Énoncé
On rappelle que, par conventionx0= 1, pour tout réel non nulx.
PARTIE I : développement binaire
Question préliminaire
Soitnun entier naturel etaun réel. On dit queaadmet un développment binaire d'ordre nsi et seulement si
a=d0+d1 2 +d2
22 +· · ·+dn 2n +rn avec
∀i∈ {0,· · ·, n}: di ∈ {0,1}
rn∈
0, 1 2n
Pourn≥2, calculerrn pour que 1 = 0 +1
2 + 1
22 +· · ·+ 1 2n +rn
Cette écriture est-elle un développement binaire à l'ordrende1? Former un dévelop- pement binaire à l'ordre2de 12.
Soitn un entier naturel et aun réel admettant un développement binaire d'ordre n. Montrer quea∈[0,2[.
On admet le résultat suivant qui sera utilisé dans tout ce problème.
Pour touta∈[0,2[, il existe un unique couple de suites(dn)n∈
N et(rn)n∈
Ntelles que :
∀n∈N:
a=d0+d1
2 +d2
22 +· · ·+dn
2n +rn
dn∈ {0,1}
rn∈
0, 1 2n
1. En discutant suivantadans[0,2[, préciserd0et r0.
2. Soitn un entier donné. En complétant le diagramme de la gure 1, former un algo- rithme permettant d'acher
0, d0, d1,· · · , dn et rn
lorsquern6= 0.
Fig. 1: Développement binaire
PARTIE II : itération d'une fonction
On dénit la fonctionf dansRpar :
∀x∈R:f(x) = 2x2−1 1. Déterminer les réelsxtels quef(x) =x(points xes).
2. Former le tableau des variations de f et tracer son graphe en précisant les points d'abscisse−1et 1.
3. On dénit une suite de réels(vn)n∈Npar : v0∈[−1,1]
∀n∈N:vn+1=f(vn) a. Montrer quevn∈[−1,1]pour tous les naturelsn.
b. Soitθ= arccos(v0). Montrer que vn= cos(2nθ)pour tous les entiers n.
Partie III : suite de signes et développement binaire
Dans cette partie,aest un élément de]0,2[et on utilise les notations(dn)n∈
N, (rn)n∈
N, (vn)n∈N des deux premières parties avec
v0= cosaπ 2 1. Soitnun entier quelconque.
a. Montrer qu'il existem∈Neth∈ 0,12
tels que 2na= 2m+dn+1
2dn+1+h
b. En distinguant les quatre cas possibles pour les valeurs dedn et dn+1, exprimer vn+1 uniquement avec des valeurs enhde fonctions trigonométriques.
c. Montrer que, pour tout naturelntel quern+16= 0, (−1)dn+dn+1vn+1>0
2. Expliquer comment, à partir dea, on peut calculer la suite (dn)n∈N par récurrence à l'aide de(vn)n∈N. Former un schéma associé à cet algorithme.
3. En utilisant l'algorithme précédent, calculer le développement binaire à l'ordre7de 23.
4. On suppose que a est rationnel : a = pq avec p et q naturels vériant 0 < p < 2q. Montrer, en utilisant l'algorithme de la question 2., que le développement binaire dea est nalement-périodique c'est à dire qu'il existemetudansNtels que
∀n∈N:n≥m⇒dn+u=dn
Corrigé
PARTIE I : développement binaire
Question préliminaire.
L'écriture proposée n'est pas un développement binaire au sens de l'énoncé car rn = 21n
alors quern devrait être strictement plus petit que 21n. En eet : 1
2 + 1
22 +· · ·+ 1 2n =1
2 1−21n
1−12 = 1− 1 2n
Si aadmet un développement binaire à l'ordren, comme chaquedi est inférieur ou égal à 1et rn<21n, on peut écrire
a≤1 + 1 2+ 1
22 +· · ·+ 1
2n +rn≤ 1−2n+11
1−12 +rn= 2− 1
2n +rn<2 1. Sia∈[0,1[,a= 0 +a, doncd0= 0,r0=a.
Sia∈[1,2[,a= 1 + (a−1), aveca−1∈[0,1[doncd0= 1,r0=a−1.
