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Stabilization under local and global constraints

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Academic year: 2021

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(1)Stabilization under local and global constraints Humberto Stein Shiromoto. To cite this version: Humberto Stein Shiromoto. Stabilization under local and global constraints. Signal and Image processing. Université de Grenoble, 2014. English. �NNT : 2014GRENT017�. �tel-01023554v3�. HAL Id: tel-01023554 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01023554v3 Submitted on 19 May 2016. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) THÈSE Pour obtenir le grade de. DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE GRENOBLE Spécialité : Automatique et Productique Arrêté ministériel : 7 août 2006. Présentée par. Humberto STEIN SHIROMOTO Thèse dirigée par Christophe PRIEUR et codirigée par Vincent ANDRIEU préparée au sein du Laboratoire GIPSA-lab dans l'École Doctorale Electronique Electrotechnique Automatique et Traitement du Signal. Stabilisation sous contraintes locales et globales Rapporteurs :. Antoine CHAILLET Maître de Conférences, Supélec. Andrew TEEL Professeur, University of California at Santa Barbara. Thèse soutenue publiquement le 23 juin 2014, devant le jury composé de :. Vincent ANDRIEU Chargé de Recherche, Université Claude Bernard Lyon 1. Andrea BACCIOTTI Professeur, Politecnico di Torino. Antoine CHAILLET Maître de Conférences, Supélec. Laurent PRALY Directeur de Recherche, MINES ParisTech. Christophe PRIEUR Directeur de Recherche, GIPSA-lab. Sophie TARBOURIECH Directrice de Recherche, LAAS-CNRS. Luca ZACCARIAN Directeur de Recherche, LAAS-CNRS.

