Espaces topologiques compacts

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Facult´e des Sciences Dhar El Mehrez

D´epartement de Math´ematiques et Informatique

Chapitre 5

Espaces topologiques compacts

Abdelaziz Kheldouni

0.0.1 §V.1.Définitions et propriétés

Soit (T, τ) un epace topologique, soit (Uλ)_λ∈L un recouvrement deT ( i.e. T = ∪

λ∈LUλ ). On dira que c’est un recouvrement ouvert de Tsi chaqueUλ est un ouvert de T. On dira que c’est un recouvrement finni siL est fini. Un recouvrement (Vµ)_µ∈M de T est dit extrait du recouvrement (Uλ)_λ∈L , si chaque Vµ est unUλ ( i.e.

s’il existe une applicationµ→σ(µ) deM dansLtelle que pour toutµ∈M , on a Vµ=U_σ(µ)).

Proposition 1 : Soit T un espace topologique; les deux assertions suivantes sont ´equivalentes i) Pour tout recouvrement ouvert de T , il existe un recouvrement extrait fini de T

ii) Si une famille de ferm´es de T est d’intersection vide, alors il en existe une sous- famille finie dont l’intersection est dej`a vide.

Démonstration : Soient (Uλ)_λ∈L une famille de parties deT, etFλle complémentaire deUλ. l’aquivalence des deux assertions découle du fait que :

- (Uλ)_λ∈L est un recouvrement deT si et seulement si ∩

λ∈LFλ=∅.

-Uλ et un ouvert deT si et seulement siFλest un ferm´e deT.

Un espace toplogiqueT qui vérifie l’une des conditions de la proposition 1 est dit espace quasi-compact Définition 2 : Un espace topologique est dit compact s’il est séparé, et s’il vérifie l’une des propriétés (i) et (ii) de la proposition précédente.

Exemples :

1) R n’est pas compact; en effet, la famille de ferm´es de R, (Fn = [n,+∞[)_n∈N est une famille d’intersection vide, mais aucune de ses sous familles finie n’est d’intersection vide.

2) Tout espace topologique s´epar´e fini est compact

3) Les compacts deRⁿ sont les ferm´es borm´es (Voir MP2)

Un sous-ensemble X d’un espace topologique séparé T est dit relativement compact ou pré-compact, si sa

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fermeture X est compacte.

La notion de pré-compacité contrairement à celle de la compacité, est liée à l’espace topologiqueT dans lequel l’espace est plongé. Par exemple, l’intervalle ]0,1[ est relativement compact dansRmais ne l’est pas dans lui même.

Remarque 3 : 1) La propriété (i) de la proposition 1 est appelée axiome de Borel-Lebesgue. Cet axiome a un intérêt théorique considérable, il permet de passer du local au global en utilisant l’argument de compacité. Par exemple, Soit E un espace topologique compact, et f une fonction de E dans Rlocanlement bornée dansE, alorsf est bornée dansE. Comme toute fonction continue est localement bornée, on voit bien qu’une fonction continue sur un compact est bornée.

2) Une famille (Ai)i∈I est dite centr´ee, si aucune intersection finie ∩

f inieAi n’est vide.

La condition (i) dans la proposition 1 est équivalente à : (ii’) Toute famille centrée de fermés deT admet une intersection non vide vide. En effet Soit (Ai)i∈I une famille centée de fermés deT (compact), Les parties Ui=T\Ai sont des ouverts deT et comme aucune intersection ∩

f inieAi n’est vide, on d´eduit qu’aucune sous- famille finie de (Ui) ne rencontreT . Mais en vertu de la compacit´e deT, la famille (Ui)i∈I ne peut constituer un recouvrement deT, ce qui contredit ∩

i∈IA_i non vide.

Proposition 4 : Si T est un espace topologique compact alors tout sous-ensemble fini de T poss`ede un point d’accumulation

D´emonstration: Supposons queT contient un sous-ensemble infiniXne poss`edant aucun point d’accumulation.

Considèrons Xk = {xk, xk+1, ....} un sous-ensemble dénombrable extrait de T. La famille (Xn) est alors une famille centrée de sous-ensembles fermés de T, dont l’intersection est vide. Ceci contredit le fait que T est compact.

