FONCTION EXPONENTIELLE NEPERIENNE

Production des Ressources Numériques pour l’Enseignement des Mathématiques en Afrique centrale

Prenum-AC

Ressource n ° RB 10

Concepteur :

 Frédéric NGOMA BALOUNTA

Étudiant à l’École Normale Supérieure de l'université Marien Ngouabi, Congo- Brazzaville.

Encadreurs :

 Cyr NGAMOUYIH,

Enseignant au lycée de la Réconciliation, Congo-Brazzaville.

 Louis-Marie MOUKALA,

Enseignant-chercheur à l'Ecole Normale Supérieure de l'université Marien Ngouabi, Congo-Brazzaville.

FONCTION EXPONENTIELLE NEPERIENNE

Table des matières

Partie I : Introduction ... 3

1 Historique ... 3

2. Importance ... 3

3. L’enseignement de la fonction exponentielle ... 3

3.1. Objectifs pédagogiques ... 4

3.2. Place dans le programme ... 4

3.3. Pré-requis ... 4

3.4. Utilisations futures ... 5

3.5. Déroulement prévu des activités de la ressource ... 5

Partie II : Cours ... 6

1. Activité préparatoire ... 6

2. Définition ... 7

Conséquences immédiates ... 8

3. Propriétés algébriques ... 8

2.1. Une nouvelle notation ... 9

4. Étude de la fonction exponentielle : ... 10

4. Croissances comparées des fonctions de référence : ... 14

4.1 Fonction exponentielle et puissance : ... 14

4.2. Exercice d'application ... 16

Partie I : Introduction 1 Historique

Dès l'antiquité, les mathématiciens ont utilisé les exposants pour l'écriture des grands nombres.

Cependant, c'est seulement entre le XV ^e et le XVI ^e siècle qu'intervient la création des noms : millions et milliard.

Comment lire le plus grand nombre écrit avec trois chiffres ? Ce nombre est ^{9 9}

9

qui a 369 693 100 chiffres !

La notation exponentielle n'a été introduite qu'au ^XVI

siècle et l'on ne peut oublier l'apport du mathématicien Ecossais John Neper.

C'est au ^{XVIII e} siècle, après la mise en place du concept de fonction, qu'Euler (1707-1783) définit clairement les fonctions exponentielles et puissances.

2. Importance

Les champs d'applications des fonctions exponentielles sont extrêmement vastes. En classe de terminale scientifique, on peut citer ses applications élémentaires dans la résolution des équations différentielles.

L'importance majeure des fonctions exponentielles en sciences, provient du fait qu'elles permettent d'étudier de nombreux phénomènes dans des domaines variés : chimie, biologie, démographie, économie...

3. L’enseignement de la fonction exponentielle

De nombreuses approches permettent d’introduire la fonction exponentielle.

a) Utilisation de l’équation différentielle f’=f.

La fonction exponentielle est définie comme l’unique fonction dérivable sur IR qui est égale à sa dérivée et qui prend la valeur 1 en 0.

exp’ = exp

b) Utilisation de la relation fonctionnelle f(x+y) = f(x) f(y).

On considère que les fonctions f non nulles et dérivables sur IR telles que, pour tout réel x et tout réel y, f(x+y) = f(x) f(y) sont les fonctions x  e ^kx où k est est un réel.

Il suffit de prendre le cas particulier où k est égal à 1 pour retrouver la fonction exponentielle népérienne.

c) La troisième approche est celle qui conforme aux programmes d’enseignement du Congo et du Cameroun. C’est celle que nous avons choisi dans cette ressource, pour étudier la fonction exponentielle.

,

3.1. Objectifs pédagogiques

A la fin de ce cours, l'élève devra être capable de :

 donner l'ensemble de définition de la fonction exponentielle népérienne ;

 calculer ses limites et dérivées ;

 représenter graphiquement sa courbe.

3.2. Place dans le programme

Ce cours intervient après le cours sur la fonction logarithme népérien.

3.3. Pré-requis

Avant de commencer ce cours, l'élève devra être capable de :

 bien manipuler les relations fonctionnelles, en particulier celles sur la fonction logarithme

népérien ;

 donner l'ensemble de définition de la fonction logarithme népérien, calculer sa dérivée et tracer sa courbe ;

 tracer l'image de cette courbe par rapport à la première bissectrice ;

3.4. Utilisations futures

Ce cours sera utile dans :

 la résolution des équations différentielles,

 l’application des nombres complexes (Formule d'Euler).

3.5. Déroulement prévu des activités de la ressource

Cette ressource a un seul chapitre, et suit le schéma pédagogique suivant : Activités préparatoires- Cours – Exemples d'illustration – Exercices d'application.

 En plus du cours, il est aussi proposé à l'utilisateur un devoir sur table de deux heures avec

corrigé, deux devoirs "maison" et une feuille de 15 exercices d'approfondissement pour

vérifier si les notions enseignées ont été bien assimilées.

Partie II : Activité préparatoire et cours 1. Activité préparatoire

Énoncé de l'activité préparatoire

On considère la fonction logarithme népérien f, de la variable réelle x, définie par f(x) = ln(x). Étudier les variations de f. Tracer la courbe C _ln de f puis, tracer l’image de C _ln par la symétrie par rapport à la première bissectrice (la droite  d’équation y = x).

Résolution de l'activité préparatoire

 L'ensemble de définition de la fonction ln est : I = ]0;+∞[.

 La fonction ln est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction x 1 x



Or 1 0

, 



 x I x , donc la fonction ln est strictement croissante sur]0;+∞[.

 Limites aux bornes de l'ensemble de définition

-  

 ln( ) lim 0 x

x . La droite d’équation x = 0 est asymptote verticale à la courbe de la fonction ln.

-  

 

 ln( )

lim x

x

Tableau de variation

x 0 1 e + ∞

[ln (x)] ’ +

[ln (x)]

+ ∞

- ∞

0

1

Nous obtenons d’abord la courbe C ln (en dessous) qui est la courbe de la fonction logarithme.

L’image de cette courbe par la symétrie axiale d’axe  est la courbe C exp . Cette courbe est celle de la fonction exponentielle népérienne que nous étudions dans cette ressource.