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(12) : ;( ) 0 3 0 A (; 0 6 5 < 5 + , 9 3 6 * ( 3 ( 5 + . 3 6 ) ( 3 * 6 5 : ; 9 ( 0 5 ; :. ’—Ž›Œ˜——ŽŒ·ǰ Š—’œ šžŽ Š—œ •Žœ ›·’˜—œ ˜ù •Ž ™Ž’ Š’— —Ž ™Šœ ŸŠ•Š‹•Žǰ ’• Žœ Š—Š•¢œ· Œ˜––Ž— •Š –Žœž›Ž Ž •ȂŽ—œŽ–‹•Ž Žœ œ˜•žȬ ’˜—œ Œ‘Š—Ž •Ž •˜— •Žœ œ˜•ž’˜—œ ž œ¢œ¸–Ž ’—Ž›Œ˜——ŽŒ·Dz. Ȋ Ž ‘Š™’›Ž Ś ™›˜™˜œŽ •Š œž’Ž Žœ ›ŠŸŠž¡ ™›·œŽ—·œ Š—œ •Žœ Œ‘Š™’›Žœ ™›·Œ·Ž—œ Ž ›ŽŒžŽ’••Ž šžŽ•šžŽ ˜‹œŽ›ŸŠ’˜—œ ꗊ•ŽœDz. Ȋ Ž ‘Š™’›Ž  ›Š™™Ž••Ž •Ž Œ˜—Ž¡Ž –Š‘·–Š’šžŽ Ž •Žœ œž“Žœ Ž •Š ‘·˜›’Ž Ž •Š œŠ‹’•’· Ž ¢Š™ž—˜Ÿǯ. ſǯƁ. џќяљѼњюѡіўѢђ ѐќћѠіёѼџѼђ. ſǯƁǯſ ѕюѝіѡџђ ƀ. ž ę• Žœ Š——·Žœǰ •Š ›ŽŒ‘Ž›Œ‘Ž Ž •Š œŠ‹’•’· Žœ œ¢œ¸–Žœ ¢—Š–’šžŽœ —˜—Ȭ•’—·Š’›Žœ Š Œ˜—ž’ ¥ Žœ —˜–‹›Žž¡ ˜ž’•œ ™˜ž› •Š Œ˜—ŒŽ™’˜— Žœ •˜’œ Ž Œ˜––Š—Žœ Šœ¢–™˜’šžŽ–Ž— œŠ‹’•’œŠ—Žœǯ Žœ ŽŒ‘—’šžŽœ —·ŒŽœœ’Ž— Žœ œ›žŒž›Žœ ™Š›’Œž•’¸›Žœ œž› •Žœ œ¢œ¸–Žœǯ Ž•˜— •Žœ ‘¢Ȭ ™˜‘¸œŽœǰ •Ž Œ˜—ŒŽ™Žž› ™Žž ž’•’œŽ› ’ě·›Ž—Žœ Š™™›˜Œ‘Žœ Ž••Žœ šžŽ •Ž ›Š— Š’— ǻ ›˜—Š›ǰ Ž™ž•Œ‘›Žǰ Š— Šœ’—ǰ ŗşşşǼǰ ‹ŠŒ”œŽ™™’— ǻ›ŽŽ–Š— Š— ˜”˜˜Ÿ’°ǰ ŘŖŖŞǼ ˜ž ˜› Š›’— ǻŠ£Ž—Œ Š— ›Š•¢ǰ ŗşşŜǼǯ Ž™Ž—Š—ǰ Ž— ™›·œŽ—ŒŽ Žœ ¢—Š–’šžŽœ —˜— œ›žŒž›·Žœǰ ŒŽ›Š’—Žœ Ž ŒŽœ –·‘˜Žœ —Ž ™ŽžŸŽ— ™Šœ ¹›Ž Š™™•’ŒŠ‹•Žœǯ ˜ž› Žœ œ¢œ¸–Žœ ˜ù •Š ŽŒ‘—’šžŽ Ž œ¢—‘¸œŽ ™Š› ‹ŠŒ”œŽ™™’— —Ž ™Žž ™Šœ ¹›Ž Š™™•’šž·Ž ™˜ž› ›Ž—›Ž •Ȃ˜›’’—Ž •˜‹Š•Ž–Ž— Šœ¢–™Ȭ ˜’šžŽ–Ž— œŠ‹•Žǰ •Žœ Š™™›˜Œ‘Žœ ™›˜™˜œ·Žœ Š—œ ǻŽ’— ‘’›˜–˜˜ǰ —›’Žžǰ Š— ›’Žž›ǰ ŘŖŗŗǰ ŘŖŗŘǰ ŘŖŗř‹Ǽ ™ŽžŸŽ— ›·œ˜ž›Ž •Ž ™›˜‹Ȭ •¸–Ž Ž— –·•Š—ŽŠ— ž—Ž •˜’ Ž Œ˜––Š—Ž ™Š› ‹ŠŒ”œŽ™™’— šž’ ›Ž— ž— Ž—œŽ–‹•Ž Œ˜–™ŠŒ •˜‹Š•Ž–Ž— ŠĴ›ŠŒ’ ŠŸŽŒ ž—Ž Œ˜––Š—Ž •˜Ȭ ŒŠ•Ž–Ž— œŠ‹’•’œŠ—Žǯ Š› ‘¢™˜‘¸œŽǰ ŒŽ Ž—œŽ–‹•Ž Žœ Œ˜—Ž—ž Š—œ •Ž ‹Šœœ’— ȂŠĴ›ŠŒ’˜— ž œ¢œ¸–Ž Ž— ‹˜žŒ•Ž Ž›–·Ž ž Œ˜—›â•Žž› •˜ŒŠ•ǯ Ž ™›’—Œ’™Š• ›·œž•Š Žœ ž—Ž Œ˜—ŒŽ™’˜— Ž •˜’ Œ˜––Š—Ž ™˜ž› •Žœ œ¢œȬ ¸–Žœ ‘¢‹›’Žœ šž’ Š ™›’˜›’ —Ž ’œ™˜œŽ— ™Šœ Ȃž—Ž •˜’ Ž Œ˜––Š—Ž šž’ œŠ‹’•’œŽ •˜‹Š•Ž–Ž— •Ȃ˜›’’—Žǯ ŽĴŽ –·‘˜˜•˜’Ž Ž Œ˜––Š—Ȭ Žœ ‘¢‹›’Žœ Žœ –Š’—Ž—Š— ‹’Ž— Œ˜——žŽ ǻ›’Žž›ǰ ŘŖŖŗǼǰ Ž Ž••Ž Š ·Š•ŽȬ. .

