Partie I. Images

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MPSI B Année 2015-2016 Corrigé DM 2 vendredi 25/09/15 29 juin 2019

Partie I. Images

1. Introduisons le pointU d'axeupour décrire les objets proposés.

D(u)est la droite passant parU et orthogonale à la droite(OU). ∆(u)est la droite (OU).

C^∗(u)est le cercle de centreU et de rayon |u| (donc passant parO) mais privé du pointO.

C(u, r)est le cercle de centreU et de rayonr. Comme |u| 6=r, le pointO n'est pas dans ce cercle.

2. Comme on est en début d'année et que cette question est isolée, on fournit une rédaction détaillée. Dans un autre contexte, un tel résultat serait considéré comme évident.

Remarquons d'abord que, pour tous les complexes non nulsz,I ◦ I(z) =z.

SupposonsM ∈ I(E), il existe alors unA∈ E tel queM =I(A). DoncI(M) =Aest un élément deE.

Réciproquement, siI(M)∈ E, il existe alors unA ∈ E (à savoirI(M)tel que M = I(A).

3. Les résultats sont présentés dans la table1 (Images). Les calculs sont détaillés seulement pourD(u)et C(u, r). La troisième ligne se déduit de la première par 2.

E I(E)

D(u) C^∗(_2u¹)

∆(u) ∆(u)

C^∗(u) D(_2u¹) C(u, r) C

u

|u|²−r²,_||u|₂^r_−r₂_| Tab. 1: Images

Image deD(u). Un pointM d'axez∈ D(u)si et seulement si :

1 z −u

u ∈iR⇔ 1−zu

zu ∈iR⇔zu(1−zu)∈iR⇔zu− |zu|²∈iR

⇔Re(zu)− |zu|²= 0⇔ |zu−1 2|²=1

4 ⇔

z− 1 2u

= 1 2|u|

Image deC(u, r). Un pointM d'axez∈ C(u, r)si et seulement si :

1 z −u

2

=r²⇔ |1−uz|²=r²|z|²⇔1−2 Re(uz) +|u|²|z|²=r²|z|²

⇔(|u|²−r²)|z|²Re(uz) + 1 = 0⇔ |z|²Re

u

|u|²−r²z

+ 1

|u|²−r² = 0

⇔

z− u

|u|²−r²

= |u|²

(|u|²−r²)² − 1

|u|²−r² = r² (|u|²−r²)²

Partie II

1. Les conditions d'orthogonalité sont immédiates à obtenir. Elles sont rassemblées dans la table2(Orthogonalités). On peut remarquer que l'énoncé n'envisage pas les 10 cas

D(u)⊥ D(v) Re (uv) = 0 D(u)⊥∆(v) Im (uv) = 0 D(u)⊥ C^∗(v) Re ^v_u

= 1 D(u)⊥ C(v, ρ) Re ^v_u

= 1 C^∗(u)⊥ C^∗(v) Re (uv) = 0 C(u, r)⊥ C^∗(v) |u−v|²=r²+|v|²

Tab. 2: Orthogonalités

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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possibles. Deux cas en particulier manquent et qui seront utiles dans la suite :

∆(u)⊥ C(v, r)⇔ v

u ∈R et ∆(u)⊥ C^∗(v)⇔ v u∈R

2. Les conditions d'orthogonalités sont lues dans les tableaux précédents et rassemblées dans la table3.

cas E E⁰ cond. orth. I(E) I(E⁰) cond. orth. image

1 D(u) D(v) Re (uv) = 0 C^∗(_2u¹) C^∗(_2v¹) Re _uv¹

= 0 2 D(u) C^∗(v) Re ^v_u

= 1 C^∗(_2u¹) D(_2v¹) Re ^v_u

= 1 3 C^∗(u) C^∗(v) Re (uv) = 0 D(_2u¹ ) D(_2v¹) Re _uv¹

= 0

4 C^∗(u) C(v, ρ) D(_2u¹ ) C(w, r) Re (w2u) = 1

5 ∆(u) C^∗(v) Im ^v_u

= 0 ∆(u) D(_2v¹) Im _2v^u

= 0 6 ∆(u) C(v, ρ) Im ^v_u

= 0 ∆(u) C(w, r) Im ^w_u

= 0 Tab. 3: Conservation de l'orthogonalité

pour les cas 4 et 6 : w= v

|v|²−ρ² r= ρ

|v|²−ρ² Les cas 1 et 3 résultent de la relation

1 uv = 1

|uv|²uv= 1

|uv|²uv

Le cas 2 vient de la conservation de la partie réelle par conjugaison.

Dans le cas 4, transformons la condition non écrite

|u−v|²=ρ²+|u|²⇔ −2 Re (uv) +|v|²=ρ²⇔2 Re

u v

|v|²−ρ²

= 1

qui est bien la condition voulue avec lewdonné.

Le cas 5 se déduit de Imu

2v

=−Im

u

2v

=−|u|² 2|v|²Imv

u

Le cas 6 vient de ce que ^w_u est égal à _u^v multiplié par un nombre réel.

3. NotonsC le cercle passant parO (donc de typeC^∗(u).

Par hypothèse, il est orthogonal àC₁etC₂qui sont de typesC(u, r). D'après la question précédentes, les images sont orthogonales. Les images deC₁ et C₂ sont des cercles qui ne passent pas par O, l'image de C est une droite D qui ne passe pas par O. Les orthogonalités des images se traduisent par le fait que les centres des cercles images de C1et C2sont surD.

La droite des centres est du type∆(u)et elle est orthogonale à C1 et C2. Les images sont encore orthogonales et la droite des centre est sa propre image. On en déduit que les centres des images deC1 et C2 sont sur la droite des centres.

Les centres des cercles images sont donc confondus au point d'intersection de la droite des centres avec l'image deC.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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