a b Figure V.100 : Construction algébrique des réseaux pour les cinq modèles étudiés

3.3.5. Stade larvaire

La classification hiérarchique des données d’expression des 4005 gènes de la drosophile pendant le stade larvaire mène à 10 classes de gènes (voir chapitre IV section 2.2.2). Les profils moyens sont alors utilisés dans la modélisation du réseau de régulation.

a) Construction algébrique des réseaux de régulation

En appliquant la méthode décrite au point 3.2.5, on construit l’architecture des réseaux pour les 5 cinq modèles étudiés. La Figure V.100a représente le pourcentage de connexions communes aux cinq modèles à chaque étape de cette construction et ce, sans tenir compte des signes attribués à ces connexions.

a b

Figure V.100 : Construction algébrique des réseaux pour les cinq modèles étudiés.

a. Evolution du pourcentage de connexions communes aux cinq modèles m en fonction de la connectivité q. b. Evolution de l’écart quadratique moyen _Sc^{m q,} _{(c1,..., )n} entre les profils estimés ^d  

d

c k

X t

 et interpolés des dérivées temporelles des profils expérimentaux en fonction de la connectivité q. Courbe rouge : ; courbe rose : ; courbe verte : ; courbe noire : ; courbe bleue :m .

NCpol

m

e lin

mNN m^e_NC m_CN^e

On constate les mêmes tendances que pour le stade embryonnaire (voir section 3.3.1). Ainsi, pour q=2, 20% des connexions (soit 4 connexions) sont communes aux cinq modèles. La Figure V.100b représente l’évolution de l’écart quadratique moyen S_c^{m q,} (c1,..., )n entre les profils estimés ^d  

d

c k

X t

 et interpolés des dérivées temporelles des profils expérimentaux. On constate que, comme pour le stade embryonnaire, cet écart est significativement plus grand pour le modèle que pour les autres et ce malgré l’ajout de nouvelles connexions. En outre, il apparaît que pour le modèle linéaire , cet écart tend vers zéro pour q=10. Ainsi, lorsque le réseau est plein le modèle linéaire est capable de reproduire parfaitement les données. Toutefois, à ce stade, le modèle est alors largement surparamétré car le nombre de paramètres (110) dépasse le nombre de points de mesure à reproduire (100). Ainsi, si les modèles non linéaires bénéficiaient de la même qualité d’initialisation des paramètres que le modèle linéaire (initialisation optimale qu’au sens des moindres carrés, voir section 2.1.4.), ils

NCpol

m

mlin

pourraient tout aussi bien reproduire parfaitement ces données ; Cependant, l’initialisation actuelle, le nombre élevé de paramètres à le fait que les profils d’expression sont dans ce stade, comme dans le stade adulte, généralement presque constants rendent cette solution inaccessible.

b) Identification de la connectivité maximale utile

Les paramètres sont alors estimés, selon la méthode décrite au point 3.2.5 pour minimiser l’écart ^{m q,} entre les profils X^ˆ_c^{m q,} ( )_k estimés par les modèle m et les profils expérimentaux X_c( )_k et ce, pour q=1,…,4. La Figure V.101 représente l’évolution de cet écart en fonction du nombre de paramètres dans chaque modèle, chaque point correspondant à une valeur de q :

Figure V.101 : Evolution de l’écart quadratique moyen ^{m q,} entre les profils ˆ_c^{m q}, ( )_k

X  estimés et les profils expérimentaux X_c( )_k pour les cinq modèles étudiés en fonction du nombre s de paramètres des modèles. Courbe rouge : ; courbe rose : ; courbe verte : ; courbe noire : ; courbe bleue : .

NCpol

m

eNN

m m^e_NC m_CN^e m_lin

On constate certaines tendances communes avec celles du stade embryonnaire (voir section 3.3.1), à savoir (1) que le modèle reste le moins bon, (2) que, pour le même nombre de paramètres, le modèle est toujours meilleur que le modèle , (3) que la présence probable d’un minimum local dans la fonction de coût lors de l’optimisation des paramètres mène à un écart pour supérieur à celui pour .