(13) . / :;,05 :/09646;6. –Ž— ·· Š™™•’šž·Ž ™˜ž› Žœ œ¢œ¸–Žœ šž’ —Ž œŠ’œ˜— ™Šœ •Š Œ˜—’Ȭ ’˜— ’ Ž ›˜Œ”ŽĴ ǻǻ ˜Ž‹Ž•ǰ ›’Žž›ǰ Š— ŽŽ•ǰ ŘŖŖşǼ Ž ǻ Žœ™Š—‘Šǰ ’‹Ž›£˜—ǰ Š— ˜›œŽǰ ŘŖŖŚǼǼǯ ˜’œ Ž Œ˜––Š—Žœ ‘¢‹›’Žœ ™ŽžŸŽ— ŠŸ˜’› •ȂŠŸŠ—ŠŽ Ž ›Ž—›Ž •Ȃ·šž’•’‹›Ž ž œ¢œ¸–Ž ›˜‹žœŽ Šœ¢–™˜Ȭ ’šžŽ–Ž— œŠ‹•Ž ™Š› ›Š™™˜› Šž ‹›ž’ Ž •Š –Žœž›Ž Ž Žœ Ž››Žž›œ Ž ŠŒȬ ’˜——Žž›œ ǻǻ›’Žž›ǰ ˜Ž‹Ž•ǰ Š— ŽŽ•ǰ ŘŖŖŝǼ Ž ǻ ˜Ž‹Ž• Š— ŽŽ•ǰ ŘŖŖŜǼǼ Ž— ‹˜žŒ•Ž Ž›–·Žǯ • Žœ ·Š•Ž–Ž— ™›·œŽ—· ž—Ž ™›˜Œ·ž›Ž ™˜ž› Œ˜—Ȭ ŒŽŸ˜’› ž—Ž •˜’ Ž Œ˜––Š—Ž Œ˜—’—žŽ šž’ œŠ’œŠ’ Žœ Œ˜—›Š’—Žœ •˜Ȭ ŒŠ•Žœ œž› •Ž ‹Šœœ’— ȂŠĴ›ŠŒ’˜— ž œ¢œ¸–Ž Ž— ‹˜žŒ•Ž Ž›–·Žǯ ȱŽœ ›ŠŸŠž¡ œ’–’•Š’›Žœ Ž¡’œŽ— Š—œ •Ž Œ˜—Ž¡Ž Žœ •˜’œ Ž Œ˜–Ȭ –Š—Žœ Œ˜—’—žŽœ ǻǻ—›’Žž Š— ›’Žž›ǰ ŘŖŗŖǼ Ž ǻŠ— Ž Š•ǯǰ ŘŖŖŗǼǼǯ ˜—›Š’›Ž–Ž— ¥ Žž¡ǰ ™˜ž› •Š Œ•ŠœœŽ Žœ œ¢œ¸–Žœ Œ˜—œ’·›·œ Š—œ ŒŽ Œ‘Š™’›Žǰ Š ™›’˜›’ ŠžŒž—Ž Œ˜––Š—Ž •˜‹Š•Ž–Ž— œŠ‹’•’œŠ—Ž Œ˜—’—žŽ Ž¡’œŽǯ ˜Ž£ šžȂ’Œ’ ’• Žœ Š›Žœœ· ž— ™›˜‹•¸–Ž ’ě·›Ž— šžŽ ǻŠ¢‘Ž ǰ Š—Ž•’ŒŽǰ Š— ŽŽ•ǰ ŘŖŗŗǼǰ ˜ù ž—Ž ˜—Œ’˜— œ¢—Ž›’šžŽ ¢Š™ž—˜Ÿ Ž ž—Ž •˜’ Ž Œ˜––Š—Ž œ˜— Œ˜—³žŽœ ™Š› ‹ŠŒ”œŽ™™’—ǯ. ёѼђ ёђ љю ѠќљѢѡіќћǯ Š Œ•ŠœœŽ Ž œ¢œ¸–Žœ Œ˜—œ’·›·œ Žœ ˜——·Ž ™Š› •Ȃ·šžŠ’˜—. Σh (u(t)).   x˙ 1 (t)  x˙ (t) 2. =. f1 (x1 (t), x2 (t)) + h1 (x1 (t), x2 (t), u(t)). =. f2 (x1 (t), x2 (t))u(t) + h2 (x1 (t), x2 (t), u(t)),. ǻŘǯŗǼ. ˜—ǰ ™˜ž› ˜žœ •Žœ t ∈ Rǰ (x1 (t), x2 (t)) ∈ Rn−1 × R Žœ •Š ŸŠ›’Š‹•Ž Ȃ·Š Ž u(t) ∈ R Žœ •ȂŽ—›·Žǯ  ™Š›’› Ȃ’Œ’ǰ •Žœ Š›ž–Ž—œ t œŽ›˜— ˜–’Žœǯ Žœ ˜—Œ’˜—œ šž’ ·Œ›’ŸŽ— •Š ¢—Š–’šžŽ Ž ǻŘǯŗǼ œ˜— f1. ∈. C1 (Rn−1 × R, Rn−1 ),. h1. ∈. C1 (Rn−1 × R × R, Rn−1 ),. f2. ∈. C1 (Rn−1 × R, R),. h2. ∈. C1 (Rn−1 × R × R, R).. Š› Š’••Žž›œǰ Ž••Žœ œŠ’œ˜— f1 (0, 0) = h1 (0, 0, 0) = 0ǰ h2 (0, 0, 0) = 0 Ž f2 (x1 , x2 ) = 0 ⇔ (x1 , x2 ) = (0, 0)ǯ. ŸŽŒ ž—Ž —˜Š’˜— ™•žœ Œ˜–™ŠŒŽǰ •Ž ŸŽŒŽž› (x1 , x2 ) ∈ Rn−1 × R. Žœ —˜· ™Š› xǰ •Š iȬ·–Ž Œ˜–™˜œŠ—Ž Ž x1 ∈ Rn−1 Žœ —˜·Ž ™Š› x1,i ǯ žŠ— h1 (x1 , x2 , u) ≡ 0 Ž h2 (x1 , x2 , u) ≡ 0ǰ •Ž œ¢œ¸–Ž ǻŘǯŗǼ Žœ —˜·. ™Š› Σ(u)ǯ.

