[ Baccalauréat STI 2006 \ L’intégrale de mars à novembre 2006

(1)

[ Baccalauréat STI 2006 \

L’intégrale de mars à novembre 2006

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bleus

Métropole Arts appliqués juin 2006 . . . . 3

Métropole Arts appliqués septembre 2006 . . . . 5

Métropole Génie civil juin 2006 . . . . 7

Polynésie Génie civil juin 2006 . . . . 10

Métropole Génie civil septembre 2006 . . . . 13

Nouvelle-Calédonie Génie civil novembre 2006 . . . . 15

Antilles-Guyane Génie électronique juin 2006 . . . . 18

La Réunion Génie électronique juin 2006 . . . . 22

Métropole Génie électronique juin 2006 . . . . 26

Polynésie Génie électronique juin 2006 . . . . 30

Métropole Génie électronique septembre 2006 . . . . 33

Nouvelle-Calédonie Génie électronique nov. 2006 . . . . 36

Antilles-Guyane Génie des matériaux juin 2006 . . . . 38

La Réunion Génie des matériaux juin 2006 . . . . 41

Métropole Génie des matériaux juin 2006 . . . . 45

Métropole Génie des matériaux septembre 2006 . . . . 47

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L’intégrale 2006 A. P. M. E. P.

2

(3)

[ Baccalauréat STI Arts appliqués – Métropole \ juin 2006

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

L’usage d’une calculatrice réglementaire est autorisé durant l’ensemble de l’épreuve.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

EXERCICE1 8 points

Dans un repère orthonormal³ O ;−→

ı,−→

´

on a dessiné une ellipseEde sommets : A(4 ; 0) A^′(−4 ; 0) B(0 ; 3) et B^′(0 ;−3)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3 -2 -1 0 1 2 3

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

−1

−2

−3 1 2 3

O B

B^′

A A^′

1. Montrer qu’une équation de cette ellipse dans³ O ;−→

ı ,→−´ est : x²

16+y² 9 =1.

2. Construire géométriquement les deux foyers F et F^′puis calculer leurs coordonnées exactes.

3. Pour tout pointMde l’ellipseE, par quelle relationMF etMF^′sont-ils liés ? 4. Déterminer les valeurs exactes des abscisses des points deEd’ordonnée 2.

5. Les sommets d’un rectangle de centre O sont des points de l’ellipseE et ses côtés sont pa- rallèles aux axes. Quelle doit être la longueur du côté horizontal de ce rectangle pour que sa hauteur soit égale à 2p

7 ?

Pour la construction d’un stand d’exposition, des étudiants en BTS EVEC ont besoin de créer une rampe d’accès reliant le plancher du stand au sol du hall d’exposition. Une rampe plane ne pouvant permettre l’accès aux fauteuils roulants, les élèves de BTS proposent comme solution de remplacer sur la coupe ci-dessous, le segment [OA] par la courbeC qui fait l’objet du problème suivant.

(4)

Baccalauréat STI Arts appliqués L’intégrale 2006 A. P. M. E. P.

4 m Sol du hall

1 m

Plancher du stand A

O

On choisit le repère orthonormé³ O ;−→

ı ,−→

´

dans lequel le point A a pour coordonnées (4; 1) etC la courbe représentative de la fonctionf définie sur l’intervalle [0; 4] par :

f(x)= 1 32

¡−x³+6x²¢ . 1. Vérifier que O et A sont bien sur la courbeC.

2. a. Calculer la fonction dérivéef^′def. Montrer quef^′(x)=−3

32x(x−4).

b. Étudier le signe def^′(x) sur [0; 4]. Donner ensuite le tableau de variations def sur [0; 4].

3. a. Calculerf^′(0) etf^′(4). Donner une interprétation graphique de ces résultats.

b. Quel est le coefficient directeur de la tangente àC au point I d’abscisse 2?

4. a. Recopier et compléter le tableau suivant : (on arrondira les valeurs au centième).

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

f(x) 0,96

b. On prendra comme unité graphique 5 cm. Représenter sur une feuille de papier millimétré la courbeC ainsi que les tangentes aux trois points d’abscisses 0, 2 et 4.

5. a. Déterminer une primitiveFde la fonctionf sur l’intervalle [0; 4].

b. On noteS la partie située entre la courbeC, l’axe des abscisses et la droite d’équation x=4.

Calculer l’aire deS (en unités d’aires).

c. On précise qu’une unité d’aire sur le graphique correspond à 1 m²en réalité. Sachant que le stand a une largeur de 4 m, quel volume de béton devra-t-on utiliser pour construire la rampe d’accès ? La formule donnant ce volume estV=B×hoùVest le volume,Bl’aire de la partie correspondant à la partieS du graphique ethla largeur du stand.

Métropole 4 juin 2006

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[ Baccalauréat STI Arts appliqués – Métropole \ septembre 2006

Coefficient : 2 Durée : 2 heures

L’usage d’une calculatrice réglementaire est autorisé durant l’ensemble de l’épreuve.

Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

Dans un repère orthonormal³ O ;−→

ı,−→

´

d’unité 1 cm, on considère la courbeCd’équation 9x²+25y²=225.

1. Vérifier que les points M dont les coordonnées vérifient cette équation, sont solutions de l’équation : x²

25+y² 9 =1.

Quelle est la nature de la courbeC?

2. Calculer les coordonnées des sommets A, A^′, B et B^′. 3. Calculer les coordonnées des foyers F et F^′.

4. a. Placer sur un graphique les points A, A^′, B, B^′, F et F^′.

b. Montrer queC est la réunion de deux courbesC₁etC₂d’équations respectives

y=3 s

1−x²

25 et (1) y= −3 s

1−x² 25.

c. En utilisant l’équation (1) de la courbeC₁, compléter le tableau de valeurs, arrondies au dixième, ci-dessous.

x 0 1 2 3 4 5

y

d. Tracer la courbeC₁sur l’intervalle [0; 5] ; puis en utilisant les éléments de symétrie de la courbeC, tracerC.

5. Soit D le point de coordonnées (−3 ;−2,4). Déterminer FD, F^′D et FD + F^′D.

Que peut-on en conclure ?

Soitf la fonction numérique définie sur ]−1 ;+∞[ par f(x)=2x²+4x−1

(x+1)² .

