PARTIE I : développement binaire

(1)

MPSI B DS 4 29 juin 2019

Problème 1

On dénit une partieI deNet deux familles(u_n)_n∈I et (v_n)_n∈I de nombres complexes par les conditions suivantes :

0∈I, u0 etu⁰₀sont deux nombres complexes non nuls distincts.

pour tout entiern,

n+ 1∈I⇔n∈I, unu⁰_n(un+u⁰_n)6= 0 sin∈I etn+ 1∈I alors

un+1= un+u⁰_n

2 , 2

u⁰_n+1 = 1 un

+ 1 u⁰_n 1. Montrer que sinetn+ 1sont dansI alorsun+1u⁰_n+1=unu⁰_n

2. On suppose dans cette questionu0 etu⁰₀réels strictement positifs, montrer queI=N et que les suites (un)n∈I et (vn)n∈I sont monotones et convergent vers une limite commune à préciser.

3. Soitretλdeux nombres complexes tels que rλ(λ²−1)6= 0 On considère les suites dénies par

u0=rλ+ 1

λ−1, u⁰₀=rλ−1 λ+ 1

a. On suppose|λ| 6= 1, montrer queI =N, exprimeru_n et u⁰_n en fonction de λ, n, ret étudier alors la convergence des suites.

b. On suppose|λ|= 1avec

λ=e^2iϕ, ϕ6≡0 (π 2)

Préciser le complexeρtel que u₀=ρcotanϕ,u⁰₀=−ρtanϕ. Quelle condition ^ϕ_π doit-il vérier pour que Isoit ni ?

Quelle condition ^ϕ_π doit-il vérier pour queI soit inni et les suites périodiques à partir d'un certain rang ?

c. Étudier les suites dans les cas particuliers suivants u0 = cotan5π

16, u⁰₀=−tan5π 16 u0 = cotan4π

7 , u⁰₀=−tan4π 7 u0 = cotan3π

10, u⁰₀=−tan3π 10

4. Soita, b,α,β des nombres réels tels que

a >0, b >0, −π < β−α≤π On se propose d'étudier les suites lorsque

u0=ae^iα, u⁰₀=be^iβ

a. Montrer qu'il existe deux couples de complexes(r, λ)tels que ae^iα=rλ+ 1

λ−1, be^iβ=rλ−1 λ+ 1 Exprimerr,λ,|λ|² en fonction dea,b,α,β.

b. Quelle condition doit-on imposer à α et β pour que |λ| = 1? Cette condition étant vériée, exprimerλen fonction deaet b.

c. Étudier les suites lorsqueu0= 3etu⁰₀=−1.

Exercice

Calculer des équivalents simples (avec des justications précises et rédigées) des suites

ln(1 +1 n)−1

n

n∈N^∗

,

1 + 1 n

ⁿ

−e

n∈N^∗

Problème 2

On rappelle que, par conventionx⁰= 1, pour tout réel non nulx.

PARTIE I : développement binaire

Question préliminaire

Soitnun entier naturel etaun réel. On dit queaadmet un développment binaire d'ordre nsi et seulement si

a=d0+d₁ 2 +d₂

2² +· · ·+d_n 2ⁿ +rn

avec







∀i∈ {0,· · · , n}: di∈ {0,1}

rn∈

0, 1 2ⁿ

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S0304E

(2)

Pourn≥2, calculerrn pour que 1 = 0 +1

2 + 1

2² +· · ·+ 1 2ⁿ +rn

Cette écriture est-elle un développement binaire à l'ordrende1? Former un dévelop- pement binaire à l'ordre2de ¹₂.

Soitn un entier naturel et aun réel admettant un développement binaire d'ordre n. Montrer quea∈[0,2[.

On admet le résultat suivant qui sera utilisé dans tout ce problème.

Pour touta∈[0,2[, il existe un unique couple de suites(d_n)_n∈

N et(r_n)_n∈

Ntelles que :

∀n∈N:











a=d0+d1

2 +d2

2² +· · ·+dn

2ⁿ +rn

dn∈ {0,1}

rn∈

0, 1 2ⁿ

1. En discutant suivantadans[0,2[, préciserd₀et r₀.

2. Soitn un entier donné. En complétant le diagramme de la gure 1, former un algorithme permettant d'acher

0, d₀, d₁,· · · , d_n et r_n lorsquern6= 0.

PARTIE II : itération d'une fonction

On dénit la fonctionf dansRpar :

∀x∈R:f(x) = 2x²−1 1. Déterminer les réelsxtels quef(x) =x(points xes).

2. Former le tableau des variations de f et tracer son graphe en précisant les points d'abscisse−1et 1.

3. On dénit une suite de réels(v_n)_n∈

Npar : v₀∈[−1,1]

∀n∈N:vn+1=f(vn) a. Montrer quevn∈[−1,1]pour tous les naturelsn.

b. Soitθ= arccos(v0). Montrer que vn= cos(2ⁿθ)pour tous les entiers n.

Fig. 1: Développement binaire

(3)

Partie III : suite de signes et développement binaire

Dans cette partie,aest un élément de]0,2[et on utilise les notations(d_n)_n∈

N, (r_n)_n∈

N, (vn)_n∈

N des deux premières parties avec

v₀= cosaπ 2 1. Soitnun entier quelconque.

a. Montrer qu'il existem∈Neth∈ 0,¹₂

tels que 2ⁿa= 2m+dn+1

2dn+1+h

b. En distinguant les quatre cas possibles pour les valeurs dedn et dn+1, exprimer v_n+1 uniquement avec des valeurs enhde fonctions trigonométriques.

c. Montrer que, pour tout naturelntel quern+16= 0, (−1)^dⁿ^+dⁿ⁺¹v_n+1>0

2. Expliquer comment, à partir dea, on peut calculer la suite (dn)_n∈N par récurrence à l'aide de(vn)_n∈N. Former un schéma associé à cet algorithme.

3. En utilisant l'algorithme précédent, calculer le développement binaire à l'ordre7de ²₃. 4. On suppose que a est rationnel : a = ^p_q avec p et q naturels vériant 0 < p < 2q. Montrer, en utilisant l'algorithme de la question 2., que le développement binaire dea est nalement-périodique c'est à dire qu'il existemetudansNtels que

∀n∈N:n≥m⇒dn+u=dn