NCpol

m

CNe

m

NNe

eNC

m

m m_CN^e

En outre, on observe que l’écart ne diminue très légèrement pour q>2 et ce, pour tous les modèles. Par ailleurs, il est à noter que ce stade ne contient que 10 points de mesures.

Dès lors, pour éviter toute indétermination du problème posé, il convient de limiter le nombre de paramètres utilisés dans les modèles, de manière à ce que le nombre de paramètres soit toujours inférieur au nombre de points de mesure. Ainsi, pour le modèle qui contient 2q+5 paramètres par classe de gènes (voir équation V.20), la connectivité maximale envisageable est de 2.5. Néanmoins, il est probable qu’il existe une corrélation entre les points de mesure et que, par conséquent, le nombre maximal réel de paramètres utiles soit inférieur à 10 par classes de gènes. En conséquence, il nous semble judicieux de fixer qmax à 2 pour éviter toute surparamétrisation des modèles développés.

,

m q

eNN

m

c) Comparaison des modèles étudiés

On compare ensuite les cinq modèles selon les trois premiers critères décrits en 3.2.6.

Reproduction des profils expérimentaux

La Figure V.102 représente les écarts ^{m q, 2} pour les cinq modèles étudiés et la Figure V.103 montre les profils expérimentaux et estimés par ces modèles pour les classes de gènes 2 et 9 (les profils des autres classes de gènes se trouvent en annexe A.22). On constate en examinant ces figures que le modèle m_NC^polprésente un ^{m q, 2} nettement plus élevé que les autres modèles. En conséquence, puisque l’élimination de paramètres ne peut qu’augmenter cette valeur, la réduction paramétrique de ce modèle ne sera pas développée ci-après.

0,67

0,54 0,53 0,51 0,53

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

m=1pol m=2 m=3 m=4 m=5 mNC m^e_NN m_NC^e m_CN^e m_lin

Figure V.102 : Ecart quadratique moyen ^{m q, 2}entre profils expérimentaux et estimés pour les cinq modèles étudiés.

Par ailleurs, on observe que le bruit que présentent les profils expérimentaux après leur normalisation est relativement important dans ce stade de développement. Dès lors, sur la base de l’observation des profils estimés par les cinq modèles, la valeur de = 0.6 est préférée à 0.5 comme limite maximale pour une reproduction acceptable des profils expérimentaux.

, 2

m q^

Figure V.103 : Profils expérimental X_c( )_k et estimés X^ˆ_c^{m q,} ( )_k par les cinq modèles étudiés. Points bleus : profil expérimental X_c( )_k ; courbes : profils estimésX^ˆ_c^{m q,} ( )_k . Courbe rouge : ; courbe rose : ; courbe verte : ; courbe noire : ; courbe bleue : . (a) Classe de gènes 2 ; (b) classe de gènes 9.

NCpol

m mlin

eNN

m m^e_NC m_CN^e

Robustesse aux perturbations paramétriques

La Figure V.104 représente les valeurs de _pert^{m q, 2}, en comparaison avec celles de , pour les cinq modèles étudiés.

, 2

m q^

1,48 7,16

0,67 1,79 1,61

0 1 2 3 4 5 6 7 8

m=1pol m=2 m=3 m=4 m=5 mNC m^e_NN m^e_NC m_CN^e m_lin

Figure V.104 : Ecarts quadratiques moyens ^{m q, 2} entre profils expérimentaux et estimés et _pert^{m q, 2} entre profils expérimentaux et estimés après perturbation des paramètres, pour les cinq modèles étudiés. Barres noires:^{m q, 2}; barres grises:_pert^{m q, 2}.