On appelleC_f la courbe représentative def dans un repère orthonormal³ O ;−→

ı,−→

´

(unité : 2 cm).

1. Vérifier quef(x) peut s’écrire sous la formef(x)=2− 3 (x+1)². 2. Déterminer lim

x→−1 x>−1

f(x). En déduire l’existence d’une asymptote dont on déterminera une équa- tion.

3. Déterminer lim

x→+∞f(x). En déduire l’existence d’une asymptote dont on déterminera une équa- tion.

(6)

4. Vérifier que la dérivée def est définie parf^′(x)= 6 (x+1)³.

Trouver le signe def^′(x) sur ]−1 ; +∞[. En déduire le sens de variation def et dresser son tableau de variation.

5. Déterminer une équation de la tangente T àC_f au point d’abscisse 1.

6. Calculer les coordonnées du point d’intersection deC_f avec l’axe des ordonnées puis du point d’intersection deC_f avec l’axe des abscisses.

7. a. Compléter le tableau de valeurs, arrondies au dixième, suivant :

x −0,5 0 1 2 3 5

f(x)

b. Construire sur un même graphique les asymptotes, T, puisC_f. 8. a. Montrer que la fonctionFdéfinie sur ]−1 ;+∞[ parF(x)=2x+ 3

x+1est une primitive de la fonctionf sur ]−1 ;+∞[.

b. On considère la partieA du plan comprise entre les droites d’équation x=1, x=5, la courbeC_f et l’axe des abscisses.

Déterminer l’aire deAen unités d’aire et ensuite en cm².

Métropole 6 septembre 2006

(7)

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat STI Génie mécanique, civil Métropole \ juin 2006

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. On considère les nombres complexes suivants :

zA=p 2+ip

6, zB=2−2i.

On posez=zA

zB.

1. Écrirezsous forme algébrique.

2. a. Calculer le module et un argument dezAet dezB. b. En déduire le module et un argument dez. c. Écrirezsous forme trigonométrique.

3. Déduire des résultats obtenus aux questions précédentes les valeurs exactes de cos7π 12 et de sin7π

12

4. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal³ O ;−→

u,−→ v´

d’unité graphique 2 cm.

a. Sur papier millimétré, construire les points A et B, images respectives dezAet dezB. b. Déterminer la nature du triangle OAB.

On donne ci-dessous la représentation graphiqueC, dans un repère orthonormal d’unité 2 cm, de la fonctionf définie sur [0 ; 2π] par :

f(x)=2−sinx 2 1. Vérifier, par le calcul, que :

a. la courbeC passe par le point S(π; 1).

b. la tangente à la courbeC au point S est parallèle à l’axe des abscisses.

c. la fonctionf est solution de l’équation différentielle : 4y^′′+y−2=0.

2. On veut calculer la valeur exacte du volume du solide de révolution engendré par la courbeC lors de sa rotation autour de l’axe des abscisses. On rappelle que la valeur V de ce volume, en unités de volume, est donnée par la formule :

V=π Z2π

0 [f(x)]²dx.

a. On pose, pour tout nombre réelxappartenant à [0 ; 2π], g(x)=[f(x)]². Démontrer que l’on a :g(x)=9

2−4sinx 2−1

2cosx.

(8)

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2 -1 0 1 2 3 4

1 1

S

O

b. Donner la valeur exacte de ce volume en cm³, puis sa valeur arrondie au mm³près.

PROBLÈME 11 points

Soitf la fonction définie sur l’intervalle ]−1 ;+∞[ par : f(x)= 2x

1+x−ln(1+x).

On noteC sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal³ O ;−→

u,→− v´

d’unités graphiques 1 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie A

1. Calculer la limite def en+∞.

2. a. En remarquant que, pour tout nombre réelxappartenant à l’intervalle ]−1 ;+∞[ f(x)= 1

1+x[2x−(1+x)ln(1+x)], calculer la limite def en−1 (on pourra utiliser sans démonstration

Xlim→0XlnX=0).

b. En déduire une équation d’une droiteDasymptote àC.

3. Déterminer la dérivée f^′def et montrer que, pour tout nombre réelxappartenant à l’intervalle ]−1 ;+∞[,f^′(x)= 1−x

(1+x)². (1 + x)

4. a. Étudier le signe def^′(x) sur l’intervalle ]−1 ;+∞[.

b. Calculer la valeur exacte def(1).

c. Dresser le tableau de variations def sur l’intervalle ]−1 ;+∞[.

(9)

Partie B

1. Déterminer une équation de la tangenteT à la courbeC au point d’abscisse 0.

2. a. Justifier que l’équationf(x)=0 a une seule solutionαdans l’intervalle [1; 5].

Démontrer que ln(1+α)= 2α 1+α.

b. Donner une valeur approchée deαà 10⁻²près.

3. Déterminer le signe def sur l’intervalle [0 ;α].

4. Tracer, dans le repère³ O ;→−

u,−→ v´

, la tangenteT, la droiteDpuis la courbeC.

Partie C

1. Démontrer que, sur l’intervalle ]−1 ;+∞[, la fonctionFdéfinie par F(x)=(−3−x)ln(1+x)+3x est une primitive de la fonctionf.

2. SoitHla partie du plan délimitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=0 etx=α.

a. Hachurer la partieH sur le dessin.

b. Calculer, en unités d’aire et en fonction deα, l’aireA(α) de la partieH et démontrer que A(α)=2

µα²−3α 1+α

¶ cm².

(10)

[ Baccalauréat STI Polynésie juin 2006 \ Génie mécanique, énergétique, civil

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³ O ;−→

u,→− v´

, unité graphique : 1 cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2.

1. On notePle polynôme défini pour tout nombre complexezpar : P(z)=z³−4z²+8z−8.

a. Démontrer que, pour tout nombre complexez,P(z)=(z−2)¡

z²−2z+4¢ . b. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes, l’équation

P(z)=0.

2. On note A, B, C, les points d’affixes respectives :a=2 ;b=1+ip

3 ;c=1−ip 3.

a. Déterminer le module et un argument dea,b,c.

b. En déduire le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.

c. Placer les points A, B et C en laissant visibles les traits de construction.

d. Démontrer que le quadrilatère OBAC est un losange.