(14) : ;( ) 0 3 0 A (; 0 6 5 < 5 + , 9 3 6 * ( 3 ( 5 + . 3 6 ) ( 3 * 6 5 : ; 9 ( 0 5 ; :. — Œ˜—œ’·›Š— •Ž œ¢œ¸–Ž Σ(u)ǰ Ž— œž™™˜œŠ— •Š œŠ‹’•’œŠ‹’•’· ž œ˜žœȬœ¢œ¸–Ž x1 ŠŸŽŒ ž—Ž •˜’ Ž Œ˜––Š—Ž ’쎛Ž—’Š‹•Ž šž’ ŸŠž £·›˜ •˜›œšžŽ œ˜— Š›ž–Ž— Žœ Šžœœ’ £·›˜ǰ •ȂŠ™™•’ŒŠ’˜— Ž •Š ™›˜Œ·Ȭ ž›Ž ™˜ž› •Š œ¢—‘¸œŽ ™Š› ‹ŠŒ”œŽ™™’— ǻŸ˜’› •Š ŽŒ’˜— Řǯŝǯŗ ™˜ž› ™•žœ Ž ›Ž—œŽ’—Ž–Ž—œǼ ˜——Ž ž—Ž •˜’œ Ž Œ˜––Š—Ž ϕb ∈ C0 (Rn 6=0 , R) šž’. ›Ž— •Ȃ˜›’’—Ž •˜‹Š•Ž–Ž— Šœ¢–™˜’šžŽ–Ž— œŠ‹•Ž ™˜ž› Σ(ϕb ) ǻ•Ž •ŽŒŽž› ’—·›Žœœ· ™Žž Œ˜—œž•Ž› ǻ ›œ’°ǰ Š—Ž••Š”˜™˜ž•˜œǰ Š— ˜”˜Ȭ ˜Ÿ’°ǰ ŗşşśǼ ™˜ž› ŠŸ˜’› ™•žœ Ž ·Š’• œž› ŒŽĴŽ Œ˜—Œ•žœ’˜—Ǽǯ Ž™Ž—Š—ǰ ™Š›ŒŽ šžŽ •Žœ ˜—Œ’˜—œ h1 Ž h2 ·™Ž—Ž— Ž •Š ŸŠ›’Š‹•Ž uǰ •Š œ¢—‘¸œŽ Ȃž—Ž •˜’œ Ž Œ˜––Š—Ž ™˜ž› ǻŘǯŗǼ Œ˜—ž’ ¥ ž—Ž ·šžŠ’˜— ’–™•’Œ’Ž Š—œ •Š ŸŠ›’Š‹•Ž ȂŽ—›·Ž ǻ•Ȃ1šžŠ’˜— ǻŘǯŘŝǼ ˜ž›—’ ž— Ž¡Ž–™•ŽǼǯ Š› Š’••Žž›œǰ Ž™ž’œ šžŽ f2 (0, 0) = 0ǰ •Š ™›˜Œ·ž›Ž ™›˜™˜œ·Ž ™˜ž››Š’ ˜—Ȭ —Ž› ž—Ž •˜’ Ž Œ˜––Š—Ž Ž••Ž šžŽ •’–|x|→0 ϕb (x) = ∞ǯ. Žœ Š’œ –˜’ŸŽ— •Ȃ’—›˜žŒ’˜— Ȃž—Ž •˜’ Ž Œ˜––Š—Ž ‘¢‹›’Ž. ™˜ž› Šœœž›Ž› •Š œŠ‹’•’· •˜‹Š•Ž Šœ¢–™˜’šžŽ Ž •Ȃ˜›’’—Ž ™˜ž› ǻŘǯŗǼ Ž— ‹˜žŒ•Ž Ž›–·Žǯ ˜ž› ŒŽ Š’›Žǰ ’• Š ·· —·ŒŽœœŠ’›Ž Ȃ’—›˜ž’›Ž •Žœ ›˜’œ ‘¢™˜‘¸œŽœ •’œ·Žœ Œ’ȬŽœœ˜žœǯ —Ž •˜’œ Ž Œ˜––Š—Ž ‘¢‹›’Ž Žœ Œ˜–™˜œ·Ž ™Š› ž— Ž—œŽ–‹•Ž Ž ’—’ŒŽœ Q Ž••Ž šžŽǰ ™˜ž› Œ‘ŠšžŽ q ∈ Qǰ Ȋ • Ž¡’œŽ ž—Ž Š–’••Ž Žœ Ž—œŽ–‹•Žœ Ž›–·œ Cq , Dq ⊂ Rn Ž••Ž šžŽ Cq ∪ Dq = Rn Ž. [. Cq = R n ;. q∈Q. Ȋ —Ž Š–’••Ž Ž ˜—Œ’˜—œ Œ˜—’—žŽœ ϕq : Rn → RDz Ȋ Žœ Š™™•’ŒŠ’˜—œ –ž•’ŸŠ•ž·Žœ gq : Rn ⇒ Q ŠŸŽŒ ™›˜™›’Ž· Ž Œ˜—Ȭ ’—ž’· Š™™›˜™›’·Žǯ Ž œ¢œ¸–Ž ǻŘǯŗǼ Ž— ‹˜žŒ•Ž Ž›–·Ž ŠŸŽŒ ž—Ž Œ˜––Š—Ž ‘¢‹›’Ž Šž›Š Žœ ¢—Š–’šžŽœ ’œŒ›¸Žœ Ž Œ˜—’—žŽœǰ œŽ•˜— •Žœ ›·’˜—œ ·Ž›Ȭ –’—·Žœ ™Š› Cq Ž Dq DZ. Σh (K ).  . x˙  q+. =. fh (x, ϕq (x)),. x. ∈. Cq ,. ∈. gq (x),. x. ∈. Dq ,. ǻŘǯŘǼ. Žœ œ˜•ž’˜—œ Ž ǻŘǯŘǼ Šž›˜— ž— Œ˜–™˜›Ž–Ž— ’œŒ›Žǰ Š—œ •Žœ ›·’˜—œ Dq ǰ Ž Œ˜—’—žœǰ Š—œ •Žœ ›·’˜—œ Cq ǯ. .