On observe ici une nette différence entre le modèle linéaire qui est très sensible aux perturbations paramétriques, le modèle qui est extrêmement robuste et les trois autres modèles non linaires qui s’avèrent relativement robustes.

mlin pol

mNC

Stabilité des profils après extrapolation temporelle

Enfin, on observe le comportement des profils estimés pour les cinq modèles en les extrapolant d’une période trois fois plus longue que la période de mesure (voir section 3.2.6), soit jusqu’à τxp=τ1+3(τl–τ1), soit 14 jours. La Figure V.105 montre les valeurs de ^{m q, 2} par les cinq modèles. La Figure V.106 représente les 10 profils extrapolés estimés pour les modèles m_NC^pol et m_lin.

NCpol

m m^e_NN m^e_NC m_CN^e m_lin

Figure V.105 : Critère de stabilité ^{m q, 2} pour les cinq modèles étudiés.

On constate que le modèle est le modèle plus stable alors que, pour les 3 autres modèles non linéaires, les profils extrapolés dépassent un peu les profils avant extrapolation.

Pour le modèle linéaire toutefois, la valeur de

NCpol

m

, 2

m q^ pour dépasse de loin toutes les autres, de plusieurs ordres de grandeur, en accord à ce qui a été observé au point 2.2.5 de ce chapitre.

Cela est de nouveau dû au comportement divergent que présentent les profils estimés par ce modèle et nous pousse à abandonner ce modèle pour la suite (Figure V.106b). Par conséquent, sa réduction paramétrique ne sera pas développée ci-après.

a b

Figure V.106 : Profils estimés par les modèles m_NC^pol(a) et m_lin(b) jusqu’à 14 jours

Intersection des modèles conservés m^e_NN, m^e_NC et m_CN^e

Les trois modèles restants , et s’avèrent être les meilleurs candidats pour modéliser l’évolution temporelle de l’expression des gènes de la drosophile. Ces réseaux ont une connectivité de q=2, ils contiennent donc à ce stade 10x2=20 connexions. On constate que ces trois réseaux ne partagent que 4 connexions (20%) de signes différents dans les trois réseaux. Ce faible sous-réseau d’intersection est représenté à la Figure V.107. En outre, des 100 connexions possibles, 58 (58%) sont absentes dans les trois réseaux. Ainsi, ces trois solutions s’accordent sur 62% des connexions possibles.

eNN

m m^e_NC m_CN^e

Figure V.107 : Intersection des réseaux de régulation des modèles m = 2,3,4, sans tenir compte des signes des interactions. Figure générée avec la suite logicielle Maltab

d) Réduction paramétrique

Les cinq méthodes de réduction paramétrique sont alors appliquées aux trois modèles conservés , et . Les 15 solutions réduites sont ensuite étudiées selon les quatre critères décrits à la section 3.2.6.

eNN

m m_NC^e m_CN^e

Modèle m^e_NN

La Figure V.108 montre l’évolution des critères (a), (b) et (c) en fonction du nombre de paramètres restant dans le modèle, lors de la réduction paramétrique.

, 2,

eNN

m q r

 ^ _pert^meNN,q2,r

, 2,

eNN

m q r

 ^

a b c

Figure V.108 : Evolution des critères d’évaluation pendant les réductions paramétriques pour le modèle m^e_NN, q=2. Courbe bleue : ; courbe noire r_v r_ ; courbe rouge : ; courbe

verte : ; courbe rose : . (a) ; (b) ; (c) .

rp r rF^ r_F^ ^meNN,q2,r _pert^meNN,q2,r ^meNN,q2,

On observe clairement que les meilleurs résultats sont obtenus avec les méthodes r_v et r_, qui éliminent toutes deux les paramètres un à un. La méthode r_ permet d’éliminer le plus de paramètres tandis que la méthode mène à la solution réduite la plus robuste et la plus stable. Les solutions réduites des méthodes et

rv

rp r_F^ comportent plus de paramètres, pour une même valeur de et une valeur de plus élevée. Elles sont en revanche légèrement plus robustes aux perturbations paramétriques.