3. On posed=a+bet on note D le point d’affixed.

a. Construire le point D dans le repère³

O ;→−u,−→v´ . b. Démontrer que A est le milieu du segment [CD].

c. Écriredsous forme exponentielle.

d. Démontrer que OCD est un triangle rectangle.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal³ O ;→−

ı,−→

´ . Partie A : Calcul d’une primitive

On notegla fonction définie sur l’intervalle [0; 2] par g(x)= x

x+1

1. Déterminer deux réelsaetbtels que, pour tout xappartenant à l’intervalle [0; 2], g(x)= a+ b

x+1.

2. En déduire une primitive degsur l’intervalle [0; 2].

Partie B : Détermination du centre de gravité d’une plaque homogène On notef la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 2] par :

f(x)= 1 x+1

(11)

On considère une plaque homogène formée par l’ensemble des pointsM(x ; y) du plan dont les coordonnées vérifient les relations : 06_x6_{2 et 0}6_y6_f(x). (Voir schéma ci-dessous).

1. SoitS l’aire de la plaque exprimée en unité d’aire.

Démontrer queS =ln 3.

2. Soit G le centre de gravité de la plaque. On admettra que les coordonnées (X;Y) de G sont données par les formules suivantes :

X= 1 S

Z2

0 x f(x) dxet Y = 1

2S Z2

0 [f(x)]²dx.

a. Calculer la valeur exacte deX, puis une valeur approchée arrondie au centième.

b. Calculer la valeur exacte deY, puis une valeur approchée arrondie au centième.

0 1 2

0 1

O

Partie A : Résolution d’une équation différentielle

On considère l’équation différentielle (1) :y^′+y=2e⁻^x, dans laquelleydésigne une fonction incon- nue de la variable réellex, dérivable sur l’ensembleRdes nombres réels.

1. Résoudre l’équation différentielle (2) :y^′+y=0.

2. Soit la fonctionhdéfinie surRparh(x)=2xe^−x. Vérifier quehest solution de l’équation (1).

3. On admet que toute solution de (1) s’écrit sous la formeg+h, oùgdésigne une solution de l’équation (2).

a. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation (1).

b. Déterminer la solutionf de l’équation (1) vérifiant la condition initialef(0)= −1.

Partie B. Étude d’une fonction exponentielle On notef la fonction définie pour tout réelxpar :

f(x)=(2x−1)e⁻^x. On noteC sa courbe représentative dans un repère orthogonal³

O ;→− ı,−→

´

. Unités graphiques : 1 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées.

1. Étude des limites.

a. Déterminer la limite def en−∞.

b. En écrivant, pour tout réelx,f(x)=2xe^−x−e^−x, déterminer la limite def en+∞. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer pour la courbeC?

2. étude des variations def

a. Calculer la fonction dérivéef^′de la fonctionf, puis démonter que, pour tout réelx,f(x) est du signe de (−2x+3).

b. Dresser le tableau de variations de la fonctionf 3. Représentations graphiques.

a. Déterminer l’abscisse du point d’intersection de la courbeC avec l’axe des abscisses.

b. Déterminer une équation de chacune des tangentes (T) et (T^′) à la courbeC aux points d’abscisses3

2 et1 2.

Polynésie 11 juin 2006

(12)

c. Tracer (T), (T^′) et la courbeCdans le repère³ O ;→−

ı,−→

´ .

Partie C. Détermination d’une primitive

1. Vérifier que, pour tout réelx, f(x)= −f^′(x)+2e⁻^x. 2. En déduire une primitive de la fonctionf surR.

(13)

[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2006 \ Génie mécanique, civil

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2.

1. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation

¡z²+9¢ ¡

z²−9z+27¢

=0.

2. Dans le plan muni d’un repère orthonormal³ O ;−→

u,→− v´

, d’unité graphique 1 cm, on considère les points A, B et C d’affixes respectives :

zA=3i ; zB=9 2+3p

3

2 i etzC=9 2−3p

3 2 i.

a. Écrire chacun des nombres complexeszA,zBetzCsous la formere^iθoùrest un nombre, réel positif etθun nombre réel.

b. Soit I le point d’affixezI=2. Calculer les distances AI, BI et CI.

En déduire que les points A, B et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

c. À l’aide d’une règle et d’un compas, construire les points I, A, B et C. On utilisera une feuille de papier millimétré et on laissera apparents les traits de construction pour les points B et C.

1. Résoudre l’équation différentielle :y^′′+16y =0, ydésignant une fonction numérique d’une variable réelle définie et deux fois dérivable sur l’ensembleRdes nombres réels.

2. Déterminer la solutionf de cette équation différentielle vérifiant :

f(0)= 1

10 etf^′(0)= −2p 3 5 . 3. Démontrer que, pour tout nombre réelx, on a :f(x)=1

5cos³ 4x+π

3

´.

4. a. Résoudre, dans l’ensembleRdes nombres réels, l’équationf(x)=1 5. b. Déterminer les solutions de l’équationf(x)=1

5qui appartiennent à l’intervalle [0 ; 2π[.

Représenter ces solutions sur un cercle trigonométrique.

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire

Soitgla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par

g(x)=2x²−4lnx+4.

(14)

Baccalauréat STI Génie mécanique,

énergétique, civil L’intégrale 2006 A. P. M. E. P.

1. Déterminer la fonction dérivéeg^′de la fonctiong et prouver que, pour tout nombre réelx strictement positif :

g^′(x)=4x²−4 x .

2. Étudier le sens de variation de la fonctiong sur l’intervalle ]0 ;+∞[ puis dresser son tableau de variations (on ne demande pas le calcul des limites).

3. Déterminer le signe de la fonctiongsur l’intervalle ]0 ;+∞[.

Partie B

Dans toute la suite du problème, on étudie la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=2x−3+4lnx

x .

On noteC sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal³ O ;−→

u,−→ v´

1. a. Déterminer la limite def en 0.

b. Interpréter graphiquement le résultat précédent.

2. a. Déterminer la limite def en+∞.

b. Démontrer que la droiteDd’équationy=2x−3 est asymptote à la courbeC en+∞. c. Étudier la position de la courbeCpar rapport à la droiteD.