(15) . / :;,05 :/09646;6. Š‹’•’œŠ’˜— •˜ŒŠ•Žǯ Š—œ ŒŽĴŽ ‘¢™˜‘¸œŽ ǻŸ˜’› •Ȃ‘¢™˜‘¸œŽ ǻŘǯŞǼǼǰ ’• Žœ œž™™˜œ· •ȂŽ¡’œŽ—ŒŽ Ȃž—Ž •˜’ Ž Œ˜––Š—Ž ‘¢‹›’Ž ™˜ž› •ŠšžŽ••Ž •Ȃ˜›’’—Ž Žœ •˜ŒŠ•Ž–Ž— Šœ¢–™˜’šžŽ–Ž— œŠ‹•Ž ™˜ž› •Ž œ¢œ¸–Ž ǻŘǯŗǼ ‹˜žŒ•·ǯ Š› Š’••Žž›œǰ ’• Žœ œž™™˜œ· •ȂŽ¡’œŽ—ŒŽ Ȃž—Ž Š–’••Ž Ž ˜—Œ’˜—œ Ž ¢Š™ž—˜Ÿ šž’ ·Œ›˜’œœŽ— •Ž •˜— •Žœ œ˜•ž’˜—œ ž œ¢œ¸–Ž ‹˜žŒ•·ǯ Š‹’•’œŠ’˜— ž œ˜žœȬœ¢œ¸–Ž x1 Ž ‹˜›—Žœ œž› •Žœ ˜—Œ’˜— h1 Ž h2 ǯ Š—œ ŒŽĴŽ ‘¢™˜‘¸œŽ ǻ˜’› •Ȃ‘¢™˜‘¸œŽ ŘǯŗŖǼ ’• Žœ œž™™˜œ· •ȂŽ¡’œŽ—ŒŽ Ȃž—Ž •˜’ Ž Œ˜––Š—Ž ™˜ž› ›Ž—›Ž •Ȃ˜›’’—Ž •˜‹Š•Ž–Ž— Šœ¢–™˜’šžŽȬ –Ž— œŠ‹•Ž ™˜ž› •Ž œ˜žœȬœ¢œ¸–Ž x1 Ž Σ ‹˜žŒ•·ǯ • Žœ Šžœœ’ œž™Ȭ ™˜œ· šžŽ •Žœ ˜—Œ’˜—œ h1 ǰ h2 Ž ∂h1 Ȧ∂x2 œ˜— ‹˜›—·Žœ ™Š› ž—Ž ˜—ŒȬ ’˜— Œ˜—’—žŽ Ψ šž’ —Ž ·™Ž—Ž ™Šœ Ž •Š ŸŠ›’Š‹•Ž Ž •ȂŽ—›·Ž uǯ Š› Š’••Žž›œǰ •Š ·›’Ÿ·Ž Ž •Š ˜—Œ’˜— Ž ¢Š™ž—˜Ÿ ž œ˜žœȬœ¢œ¸–Ž x1 Ž Σh ‹˜žŒ•· Š—œ •Š ’›ŽŒ’˜— Ž h1 Žœ œž™™˜œ·Ž ‹˜›—·Ž Ž Ž••Ž ‹˜›—Ž —Ž ·™Ž—Ž ™Šœ Ž •ȂŽ—›·Ž uDz —Œ•žœ’˜—ǯ Š—œ ŒŽĴŽ ‘¢™˜‘¸œŽ ǻŸ˜’› •Ȃ‘¢™˜‘¸œŽ ŘǯŗŘǼǰ ’• Žœ œž™™˜œ· šžȂž— Ž—œŽ–‹•Ž Œ˜–™ŠŒ Žœ ’—Œ•žœ Š—œ •Ž ‹Šœœ’— ȂŠĴ›ŠŒ’˜— Ž ǻŘǯŗǼ ‹˜žŒ•· ŠŸŽŒ •Š Œ˜––Š—Ž ‘¢‹›’Ž •˜ŒŠ•Ž–Ž— œŠ‹’•’œŠ—Žǯ. ȂŠ™›¸œ •Ȃ‘¢™˜‘¸œŽ Ž •Š œŠ‹’•’œŠ’˜— ž œ˜žœȬœ¢œ¸–Ž x1 Ž •Žœ ‹˜›—Žœ œž› •Žœ ˜—Œ’˜—œ h1 Ž h2 ǰ ’• Žœ ˜‹Ž—ž •Ž ™›Ž–’Ž› ›·œž•Šǯ Ž ›·œž•Š Žœ ·—˜—Œ· Š—œ •Š ›˜™˜œ’’˜— ŘǯŗŚ Ž ’• Œ˜—ŒŽ›—Ž •ȂŽ¡’œŽ—ŒŽ Ȃž—Ž •˜’ Ž Œ˜––Š—Ž ™˜ž› •ŽšžŽ• ž— Ž—œŽ–‹•Ž Œ˜–™ŠŒ Žœ ™›ŠȬ ’šžŽ–Ž— •˜‹Š•Ž–Ž— Šœ¢–™˜’šžŽ–Ž— œŠ‹•Ž ™˜ž› •Ž œ¢œ¸–Ž ǻŘǯŗǼ ‹˜žŒ•·ǯ Ž ›·œž•Š šž’ œž’ Œ˜—ŒŽ›—Ž •Ž –·•Š—Ž Ž—›Ž ŒŽĴŽ •˜’ Ž Œ˜–Ȭ –Š—Ž ŠŸŽŒ •Š Œ˜––Š—Ž ‘¢‹›’Ž •˜ŒŠ•Ž–Ž— œŠ‹’•’œŠ—Žǯ Ž ›·œž•Š Œ˜—ŒŽ›—Ž •Š Œ˜—œ›žŒ’˜— Ȃž—Ž •˜’ Ž Œ˜––Š—Ž ‘¢‹›’Žǯ ŽĴŽ Œ˜—Ȭ œ›žŒ’˜— Žœ ’••žœ›·Ž Š—œ •Š ꐞ›Ž Œ’ȬŽœœ˜žœ ǻŸ˜’› Šžœœ’ ŘǯŗǼǯ ŸŽŒ ŒŽĴŽ Š™™›˜Œ‘Žǰ •Š Œ˜––Š—Ž šž’ œŠ‹’•’œŽ •˜‹Š•Ž–Ž— •ȂŽ—œŽ–‹•Ž Œ˜–™ŠŒ Žœ ž’•’œ·Ž Ž— Ž‘˜›œ Ž •Š ›·’˜— ›˜žŽ Ž •Š Œ˜––Š—Ž šž’ œŠ‹’•’œŽ •˜ŒŠ•Ž–Ž— •Ȃ˜›’’—Ž Žœ ž’•’œ·Ž Š—œ •Š ›·’˜— ‹•Žžǯ Š› Œ˜—Ȭ œ·šžŽ—ŒŽǰ ™˜ž› Œ‘ŠšžŽ Œ˜—’’˜— ’—’’Š• •Š Œ˜–™˜œŠ—Ž x Ž •Š œ˜•ž’˜— Œ˜—ŸŽ›Ž›Š ŸŽ›œ •Ȃ˜›’’—Žǯ ˜— •Š œŠ‹’•’· Šœ¢–™˜’šžŽ •˜‹Š•Ž œž’ǯ Š—œ •Š œŽŒ’˜— œž’ŸŠ—Žǰ ’• Žœ Šžœœ’ ™›˜™˜œ· ž—Ž Š™™›˜Œ‘Ž ™˜ž› •Š.

