Partie II. Orthogonalité

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MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

L'objet de ce problème est de donner quelques propriétés de l'inversion relatives aux droites et cercles (en particulier en liaison avec l'orthogonalité).

Dans tout le problème, un plan P est muni d'un repère orthonormé d'origine O qui permet d'associer à chaque point du plan son axe complexe. On noteP^∗ l'ensemble des points du plan autres queO, c'est à dire l'ensemble des points dont l'axe est un nombre complexe non nul.

On dénit également des parties deP^∗.

Pour toutucomplexe non nul,D(u)est déni par : M (d'axez6= 0) ∈ D(u)⇔ z−u

u ∈iR Pour toutucomplexe non nul,∆(u)est déni par :

M (d'axez6= 0) ∈∆(u)⇔ z u∈R Pour toutucomplexe non nul,C^∗(u)est déni par :

M (d'axez6= 0) ∈ C^∗(u)⇔ |z−u|=|u|

Pour toutucomplexe non nul et tout réel strictement positifr6=|u|,C(u, r)est déni par :

M (d'axez6= 0) ∈ C(u, r)⇔ |z−u|=r On dénit l'applicationI deP^∗dansP^∗ par :

lorsqueM est le point d'axez6= 0,I(z)est le point d'axe 1 z LorsqueE est une partie deP^∗, la partieI(E)est dénie par :

M ∈ I(E)⇔ ∃A∈ E tel queM =I(A)

Partie I. Images

1. Décrire géométriquement les parties du planD(u),∆(u),C^∗(u), C(u, r). 2. SoitE une partie quelconque deP^∗, montrer que :

M ∈ I(E)⇔ I(M)∈ E

3. PréciserI(E)lorsqueE est une des parties dénies dans l'énoncé.

Chaque cas sera traité séparémént. On trouvera des parties de la formeD(u⁰),∆(u⁰), C^∗(u⁰),C(u⁰, r⁰)(pas forcément dans cet ordre).

Les valeurs deu⁰ (et éventuellementr⁰) seront clairement exprimées en fonction deu (et éventuellementr). Les résultats seront rassemblés ensuite dans un tableau.

Partie II. Orthogonalité

On dira qu'une droite est orthogonale à un cercle si et seulement si elle contient le centre.

On dira que deux cercles (respectivement de rayonsr1, r2) sécants sont orthogonaux si et seulement si

d²=r₁²+r₂² la distance entre les deux centres étant notéed.

L'orthogonalité entre deux droites est dénie comme d'habitude. On utilisera le symbole⊥ pour désigner l'orthogonalité ainsi étendue.

1. Iciuetv sont des complexes non nuls,r6=|u|etρ6=|v|des réels strictement positifs.

Traduire chacune des orthogonalités suivantes par une propriété entre des nombres complexes

D(u)⊥ D(v) D(u)⊥∆(v)

D(u)⊥ C^∗(v) D(u)⊥ C(v, ρ) C^∗(u)⊥ C^∗(v) C(u, r)⊥ C^∗(v)

2. Montrer que :

E ⊥ E⁰⇒ I(E)⊥ I(E⁰) dans chacun des cas suivants :

E=D(u),E⁰ =D(v) E=D(u),E⁰=C^∗(v) E =C^∗(u),E⁰ =C^∗(v) E=C^∗(u),E⁰=C(v, ρ)

E= ∆(u),E⁰ =C^∗(v) E= ∆(u),E⁰=C(v, ρ)

3. Montrer que dans la conguration géométrique de la gure 1 (où (C1A1) ⊥(A1C), (CA2)⊥(A2C2),(C1, O, C, C2)alignés), les images parI (inversion) des cerclesC1et C2sont des cercles concentriques.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai Ainv

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C1

C2

C1

C A2

C2

A1

O

Fig. 1: II.3. Conguration géométrique

Corrigé

Partie I. Images

1. Introduisons le pointU d'axeupour décrire les objets proposés.

D(u)est la droite passant parU et orthogonale à la droite(OU). ∆(u)est la droite(OU).

C^∗(u)est le cercle de centreU et de rayon|u| (donc passant parO) mais privé du pointO.

C(u, r)est le cercle de centreU et de rayonr. Comme |u| 6=r, le pointO n'est pas dans ce cercle.

2. Comme on est en début d'année et que cette question est isolée, on fournit une rédaction détaillée. Dans un autre contexte, un tel résultat serait considéré comme évident.

Remarquons d'abord que, pour tous les complexes non nulsz,I ◦ I(z) =z.

SupposonsM ∈ I(E), il existe alors unA∈ E tel queM =I(A). DoncI(M) =Aest un élément deE.

Réciproquement, siI(M)∈ E, il existe alors unA ∈ E (à savoirI(M)tel que M = I(A).