, 2,

eNN

m q r

 ^ ^meNN,q2,r

La Figure V.109 représente les profils estimés par les solutions réduites des cinq méthodes pour les classes de gènes 1 et 8. Les profils relatifs aux autres classes de gènes se trouvent en annexe A.23. On constate que seuls les profils estimés après les réductions , r_v r_

et r_F^ sont capables de reproduire les profils expérimentaux de manière très satisfaisante.

a b Figure V.109 : Profils expérimental X_c( )_k et estimés X^ˆ_c^{m q,} ( )_k après réduction paramétrique. Points bleus : profil expérimental X_c( )_k ; courbes : profils estimésX^ˆ_c^{m q,} ( )_k . Courbe bleue : ; courbe noire r_v r_ ; courbe rouge : ; courbe verte :

; courbe rose : . (a) Classe de gènes 1 ; (b) classe de gènes 8.

rp

rF^ r_F^

Enfin, la Figure V.110 montre le nombre de paramètres (Figure V.110a) et de connexions (Figure V.110b) encore présents dans le réseau de régulation après les cinq réductions.

a

90

72 68

85 77 79

0 20 40 60 80 100

,

20

16 14

19 19 18

0 5 10 15 20 25

,

b rv r_ r_p r_F^ r_F^

rv r_ r_p r_F^ r_F^

Figure V.110 : Nombre de paramètres (a) et de connexions (b) conservés dans le réseau de régulation pour et les cinq réductions étudiées. Les barres noires correspondent à la solution non réduite et les barres grises aux solutions réduites.

eNN

m

On constate que, pour une même condition < 0.6, la solution obtenue par la méthode

, 2,

eNN

m q r

 ^

r_ est la plus réduite.

Modèle m^e_NC

La Figure V.111 montre l’évolution des critères (a) et (b) et en fonction du nombre de paramètres restant dans le modèle, lors de la réduction paramétrique.

, 2,

eNC

m q r

 ^ _pert^meNC,q2,r

, 2,

eNC

m q r

 ^

a b c

Figure V.111 : Evolution des critères d’évaluation pendant les réductions paramétriques pour le modèle m^e_NC, q=2. Courbe bleue : ; r_v courbe noire r_ ; courbe rouge : ; courbe

verte : ; courbe rose : . (a) ; (b) ; (c) .

rp

rF^ r_F^ ^meNC,q2,r _pert^{mNCe ,q2,r} ^meNC,q2,r

On observe que la méthode r_ offre la solution la plus réduite, les méthodes et mènent aux solutions les plus robustes. Au regard des profils estimés par ces modèles après réduction à la Figure V.112, on constate que les solutions réduites reproduisent tous les profils avec une qualité satisfaisante. Les profils relatifs aux autres classes de gènes se trouvent en annexe A.24.

rv r_F^

a b

Figure V.112 : Profils expérimental X_c( )_k et estimés X^ˆ_c^{m q,} ( )_k après réduction paramétrique. Points bleus : profil expérimental X_c( )_k ; courbes : profils estimésX^ˆ_c^{m q,} ( )_k . Courbe bleue : ; courbe noire r_v r_ ; courbe rouge : ; courbe verte :

; courbe rose : . (a) Classe de gènes 2 ; (b) classe de gènes 3.

rp

rF^ r_F^

Enfin, la Figure V.113 montre le nombre de paramètres (Figure V.113a) et de connexions (Figure V.113b) encore présents dans le réseau de régulation après les cinq réductions.

a

60

53 51 58

53 58

45 50 55 60 65

,

20

13 11 18

13 18

0 5 10 15 20 25

,

b rv r_ r_p r_F^ r_F^ r_v r_ r_p r_F^ r_F^ Figure V.113 : Nombre de paramètres (a) et de connexions (b) conservés dans le réseau de régulation pour et les cinq réductions étudiées. Les barres noires correspondent à la solution non réduite et les barres grises aux solutions réduites.

eNC

m

On constate que, pour une même condition < 0.6, la solution obtenue par la méthode

, 2,

eNC

m q r

 ^

r_ est à nouveau la plus réduite : près de la moitié des connexions sont éliminées.

Modèle m_CN^e

La Figure V.114 montre l’évolution des critères (a), (b) et (c) en fonction du nombre de paramètres lors de la réduction paramétrique.