3. Déterminer la dérivéef^′de la fonctionf et prouver que, pour tout nombre réelxstrictement positif :

f^′(x)=g(x) x² .

4. À l’aide des résultats de la partie A, indiquer le signe de f^′(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[, puis dresser le tableau de variations de la fonctionf.

5. a. Montrer que l’équationf(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’intervalle [1; 2].

b. Donner un encadrement d’amplitude 10⁻⁴deα.

6. Pour quelle valeur dexla courbeC admet-elle, au point d’abscissex, une tangente parallèle àD?

7. Construire avec soin la droiteDet la courbeC (on utilisera une feuille de papier millimétré).

Partie C

Dans cette partie, on souhaite calculer l’aireA, en cm², du domaineE situé entre les droites d’équa- tionsx=1 etx=5, la courbeC et la droiteD.

1. Hachurer le domaineEsur le graphique réalisé à la partie B.

2. Montrer queA= Z5

1 4lnx x dx.

3. a. On pose, pour tout nombre réelxstrictement positif,H(x)=(lnx)². Déterminer la dérivée de la fonctionH.

b. Calculer la valeur exacte deA, puis en donner une valeur approchée au mm²près.

Métropole 14 septembre 2006

(15)

[ Baccalauréat STI décembre 2006 Nouvelle-Calédonie \ Génie Mécanique - Génie énergétique - Génie Civil

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet. Une feuille de papier mil- limétré sera mise à la disposition des candidats.

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument^π₂. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³

O ;−→ u,→−

v´

, unité graphique : 2 cm.

1. Résolution d’une équation.

a. Résoudre , dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation (z−4i)¡

z²−4z+8¢

=0.

b. Déterminer l’écriture de chacune des solutions sous la forme exponentielleρe^iθoùρest un nombre réel strictement positif etθun nombre réel.

2. Soient A, B et C les points d’affixes respectivesa=2−2i,b=2+2i etc=4i.

a. Placer les points A, B et C dans le repère³ O ;−→

u,−→ v´

.

b. Placer le milieu M du segment [BC] et calculer son affixemsous la forme algébrique.

3. On désigne par B^′, C^′et M^′les points d’affixes respectivesb^′=16

b ,c^′=16

c etm^′=16 m. a. Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexesb^′etc^′.

On admettra quem^′=8 5−24

5 i.

b. Placer les points B^′, C^′et M^′sur la figure.

4. Quelques configurations géométriques.

a. Calculer les modules des nombres complexesb^′−a,c^′−aetm^′−a.

b. En déduire que les points B^′, C^′et M^′appartiennent à un même cercleC de centre A c. Tracer le cercleC sur la figure et démontrer que le point O appartient au cercleC. d. Démontrer que le triangle isocèle AB^′C^′est rectangle en A.

Le dispositif de la figure A ci-dessous est constitué d’une cuve reliée à un récipient par un tuyau muni d’une vanne.

Cette vanne étant fermée, on remplit d’eau la cuve (figure A). On ouvre ensuite la vanne et l’eau passe dans le récipient d’où elle s’écoule en pluie fine par le fond percé d’une multitude du petits orifices comme l’indique la figure B ci-dessous.

begincenter Récipient

Vanne fermée Cuve

Figure A

Récipient Vanne ouverte

Cuve

h(t)

Figure B

(16)

On considère alors la fonctionhqui à tout instanttexprimé en minutes, fait correspondre la hauteur d’eauh(t), exprimée en mètres, dans le récipient. On choisit l’instant où l’on ouvre la vanne comme origine des temps et, à cet instantt=0, la hauteur d’eau dans le récipient est nulle.

On admet que la fonctionhest définie et dérivable sur l’intervalle [0 ;+∞[ et qu’elle vérifie, pour tout nombre réeltde cet intervalle, la relation

h^′(t)+2h(t)=1 2e^−t oùh^′désigne la dérivée de la fonctionh.

1. On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par g(t)=h(t)−1

2e⁻^t.

a. Démontrer quegest une solution de l’équation différentielle (E)y^′+2y=0.

b. Résoudre l’équation différentielle (E).

c. Utiliser les résultats précédents et la condition initialeh(0)=0 pour démontrer que, pour touttappartenant à [0 ;+∞[ : h(t)=1

2

¡e^−t−e^−2t¢ . 2. Étude des variations deh

a. Déterminer la limite dehen+∞

b. Calculerh^′(t) et démontrer que pour tout réeltappartenant à [0 ;+∞[,h^′(t) a même signe que 2e^−t−1.

c. Étudier le signe de 2e^−t−1 sur l’intervalle [0 ;+∞[, puis dresser le tableau de variations de la fonctionh. Calculerh(ln 2).

3. En déduire la hauteur minimale en millimètres que doit avoir le récipient pour que l’eau s’en écoule entièrement par le fond, c’est-à-dire sans déborder du récipient, lorsque la vanne reste ouverte.

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : f(x)=4−ln 2−1

4x²+1 2lnx

où ln désigne la fonction logarithme népérien. On désigne parC_f la courbe représentative def dans un repère orthonormal³

O ;−→ ı ,→−´

du plan d’unité graphique 2 cm.

Partie A : étude de la fonctionf 1. Étude des limites.

a. Déterminer lim

x→0f(x) et en déduire que la courbeC_f admet une asymptote dont on préci- sera une équation.

b. Vérifier que pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[ on a : f(x)=4−ln 2−x

µ1 4x−1

2 lnx

x

¶

et en déduire lim

x→+∞f(x).

2. Étude du signe def sur un intervalle

a. Calculerf^′(x) et vérifier quef^′(x)=1−x² 2x .

b. Étudier le signe def^′(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[ et dresser le tableau des variations de la fonctionf.

Nouvelle-Calédonie 16 décembre 2006

(17)

c. Calculerf(4) et en déduire que la fonctionf est positive ou nulle sur l’intervalle [1; 4].

3. On désigne par A et B les points de la courbeC_f d’abscisses respectives 1 et 4.

a. Déterminer une équation de la tangente à la courbeC_f en B.

b. Tracer les tangentes àC_f aux points A et B puisC_f dans le repère³ O ;−→

ı ,−→

´ .