(16) : ;( ) 0 3 0 A (; 0 6 5 < 5 + , 9 3 6 * ( 3 ( 5 + . 3 6 ) ( 3 * 6 5 : ; 9 ( 0 5 ; :. x2 C2,l Ω=bℓ (Vl ) D2,l C1,l D1,l. Ω=cℓ (Vl ). -PN\YL ! 0SS\Z[YH[PVU KL S»HWWYVJOL WYVWVZtL. œ¢—‘¸œŽ Ȃž—Ž Œ˜––Š—Ž šž’ œŠ‹’•’œŽ •˜ŒŠ•Ž–Ž— •Ȃ˜›’’—Ž œ˜žœ Žœ Œ˜—›Š’—Žœ œž› •Ž ‹Šœœ’— ȂŠĴ›ŠŒ’˜—ǯ Žœ —˜—Ȭ•’—·Š›’·œ Ž fh œ˜— Š™™›˜¡’–·Žœ ™Š› ž— Ž—œŽ–‹•Ž Ž –ŠȬ ›’ŒŽœ Ž •Ž œ¢œ¸–Ž Σh Žœ ›Ž˜›–ž•· Ž— ˜—Œ’˜— Ȃž—Ž ’—Œ•žœ’˜— ’Ȭ ·›Ž—’Ž••Ž •’—·Š’›Žǰ Š—œ ž— Ÿ˜’œ’—ŠŽ Ž •Ȃ˜›’’—Žǯ ŽĴŽ Š™™›˜Œ‘Ž œ’–™•’ęŽ •Š œ¢—‘¸œŽ –Š’œ ŒŽĴŽ –·‘˜Ž Œ›˜’ Ž¡™˜—Ž—’Ž••Ž–Ž— Ž— ˜—Œ’˜— ž —˜–‹›Ž Ž ŸŠ›’Š‹•Žœ Ž Žœ ·šžŠ’˜—œǯ Ž ›·œž•Š ™›’—Œ’™Š• Ž ŒŽĴŽ Š™™›˜Œ‘Ž Žœ ™›·œŽ—· Š—œ •Š ›˜™˜Ȭ œ’’˜— ŘǯŘř ˜ù ’• Žœ ˜——· Žœ Œ˜—’’˜—œ œž› •Š ˜›–Ž Ȃ’—·Š•’·œ –Š›’Œ’Ž••Žœ ™˜ž› •Š œ¢—‘¸œŽ Ȃž—Ž Œ˜––Š—Ž •˜ŒŠ•Ž šž’ œŠ’œŠ’ Žœ Œ˜—›Š’—Žœ œž› •Ž ‹Šœœ’— ȂŠĴ›ŠŒ’˜—ǯ •žœ ™›·Œ’œ·–Ž—ǰ ŒŽĴŽ Œ˜—›Š’—Ž Žœ •Ȃ’—Œ•žœ’˜— Ž •ȂŽ—œŽ–‹•Ž ™›Š’šžŽ–Ž— •˜‹Š•Ž–Ž— Šœ¢–™˜’šžŽȬ –Ž— œŠ‹•Ž ™˜ž› ǻŘǯŗǼ ‹˜žŒ•·ǰ ˜——· ™Š› •Š ›˜™˜œ’’˜— ŘǯŗŚǯ. ſǯƁǯƀ ѕюѝіѡџђ Ɓ. Ȃž’•’œŠ’˜— Žœ Š’—œ ȂŽ—›·ŽȬœ˜›’Ž —˜—Ȭ•’—·Š’›Žœ ™˜ž› •ȂŠ—Š•¢œŽ Ž •Š œŠ‹’•’· Žœ œ¢œ¸–Žœ ’—Ž›Œ˜——ŽŒ·œ Š ·· ’—›˜ž’Ž ™Š› Š–Žœ Š—œ ǻŠ–Žœǰ ŗşŜŜǼ Ž— Œ˜—œ’·›Š— ž— œ¢œ¸–Ž Œ˜––Ž ž— ˜™·›ŠŽž› ȂŽ—›·ŽȬœ˜›’Žǯ Š Œ˜—’’˜— šž’ Šœœž›Ž •Š œŠ‹’•’·ǰ Š™™Ž•·Ž ‘·˜›¸–Ž Žœ ™Ž’œ Š’—œǰ Žœ ‹Šœ·Ž œž› •Ž ™›’—Œ’™Ž Ž •Š Œ˜—›ŠŒ’˜—ǯ. x1. .

(17) . / :;,05 :/09646;6. ˜—Š Š ’—›˜ž’ Š—œ ǻ˜—Šǰ ŗşŞşǼ ž— —˜žŸŽŠž Œ˜—ŒŽ™ Ž Š’— •’Š— •ȂŽ—›·Ž ¥ •Ȃ·Š ž œ¢œ¸–Ž ǻ Ǽǯ ŽĴŽ —˜’˜— •’Ž •Žœ Š™™›˜Œ‘Žœ Ž Š–Žœ Ž ¢Š™ž—˜Ÿ ǻ˜—Šǰ ŘŖŖŗǼǯ Š›ŠŒ·›’œŠ’˜—œ Ž— Ž›–Žœ Ž ’œȬ œ’™Š’˜— Ž ˜—Œ’˜—œ Ž ¢Š™ž—˜Ÿ œ˜— Šžœœ’ ™›·œŽ—·Žœ Š—œ ǻ˜—Š Š— Š—ǰ ŗşşśǼǯ Š—œ ǻ

(18) ’Š—ǰ ŽŽ•ǰ Š— ›Š•¢ǰ ŗşşŚǼǰ •Ž ™›’—Œ’™Ž Ž •Š Œ˜—›ŠŒ’˜— Žœ ž’•’œ· ŠŸŽŒ •Š —˜’˜— Ž œŠ‹’•’· Ž—›·ŽȬ·Š ȱ™˜ž› ˜‹Ž—’› ž— ‘·˜›¸–Ž Žœ ™Ž’œ Š’—œ ™˜ž› Žœ œ¢œ¸–Žœ ǯ —Ž ˜›–ž•Š’˜— Ž ŒŽ Œ›’¸›Ž Ž— Ž›–Žœ Ž ˜—Œ’˜—œ Ž ¢Š™ž—˜Ÿ ™Žž ¹›Ž ›˜žŸ·Ž Š—œ ǻ

