. Si l’on notec=f(a) etd=f(b) que repr´esente graphiquement la quan- tit´e :
Z d
c
f−1(t)dt 2. En d´eduire la formule suivante :
Z d
c
f−1(t)dt+ Z b
a
f(t)dt=bd−ca
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3. Retrouver ce r´esultat en faisant successivement une int´egration par partie et un changement de variable dans l’int´egrale :
Z b
a
f(t)dt
Exercice 5. Soitf une fonction int´egrable et p´eriodique de p´eriode T, d´efinie surR. Soitaet bdeux r´eels quelconques.
Montrer que
Z a+T
a
f(t)dt= Z b+T
b
f(t)dt Exercice 6.
1. Soitfune fonction int´egrable et impaire d´efinie sur un intervalle [−a,+a], o`ua∈R∗+. Montrer que
Z a
−a
f(t)
1 +t2dt= 0
2. Soitf une fonction int´egrable et paire d´efinie sur un intervalle [−a,+a], o`ua∈R∗+. Montrer que
Z a
−a
f(t) 1 +t2dt= 2
Z a
0
f(t) 1 +t2dt
Exercice 7. On rappelle que si x∈R, sa partie enti`ere E(x) est le plus gand nombre entier relatif tel que E(x) ≤ x. En utilisant la relation de Chasles, calculer, pour tous entiers relatifsmetntels quen≥m,Rn
mE(t)dt Exercice 8.
Soitϕune fonctionC1 sur [a, b]. Pour toutn∈N, on pose un =
Z b
a
ϕ(t) sin(nt)dt
Montrer que la suite (un)n∈Nconverge vers 0 quandn→+∞.
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