Dans le cas particulier des espaces m´etriques nous avons :

Proposition 5 : Soit (E, d)un espace m´etrique. Les assertions suivantes sont ´equivalentes : a)E est compact

b) De toute suite (xn)dans E , on peut extraire une sous-suite convergente

c) Eest complet et v´erifie la condition dite du ε-recouvrement suivante : ∀ε >0 ,il existe un recouvrement fini de E par des boules de rayon ε(On dit dans ce cas que E est pr´ecompact).

Démonstration: (a)⇒(b) : Soient (x_n) une suite dansE, etF_n={x_k ; k≥n}. LesF_nsont des fermés deE et toute sous-famille finie extraite de (Fn) est d’intrsection non vide, donc l’ensemble des valeurs d’adhérences de (xn) qui n’est rien d’autre que∩Fn est non vide.

(b)⇒(c) : E est complet car, si (xn) est une suite de Cauchy qui possède une sous-suite convergente alors elle est elle même convergente. Par ailleurs, Supposons qu’on a un α >0 tel qu’il n’existe aucun recouvrement fini de E par des boules de rayonα, il existe alors une suite de boulesB(xn, α) deE deux à deux disjointes.

La suite (xn) form´ee des centres de ces boules est une suite qui ne poss`ede aucune sous-suite convergente.

(c)⇒(a) : Soit (Ul)_l∈L un recouvrement ouvert de E tel que aucune sous-famille finie de ce recouvrement ne recouvre E. Posons B0 =E , Supposons la bouleBn d´efinie. Parmi les boules, en nombre fini d’un ₂n+1¹ - recouvrement deE, qui rencontreBn, il y en a au moins une qui n’est recouverte par aucune sous-famille finie de (Ul)l∈L ; c’estBn+1. Soitxn le centre deBn. La suite (xn) est de Cauchy, car

d(xn, xm)≤d(xn, xn+1) +...+d(xm−1, xm)≤2( 1

2ⁿ +...+ 1

2^m−1)≤ 4 2ⁿ

commeEest complet, cette suite a une limitex. Soitl0∈Ltel quex∈Ul0 et soitr >0, tel queB(x, r)⊂Ul0. Si pest un entier positif tel qued(x, x_p)<^r₃ , et ₂¹_p < ^r₃ , on aB_p⊂B(x, r)⊂U_l₀

ce qui est contraire `a notre hypoth`ese.

Proposition 6 : Si T est un espace topologique compact, alors tout sous-ensemble ferm´e de T est un espace compact.

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Démonstration: SoitF un fermé deT, et soit{Fλ}une famille centrée quelconque de sous-ensembles fermés de F. CommeF est fermé, lesF_λ sont aussi des fermés deT , donc{Fλ}est aussi une famille centrée quelconque de sous-ensembles fermés deT qui est compact. D’où∩

λF_λ6=∅. Etant séparé, l’espaceF est donc compact Proposition 7 : Un espace topologique compact est fermé dans tout espace de Hausdorff qui le contient.

D´emonstration : Soit K un sous-ensemble compact d’un espace de Hausdorff T ⊃ K, et soit y /∈ K. Alors pour tout x ∈ K, il existe Ux ∈ v(x) et Vx ∈ v(y) tels que Ux∩Vx = ∅. La famille (Ux)_x∈K forme un recouvrement ouvert deKOn peut donc en extraire un sous-recouvrement fini (U_x_i)_i=1..n. PosonsV = ∩ⁿ

i=1V_x_i. C’est unvoisinage de y qui ne rencontre pas ∪ⁿ

i=1Ux_i =K. Doncy /∈K.

Remarque 8 : Un compact est un espace normal; en effet, soientK est un compact, etF1, F2 deux fermés disjoints de K. Pour tout y ∈ F2, ∃Uy ∈ v(y) et il existe un ouvert Oy ⊃F1 tels que Uy∩Oy =∅ (Pour le voir on utilise un raisonnement analogue à celui utilisé dans la démonstration de la proposition 7). Ainsi tout compact est un espace régulier. Supposons maintenant queyparcoursF₂, et considérons un sous-recouvrement fini (Uy_i)i=1..n du recouvrement (Uy)_y∈F₂, Les ouvertsθ1 = ∩ⁿ

i=1Oy_i et θ2= ∪ⁿ

i=1Uy_i v´erifientF1⊂θ1,etF2⊂θ2

avecθ1∩θ2=∅. D’o`u la normalit´e deK.

