Chapitre 8. ´ Echantillonnage et estimation
Manuel p.174.
1. Intervalle de fluctuation
On note :
• pla fr´equence du caract`ere mesur´ee dans la population totale, ou bien lafr´equence ”th´eorique”
du caract`ere
• nlataille de l’´echantillonsur lequel on travaille
AlorsI=h
p−√1n;p+√1ni
est l’intervalle de fluctuation `a 95%.
Application: Si la fr´equencef appartient `a cet intervalle, on dira que ”tout va bien” :le bidule est conforme, les pr´evisions sont justes,etc... selon les exercices.
Sif n’est pas dans l’intervalle, alors le bidule n’est pas conforme, les pr´evisions sont fausses, etc...
2. Sujets de Bac
A. Polyn´ esie 2016 exercice 3
Cet exercice est un Questionnaire `a Choix Multiple (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre r´eponses propos´ees est correcte.
Toutes les r´eponses doivent ˆetre justifi´ees. Une r´eponse juste rapporte un point ; une r´eponse fausse ou l’absence de r´eponse n’enl`eve pas de point.
Dans une population, on estime qu’il naˆıt 51 % de gar¸cons et 49 % de filles.
1. L’intervalle de fluctuation `a au moins 95 % de la fr´equence des filles dans un ´echantillon de 100 naissances choisies au hasard sera :
a. [0,48 ; 0,50] b. [0,39 ; 0,59] c. [0,41 ; 0,61] d. [0,47 ; 0,51]
. . . . . . . . . . . . . . . .
Dans cette mˆeme population si le premier enfant d’une famille est une fille, dans 75 % des cas il y a un deuxi`eme enfant. Si le premier enfant est un gar¸con, il y a un deuxi`eme enfant dans 20 % des cas.
On choisit, au hasard dans cette population, une famille ayant au moins un enfant.
On consid`ere les ´ev`enements suivants :
F :le premier enfant de cette famille est une fille
D:cette famille a eu un deuxi`eme enfant
2. On a :
a. P(D) = 0,469 5 b. P(D) = 0,75 c. P(D) = 0,367 5 d. P(D) = 0,530 25
. . . . . . . . . . . . . . . .
3. La probabilit´e que la famille choisie ait au moins deux enfants et que le premier soit une fille est :
a. 0,122 5 b. 0,49 c. 0,367 5 d. 1,24
. . . . . . . . . . . . . . . .
4. On choisit au hasard 5 familles parmi celles qui ont au moins un enfant. 0n appelleY la variable al´eatoire qui donne le nombre de ces familles ayant eu une fille en premier enfant.
On a alors :
a. P(Y = 2) = 10 b. P(Y = 2)≈0,32 c. P(Y = 2) = 0,98 d. P(Y = 2) = 0,16
. . . . . . . . . . . . . . . .
B. Pondich´ ery 2016 exercice 2
Partie A
On consid`ere la fonctionf d´efinie sur l’intervalle [1 ; 11] par :
f(x) = 0,11x2−0,66x+ 1,86.
1. On note f0 la fonction d´eriv´ee de la fonctionf. Calculerf0(x).
. . . . . . . . . . . . . . . .
2. ´Etudier le signe de f0(x) sur l’intervalle [1 ; 11] et en d´eduire le tableau de variation de la fonctionf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Quel est le minimum def? Pour quelle valeur est-il atteint ?
. . . . . . . .
Partie B
Le tableau ci-dessous donne les ventes annuelles (en millions) de disques vinyles aux ´Etats-Unis de 2004 `a 2014.
Ann´ee 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Rangxi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ventesyi 1,2 0,9 0,9 1 1,9 2,5 2,8 3,6 4,6 6,1 9,2
Source : MBW analysis/Nielsen Soundscan
On a repr´esent´e les points de coordonn´ees (xi ; yi) dans le rep`ere de l’annexe `a rendre avec la copie en page 63.
On d´ecide de mod´eliser les ventes annuelles de vinyles par la fonctionf.
1. (a) Compl´eter, `a l’aide de la calculatrice, le tableau de valeurs suivant. On arrondira les r´esultats au dixi`eme.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
f(x)
(b) Construire la repr´esentation graphique de la fonctionf dans le rep`ere donn´e en annexe.