2. Cours

2.1. Définition

La fonction exponentielle notée exp est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien notée ln.

ln

]0 ; +∞ [ IR

exp

exp : IR  ]0;+∞[

x  exp (x). (exp(x) > 0, pour tout réel x).

Conséquences immédiates

a) Pour tout x élément de IR et pour tout y élément de ]0;+∞[ , on a : y = exp (x)  ln(y) = x b) ln[exp(x)] = x et exp [ln(x)] = x

2.1. Propriétés algébriques

Pour tout réel x, tout réel y, et tout entier n :

 P1) Preuve

Posons A= exp(x) et B = exp(y) ; donc ln(A) = x et ln(B) = y ;

x + y = ln (A) + ln(B)  x+y = ln(A x B)  exp(x+y) = exp[ln(A x B)] d’où )

exp(

) exp(

)

exp( x  y  x y .

 P2) Preuve

Avec la propriété caractéristique P1), pour tout réel x, exp [x + (-x)] = exp(x) + exp(-x), c’est-à-dire exp(0) = exp(x) exp(-x) ; or exp(0) = 1, donc

) exp(

) 1

exp(  x  x .

 P3) Preuve

) exp(

) exp(

)

exp( x  y  x y

) exp(

) 1

exp(  x  x

) exp(

) ) exp(

exp( y

y x

x  

Pour tous réels x et y, exp[x + (-y)] = exp(x) + exp(-y)

Or exp( )

) 1

exp(  y  y , donc

) exp(

) ) exp(

exp( y

y x x  

 P4)

) exp(

. . . ) exp(

) exp(

) ...

exp( x ₁  x ₂  x _n  x ₁  x ₂   x _n

Conséquence :

Si x 1 = x 2 = … = x n = x, alors

Preuve

Montrons que exp( nx )  (exp( x )) ⁿ

- Lorsque n>0, on obtient l’égalité en appliquant la propriété précédente dans le cas où x ₁ = x ₂ = … = x n = x.

- Lorsque n = 0, l’égalité est vérifiée car exp(0) = 1.

- Lorsque n < 0, exp(nx) = [(-n) (-x)]

Or –n > 0, donc d’après le premier cas exp(nx) = [exp(-x)] ^-n .

Donc ⁿ  ^x  ⁿ

nx x ^



 



 



  exp( )

) exp(

) 1

exp( .

2.3. Une nouvelle notation

Pour tout n dans Z, exp( n )  exp( n  1 )  (exp( 1 )) ⁿ

On notera e le réel exp(1) ; on a alors, pour tout n dans Z, exp(n) = e ⁿ . Par convention, pour tout réel x, on notera e ^x au lieu de exp(x).

x n

nx ) (exp( ))

exp( 

La calculatrice affiche pour e = 2,718182…

Avec cette nouvelle notation, les propriétés algébriques de la fonction exponentielle se traduisent comme les règles de calculs sur les exposants déjà connues.

Règles de calculs

 e ⁰  1

 e ^{x  y}  e ^x e ^y

 _y

x y x

e e ^  e

 e ^nx  ( e ^x ) ⁿ

Exemple :

Résolvez dans IR l'équation : ^{e 2x −e x −6=0.}

Solution

On veut trouver x tel que ^{(e x ) 2 −e x −6=0} . Posons ^e

^=r ; l'équation dévient : ^{r 2 − r−6=0}

r ² −r−6 =(r+2)⋅(r−3)=0⇒ r =−2 et r= 3 or ^{e x > 0} alors ^{e x =3⇒ x=ln (3)} D'où S ={ln(3)}

2.4. Étude de la fonction exponentielle :

 Ensemble de définition :

La fonction exponentielle est définie sur IR, c’est-à-dire son ensemble de définition D est IR.

 Continuité et sens de variation

Comme sa fonction réciproque, le logarithme népérien, la fonction exponentielle f : x  e ^x est

continue et strictement croissante sur IR

En effet,

la fonction réciproque d’une fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle est monotone et varie dans le même sens que f.

Pour tous réels a et b : a < b  e ^a < e ^b et a = b  e ^a = e ^b

 Dérivée de la fonction exponentielle On utilise le théorème suivant :

Si une fonction strictement monotone de F vers E est dérivable sur F t si la fonction dérivée ne s’annule pas sur F, alors la fonction réciproque f-1 de f est dérivable sur E, et sa dérivée est la fonction ¹ 1 ₁

)

( ^ _

 



f f f



Inverse de la fonction logarithme népérien, la fonction f : x  e ^x est dérivable sur son ensemble de définition.

Sa fonction dérivée est : Si on pose y = f(x) = ex (ou x = ln y avec y >0), )

1 ( 1 ) (ln ) 1

( f x

y x y

f  

 



La fonction exponentielle népérienne est égale sa dérivée Donc :  x  IR, f’(x) = e ^x

 Limites aux bornes de l’ensemble de définition D :

a) lim

x →+∞ e ^x =+∞ _{et b)} lim

x →−∞ e ^x =0 Preuve

a) On note f la fonction la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par f(x) = e ^x – x. Pour tout réel x ≥ 0,

f’(x) = e ^x – 1 et donc f’(x) ≥ 0 car e ^x ≥ 1 La fonction f st croissante sur [0 ; + ∞[ et f(0) = 1 donc pour tout réel x ≥ 0, f(x) ≥ 0, c’est-à-dire e ^x ≥ x.

Les réels e ^x dépassent donc n’importe quel réel A aussi grand que l’on veut pour vu que x le dépasse lui-même. Ainsi lim

x →+∞ e ^x =+∞

b) Pour tout réel x, ^x _x e  e 1 _

. Lorsque x tend vers - ∞, - x tend vers +∞, donc e ^-x tend vers +∞, et _x

e ^

1 tend vers 0. Donc lim

x →−∞ e ^x =0 _.

 Tableau de variation et représentation graphique

Dans un repère orthonormal, notons C exp la courbe de la fonction exponentielle. L’axe des abscisses est asymptote horizontale de C exp en - ∞.