Partie B

On admet que, compte tenu de l’unité graphique utilisée, la longueurL, exprimée en cm, de l’arcABØ de la courbeC_f est donnée par l’intégrale suivante :

L= Z4

1 2q

1+[f^′(x)]²dx.

1. Démontrer que pour tout réelx>0 on a : 1+[f^′(x)]²= µ 1

2x+x 2

¶2

.

2. Calculer la valeur exacte de la longueur en cm de l’arcAB de la courbeØ C_f, puis en donner un valeur approchée arrondie au mm.

Partie C

On considère la régionAdu plan délimitée par la droite d’équationx=1, l’axe des abscisses et l’arc Ø

AB de la courbeC_f.

1. On considère la fonctionGdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parG(x)=xlnx−x.

Démontrer que la fonctionGest une primitive de la fonctionx7→lnxsur l’intervalle ]0 ;+∞[.

2. Calculer, en cm², la valeur exacte de l’aire deA (On utilisera le résultat de 2 c de la partie A), puis en donner une valeur approchée arrondie au mm².

Nouvelle-Calédonie 17 décembre 2006

(18)

[ Baccalauréat STI Antilles-Guyane \ Génie électronique juin 2006

Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct³ O ;−→

u,−→ v´

d’unité graphique 3 cm, on considère les points A et B d’affixes respectiveszA=p

3+i etzB=1−ip

3; i est le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ

2.

1. a. ÉcrirezAetzBsous forme trigonométrique, puis sous forme exponentielle.

b. En utilisant la règle et le compas, placer les points A et B dans le repère³ O ;−→

u,−→ v´

. On laissera apparents les traits de construction.

c. Démontrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle en O.

2. Dans ce qui suit, on considère la rotation de centre O et d’angle π

2. On appelle C l’image du point A par cette rotation.

a. Placer le point C dans le repère³ O ;→−

u,−→ v´

. On laissera apparents les traits de construction.

b. Déterminer l’affixezCdu point C sous forme exponentielle.

c. Quelle est l’image du point B par la rotation ? Justifier.

d. En déduire l’image du triangle OAB par la rotation.

Un circuit électrique comprend en série un générateur, un conducteur ohmique de résistanceR(ex- primée en ohms), un condensateur de capacitéC(exprimée en farads) et un interrupteur. On ferme l’interrupteur à l’instantt=0 et le générateur délivre alors une tension constanteE (exprimée en volts). On procède ainsi à la charge du condensateur.

La chargeqen coulombs du condensateur est une fonction dérivable du tempst(exprimé en se- condes) ; l’intensitéidu courant (exprimée en ampères) est alors telle quei(t)=q^′(t).

On considère l’équation différentielle :

y^′+ 1 RCy=E

R

dans laquelleyest une fonction de la variable réellet, définie et dérivable surR. Dans tout ce qui suit, on prendR=1000,C=10⁻⁴etE=10.

1. Écrire l’équation différentielle ci-dessus en remplaçantR,CetEpar leurs valeurs respectives.

2. On admet que la fonctionqest définie sur [0 ;+∞[ par q(t)= −10⁻³e^−10t+10⁻³.

a. Déterminer la fonction dérivéeq^′ de la fonction q, puis vérifier queq est solution sur [0 ;+∞[ de l’équation différentielle établie à la question 1.

b. Déterminerq(0), la limite deqen+∞et le sens de variations deqsur [0 ;+∞[.

3. On admet que l’intensité du courantiqui parcourt le circuit à l’instanttest donnée pari(t)= 10⁻²e^−10t.

Déterminer la valeur exacte de l’instantt0à partir duquel l’intensitéi(t) est inférieure ou égale à 10⁻³ampère. Préciser sa valeur arrondie au centième de seconde.

(19)

Baccalauréat STI Génie électronique,

électrotechnique, génie optique L’intégrale 2006 A. P. M. E. P.

4. On sait enfin que l’énergieWdissipée dans le conducteur ohmique, exprimée en joules, entre les instantst=0 ett=0,23, est donnée par :

W=1000 Z0,23

0 i²(t) dt.

a. Préciser une primitive de la fonctionhdéfinie sur [0 ;+∞[ par h(t)=e^−20t.

b. Calculer alorsWet en donner la valeur arrondie à 10⁻³près.

On considère la fonctionf définie et dérivable sur v dont la courbe représentativeC_f dans un repère orthonormal³

O ;−→ ı,−→

´

d’unité 1 cm est donnée en annexe. Cette courbe passe par le point A(1; 4).

Dans la partie I, le but est de déterminer graphiquement certaines propriétés de la fonction f. On prouve ensuite ces propriétés dans la partie II à partir de l’expression def(x). Enfin, dans la partie III, on s’intéresse à un calcul d’aire.

Partie I

On répondra aux questions suivantes en utilisant la représentation graphique donnée en annexe. Si cela n’est pas demandé explicitement, on ne justifiera pas la réponse.

1. a. On admet que la fonction f est décroissante sur ]0; 1[ et que l’axe des ordonnées est asymptote àC_f. Donner lim

x→0f(x).

b. Peut-on donner lim

x→+∞f(x) à partir du graphique ? Pourquoi ?

2. a. Justifier que l’équationf(x)=0 admet, sur l’intervalle [1 15], deux solutions ; on noteraα etβces solutions, avecα<β.

b. Donner un encadrement d’amplitude 0,5 pour chacun des deux nombresαetβ.

c. Donner le signe def(x) suivant les valeurs dexdans l’intervalle [1; 15].

3. On admet que la droite passant par les points A(1; 4) et B(2 ;−2) est tangente à la courbeC_f au point A.

a. Donner la valeur def^′(1).

b. Donner, en justifiant, une équation de la droite (AB).

Partie II

On admet maintenant que la fonctionf est définie sur ]0 ;+∞[ par f(x)=2(lnx)²−6lnx+4.

Le but de cette partie est de démontrer les résultats obtenus à la partie I, en utilisant l’expression de f(x).

1. a. Calculer lim

x→0f(x). Quelle propriété graphique de la courbeC_f retrouve-t-on ainsi ? b. Démontrer que pourx6=1 on af(x)=(lnx)

·

2lnx−6+ 4 lnx

¸

puis en déduire lim

x→+∞f(x).