, 2,

CNe

m q r

 ^ _pert^{mCNe ,q2,r}

, 2,

CNe

m q r

 ^

a b c

Figure V.114 : Evolution des critères d’évaluation pendant les réductions paramétriques pour le modèle m_CN^e , q=2. Courbe bleue : ; courbe noire r_v r_ ; courbe rouge : r_p; courbe verte : r_F^ ; courbe rose : r_F^. Notons que sur ces figures, les solutions obtenues avec la méthode se confondent avec les premières solutions de la méthode r_v r_. Il en est de même pour les solutions des méthodes et r_p r_F^. (a) ; (b)

; (c) .

, 2,

CNe r

^{m q}

, 2, rt

eCN

m q r

pe ^{mCNe ,q2,r}

On observe ici que les solutions les plus réduites sont celles obtenues avec les méthodes , et

rp

rF^ r_ . En revanche les solutions réduites par ces méthodes montrent une plus grande sensibilité aux perturbations paramétriques. Seules les méthodes et parviennent à améliorer le critère de robustesse. Enfin, toutes les méthodes mènent à des solutions

rp r_F^

relativement stables, à l’exception de . La Figure V.115 représente les profils estimés par les cinq solutions réduites pour deux classes de gènes. On constate que seules les méthodes

et

rp

rv r_ sont aptes à reproduire les profils de toutes les classes de gènes. Les profils relatifs aux autres classes de gènes se trouvent en annexe A.25.

a b

Figure V.115 : Profils expérimental X_c( )_k et estimés X^ˆ_c^{m q,} ( )_k après réduction paramétrique. Points bleus : profil expérimental X_c( )_k ; courbes : profils estimésX^ˆ_c^{m q,} ( )_k . Courbe bleue : ; courbe noire r_v r_ ; courbe rouge : ; courbe verte :

; courbe rose : . (a) Classe de gènes 8 ; (b) classe de gènes 9.

rp

rF^ r_F^

Enfin, la Figure V.116 montre le nombre de paramètres (Figure V.116a) et de connexions (Figure V.116b encore présents dans le réseau de après les cinq réductions.

a

60 58

56 56 56 54

55 56 57 58 59 60 61

58

,

20 18

16 16 16 18

0 5 10 15 20 25

,

b rv r_ r_p r_F^ r_F^ r_v r_ r_p r_F^ r_F^

Figure V.116 : Nombre de paramètres (a) et de connexions (b) conservés dans le réseau de régulation pour m_CN^e et les cinq réductions étudiées. Les barres noires correspondent à la solution non réduite et les barres grises aux solutions réduites.

On constate que, pour une même condition ^{mCNe ,q2,r}< 0.6, les méthodes r_ et mènent aux solutions les plus réduites. Parmi les solutions reproduisant correctement toutes les données, celle obtenue avec la méthode

rp

r_ est donc la plus réduite.

e) Comparaison des solutions réduites optimales

Le Tableau V.6 reprend les résultats obtenus pour toutes les solutions, réduites ou non, du stade larvaire. La solution réduite optimale au sens de est ( ; ). La solution réduite optimale au sens de

, , m q r

 m_CN^e r_v pertm q r, ,



eNC

m

est ( ; ). On constate, pour ce stade de développement, que cette solution réduite est la seule qui soit réellement robuste aux perturbations paramétriques. La solution réduite optimale au sens de est ( ; ).

Enfin, la solution la plus réduite est ( ;

eNC

m r_v

, ,

m q^r m^e_NN r_v r_ ). Ces cinq solutions sont surlignées en gris dans le tableau.