X - ∞. + ∞

exp’(x) +

exp(x) + ∞

0

 Approximation affine de e ^h pour h proche de 0:

L'approximation affine de e ^h pour h proche de 0 associée à la fonction exp est donnée par :

e ^h  e ⁰ + h exp'(0), c’est-à-dire e ^h  1 + h.

Conséquence.

Pour tout réel h, e ^h = 1 + h + h (h) avec

0

0 ) ( lim

 

h

 h

Ainsi pour tout réel h  0, 1 1 ( ) h h

e ^h    

et 1 1

lim

0

 

 h

e ^h

h

 Tangentes à la courbe représentative de exp:

 Au point d'abscisse 0: l'équation de la tangente est y = exp'(0)(x – 0) + exp(0) soit y = x + 1.

 Au point d'abscisse 1: l'équation de la tangente est y = exp'(1)(x – 1) + exp(1) = ex – e + e soit y = ex. Cette tangente passe par l'origine du repère.

2.5. Quelques limites à connaître

Preuve :

a) Posons ^x=lnt , ^{t >0} si ^x tend vers ^+∞ alors t tend vers ^+∞ : ^{x=lnt ⇔ e x =t} lim

x→+∞

e ^x x = lim

t →+∞

t

lnt = lim

x →+∞

1 lnt

t

= 1 0 =+∞

. D'où on en déduit que lim

x →+∞

e ^x x =+∞

b) Posons ^x=lnt , ^{t > 0} si ^x tend vers ^−∞ alors t tend vers 0 : ^{x=lnt ⇔e x =t}

x→−∞ lim xe ^x =lim

t →0 tlnt =0

d'où _x ^lim _→−∞ ^xe

x =0 et lim

x →−∞ x ^a e ^x =0 ∀a∈ℝ

c) ^lim

x →0

e ^x −1 x =lim

x→0

e ^x −e ⁰

x−0 =[( e ^x ) ' ](0 ) d'où : lim

x →0

e ^x −1

x =1

2.6. Croissances comparées des fonctions de référence : Fonction exponentielle et puissance

Propriété:( admise)

Soit a un réel quelconque : lim

x →+∞

e ^x

x =+∞ _; ^lim

x →+∞ x ^a e ^−x =0

Ces deux limites traduisent le fait qu’au voisinage de ^+∞ la fonction exponentielle l'emporte sur toute la fonction puissance en croissance.

3. Travaux pratiques : Utilisation d’un tableur

Construire des représentations graphiques approchées de la fonction exponentielle avec la méthode d’Euler

Enoncé :

Pour un entier naturel non nul n, on pose et on découpe l'intervalle à l'aide des nombres

a) En considérant l'approximation affine associé à la fonction exponentielle, démontrer que pour tout entier tel que , une valeur approchée de est .

b) A l'aide d’un tableur,

 construire pour n =5, n=10, n=20, un tableau des valeurs de pour .

 Tracer les représentations graphiques approchées de la fonction exponentielle sur l'intervalle obtenues pour les valeurs de n de la question b).

Solution

a) Pour tout l'approximation affine de est égale à

On écrit : exp( x _{k  1} )  ( 1  h ) exp( x _k ).

A partir de on obtient de proche en proche, exp( x ₁ )  ( 1  h ). ,

2

2 ) ( 1 )

exp( x   h , … … …, exp( x _n )  ( 1  h ) ⁿ . b) Avec le tableur, on obtient :

Information :

Avec un h de plus en plus petit, le tracé obtenu est de plus en plus proche de la courbe de la

fonction exponentielle

4. Exercice d'entrainement

Soit f la fonction définie sur ^ℝ par f (x )=x−1 +( x ² +2) e ^−x . On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ^{(0; i ; ⃗ ⃗ j)} (unité graphique 1cm).

Partie A.

Soit g la fonction définie sur ^ℝ par ^{g ( x)=1−( x 2 −2x+2) e −x} 1°) Étudier les limites de g à - ∞ et +∞.

2°) Calculer la dérivée de g et déterminer son signe.

3°) En déduire le tableau de variation de g.

4°) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique α dans IR. Donner un encadrement d'amplitude 10 ^-2 de α.

5°) En déduire le signe de g.

Partie B.

1°) Étudier les limites de f en - ∞ et +∞.

2°) Déterminer f’(x) pour tout x réel.

3°) En déduire à l'aide de la partie A ; les variations de f et donner son tableau de variation.

4°) Démontrer ^{f (α)=α(1+2 e −α )}

5° ) Démontrer que la droite  d'équation y= x-1 est asymptote à (C) en +∞.

Préciser la position de (C) par rapport à .

6° ) Donner une équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse 0.

7°) Tracer ; T puis (C)

Solution 1°) On sait que x→−∞ ^lim ( x ² − 2x+2) e ^−x =+∞

et x→−∞ ^lim ( 1−( x ² −2x+2) e ^−x )=−∞

donc lim

x→−∞ g ( x)=−∞

D'autre part ; lorsque ^x≠0 on peut écrire

x→+∞ lim ( 1−( x ² − 2x+2) e ^−x )= lim

x →+∞ (1− x ² (1 − 2 x + 2

x ² ) e ^−x )=1 lim

x→+∞ g ( x)=1

2°) g est définie sur ^ℝ par ^{g ( x)=1−( x 2 −2x+2) e −x} ; g est donc somme ; produit et composée de fonctions dérivables sur ^ℝ ; donc g est dérivable sur ^ℝ .

g ' (x )=0−[( 2x−2) e ^−x +(x ² −2x+2)(−e ^−x )]=( x ² −4x+4)e ^−x donc g ' ( x )=( x−2) ² e ^−x Pour tout x ∈ℝ

La fonction exponentielle étant strictement positive ; on en déduit que g’(x) ≥ 0 pour tout x  IR.

3°) g' étant positive sur IR et ne s'annulant qu'en 2 ; on en déduit que la fonction g est strictement croissante sur IR.