Compacit´e et applications continues

Proposition 9 : L’image d’un espace compact par une application continue à valeurs dans un espace séparé est un espace compact.

D´emonstration:Soitfune application continue d’un espace compactX dans un espace topologiqueY, Si (Vi)i∈I

est un recouvrement ouvert def(X)⊂Y,alors (Ui=f⁻¹(Vi))i∈I est un recouvrement ouvert deX. CommeX est compact, on peut extraire du recouvrement (Ui) un sous-recouvrement fini (Ui)ⁿ_i=1.Dans ce cas, la famille (Vi=f(Ui))ⁿ_i=1est un sous-recouvrement fini de (Vi)i∈I.

On déduit de cette proposition que toute application continue et bijective d’un compact X sur un espace séparéY est un homéomorphisme. En effet une telle application est fermée.

Th´eor`eme10 : Un espace topologique produit X= ΠXi est compact si et seulement si chacun des espaces Xi

est compact.

D´emonstration : En exercice

D´efinition 11 : Un espace topologique X est dit d´enombrablement compact si tout sous-ensemble infini de X admet au moins un point d’accumulation.

On a vu que si X est compact alors toute partie infinie poss`ede au moins un point d’accumulation. La r´eciproque est fausse.

Proposition 12 : Pour q’un espace topologique X soit dénombrablement compact il faut et il suffit que l’une quelconque des conditions suivantes soit vérifiée :

1) Tout recouvrement ouvert d´enombrable de X poss`ede un sous-recouvrement fini

2) Toute famille centrée dénombrable de fermés deX est d’intersection non vide (i.e Toute famille dénombrable de fermés de X d’intersection vide possède une sous-famille finie d’intersection vide).

Démonstration: Supposons que Xn’est pas dénombrablement compact, doncX contient un sous-ensemble infini ne possèdant aucun point d’accumulation. ConsidèronsXk ={xk, xk+1, ....}un sous-ensemble dénombrable extrait de . La famille (Xn) est alors une famille centrée de sous-ensembles fermés de X , dont l’intersection est vide.

Réciproquement, supposons queXest dénombrablement compact, et soit (Fn) une famille centrée dénombrables de fermés deX . Il s’agit de montrer que∩F_n6=∅. Posons Φ_n= ∩ⁿ

k=1F_k, ce sont des ferm´es non vides deX qui

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v´erifient Fn+1⊂Fn , et∩Φn =∩Fn. Deux cas sont possibles

♦`a partir d’un certain rangn₀ on a Φ_n₀ = Φ_n₀₊₁=...et alors,∩Φn6=∅

♦ parmi les Φ_n il y en a une infinité qui sont deux à deux disjoints; on prend alorsx_n ∈Φ_n\Φ_n+1. La suite (x_n) constitue un ensemble infini de points distincts deX donc en vertue de la compacité dénombrable cette suite possède un point d’accumulationx₀ . C’est aussi un point d’accumulatuion de Φ_n, et comme ce dernier est fermé,x₀∈Φ_n pour toutn.ainsi∩Φ_n6=∅.

Remarque : Dans le cas des espaces à base dénombrable, il y a identité entre la compacité et la compacité dénombrable. En effet, quelque soit le recouvrement ouvert d’un espace T à base dénombrable, on peut en extraire un sous-recouvrement dénombrable qui à son tour possède un sous recouvrement fini.

0.0.2 §V.2.Espaces localement compacts

Définition 1 :Un espace topologique est dit localement compact s’il est séparé et si chacun de ses points possède un voisinage compact.

Exemples :

1) Tout espace compact est localement compact.

2) Tout espace topologique discret est localement compact (par exempleZ)

3) L’ensemble Q considéré comme sous-espace toplogique de R n’est pas localement compact; s’il l’était, 0 posséderait un voisinage compactV. Ce dernier contiendrait un sous-voisinage de la forme [−a, a]∩Q. Comme [−a, a]∩Qest fermé c’est donc une partie compacte de Qce qui est faux car, pour tout irrationel α∈[−a, a]

la suite d´eccroissante de ferm´es [−a, a]∩Q∩[α−¹_n, α+¹_n] a une intersection vide.

Voici quelques r´esultats qui fournissent des methodes pratiques de construction d’espaces localement compacts.