2. a. Démontrer quef^′(x)=4lnx−6

x ouf^′désigne la dérivée def. b. Résoudre dans l’intervalle ]0 ;+∞[ l’inéquation 4lnx−6>0.

c. En déduire le sens de variations def et dresser le tableau de variations def. On calculera la valeur exacte du minimum def sur ]0 ;+∞[.

3. a. En utilisant les résultats de la question 2 démontrer que l’équationf(x)=0 admet exactement deux solutions sur l’intervalle [1; 15].

Antilles-Guyane 19 juin 2006

(20)

b. Donner les valeurs exactes def¡p e¢

, f(e) etf¡ e²¢

.

c. En déduire l’ensemble des solutions de l’équationf(x)=0 sur l’intervalle [1; 15].

4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbeC_f au point A d’abscisse 1.

Partie III

1. Sur la feuille annexeà rendre avec la copie, hachurer le domaine D délimité par la courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=1 etx=2.

2. Démontrer que la fonctionFdéfinie sur ]0 ;+∞[ parF(x)=2x(lnx)²−10xlnx+14xest une primitive def sur ]0 ;+∞[.

3. a. En déduire l’expression de l’aire, en unités d’aire, du domaine D sous la forme d’une inté- grale.

b. Donner la valeur exacte de cette aire en cm², puis sa valeur en mm², arrondie à l’unité.

(21)

Feuille annexe à rendre avec la copie

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

−1

−2

−3 1 2 3 4 5 6

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

A

B

−

→ı

−

→ O

(22)

[ Baccalauréat STI La Réunion juin 2006 \ Génie électronique, électrotechnique, optique

EXERCICE1 4,5 points

Cest l’ensemble des nombres complexes et i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument π

2.

1. Résoudre dans l’ensembleCl’équation :

z²−4z+16=0.

2. On considère les nombres complexes : z1=2+2ip

3 et z2=2−2ip 3.

a. Déterminer le module et un argument dez1. b. écrirez1, puisz2sous forme exponentielle.

3. Le plan est muni d’un repère orthonormal direct³ O ;−→

u,−→ v´

d’unité 1 cm.

On considère la rotationrde centre O et d’angle−2π 3 .

a. Placer les points M1, et M2d’affixes respectivesz1etz2dans le repère³ O ;−→

u,→− v´

. b. Montrer que le point M2est l’image du point M1par la rotationr.

c. On appelle M₃le point image du point M₂par la rotationr.

Calculer l’affixez3du point M3. Placer le point M3dans le repère³

O ;−→ u,−→

v´ . d. Démontrer que le triangle M1M2M3est équilatéral.

4. Vérifier que les nombres complexes (z1)⁶et(z1)⁴

(z2)²sont des entiers naturels.

On utilisera la forme dez₁etz₂la plus adaptée.

EXERCICE2 4,5 points

I.On considère l’équation différentielle :

(E0) : y^′′+4y=0

oùydésigne une fonction de la variable réellet, définie et deux fois dérivable sur l’ensembleRdes nombres réels, ety^′′sa dérivée seconde.

1. Résoudre l’équation (E0).

2. Déterminer la solution particulièref de (E0) vérifiant : f(0)=p

3 et f^′(0)=2 oùf^′désigne la fonction dérivée de la fonctionf.

(23)

3. Montrer que pour tout réelt, f(t) peut s’écrire sous la forme : f(t)=2cos³

2t−π 6

´.

4. Calculer la valeur moyenne def sur l’intervalleh 0 ; π

2 i.

II.On considère maintenant l’équation différentielle :

(E₁) : y^′′+4y=3sint

oùydésigne une fonction de la variable réellet, définie et deux fois dérivable sur l’ensembleR, ety^′′

sa dérivée seconde.

1. Montrer que si une fonctiongest solution de l’équation (E0), alors la fonctionhdéfinie surR par :h(t)=g(t)+sintest solution de l’équation (E1).

2. Donner une solution particulière, ne s’annulant pas pourt=0, de l’équation (E1).

Sur la feuille annexe,qui doit être remise avec la copie, on donne, dans le plan muni d’un repère or- thonormal³

O ;−→ ı,−→

´

, la courbe représentativeC_f d’une fonctionf définie sur l’intervalle ]2 ;+∞[.

Partie A : détermination de la fonctionf

On suppose que la courbe passe par le point A de coordonnées µ

3 ;−7 2+3ln 2

¶ . La droite D d’équationx=2 est une asymptote verticale â la courbeC_f. On notef^′la fonction dérivée def.

1. Quelle est la valeur exacte def(3) ?

2. Donner sans justification la limite de la fonctionf en 2.

3. On suppose que, pour tout réelxde l’intervalle ]2 ;+∞[,

f(x)=ax−5+3ln(x−1)−3ln(x−2).

En utilisant la réponse de la question 1, déterminer algébriquement le nombrea.

Partie B : étude de la fonctionf

On admet que la fonctionf est définie sur l’intervalle ]2 ;+∞[ par : f(x)=1

2x−5+3ln(x−1)−3ln(x−2).

1. a. Retrouver par le calcul la limite de la fonctionf en 2.

b. Montrer que, pour tout x réel de l’intervalle ]2+ ∞[ f(x)=1

2x−5+3ln µx−1

x−2

¶ . c. En déduire la limite de la fonctionf en+∞.

2. Démontrer que la droite∆d’équationy=1

2x−5 est une asymptote oblique à la courbeC_f en +∞. Tracer∆sur la feuille annexe.

La Réunion 23 juin 2006

(24)

3. a. Calculerf^′(x) et montrer que pour tout réelxde l’intervalle ]2 ;+∞[

f^′(x)= x²−3x−4 2(x−1)(x−2). b. Étudier le signe def^′(x) sur l’intervalle ]2 ;+∞[.

c. Dresser le tableau de variations de la fonctionf sur l’intervalle ]2 ;+∞[.

4. a. Montrer que l’équation f(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’intervalle [2,1; 3] et une solution uniqueβdans l’intervalle [9; 10].

b. Déterminer un encadrement d’amplitude 10⁻¹de chacune des solutionsαetβ.