m r ^{m q r, ,} pertm q r^{, ,} ^{m q r, ,} N^par N^con

NCpol

m 0,67 0,67 0,67 80 20

0,54 1,79 10,23 90 20

rv 0,59 1,26 3,44 72 16

r_ 0,59 1,35 4,92 68 14

rp 0,6 0,99 11,63 85 19

rF^ 0,59 1,04 7,51 77 19

eNN

m

rF^ 0,56 1,06 5,22 79 18

0,53 1,61 5,55 60 20

rv 0,58 0,59 10,5 53 13

r_ 0,6 2,26 7,65 51 11

rp 0,56 0,93 7,22 58 18

rF^ 0,59 1,49 6,06 53 13

eNC

m

rF^ 0,56 0,6 8,55 58 18

0,51 1,48 10,99 60 20

rv 0,49 1,87 7,4 58 18

r_ 0,55 1,8 5,02 56 16

rp 0,6 0,79 6,16 56 16

rF^ 0,58 2,01 14,15 56 16

CNe

m

rF^ 0,56 0,83 5,96 58 18

mlin 0,53 7,16 5,07E+06 30 20

Tableau V.6: Récapitulatif des solutions obtenues pour le stade larvaire. N^par : nombre de paramètres (conditions initiales comprises); N^con : nombre de connexions. Les solutions optimales pour un critère sont surlignées en gris et la valeur du critère correspondant est en gras. Les critères optimaux sont décrits au Tableau V.2.

3.3.6. Stade de pupe (métamorphose)

La classification hiérarchique des données d’expression des 4005 gènes de la drosophile pendant le stade de pupe, ou métamorphose, mène à 10 classes de gènes (voir section 3.2.3). Les profils moyens de ces classes sont alors utilisés dans la modélisation du réseau de régulation.

a) Construction algébrique des réseaux de régulation

En appliquant la méthode décrite au point 3.2.5, on construit l’architecture des réseaux pour les 5 cinq modèles étudiés. La Figure V.117a représente le pourcentage de connexions communes aux cinq modèles à chaque étape de cette construction et ce, sans tenir compte des signes attribués à ces connexions.

a b

Figure V.117 : Construction algébrique des réseaux pour les cinq modèles étudiés.

a. Evolution du pourcentage de connexions communes aux cinq modèles m en fonction de la connectivité q. b. Evolution de l’écart quadratique moyen S_c^{m q,} (c1,..., )n entre les profils estimés ^d  

d

c k

X t

 et interpolés des dérivées temporelles des profils expérimentaux en fonction de la connectivité q. Courbe rouge : ; courbe rose : ; courbe verte : ; courbe noire : ; courbe bleue : .

NCpol

m

eNN

m m^e_NC m_CN^e m_lin

On constate que l’intersection des réseaux est ici plus élevée que pour les deux stades précédents. En effet, dès q=2, plus de 30% des connexions sont partagées par les cinq modèles. La Figure V.117b représente l’évolution de l’écart quadratique moyen

, ( 1,..., )

cm q

S c n entre les profils estimés ^d  

d

c k

X t

 et interpolés des dérivées temporelles des profils expérimentaux. On constate que, comme pour les autres séries, cet écart est significativement plus grand pour le modèle que pour les autres et ce malgré l’ajout de nouvelles connexions. En outre, la meilleure reproduction de ces profils est atteinte par le modèle , qui est le modèle comprenant le plus grand nombre de paramètres.

pol

mNC

eNN

m

b) Identification de la connectivité maximale utile

Les paramètres sont alors estimés, selon la méthode décrite au point 3.2.5 pour minimiser l’écart ^{m q,} entre les profils X^ˆ_c^{m q,} ( )_k estimés par les modèle m et les profils expérimentaux X_c( )_k et ce, pour q=1,…,4. La Figure V.118 représente l’évolution de cet écart en fonction du nombre de paramètres dans chaque modèle, chaque point correspondant à une

Figure V.118 : Evolution de l’écart quadratique moyen ^{m q,} entre les profils ˆ_c^{m q}, ( )_k

X  estimés et les profils expérimentaux X_c( )_k pour les cinq modèles étudiés

rose ; co

On constat aine omm lles des séries précédentes, à savoir (1) que modèle reste le moins bon et le modèle le meilleur, (2) que, pour le même

e c

On compare ensuite les cinq modèles à q=2, selon les trois premiers critères d’évaluation décr

des profils expérimentaux La Figure V.119 représente les écarts

en fonction du nombre s de paramètres des modèles. Courb uge :m_NC^pol ; courbe ; courbe verte :m^e_NC ; courbe noire :m_C^e urbe bleue :m_lin.