De plus la fonction g est dérivable sur IR ; donc elle est continue sur IR.

g(2) = 0.73

x - ∞ 2 + ∞ g’(x) + 0 +

g(x)

1

- ∞

4°) g est une fonction définie ; continue et strictement croissante sur IR. Donc g est une bijection de IR sur ]- ∞; 1[ . On en déduit que pour tout k  ]- ∞; 1[ ; l'équation g(x) = k a une solution unique

1−2e

Comme 0  ] ^−∞ ;1[ l'équation g(x) = 0 admet une solution unique α.

On sait que g ( 2)>0 et g (0)=−1 ;donc g (0)< 0 , la fonction g étant strictement croissante, α appartient donc à l'intervalle ]0;2[ .

Par balayages successifs, on obtient avec la calculatrice : 0,35<α<0,36 . En effet g ( 0,35)<g (α)<g (0,36) avec g(0,35)=0,0024 et g(0,36)=0,1656

5°) g étant strictement croissante sur IR, on en déduit que :

Pour tout x  ]- ∞; α[ g(x) < g(), donc g(x) < 0, pour tout x  ]- ∞; α[

Pour tout x  ]α ; + ∞[ g(x) > g(), donc g(x) > 0 pour tout x  ]α ; + ∞ [ et g(α) = 0.

Partie B : Étude de f f est définie sur IR par f ( x )=x−1+( x ² +2)e ^−x

1°) Pour ^x≠0 , on peut écrire ^{f (x )= x [1−}

1

x +( x+ 2 x ) e ^−x ]

On a : _x ^lim _→−∞ ^{f ( x )=} _x→−∞ ^{lim x [1−}

1

x +( x+ 2

x ) e ^−x ]=+∞⇒ lim

x →−∞ f ( x )=+∞

Pour tout réel x, on peut écrire

f ( x )=x−1+( x ² +2) e ^−x =x−1+ x ² e ^−x +2 e ^−x f ( x )=x−1+x ² e ^−x +2 e ^−x on a :

x→+∞ lim f ( x )= lim

x →+∞ ( x−1+ x ² e ^−x +2 e ^−x )=+∞

donc x ^lim →+∞ f (x )=+∞

2°) f est la somme, le produit et la composée de fonctions dérivables sur ^ℝ

f ' ( x)=(x −1+x ² e ^−x +2 e ^−x )' =1+2xe ^−x −x ² e ^−x −2 e ^−x ; ^{f ' ( x)=1−( x 2 −2x+2)e −x =g ( x)}

donc ^{f ' ( x)=g (x )} pour tout x  IR.

3°) En utilisant le signe de la fonction g déterminé dans la partie A, on en déduit que : f est strictement décroissante sur ]- ∞;α] et strictement croissante sur [α ; + ∞ [.

On peut alors donner le tableau de variation de f.

X - ∞ α +∞

f’(x) - 0 +

f(x)

+∞ +∞

f(α)

4°) On a : ^{f (α)=α−1+(α 2 +2)e −α} , on sait que α est la solution de l'équation g(α)=0.

On a donc ^{f ' ( x)=1−(α 2 −2 α+2) e −α =0} c'est-à-dire ^{1−(α 2 −2 α+2)e −α =0} et 1−(α ² +2) e ^−α +2 α e ^−α =0 donc ^{(α 2 +2) e −α =1+2 αe −α}

En remplaçant ^{(α 2 +2) e −α =1+2 α e −α} dans f(α) on trouve :

f (α)=α−1+(α ² +2)e ^−α =α−1+1+2 α e ^−α donc f (α)=α+2 αe ^−α ⇒ f (α)=α(1+2 e ^−α ) 5°) Pour tout x  IR, on a : ^{f ( x )−( x−1)=( x 2 +2) e −x = x 2 e −x +2 e −x}

x→+∞ lim ( f ( x)−( x−1))= lim

x →+∞ ( x ² e ^−x +2 e ^−x )=0 _⇒ lim

x →+∞ ( f (x)−( x−1))=0

alors la droite d'équation y = x-1 est donc asymptote oblique à (C) au voisinage de ^+∞ .

Pour tout réel x, on a : ^{f (x )−( x−1)=( x 2 +2) e −x} .

On sait que ^{x 2 +2} et ^{e − x} sont strictement positifs, on en déduit donc que ^{f (x )>x−1} pour tout réel

x  IR. La courbe (C) se trouve au dessus de .

6) La tangente T à (C) au point d'abscisse 0 a pour équation: ^{y= f ' ( x)( x−0)− f (0)} on a : f ' ( 0)=g (0)=− 1 et f (0)=−1+2 e ⁰ =−1+2= 1

Donc (T) a pour équation y=-x+1.

7°) Une calculatrice permet d'obtenir une valeur approchée de f(α) : f (α)≃ 0,85 . La courbe (C) a,

au point d'abscisse α, une tangente horizontale

Devoirs sur table : analyse a priori Ce devoir a pour objectif :

 contrôler les acquisitions des apprenants en vue de détecter les faiblesses des uns et la force des autres.

 donner aussi la possibilité à chaque apprenant de s'auto-évaluer. Cependant, c'est l'occasion pour l'enseignant de vérifier ses objectifs en vue d'une amélioration (s'il y a lieu).

 vérifier si les élèves ont la parfaite maîtrise des propriétés de la fonction exponentielle népérienne.

Devoir n°1

Durée du devoir : 2 heures.

Classe : Terminale D

Attention : Calculatrices non autorisées

Pour chaque exercice, la notation est la suivante :

 1 point par réponse exacte.

 0 point s'il n'y a pas de réponse.

 0.5 point par réponse fausse.

Exercice n°1

Pour chacune des affirmations proposées, répondez par vrai ou faux ce qui convient.

1°) ^e

5 e ⁻³

(e ⁴⁻¹ ) ² =e ⁻⁴ 2°) Pour tout réel x,

9 ) 3 (

5 2 2

3 x

x x

x e

e e

e 

3°) Pour tout réel x, ^{(2 e x −e −x ) 2 −(e x −e −x ) 2 =3 e 2x −2}

4°) La fonction f définie sur IR par

1 ) 1

( ₂

2





 ^x  _x ^x e

e x e

f est paire.