3. Les résultats sont présentés dans la table1 (Images). Les calculs sont détaillés seulement pourD(u)etC(u, r). La troisième ligne se déduit de la première par 2.

E I(E)

D(u) C^∗(_2u¹)

∆(u) ∆(u)

C^∗(u) D(_2u¹) C(u, r) C

u

|u|²−r²,_||u|₂^r_−r₂_| Tab. 1: Images

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Image deD(u). Un pointM d'axez∈ D(u)si et seulement si :

1 z −u

u ∈iR⇔ 1−zu

zu ∈iR⇔zu(1−zu)∈iR⇔zu− |zu|²∈iR

⇔Re(zu)− |zu|²= 0⇔ |zu−1 2|²=1

4 ⇔

z− 1 2u

= 1 2|u|

Image deC(u, r). Un pointM d'axez∈ C(u, r)si et seulement si :

1 z −u

2

=r²⇔ |1−uz|²=r²|z|²⇔1−2 Re(uz) +|u|²|z|²=r²|z|²

⇔(|u|²−r²)|z|²Re(uz) + 1 = 0⇔ |z|²Re

u

|u|²−r²z

+ 1

|u|²−r² = 0

⇔

z− u

|u|²−r²

= |u|²

(|u|²−r²)² − 1

|u|²−r² = r² (|u|²−r²)²

Partie II

1. Les conditions d'orthogonalité sont immédiates à obtenir. Elles sont rassemblées dans la table2(Orthogonalités). On peut remarquer que l'énoncé n'envisage pas les 10 cas

D(u)⊥ D(v) Re (uv) = 0 D(u)⊥∆(v) Im (uv) = 0 D(u)⊥ C^∗(v) Re ^v_u

= 1 D(u)⊥ C(v, ρ) Re ^v_u

= 1 C^∗(u)⊥ C^∗(v) Re (uv) = 0 C(u, r)⊥ C^∗(v) |u−v|²=r²+|v|²

Tab. 2: Orthogonalités

possibles. Deux cas en particulier manquent et qui seront utiles dans la suite :

∆(u)⊥ C(v, r)⇔ v

u∈R et ∆(u)⊥ C^∗(v)⇔ v u∈R

2. Les conditions d'orthogonalités sont lues dans les tableaux précédents et rassemblées dans la table3.

cas E E⁰ cond. orth. I(E) I(E⁰) cond. orth. image 1 D(u) D(v) Re (uv) = 0 C^∗(_2u¹) C^∗(_2v¹) Re _uv¹

= 0 2 D(u) C^∗(v) Re ^v_u

= 1 C^∗(_2u¹) D(_2v¹) Re _u^v

= 1 3 C^∗(u) C^∗(v) Re (uv) = 0 D(_2u¹ ) D(_2v¹) Re _uv¹

= 0

4 C^∗(u) C(v, ρ) D(_2u¹ ) C(w, r) Re (w2u) = 1 5 ∆(u) C^∗(v) Im ^v_u

= 0 ∆(u) D(_2v¹) Im _2v^u

= 0 6 ∆(u) C(v, ρ) Im ^v_u

= 0 ∆(u) C(w, r) Im ^w_u

= 0 Tab. 3: Conservation de l'orthogonalité

pour les cas 4 et 6 : w= v

|v|²−ρ² r= ρ

|v|²−ρ² Les cas 1 et 3 résultent de la relation

1 uv = 1

|uv|²uv= 1

|uv|²uv

Le cas 2 vient de la conservation de la partie réelle par conjugaison.

Dans le cas 4, transformons la condition non écrite

|u−v|²=ρ²+|u|²⇔ −2 Re (uv) +|v|²=ρ²⇔2 Re

u v

|v|²−ρ²

= 1

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qui est bien la condition voulue avec lewdonné.

Le cas 5 se déduit de

Imu 2v

=−Im

u

2v

=−|u|² 2|v|²Imv

u

Le cas 6 vient de ce que ^w_u est égal à _u^v multiplié par un nombre réel.

3. NotonsC le cercle passant parO (donc de typeC^∗(u).

Par hypothèse, il est orthogonal àC₁etC₂qui sont de typesC(u, r). D'après la question précédentes, les images sont orthogonales. Les images deC₁et C₂ sont des cercles qui ne passent pas par O, l'image de C est une droite D qui ne passe pas par O. Les orthogonalités des images se traduisent par le fait que les centres des cercles images de C1et C2sont sur D.

La droite des centres est du type∆(u)et elle est orthogonale à C1 et C2. Les images sont encore orthogonales et la droite des centre est sa propre image. On en déduit que les centres des images deC1et C2sont sur la droite des centres.

Les centres des cercles images sont donc confondus au point d'intersection de la droite des centres avec l'image deC.