(c) En quelles ann´ees le mod`ele semble-t-il le plus ´eloign´e de la r´ealit´e ?
. . . . . . . .
2. `A l’aide de ce mod`ele, estimer le nombre de ventes de vinyles en 2016.
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Annexe `a rendre avec la copie Exercice 3– Partie B
C. M´ etropole 2015 exercice 3
Les trois parties sont ind´ependantes Partie A
Pour entrer dans un parc aquatique, il y a deux modes de paiement possibles :
• `a distance par Internet ;
• sur place aux caisses du parc.
Le responsable marketing r´ealise une enquˆete aupr`es des visiteurs pour mesurer la part des ventes de billets par Internet. Il distingue deux cat´egories de visiteurs : ceux qui r´esident dans le d´epartement d’implantation du parc et ceux qui r´esident dans un autre d´epartement.
A l’issue de l’enquˆ` ete le responsable constate que :
• 35 % des visiteurs r´esident dans le d´epartement,
• parmi les visiteurs r´esidant dans le d´epartement, 55 % ont achet´e leur billet aux caisses du parc ;
• parmi les visiteurs r´esidant dans un autre d´epartement, 80 % ont achet´e leur billet sur Internet.
On interroge au hasard un visiteur pr´esent dans le parc.
On noteC etD les ´ev`enements :
• C :le visiteur a achet´e son billet d’entr´ee aux caisses du parc;
• D :le visiteur r´eside dans le d´epartement d’implantation du parc.
Pour tout ´ev`enementE, on noteEl’´ev`enement contraire deE,p(E) la probabilit´e deEet, siFest un ´ev`enement de probabilit´e non nulle, on notepF(E) la probabilit´e conditionnelle deE sachantF.
1. (a) Donner les probabilit´esp(D) etpD(C).
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(b) Compl´eter l’arbre de probabilit´es donn´e en annexe.
Annexe `a rendre avec la copie
2. (a) Traduire math´ematiquement l’´ev´enement le visiteur ne r´eside pas dans le d´epartement d’implan- tation du parc et a achet´e son billet par Internet, puis calculer sa probabilit´e.
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(b) Le directeur affirme qu’il est n´ecessaire de restructurer le site Internet car moins des trois-quarts des visiteurs ach`etent leur billet en ligne. Que pensez-vous de cette affirmation ?
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Partie B
Une des attractions du parc, une descente de type rafting dans des bou´ees g´eantes, attire beaucoup de visiteurs.
Les normes de s´ecurit´e imposent que le bassin d’arriv´ee contienne un volume d’eau compris entre 150 et 170 m3 d’eau. Chaque soir, `a la fermeture du parc, l’´equipe de maintenance effectue des v´erifications et d´ecide, ou non, d’intervenir. Le volume d’eau (exprim´e en m3) contenu dans le bassin, `a la fin d’une journ´ee d’exploitation de cette attraction, est mod´elis´e par une variable al´eatoire X suivant une loi normale d’esp´erance µ= 160 et d’´ecart type σ= 5.
1. (a) Calculerp(1506X 6170).
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(b) En d´eduire la probabilit´e que l’´equipe de maintenance soit oblig´ee d’intervenir pour respecter les normes de s´ecurit´e.
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2. Quelle est la probabilit´e que l’´equipe de maintenance soit oblig´ee, pour respecter les normes, de rajouter de l’eau dans le bassin `a la fin d’une journ´ee d’ouverture ?
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Partie C
Pour le repas du midi, les visiteurs restant toute la journ´ee dans le parc peuvent :
• soit d´ejeuner dans l’un des restaurants du parc ;
• soit consommer, sur une aire de pique-nique, un repas qu’ils ont apport´e.
La direction souhaite estimer la proportionpde visiteurs d´ejeunant dans l’un des restaurants du parc.
Un sondage est effectu´e `a la sortie du parc : 247 visiteurs parmi 625 ont d´ejeun´e dans l’un des restaurants du parc.
D´eterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportionpde visiteurs d´ejeunant dans l’un des restaurants du parc.
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