5°) Soient a et b deux réels tels que a < b, alors √ ^{e 1 −a >} √ ^{e 1 −b}

6°) Soit a un nombre réel tel que 1 < a et n un entier naturel, alors ^(e

a ) ⁿ ⩾ 1 e ⁻ⁿ

7°) L'unique solution de l'équation ^{e 2x −(e+1)e x +e=0} est 0.

8°) x ^lim →+∞ ( 1 e ^x −x )=0

9°) _x ^lim _→+∞ ⁽ 1

xe ^x − x )=−∞

10°) ^lim _{x →0} ^{( e}

2x −1 2x )=0

11°) ^lim

x →−∞ ( e

1

x

−1)× x ² =1

12°) f est définie sur IR par

2 ) 1

(  _x  x e

f , alors

) 2

( 

 

 x

x

e x e f

Exercice 2

Pour chacune des affirmations, répondez par vrai ou faux.

1°) La fonction _x

x

e x e

f  

) 1

( définie sur IR,

a) est impaire

b) admet le point K(0 ;

−1

2 ) pour centre de symétrie

2) La fonction définie sur [0 ; ^+∞ [ par ^{f ( x )= −2 e}

x

3x+1 est : a) strictement décroissante sur [0 ; ^+∞ [

b) strictement croissante sur [0 ; 2

3 [ et strictement décroissante sur ] 2

3 ; ^+∞ [ .

3) _x→−∞ ^{lim (} 1

xe ^x )=0 ? ou _x→−∞ ^{lim (} 1

xe ^x )=−∞ ?

Correction du devoir n°1 Exercice n°1

1) e ⁵ e ⁻³

(e ⁴⁻¹ ) ² =e ⁻⁴ Vrai ; 2°) Pour tout réel x, ^e

3x e ^2x

2

(3 e ^x ) ² = e ^5x

9 Faux 3°) Pour tout réel x, (2 e ^x −e ^−x ) ² −(e ^x −e ^−x ) ² =3 e ^2x − 2 Faux

4°) La fonction f définie sur ^ℝ par ^{f ( x )=}

e ^2x +e ^x +1

e ^2x +1 est paire. Vrai

5°) Soient a et b deux réels tels que ^a<b , alors √ ^{e 1 −a >} √ ^{e 1 −b Faux}

6°) Soit a un nombre réel tel que ^1<a et n un entier naturel, alors ^(e

a ) ⁿ ⩾ 1

e ⁻ⁿ Vrai 7°) L'unique solution de l'équation ^{e 2x −(e+1)e x +e=0} est 0. Faux

( 1 )=0

9°) _x ^lim _→+∞ ⁽ 1

xe ^x − x )=−∞

Faux

10°) ^lim

x →0 ( e ^2x −1

2x )=0 Faux

11°) ^lim

x →−∞ ( e

1

x

−1)× x ² =1 Vrai

12°) f est définie sur IR par ^{f (x )=}

1

e ^x + 2 , alors ^{f ' ( x)= −e}

x

e ^x +2 Faux

Exercice n°2

Pour chacune des affirmations, répondez par vrai ou faux.

1°) La fonction ^{f ( x )=}

e ^x

1−e ^x définie sur ^ℝ , a) est impaire

b) admet le point K(0 ;

−1

2 ) pour centre de symétrie. Vrai

2) La fonction définie sur [0 ; ^+∞ [ par ^{f ( x )= −2 e}

x

3x+1 est : a) strictement décroissante sur [0 ; ^+∞ [

b) strictement croissante sur [0 ; 2

3 [ Vrai et strictement décroissante sur ] 2

3 ; ^+∞ [ .

3) _x→−∞ ^{lim (} 1 xe ^x )=0

? ou _x→−∞ ^{lim (} 1

xe ^x )=−∞

? Vrai

Devoir n°2 Séries : C et D Durée : 2h

Document autorisé : Calculatrice non programmable

PROBLEME

On considère la famille ^f

des fonctions définies par : ^{f n ( x)= e}

x

( x+1) ⁿ où n est un entier naturel non nul.

On désigne par ^(C

⁾ la courbe représentative de f dans un plan muni d'un repère orthonormé (0, ⃗ i , ⃗ j) . Unité graphique : 2cm

PARTIE A

1) Préciser l'ensemble de définition de ^f

.

2) Montrer que toutes les courbes ^(C

⁾ passent par un point fixe dont on déterminera les coordonnées.

3) a) Vérifier que

n n

x n

x x

f e

1 ) 1 (

1







b) Calculer x→+∞ ^lim f _n ( x)

4) Montrer que la dérivée ^{f ' n} de ^f

est telle que : ^{f ' n ( x )=}

e ^x ( x +1−n) ( x+1) ⁿ⁺¹ .

5) Étudier les variations de ^{f 1} et ^f

.

7) Étudier les branches infinies des courbes ^(C

⁾ et ^(C

⁾

PARTIE B

Soit g la restriction de ^{f 1} à l'intervalle ]-1;0[

1) Montrer que g admet une réciproque ^g

dont on précisera l'ensemble de définition.

2) Dresser le tableau de variation de ^g

.

Correction du devoir n°2

f _n ( x)= e ^x ( x+1) ⁿ

PARTIE A

1) Précisons l'ensemble de définition

f

est définie si et seulement si : ^{(x+1) n ≠0⇔ x+1≠0⇔ x≠− 1} alors

          

 ; 1 1 ;

f

E

2) Montrons que toutes les courbes passent par un point fixe.

f _n+1 (x )= f _n ( x) ; e ^x

( x+ 1) ⁿ⁺¹ = e ^x

( x+1) ⁿ ⇔( x+1) ⁿ ( x+1)e ^x =( x+1) ⁿ e ^x

En simplifiant on trouve : ^{x+1=1⇔ x=0} donc le point fixe cherché est : F(0;1).

3) a) Vérifions que

f _n ( x)= e ^x x ⁿ ⋅ 1

(1+ 1

x ) ⁿ .