2. On modie le diagramme de l'énoncé en introduisant un compteur i. On remplace la condition r>0 par une condition sur le compteur. On divise la variable r par2n pour obtenirrn à la n de l'exécution :
PARTIE II : itération d'une fonction
1. En étudiant une équation du second degré, on trouve rapidement que les points xes def sont1et −1
2.
2. La fonction est décroissante dans]− ∞,0]et croissante dans[0,+∞[. Son graphe est une parabole.
3. a. L'étude de la fonction montre clairement que[−1,1]est stable parf c'est à dire que x ∈ [−1,1] entraine f(x) ∈ [−1,1]. On en déduit que si v0 est dans cet intervalle, tous les itérésvn y restent.
b. Démonstration par récurrence. Pourn= 0, on a bienv0= cosθ. Le passage den àn+ 1vient de la formule pourcos(2x).
vn= cos(2nθ)⇒vn+1 = 2 cos2(2nθ)−1 = cos(2n+1θ)
Fig. 2: reste et développement binaire à l'ordren
(0,−1)
(−1,1) (1,1)
(−1
2,−i
2)
Fig. 3: graphe de2x2−1
PARTIE III : suite de signes et développement binaire
1. a. Multiplions par2n le développement deaà l'ordre n+1 :
2na= 2n
d0+d1
2 +· · ·+dn−1 2n−1
| {z }
un nombre pair=2m
+dn+1
2dn+1+ 2nrn+1
| {z }
=h
avec0≤h < 12. On obtient bien la forme annoncée.
b. D'après la valeur dev0et l'expression devn avec descos, on obtient :
vn+1= cos(2n+1aπ
2 ) = cos(2naπ) = cos(2mπ+dnπ+dn+1
π 2 +hπ)
= (−1)dncos(dn+1
π 2 +hπ) On peut alors former un tableau des expressions devn+1
dn\dn+1 0 1
0 cos(hπ) −sin(hπ) 1 −cos(hπ) sin(hπ)
c. Dans cette question, h est compris strictement entre 0 et 12 donc les sin et cos intervenant dans le tableau précédent sont strictement positifs ce qui entraine
(−1)dn+dn+1vn+1>0
2. À partir dea, on peut trouver d0. On forme alors v0 puis la suite des vn. On dénit une suitesn en posant :
sn =
(1 sivn<0 0 sivn>0
On exclut ici le cas oùvn= 01. La question c. se traduit par sn+1=dn+dn+1
On peut donc déduired1des1etd0puisd2des2etd−1et ainsi de suite. On remarque en particulier que sivn+1>0,dn=dn+1et qu'ils sont de valeur distinctes dans le cas négatif. On présente cet algorithme dans le schéma suivant :
3. Sia= 23 <1, alorsd0= 0
v0= cosπ 3 = 1
2 >0 v1=−1
2 <0⇒1 =d0+d1⇒d1= 1 v2=−1
2 <0⇒1 =d1+d2⇒d1= 0
et la suite ne change plus de valeur (point xe de f). On en déduitd0 = 0, d1 = 1, d2= 0,d3= 1 et ainsi de suite alternativement.
4. Supposonsa= pq et notonsω =eiaπ2 . Ce nombre complexe est une racine4q-ieme de l'unité. Notons N = 4q. Le complexeω est dans le groupeUN, toutes ses puissances restent dans ce groupe. En particulier celles dont l'exposant est une puissance de 2.
1qui correspond à un nombre binaire ,le processus s'arrete alors au pas suivant
Fig. 4: signes et développement binaire
Comme cet ensemble est ni, il est impossible que toutes ces puissances soient deux à deux distinctes. Il existe donc deux entiersi < j tels que
w2i =w2j ⇒w2i+1 = w2i2
= w2j2
=w2j+1 ⇒ · · · Posons alorsm=i etu=j−i, on a
∀n∈N:n≥m⇒w2n+u =w2n
Or la suite desvn est formée par les parties réelles de cette suite de puissance. Elle vérie donc la même relation ainsi que la suite desdn qui s'en déduit par la méthode de la question 2.