Proposition 2 : Tout espace topologique localement compact T est r´egulier

Démonstration : Dans §V.1, remarque 8 nous avons vu que tout espace compact est normal, donc à fortiori régulier. Supposons maintenant que notre espace T est localement compact, et soit U 3 x. Soit un ouvert W 3xtel queW soit compact, alorsU∩W est un ouvert dansW, donc il existe un ouvertO de T contenant x tel que la fermeture O∩W (dans T ou dans W c’est la même chose) soit contenue dans U∩ W. Posons, V =O∩W ; c’est un ouvert de T qui contiuentxet qui vérifieV =O∩W ⊂O∩W ⊂U.

Proposition 3 : Soit T espace topologique localement compact; soit A une partie ouverte resp. ferm´ee de T . Alors le sous-espace topologique Ade T est localement compact.

Démonstration : SiAest fermée, toutx∈A, possède dansT un voisinage compact V . Cependant,V ∩Aest fermé dansV, c’est donc un compact; comme c’est aussi un voisinage dexdansA, ce point possède donc un voisinage compact.

Supposons maintenantA ouvert dans ce cas, le résultat découle de la proposition 2 ci-dessus. En effet, Soit x∈A⊂T,xpossède un voisinage compact KdansT. CommeK est compact , il est normal, doncxpossède un système fondamental de voisinages compacts dans K et donc aussi dans T. Aétant ouvert de T c’est un voisinage dexet donc il va contenir un voisinage compact.

Proposition 3 : Si A et B sont deux sous-espaces topologiques localement compacts d’un espace topologique s´epar´e T ; alors leur intersection et leur produit sont localement compacts.

D´emonstration : -A∩B est localement compact: c’est imm´ediat!

-A×B est évidement séparé, d’autre part, si (x, y)∈A×B les pointsxetyont respectivement des voisinages compacts V et W. Le produitV ×W est un voisinage compact de (x, y) dans A×B . Cette démonstration reste valable pour un produit gfini d’espaces localement compacts.

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Remarque : Il est faux que l’union des deux sous-espaces localement compactAetBsoit localement compact.

Prendre par exemple, A={(x, y)∈R² / x >0} et B ={(0,0)}. A ∪B n’est pas localement compact car (0,0) n’a aucun voisinage compact dansA∪B.

Compactification

Nous allons montrer que si (X, τX) est un espace topologique localement compact et non compact , on peut joindre àX un singleton appelé point à l’infini, et mettre surX⁺:=X∪ {1pt}une topologie d’espace compact dot la trace surX coincide avec la topologieτX. Ce resultat est du à Alexandroff :

Théorème 4 :Soit X un espace topologique localement compact et non compact. Il existe un espace topologique compact noté X⁺ , et un homéomorphisme f de X sur une partie dense f(X)deX , dont le complémentaire contient un seul élément noté $. On dit que X⁺ est le compactifié d’Alexandroff de X.

Démonstration : PosonsX⁺=X∪ {$}. On munitX⁺ d’une structure d’espace topologique comme suit : les ouverts deX⁺ sont les ouverts deX, et les complémentaires dans X⁺ des parties donpactes deX On considèref :X ,→X⁺=X∪ {$}l’inclusion naturelle; c’est un homéomorphisme deXsur son imagef(X) munie de la topologie induite par celle deX⁺.

De plus,f(X) est dense dansX⁺car tout voisinage de$ contient une partie deX⁺dont le compl´ementaire est un compact def(X) qui n’est pasf(X) (carX est suppos´e non compact).

X⁺ est séparé : en effet, si x6=y sont deux points distincts deX⁺, lorsque ces deux points sont dans X c’est gagné puisqueX est séparé. Si maintenant, y =$ et x∈X, ce dernier a dansX un voisinage compact K qui est aussi un voisinage dexdansX⁺ . Le complémentaire deK dansX⁺ est un voisinage de$ qui ne rencontre pasK.

Montrons queX⁺ est compact. Soit pour cela (O_i)_i∈I un recouvrement ouvert de X⁺. Il existe uni₀ ∈I tel que $∈Oi₀ . Comme{^Oⁱ⁰ est un comact deX recouvert par (Oi)_i∈I\i₀ il va exister un sous-recouvrement fini (Oi_k)^p_k=1 de{^Oⁱ⁰ et alorsX⁺ se trouve recouvert par (Oi_k)^p_k=1∪Oi₀.