On sait que :

f _n ( x)= e ^x

( x+1) ⁿ = e ^x [ x (1+ 1

x )] ⁿ

f _n ( x)= e ^x

x ⁿ ( x+1) ⁿ = e ^x x ⁿ ⋅ 1

(1+ 1

x ) ⁿ C.Q.F.D

b) Calculons la limite de ^f

à ^+∞

Comme x ^lim →+∞ f _n ( x)=+∞

4) Calculons la dérivée ^{f ' n} de ^f

f ' _n ( x )= e ^x ( x +1) ⁿ −n ( x+1) ⁿ⁻¹ e ^x

( x+1) ²ⁿ = e ^x ( x +1) ⁿ ( x+1)−n ( x+1) ⁿ e ^x

( x+1) ²ⁿ ( x+1) = e ^x ( x+1−n) ( x+1) ⁿ⁺¹

d'où on a : ^{f ' n ( x )=}

e ^x ( x +1−n) ( x+1) ⁿ⁺¹

5) Étudions d'abord les variations de ^{f 1}

Pour n=1, ^{f n ( x)= e}

x

x+1 ; ^{Ef 1} =] ^−∞ ;-1[U]-1 ; ^+∞ [

x→+∞ lim f ₁ (x )=+∞ lim

x→−∞ f ₁ ( x )=0 lim

x →−1 f ₁ ( x)=+∞ lim

x →−1 f ₁ ( x)=−∞

f ' 1 ( x)= xe ^x

( x+1) ² ; ^{f ' 1 ( x)} a le même signe que x.

x - ∞ -1 1 +

∞

f 1 ’(x) - - 0 +

f 1 (x)

0 + ∞ +∞

- ∞ 1

Étudions en plus les variations de ^f

n=2 ; ^{f 2 ( x )= e}

x

( x+1) ²

lim

x →+∞ f ₂ ( x)=+∞

; x ^lim →−∞ f ₂ ( x)=0 ;

x→−1 lim f ₂ ( x )=+∞

f ' ₂ ( x)= e ^x ( x− 1)

( x+1) ³ a le même que (x+1)(x-1), fonction du second degré s'annulant pour x=1, x=-1.

x - ∞ -1 1 + ∞ f ₂ ’(x) + - 0 +

f ₂ (x)

+ ∞ + ∞ +∞

0 e 4

6) Étudions les positions relatives des courbes ^(C

⁾ et ^(C

⁾ . f 1 ( x)− f 2 ( x )= e ^x

x+1 − e ^x

( x+1) ² = xe ^x

( x+1) ² ; ^{f 1 ( x )− f 2 ( x )= xe}

x

( x+1) ² a le même signe que x.

x - ∞ -1 1 + ∞ f 1 (x) – f 2 (x) - - +

Position relative des deux courbes

(C ₂ )

(C 1 ) (C ₂ )

(C 1 ) (C ₁ ) (C 2 )

Conclusion :

x→−∞ lim f ₁ (x )=0 ⇒( D): y =0

est asymptote horizontale à ^(C

⁾

x→−1 lim f ₁ ( x)=+∞

; lim

x →−1 f ₁ ( x)=−∞ _{( D ' ): x=−1}

est asymptote verticale à ^(C

⁾

lim

x →+∞

f ₁ ( x) x = lim

x →+∞

e ^x

x ( x+1) =+∞ ; branche parabolique de direction (0y) à ^+∞

Étudions les branches infinies de ^(C

⁾ lim

x→−∞ f ₂ ( x)=0 ⇒(D ' ' ) : y=0

est asymptote horizontale

lim

x→−1 f ₂ ( x )=−∞

; ^{( D ' ): x=−1} est asymptote verticale

x→+∞ lim f ₁ ( x)

x = lim

x→+∞

e ^x

x ( x+1) ² =+∞ branche parabolique de direction (0y) à ^+∞

PARTIE B

1) g est continue et strictement décroissante, donc g est une bijection de ]-1,0[ vers

J = ]1, +∞[. Par conséquent g admet une bijection réciproque notée ^g

continue et strictement décroissante sur ]1, +∞ [ vers ]-1,0[.

2) Dressons le tableau de variation de ^g

(g ^-1 )’(x) 1 +∞

g ^-1 (x)

0

- 1

Observation

 Les devoirs à faire à la maison sont donnés pour permettre aux apprenants de bien assimilés les connaissances déjà acquises et de découvrir les différentes courbes complexes à tracer qui pourront prendre plus du temps en situation de classe.

 Le temps consacré aux devoirs sera suffisant (trois jours ou une semaine par devoir). Ils

peuvent travailler en groupe de deux ou plus, mais la rédaction sera individuelle. Ils ont

aussi la possibilité d'utiliser le cahier contenant la leçon vue en classe, les livres, etc

Problème

On considère la fonction f de ^ℝ∖{ln2} vers ^ℝ définie par : ^{f ( x )=x+ e}

x

2(e ^2x − 2) . On désigne par (C) la représentation graphique de f dans le plan muni d'un repère orthonormé ^{(O ; i ; ⃗ ⃗ j)} .

1) Démontrer que la droite d'équation ^y=ln2 est une asymptote verticale à la courbe (C) .

2) Déterminer la limite de f en ^−∞ . Justifier que la droite ^{( D 1 )} d'équation ^{y= x} est une asymptote à la courbe (C) en ^−∞ .

3) Démontrer que : pour tout x distinct de ln2, ^{f (x )=x+}

1 2 + 1

e ^2x −2 . En déduire la limite de f en ^+∞ et justifier que la droite ^{(D 2 )} d'équation ^{y=x +}

1

2 est une asymptote à la courbe (C) en ^+∞ .

4) Démontrer que : pour tout x distinct de ln2, ^{f ' ( x)=(}

e ^x −1)( e ^x − 4)

(e ^2x − 2) ² . En déduire les variations de f.

5) Représenter graphiquement la courbe de f.

6) Étudier graphiquement, suivant les valeurs du paramètre réel m, l'intersection de (C) avec la droite d'équation ^{y=x +m} . Retrouver algébriquement ces résultats.

Devoir à faire à la maison n°1

Exercice

On considère la fonction f de ^ℝ vers ^ℝ définie par : f ( x )=e ^2x −x− 4 . On désigne par (C) la représentation graphique de f dans le plan muni du repère orthonormé ^{(O ; i ; ⃗ ⃗ j)} .