Partie C : calcul d’aire

1. On considère les fonctionshetHdéfinies sur l’intervalle ]2 ;+∞[ par h(x)=ln

µx−1 x−2

¶

et H(x)=(x−1)ln(x−1)−(x−2)ln(x−2).

a. Montrer que la fonctionHest une primitive de la fonctionhsur l’intervalle ]2 ;+∞[.

b. En déduire une primitive de la fonctionf sur l’intervalle ]2 ;+∞[.

2. On considère le domaineD du plan compris entre la courbeC_f, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=3 etx=9.

a. Hachurer le domaineDsur le graphique de la feuille annexe.

b. On noteAla mesure, en unités d’aire, de l’aire du domaineD. ExprimerA sous la forme d’une intégrale.

c. Calculer la valeur exacte deA, puis en donner une valeur approchée à 10⁻¹près.

(25)

FEUILLE ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE

Courbe de la fonctionf

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

−1

−2

−3

−4

−5 1 2 3 4 5

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

D O −→

ı

−

→

(26)

[ Baccalauréat STI Métropole juin 2006 \ Génie électronique, électrotechnique, optique

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal³ O ;→−

u,−→ v´

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2.

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexesCl’équationz²−2z+4=0.

2. On considère les points A et B d’affixes respectiveszA=1+ip

3 etzB=1−ip 3.

a. Déterminer le module et un argument dezAetzB. b. Donner la forme exponentielle dezA.

c. Placer les points A et B dans le plan muni du repère³ O ;−→

u,→− v´

.

3. On désigne parRla transformation du plan complexe qui à tout pointMd’affixezfait correspondre le pointM^′d’affixez^′tel que :

z^′=eⁱ^2π³ z.

a. Indiquer la nature de la transformationRet préciser ses éléments caractéristiques.

b. On nomme C l’image du point A par la transformationR. Déterminer la forme exponentielle de l’affixezCdu point C. En déduire sa forme algébrique.

c. Placer le point C.

d. Montrer que le point B est l’image du point C par la transformationR.

4. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier votre réponse.

Pour la fête de l’école, une association propose une loterie selon le principe suivant :

— Le joueur mise 10 euros.

— Il fait tourner deux roues identiques chacune s’arrêtant devant un repère.

Chaque roue est divisée en quatre quartiers sur lesquels sont indiqués les gains en euros 10; 0;

5; 0. Tous les quartiers ont la même probabilité de s’arrêter devant le repère. La gain obtenu par le joueur est égal à la somme des gains indiqués sur les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues.

0 5

10 0

0 10

5 0

Roue n^o1 Roue n^o2

Dans l’exemple ci-dessus, la partie assure au joueur un gain de 15(.

(27)

1. Étude du gain d’un joueur pour une mise de 10 euros.

On nommeGla variable aléatoire qui à chaque partie associe le gain du joueur en euros.

a. Reproduire et compléter le tableau suivant donnant les valeurs prises par la variable aléa- toireGselon les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues :

Roue n^o2

Roue n^o1

10 0 5 0

b. Prouver que la probabilité que le joueur obtienne un gain supérieur ou égal à sa mise est 50 %.

c. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoireG.

d. Calculer la probabilité, notéep(G>10), qu’un joueur obtienne un gain strictement supé- rieur à sa mise.

e. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoireG, puis donner son interpréta- tion.

2. Étude du bénéfice de l’association pour une mise demeuros.

On suppose dans cette question que la mise du joueur estmeuros.

On noteBla variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le bénéfice (positif ou négatif) réalisé par l’association, c’est-à-dire la différence entre la mise qu’elle a encaissée et le gain éventuel qu’elle a reversé au joueur.

a. Exprimer en fonction deml’espérance mathématique de la variable aléatoireB.

b. Déterminermpour que l’espérance de bénéfice de l’association soit d’au moins 5(.

Partie A Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle

(E) : y^′+y= −x−1

oùydésigne une fonction de la variablexdéfinie et dérivable sur l’ensemble des réelsR. 1. a. Résoudre l’équation différentielley^′+y=0.

b. Déterminer la solutionhde cette équation différentielley^′+y=Oprenant la valeur1 e en x=1.

2. Déterminer le nombre réelatel que la fonctionudéfinie surRparu(x)=e⁻^x+axsoit solution de l’équation différentielle (E).

Partie B : étude d’une fonction auxiliairef La fonctionf est définie surRpar :

f(x)=e⁻^x−x.

1. Déterminer les limites de la fonctionf en+∞et−∞.

2. f^′désigne la fonction dérivée de la fonctionf. Calculer, pour tout réelx,f^′(x) puis en déduire le tableau de variations de la fonctionf.

(28)

3. a. Montrer que l’équationf(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’intervalle [0; 1].

b. Donner un encadrement deαd’amplitude 0,01.

4. Préciser le signe def(x) sur l’intervalle [0; 1].

Partie C : Calcul de l’aire d’une partie du plan

La représentation graphiqueC_f de la fonctionf dans le plan muni d’un repère³ O ;−→

ı ,−→

´ est tracée sur la feuille jointe en annexe, qui est à rendre avec la copie.

1. Dans le demi-plan constitué des points d’abscisses positives, hachurer la partieDlimitée par la courbeC_f l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.

2. Calculer en fonction deαla mesure, en unités d’aire, de l’aire de la partieDdu plan.

Partie D : étude d’une fonctionget représentation graphique La fonctiongest définie sur ]− ∞;α[ par :

g(x)= x e^−x−x

(oùαdésigne le nombre réel trouvé à la partie B et on noteC_g sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. a. Vérifier que, pour toutx∈]− ∞;α[,g(x)= xe^x 1−xe^x.

b. En déduire la limite de la fonctiongen−∞et interpréter graphiquement cette limite.

2. En utilisant les résultats trouvés dans la partie B question 4, déterminer la limite de la fonction genα. Interpréter graphiquement cette limite.

3. a. La fonctiong^′désignant la dérivée de la fonctiong, montrer que pour toutxde ]−∞;α[,g^′(x)= e^−x(1+x)

(e⁻^x−x)².

b. En déduire les variations de la fonctiongsur ]− ∞;α[ et dresser le tableau des variations de la fonctiong.

4. Tracer la courbe représentativeC_gde la fonctiongdans le repère figurant sur la feuille annexe à remettre avec la copie.