e cert s tendances c unes avec ce

e ro

:m^e_{NN N}

le m_NC^pol m^e_NN

nombre de paramètres, le modèle m_CN^e est toujours meilleur que le modèle m^e_NC. Ensuite, on observe que l’écart ^{m q,} ne diminue très légèrement pour q>2 et ce, pour tous les modèles. Par ailleurs, il est à noter que ce stade n ontient que 18 points de mesures. Dès lors, pour éviter toute indétermination du problème menant à la surparamétrisation des modèles développés, il convient de limiter le nombre de paramètres. Comme pour le stade larvaire, qmax est fixé à 2.

c) Comparaison des modèles étudiés its au point 3.2.6.

Reproduction

, 2

m q^ pour les cinq modèles étudiés.

0,6 0,56

0,38 0,42 0,41 0,48

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

m=1 m=2 m=3 m=4 m=5

NCpol

m m^e_NN m^e_NC m_CN^e m_lin

Figure V.119 : Ecart quadratique moyen ^{m q, 2} entre rofils expérimentaux et p estimés pour les cinq modèles étudiés

On constate que le modèle m_NC^pol présente un ^m,q2 plus élevé que les autres modèles t que les profils estimés par celui-ci s’avèrent en effet incapables de suivre les tendances de e

tous les profils expérimentaux. En conséquence, la réduction paramétrique de ce modèle ne sera pas développée ci-après. Enfin, la valeur de ^{m q, 2} = 0.5 est choisie comme limite maximale pour une reproduction acceptable des profils expérimentaux. La Figure V.120 montre les profils expérimentaux et estimés par ces les pour la classe de gènes 8 (les profils des autres classes de gènes se trouvent en annexe A.26).

modè

Figure V.120 : Profils expérimental X_c( )_k et estimés X^ˆ_c^{m q,} ( )_k par les cinq modèles étudiés pour la classe de gènes 8. Points bleus : profil expérimental X_c( )_k ; courbes : profils estimésX^ˆ_c^{m q,} ( )_k . Courbe roug ^ol_C ; courbe ro ; courbe verte :m^e_NC ; courbe noire :m_CN^e ; courbe bleue :m_lin.

e se

Robustesse aux perturbations paramétriques La Figure V.121 représente les valeurs de

:m_N^p :m^e_NN

, 2 pertm q

 ^ , en comparaison avec celles de es modèles est extrêmement

, 2

m q^

robuste

, pour les cinq modèles étudiés. On observe ici que l m_NC^pol

et qu’ensuite le modèle m_NC^e est plus robuste que les autres.

1,57 1,31

0,56 0,71

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 1,67

pol

mNC m_NN^e m_NC^e m_CN^e m_lin

Figure V.121 : Ecarts quadratiques moyens ^{m q, 2} entre profils expérimentaux et estimés et _pert^{m q, 2} entre profils pérex imentaux et estimés après perturbation des paramètres, pour les cinq modèles étudiés. Barres noires:^{m q, 2}; barres grises:_pert^{m q, 2}.

Stabilité des profils après extrapolation temporelle

nfin, on observe le comportement des profils estimés par les cinq modèles en les

extrapo esure (voir section 3.2.6),

soit jus E

lant d’une période trois fois plus longue que la période de m qu’à τxp=τ1+3(τl–τ1), soit 21 jours. La

Figure V.122 montre, les valeurs de ^{m q, 2} par les cinq modèles.