1) Déterminer la limite de f en ^−∞ .

2) Étudier le comportement de f en ^+∞ . Justifier la dérivabilité de f sur ^ℝ et donner l'expression de f'(x).

3) Déterminer les variations de f sur ^ℝ .

4) Démontrer que la droite (D) d'équation ^{y=− x−4} est asymptote à la courbe (C) en ^−∞

Construire (C) et la droite (D).

Problème

On considère la fonction f de ^ℝ vers ^ℝ définie par : ^{f ( x )= e}

2x

e ^x +1 . On désigne par (C) la représentation graphique de f dans le plan muni du repère orthonormé ^{(O ; i ; ⃗ ⃗ j)} .

1) Étudier le sens de variation de la fonction f.

2) On considère la courbe ( ^Γ ), la représentation graphique de la fonction g définie par : g ( x)=e ^x −1 .

3) Démontrer que( ^Γ ) est asymptote à (C) en ^+∞ . Préciser les positions relatives de (C) et ( ^Γ ).

4) Construire ( ^Γ ) à partir de la représentation graphique de la fonction exponentielle.

NB : Construire les deux courbes dans un même repère.

Devoir à faire à la maison n°2

Exercice n°1

Soit la fonction f définie sur ^ℝ par : ^{f ( x )=e x +x+1} .

1) Étudier les variations de f.

2) Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique ^α sur ^ℝ .

3) Vérifier que ⁻ 1,28<α<−1,27 . En déduire le signe de f(x).

Exercice n°2

Soit la fonction f définie sur ^ℝ par : ^{f ( x )=e x +x+1} .

1) Étudier les variations de f.

2) Montrer que f (α)=α+ 1 et en déduire un encadrement de ^{f (α)} .

3) Soit T la tangente à la courbe (C) de f au point d'abscisse x=0. Donner une équation de T et étudier la position de (C) par rapport à T

4) Construire (C) .

Exercice n°3

( x)= e ^x −ln ( ^x +1)

EXERCICES D'APPRONDISSEMENT

Cette partie a pour objectif de donner chez l'apprenant la

Possibilité de réviser toute les notions abordées au cours.

a) Étudier les variations de g.

b) Établir le signe de g sur son ensemble de définition.

Pour tout réel m, on considère la fonction ^{f m} définie par : ^{f m ( x)=[ m+ln ( e x +1)]e −x}

a) Étudier les variations de ^{f m} suivant les valeurs de m (on distinguera les cas ^m<0 ; ^m>0 )

b) Dans le cas où, on pose ^α la solution de l'équation ^{f ' m ( x )=0} . Montrer que ^{f m (α)=}

1 e ^α +1 . c) Dresser le tableau de variation de ^f

.

d) Tracer la courbe.

e) à tout réel ^λ on associe le réel ^{I λ =} ∫ ^{λ 0 f 0 ( x) dx} . Justifier l'existence de ^I

et calculer ^I

puis

λ →+∞ lim I _λ

Exercice n°4

f ( x )=2 ^3x −2 ^x (C) sa courbe représentative dans le plan à un repère orthonormé ^{(0 ; i ; ⃗ ⃗ j )} unité graphique:4cm

1) a) Étudier les variations de f.

b) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) d'abscisse x=0.

2) Soit la fonction g définie sur ^ℝ par g(x)=f(x)-2x

3) Calculer g(0) et montrer que pour tout ^{x ∈ℝ} ; ^{g ( x)=(e x −1)(3 e 2x +3 e x +2)}

4) Étudier les variations de g. En déduire le signe de g(x) et préciser la position de (C) par rapport à (T) .

5) Construire (C) et (T).

α ℝ

b) Prouver que ^α appartient à [0,1].

Exercice n°5

On considère la fonction f définie sur ^ℝ par : ^{f (x )=} _x+e ^{1 x} . On désigne par ( C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé ^{(0 ; i ; ⃗ ⃗ j )} , l'unité graphique étant égale à 4cm.

1) Calculer f'(x) pour tout nombre réel x, puis étudier le signe de f'(x) suivant les valeurs de f'(x) suivant les valeurs de x. En déduire le sens de variation de f.

2) Déterminer les limites de f en et ^−∞ et dresser le tableau de variation de f.

3) Démontrer que le point A de coordonnées ^{(0 ;} 1

2 ) est un centre symétrie de (C) .

4) Soit h la fonction définie par : ^{h ( x)= 1} ₂ ^{− 1} ₄ ^{x− f (x )}

5) Démontrer que : pour tout x appartenant à ] ^−∞ ,0[, ^{h (x)>0} et pour tout x appartenant à ]0 ; ^+∞ [, ^{h (x)<0} .

Exercice n°6

Partie A.

f est la fonction de ^ℝ vers ^ℝ définie par : ^{f (x )= 1} ₄ ^{e −2x} .

1) Étudier les variations de la fonction f. Construire la représentative graphique (C) de f dans le plan muni du repère orthonormé ^{(0, ⃗ i , ⃗ j )} (unité:2cm) .

2) ^{f −1}

le tableau de variation de la fonction ^{f −1} , construire la représentation graphique (C') de ^{f −1} sur le graphique précédent.

Déterminer l'expression de ^{f −1 ( x)} .(T) est la tangente à (C) au point d'abscisse 0 de cette courbe.

Trouver une équation de la tangente (T') de (C') parallèle à (T).

Partie B

f est toujours la fonction définie au début de ce problème.

1) ^{(U n )} est une arithmétique de raison donnée r non nulle. On considère la suite ^(V

⁾ définie par : ^{V 0 = f (u 0 )} , ^{V 1 = f ( u 1 ) ,... , V n = f (u n )}

2) Démontrer que la suite ^(V

⁾ est une suite géométrique, dont on précisera la raison q.

3) Déterminer, suivant r, la limite de ^(V

⁾ quand n tend vers ^+∞

4) Calculer en fonction de ^u

,r et n la somme ^{S n} : ^{S n =v 0 +v 1 +v 2 +...+v n} Déterminer, suivant r, la limite de ^{S n} quand n tend vers ^+∞ .