(29)

Feuille annexe à remettre avec la copie

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3

−1

−2

−3

−4

−1

−2 1 2 3 4 5 6 7

−

→ı

−

→ C_f

(30)

[ Baccalauréat STI Génie électronique Polynésie \ juin 2006

Le plan est rapporté à un repère orthonormal³

O ;→−u,−→v´

(unité graphique : 2 cm). Soient les nombres complexesz1=p

2+ip

2 etz2=1+ip 3.

1. a. Déterminer le module et un argument des nombresz1etz2. b. Placer les points A et B d’affixes respectivesz1etz2.

2. SoitZle nombre complexe tel queZ=z2

z1.

ÉcrireZsous forme exponentielle, en déduire une mesure en radians de l’angleθde la rotation de centre O qui transforme A en B.

3. a. ÉcrireZsous forme trigonométrique.

b. En utilisant les formes algébriques dez1etz2, déterminer la forme algébrique deZ.

c. En déduire les valeurs exactes de cos³π 12

´et de sin³π 12

´.

Un commercial vend entre 0 et 4 voitures d’un certain modèle en une semaine. SoitXla variable aléatoire qui, pour une semaine, donne le nombre de voitures vendues.X suit la loi de probabilité ci-dessous :

Nombre de voitures vendues 0 1 2 3 4

p(X=k) 0,26 0,23 0,15 0,05

1. Calculer la probabilité de vendre exactement deux voitures en une semaine.

2. Justifier que la probabilité de vendre au moins deux voitures en une semaine est égale à 0,51.

3. Donner une représentation graphique de la fonction de répartitionFde cette loi dans un re- père convenablement choisi.

4. Calculer l’espérance mathématique de cette variable aléatoire. En déduire le nombre moyen de voitures vendues en une année (c’est-à-dire 52 semaines).

5. Le prix de vente d’une voiture est de 13 500(. Le vendeur perçoit une commission de 0,4 % sur le prix de vente pour chaque voiture vendue. Déterminer le montant moyen de la commission perçue en un an.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal³ O ;−→

ı,−→

´

(unité graphique : 2 cm).

Soit une fonctionf définie sur un intervalle I. On a déterminé expérimentalement des valeurs de f qui ont permis d’obtenir une partie de la courbe (C), représentative de la fonctionf, et sa tangente (T) au point O (voir feuille annexe).

Partie A

1. À l’aide du graphique, déterminerf(0) etf^′(0).

2. On admet que l’expression def(x) est de la formef(x)=ax+b−ln(10x+1) oùaetbsont des réels.

(31)

a. Déterminerf^′(x) en fonction dea.

b. En utilisant les résultats du 1., déterminer les réelsaetb.

Partie B

On admet désormais que la fonctionf est définie sur l’intervalle I = ]−0,1 ; 10] par f(x)=0,5x−ln(10x+1).

1. Calculer lim

x→−0,1 x>−0,1

f(x). Que peut-on en déduire pour la courbe (C) représentantf ?

2. Calculer la fonctionf^′dérivée de la fonctionf. Montrer quef^′(x) a le même signe que 5x−9,5 sur l’intervalle I.

Étudier le signe def^′(x) sur l’intervalle I.

3. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

4. Justifier que l’équationf(x)=0 a dans l’intervalle [6; 10] une solution unique, que l’on notera α.

Déterminer un encadrement deαd’amplitude 10⁻². 5. SoitFla fonction définie sur l’intervalle I = ]−0,1 ; 10] par :

F(x)=0,25x²+x−(x+0,1)ln(10x+1) a. Démontrer queFest une primitive de la fonctionf sur l’intervalle I.

b. Calculer l’intégrale J= Z1

0 f(x) dx. On donnera la valeur exacte.

c. On considère dans le repère défini initialement, l’ensemble des pointsMde coordonnées (x;y) tels que :

½ 0 6 x 6 1

f(x) 6 y 6 0

Utiliser la question précédente pour déterminer l’aireA en cm²de cette région. On en donnera la valeur décimale arrondie à 10⁻²près.

(32)

Annexe (problème)

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6 1

0 1

0,5

(C)

−4,75

M (T)

x y

(33)

[ Baccalauréat STI Génie électronique \ génie électrotechnique, optique

Métropole septembre 2006

j désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument2π 3 .

1. Résoudre, dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation d’inconnuez: (1−2i)z= (1−i)z−1−i.

2. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal³ O ;−→

u,→− v´

d’unité graphique 4 cm, on considère les points A, B et D tels que :

— A est le point d’affixezA=1−i,

— B est l’image du point A par la rotationRde centre O et d’angleπ 3;

— D est le symétrique du point A par rapport à O.

a. Faire une figure et la compléter au fur et à mesure.

b. Calculer le module et un argument de l’affixezAdu point A.

c. Déterminer la forme algébrique de l’affixezDdu point D. Justifier.

d. Calculer le module et un argument du nombre complexezBaffixe du point B.

e. Justifier que le triangle AOB est équilatéral, en déduire la valeur de la distance AB.

3. On note C l’image de B par la translationT de vecteur d’affixe−1+i.

a. Établir l’égalité vectorielle−−→AD=2−−→BC .

b. Démontrer que le quadrilatère OBCD est un parallélogramme.

c. Prouver que CD = AB.

d. En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle.

Un joueur lance successivement et dans cet ordre trois pièces de monnaie : une de 2 euros et deux de 1 euro.

1. Déterminer les différents résultats possibles, sachant qu’un résultat peut être considéré comme un triplet du type (P, F, P) par exemple, P désignant pile et F désignant face.

Chaque pièce est parfaitement équilibrée. On est dans une situation d’équiprobabilité.

2. Si les trois pièces présentent leur côté face, le joueur perd 5 euros : sinon il gagne la somme des euros figurant sur les pièces présentant leur côté pile.

SoitX la variable aléatoire qui, à chaque lancer des trois pièces, associe la somme d’argent gagnée en euros. Lorsque le joueur perd, la variableXprend alors une valeur négative.

a. Quelles valeurs peut prendreX? b. Donner la loi de probabilité deX.

c. Calculer la probabilité de l’évènement «X62 ».

3. On dit qu’un jeu est équitable lorsque l’espérance mathématique du gain est égale à 0.

a. Ce jeu est-il équitable ?