NCpol

m m^e_NN m^e_NC m_CN^e m_lin 2 : Critère de stabilité ^{m q, 2} p

Figure V.12 our les cinq modèles étudiés

On constate les èle est le

odèle plus stable alors que, pour les 3 autres modèles non linéaires,

même tendances que pour le stade larvaire, à savoir que le mod m_NC^pol

les profils extrapolés m

dépassent les profils avant extrapolation. En accord avec à ce qui a été observé lors de l’étude du modèle linéaire, la valeur de ^{m q, 2} pour celui-ci dépasse toutes les autres, de plusieurs ordres de grandeur. Cela est de nouveau dû au comportement divergent que présentent les profils estimés par ce modèle et nous pousse à abandonner ce modèle pour la suite. Par conséquent, sa réduction paramétrique ne sera pas développée ci-après. La Figure V.123 représente les profils estimés extrapolés pour m_NC^pol et m_lin.

a b

Figure V.123 : Profils estimés par les modèles (a) et (b) jusqu’à τxp=21 jours.

In

Les trois modèles restants , et s’avèrent être les meilleurs candidats. Ces

NCpol

m m_lin

tersection des modèles conservés m^e_NN, m^e_NC et m_C^e_N

NNe

m m^e_NC m_CN^e

réseaux ont une connectivité de q=2, ils contiennent donc à ce stade 10x2=20 connexions. On

constate que ces trois réseaux partagent 7 connexions (35%) de signes différents dans les trois réseaux. Ce sous-réseau d’intersection est représenté à la Figure V.124. En outre, des 100 connexions possibles, 64 (64%) sont absentes dans les trois réseaux. Ainsi, ces trois solutions s’accordent sur 71 % des connexions possibles.

Figure V.124 : Intersection des réseaux de régulation des modèles m = 2,3,4, sans tenir compte des signes des interactions. Figure obtenue avec la suite logicielle Matlab.

Les méthodes de réduction paramétrique sont appliquées aux modèles et e étudiées selon les quatre critères décrits en 3.2.6.

La Figure V.125 montre l’évolution des critères (a), (b) et

réduction param

d) Réduction paramétrique

eNN

m , mNC^e CNe

m . Les 15 solutions réduites sont ensuit Modèle m^e_NN

, 2, e NNe

m q r

 ^ _pert^mNN,q2,r

e , mNN q

 ^2,r(c) en fonction du nombre de paramètres restant dans le modèle, lors de la étrique.

a b c

Figure V.125 : Evolution des critères d’évaluation pendant les réductions paramétriques pour le modèle m^e_NN, q=2. Courbe bleue : r_v; courbe noire r_ ; courbe rouge : r_p; courbe verte : r_F^ ; courbe rose : r_F^. (a) ^meNN,q2,r; (b) _pert^meNN,q2,r; (c) ^meNN,q2,r.

On observe que la méthode r_ mène à la solution la plus réduite, la plus robuste et la plus stable. A l’opposé, la méthod r_p mène à la solution la moins réduite et la moins stable. On constate ensuite, à la Figure V.126, que seuls les profils estimés après la réduction sont capables de reproduire la plupart des profils expérimentaux de manière satisfaisante. Les profils des autres classes de gènes se trouvent en annexe A.27.

e

a b

Figure V.126 : Profils expérimental X_c( )_k et estimés X^ˆ_c^{m q,} ( )_k après réduction exp

paramétrique. Points bleus : profil érimental X_c( )_k ; courbes : profils estimésX^ˆ_c^{m q,} ( )_k . Courbe bleue : r_v; courbe noire r_ ; cour uge : r_p; courbe verte :

rF^ ; cour : r_F^. (a) Classe d gènes 5 ; (b) classe de gènes 7.

be ro be rose

nfin, la Figure V.127 montre le nombre de paramètres (a) et de connexions (b) encore

e

E

présents dans le réseau de régulation après les cinq réductions.

a

90

71 63

85 77 73

0 20 40 60 80 100

,

20 15

12

20 18 16

0 5 10 15 20 25

,

b Figure V.127 : Nombre de paramètres (a) et de connexions (b) conservés dans le réseau de régulation pour m_NN^e et les cinq réductions étudiées. Les barres noires correspondent à la solution non réduite et les barres grises aux solutions réduites.

n constate que, pour une même condition < 0.5, la solution obtenue par la

O ^meNN,q2,r

méthode r_ est la plus réduite.

rv r_ r_p r_F^ r_F^ r_v r_ r_p r_F^ r_F^