Exercice n°7

Soit f la fonction numérique définie sur [0, ^+∞ [ par : ^{f ( x )=−x+2+}

e

e ^x . On appelle (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal ^{(0 ; i ; ⃗ ⃗ j)} (unité graphique : 2cm).

Partie A.

1° a) Déterminer x ^lim →+∞ f ( x ) .

b) Étudier les variations de la fonction f.

(Δ)

a) Montrer que la droite ^(Δ) est une asymptote de la courbe (C) . b) Étudier la position de (C) par rapport à ^(Δ) .

c) On désigne par M et N les points de même abscisse x appartenant respectivement à (C) et (Δ) . On juge que deux points sont indiscernables sur la figure lorsque la distance qui les sépare est inférieure à 0,5 mm. Pour quels réels x les points M et N sont-ils indiscernables ?

3° a) Soient A,B,C les points de (C) d'abscisses respectives 0,1 et 3. Donner les valeurs exactes de leurs ordonnées.

b) Dans le repère ^{(0 ; i ; ⃗ ⃗ j)} tracer la droite ^(Δ) , placer les points A,B,C, tracer la partie de la courbe (C) correspondant à l'intervalle [0,6].

Partie B

On considère l'équation E : e

e ^x =x−2 où x est un nombre réel.

1°) A l'aide de l'étude précédente, démontrer que l'équation E admet dans [0, ^+∞ [ une seule solution. On note ^α la valeur exacte de cette solution.

2°) Déterminer une équation de la droite d tangente à (C) en B. Calculer ^x

, abscisse du point d'intersection de d avec l'axe des abscisses.

3°) Déterminer une équation de la droite (BC). Calculer ^x

, abscisse du point d'intersection de (BC) avec les axe des abscisses.

4°) Après avoir observé que la solution unique ^α de l'équation E vérifie ^{x 1 <α< x 2} , donner une

valeur approchée de ^α à ^{10 −2} près par excès.

Exercice n°8

On désigne par f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur

ℝ par : ^{f (x )= 1} ₂ ^{e 2x − 3} ₂ ^{e x −x} . On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal ^{(0; i ; ⃗ ⃗ j)} du plan ; unité 2cm.

1) Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers ^+∞ , en écrivant f(x) sous la forme : ^{f (x )=e 2x ⋅( 1} ₂ ^{− 3} ₂ ^e

−x − xe ^−2x )

2) Trouver la limite de f(x) quand x tend vers ^−∞ . Déterminer la limite de f(x) +x quand x tend vers ^−∞ . Interpréter graphiquement ce résultat.

3) Étudier la position de (C) par rapport à la droite (D) d'équation y=-x. On précisera en particulier les coordonnées du point commun à (C) et (D).

Exercice n°9

1) Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ^ℝ par : ^{f (x )=}

x

e ^x −1 si x≠0 et f (0)=1 .

Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ^{(0 ; i ; ⃗ ⃗ j)} du plan (unité graphique:1cm)

a) Montrer que f est continue en 0. Montrer que _x ^lim →+∞ f ( x )=0

. Déterminer x ^lim →−∞ f ( x) ainsi que x ^lim →−∞ ( f ( x)+x)

.

Préciser les asymptotes de (C) .

b) Montrer que pour tout réel x non nul : ^{f ' ( x)= e}

x

(e ^x −1) ² (1− x −e ^−x )

c)Étudier les variations de la fonction numérique g définie sur ^ℝ par : ^{g ( x)=1−x−e −x} .

représentation graphique de g).

2) Dresser le tableau de variation de f et construire la courbe représentative (C) de f.

Exercice n°10 Partie A

1) Étudier les variations de la fonction g définie sur ^ℝ par ^{g (} x)=1−(2x+1) e ^−2x . Calculer g(0). En déduire le signe de g.

2) Déterminer la limite de g en ^−∞ .(On pourra écrire ^{g ( x)=1−}

2x+1 e ^2x )

3) Déterminer la limite de g en ^+∞ .(On écrira : ^{g ( x)=1−}

2x e ^2x − 1

e ^2x )

4) Tracer la représentation graphique ^{(C g )} de la fonction g dans un repère

orthonormé ^{(0; i ; ⃗ ⃗ j )} (prendre pour unité graphique 2cm et placer O au centre de la feuille de papier millimétré fournie)

Partie B

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0, ^+∞ [ par : ^{f ( x )= 1} _x ^{( e}

−2x −1− 2x) si x>0 et f ( 0)=−4 . On admettra que f est continue et dérivable en 0 et que f '(0)= 2.

1) Montrer que pour tout x appartenant à l'intervalle ]0, ^+∞ [ : ^{f ' ( x)=}

g ( x)

x ² . En déduire le signe de f '.

2) Calculer la limite de f en ^+∞ .

3) Dresser le tableau de variation de f, puis tracer sa courbe représentative ^{(C f )} dans le même

repère que ^{(C g )}

Exercice n°11

Soit la fonction f définie sur [0, ^π ] par : ^{f (x )=e −x sin ( x)} a) Établir que : ^{cos( x )−sin( x)=} √ 2sin ( π

4 −x ) . En déduire le signe de cos ( x )−sin ( x) sur [0, ^π ] .

b) Calculer la dérivée f ' de f.

En déduire les variations de f sur [0, ^π ].

c)Construire la courbe (C) représentant f dans un repère orthogonal ^{(0 ; i ; ⃗ ⃗ j)} (unités graphiques : 5cm en abscisses, 10cm en ordonnées).

Exercice n°12

Soit la fonction f définie sur ^ℝ par : f ( x )= 1

2 ( x+1) ² e ^−2x . On désignera par (C) sa courbe représentative dans le plan (P).

1) Déterminer la limite de f en ^+∞ et celle de f en ^−∞ . En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe (C) .

2) Étudier les variations de f.

3) Tracer la courbe (C) dans le plan (P).

4) On désigne par ^A l'aire en cm² de la partie du plan limitée par la courbe (C) , l'axe des

abscisses et les droites d'équation : x=-1 et x=0. Calculer la valeur exacte de ^A puis en

donner une valeur approchée par excès au mm² près.