(19) ’Š—ǰ Š›ŽŽ•œǰ Š— Š—ǰ ŗşşŜǼǯ ž Ž•¥ Ž •ȂŠ—Š•¢œŽ Ž •Š œŠ‹’•’·ǰ •Ž ‘·˜›¸–Ž Žœ ™Ž’œ Š’—œ ™Žž ·Š•Ž–Ž— ¹›Ž ž’•’œ· ™˜ž› •Š Œ˜—ŒŽ™’˜— Ž •˜’œ Ž Œ˜––Š—Ȭ Žœ šž’ œŠ’œ˜— Žœ Œ˜—›Š’—Žœ Ž ›˜‹žœŽœœŽǯ Ž •ŽŒŽž› ’—·›Žœœ· Žœ ’—Ÿ’· ¥ Ÿ˜’› ǻ›ŽŽ–Š— Š— ˜”˜˜Ÿ’°ǰ ŘŖŖŞDz Šœ›¢ǰ ŗşşşǼ Ž •Žœ ›··›Ž—ŒŽœ šž’ œȂ¢ ›˜žŸŽ—ǯ ȂŠž›Žœ ŸŽ›œ’˜—œ ž ‘·˜›¸–Ž Žœ ™Ž’œ Š’—œ Ž¡’œŽ— Š—œ •Š •’Ĵ·›Šž›Žǰ Ÿ˜’› ǻ—Ž•’ Š— œ˜•ęǰ ŘŖŖŝDz œ˜•ę Š— ›Š•¢ǰ ŘŖŗŘDz ˜ǰ ŘŖŖŜDz ˜ Š—

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(26) . / :;,05 :/09646;6. ŘǯśǯŚ. ›˜˜ ˜ •Š’– ŘǯŘŗ. Řǯśǯś. ›˜˜ ˜ ›˜™˜œ’’˜— ŘǯŘř. ŘǯŜ ž––Š›¢. śř śŚ. śś. Řǯŝ ™™Ž—’¡ ˜ ‘Š™Ž› Ř. śś. Řǯŝǯŗ. ‘Ž ‹ŠŒ”œŽ™™’— ™›˜ŒŽž›Ž. ŘǯŝǯŘ. ‘Ž Œ‘ž›Ȃœ Œ˜–™•Ž–Ž—. Řǯŝǯř. ¢Š™ž—˜Ÿ Œ˜—’’˜—œ Š— ™›ŠŒ’ŒŠ• œŠ‹’•’¢. ƀǯſ. śś śŝ śŞ. ћѡџќёѢѐѡіќћ. ŸŽ› ‘Ž ¢ŽŠ›œǰ ›ŽœŽŠ›Œ‘ ’— Œ˜—›˜• ˜ —˜—•’—ŽŠ› ¢—Š–’ŒŠ• œ¢œŽ–œ ‘Šœ •Ž ˜ –Š—¢ ’쎛Ž— ˜˜•œ ˜› ‘Ž Žœ’— ˜ ǻ•˜‹Š••¢Ǽ Šœ¢–™Ȭ ˜’ŒŠ••¢ œŠ‹’•’£’— ŽŽ‹ŠŒ” •Š œǯ ‘ŽœŽ ŽŒ‘—’šžŽœ ›Žšž’›Ž ™Š›’ŒȬ ž•Š› œ›žŒž›Žœ ˜— ‘Ž œ¢œŽ–œǯ Ž™Ž—’— ˜— ‘Ž Šœœž–™’˜—œǰ ‘Ž Žœ’—Ž› –Š¢ žœŽ ’쎛Ž— Š™™›˜ŠŒ‘Žœ œžŒ‘ Šœ ‘’‘ȬŠ’— ǻ ›˜—Š›ǰ Ž™ž•Œ‘›Žǰ Š— Šœ’—ǰ ŗşşşǼǰ ‹ŠŒ”œŽ™™’— ǻ›ŽŽ–Š— Š— ˜”˜˜Ÿ’°ǰ ŘŖŖŞǼ ˜› ˜› Š›’— ǻŠ£Ž—Œ Š— ›Š•¢ǰ ŗşşŜǼǯ ˜ ŽŸŽ›ǰ ’— ‘Ž ™›ŽœȬ Ž—ŒŽ ˜ ž—œ›žŒž›Ž ¢—Š–’Œœǰ œ˜–Ž ˜ ‘ŽœŽ –Ž‘˜œ –Š¢ Š’• ˜ ‹Ž Š™™•’Žǯ ˜› œ¢œŽ–œ  ‘Ž›Ž ‘Ž Œ•Šœœ’ŒŠ• ‹ŠŒ”œŽ™™’— ŽŒ‘—’šžŽ ŒŠ— —˜ ‹Ž Š™™•’Ž ˜ ›Ž—Ž› ‘Ž ˜›’’— •˜‹Š••¢ Šœ¢–™˜’ŒŠ••¢ œŠ‹•Žǰ ‘Ž Š™Ȭ ™›˜ŠŒ‘Žœ ™›˜™˜œŽ ’— ǻŽ’— ‘’›˜–˜˜ǰ —›’Žžǰ Š— ›’Žž›ǰ ŘŖŗŗǰ ŘŖŗŘǰ ŘŖŗř‹Ǽ –Š¢ œ˜•ŸŽ ‘Ž ™›˜‹•Ž– ‹¢ ‹•Ž—’— Š ‹ŠŒ”œŽ™™’— ŽŽȬ ‹ŠŒ” •Š  ‘Š ›Ž—Ž›œ Š œž’Š‹•Ž Œ˜–™ŠŒ œŽ •˜‹Š••¢ ŠĴ›ŠŒ’ŸŽ  ’‘ Š •˜ŒŠ••¢ œŠ‹’•’£’— Œ˜—›˜••Ž›ǯ ¢ Šœœž–™’˜—ǰ ‘’œ œŽ ’œ Œ˜—Š’—Ž ’— ‘Ž ‹Šœ’— ˜ ŠĴ›ŠŒ’˜— ˜ ‘Ž œ¢œŽ– ’— Œ•˜œŽ •˜˜™  ’‘ ‘Ž •ŠĴŽ›ǯ ‘Ž –Š’— ›Žœž• ŒŠ— ‹Ž œŽŽ— Šœ Š Žœ’— ˜ ‘¢‹›’ ŽŽ‹ŠŒ” •Š œ ˜› œ¢œŽ–œ  ‘’Œ‘ Š ™›’˜›’ ˜ —˜ ‘ŠŸŽ Š ŽŽ‹ŠŒ” •Š  ‘Š •˜‹Š••¢ œŠ‹’Ȭ •’£Žœ ‘Ž ˜›’’—ǯ ‘’œ –Ž‘˜˜•˜¢ ˜ ‘¢‹›’ œŠ‹’•’£Ž›œ ’œ ‹¢ —˜   Ž•• ”—˜ — ǻ›’Žž›ǰ ŘŖŖŗǼǰ Š— ’ ‘Šœ ‹ŽŽ— Š•œ˜ Š™™•’Ž ˜› œ¢œŽ–œ ‘Š ˜ —˜ œŠ’œ¢ ‘Ž ›˜Œ”ŽĴȂœ Œ˜—’’˜— ǻǻ ˜Ž‹Ž•ǰ ›’Žž›ǰ Š— ŽŽ•ǰ ŘŖŖşǼ Š— ǻ Žœ™Š—‘Šǰ ’‹Ž›£˜—ǰ Š— ˜›œŽǰ ŘŖŖŚǼǼǯ ¢‹›’ ŽŽ‹ŠŒ” •Š œ ŒŠ— ‘ŠŸŽ ‘Ž ŠŸŠ—ŠŽ ˜ ›Ž—Ž›’— ‘Ž Žšž’•’‹›’ž– ˜ ‘Ž Œ•˜œŽȬ •˜˜™ œ¢œŽ– ›˜‹žœ•¢ Šœ¢–™˜’ŒŠ••¢ œŠ‹•Ž  ’‘ ›Žœ™ŽŒ ˜ –ŽŠœž›ŽȬ –Ž— —˜’œŽ Š— ŠŒžŠ˜›œȂ Ž››˜›œ ǻǻ›’Žž›ǰ ˜Ž‹Ž•ǰ Š— ŽŽ•ǰ ŘŖŖŝǼ Š— ǻ ˜Ž‹Ž• Š— ŽŽ•ǰ ŘŖŖŜǼǼǯ  ’œ Š•œ˜ ™›ŽœŽ—Ž Š ™›˜ŒŽž›Ž ˜ Žœ’— Š Œ˜—’—ž˜žœ •˜ŒŠ• ŽŽ‹ŠŒ” •Š  œŠ’œ¢’— Œ˜—œ›Š’—œ ˜— ‘Ž ‹Šœ’— ˜.

(27) : ;( ) 0 3 0 A (; 0 6 5 < 5 + , 9 3 6 * ( 3 ( 5 + . 3 6 ) ( 3 * 6 5 : ; 9 ( 0 5 ; :. . ŠĴ›ŠŒ’˜— ˜ ‘Ž Œ•˜œŽȬ•˜˜™ œ¢œŽ–ǯ Ž•ŠŽ  ˜›”œ ˜ Ž¡’œ ’— ‘Ž Œ˜—Ž¡ ˜ Œ˜—’—ž˜žœ Œ˜—›˜••Ž›œ ǻǻ—›’Žž Š— ›’Žž›ǰ ŘŖŗŖǼ Š— ǻŠ— Ž Š•ǯǰ ŘŖŖŗǼǼǯ — Œ˜—›Šœ ˜ ‘Ž–ǰ ˜› ‘Ž Œ•Šœœ ˜ œ¢œŽ–œ Œ˜—œ’Ž›Ž ’— ‘’œ Œ‘Š™Ž›ǰ Š ™›’˜›’ —˜ Œ˜—’—Ȭ ž˜žœ •˜‹Š••¢ œŠ‹’•’£’— Œ˜—›˜••Ž› Ž¡’œœǯ ˜Ž ‘Š ’ ’œ Š›ŽœœŽ Š ’쎛Ž— ™›˜‹•Ž– ‘Š— ǻŠ¢‘Ž ǰ Š—Ž•’ŒŽǰ Š— ŽŽ•ǰ ŘŖŗŗǼǰ  ‘Ž›Ž Š œ¢—Ž›’œ’Œ ¢Š™ž—˜Ÿ ž—Œ’˜— Š— Š ŽŽ‹ŠŒ” •Š  Š›Ž Žœ’—Ž ‹¢ ‹ŠŒ”œŽ™™’—ǯ. ƀǯƀ. юѐјєџќѢћёǰ њќѡіѣюѡіќћǰ юћё ѝџќяљђњ ѠѡюѡђȬ њђћѡ. ƀǯƀǯſ ѦѠѡђњ Ѣћёђџ ѐќћѠіёђџюѡіќћ ˜—œ’Ž› ‘Ž Œ•Šœœ ˜ —˜—•’—ŽŠ› œ¢œŽ–œ Žę—Ž ‹¢. Σh (u).   x˙ 1 (t)  x˙ (t) 2. =. f1 (x1 (t), x2 (t)) + h1 (x1 (t), x2 (t), u(t)). =. f2 (x1 (t), x2 (t))u(t) + h2 (x1 (t), x2 (t), u(t)),.  ‘Ž›Žǰ ˜› ŽŸŽ›¢ t ∈ Rǰ (x1 (t), x2 (t)) ∈ Rn−1 × R ’œ ‘Ž œŠŽǰ Š— u(t) ∈ R ’œ ‘Ž ’—™žǯ ›˜– —˜  ˜—ǰ Š›ž–Ž—œ t  ’•• ‹Ž ˜–’ĴŽǯ. ‘Ž ž—Œ’˜—œ ŽœŒ›’‹’— ‘Ž ¢—Š–’Œœ ˜ ǻŘǯŗǼ Š›Ž f1. ∈. C1 (Rn−1 × R, Rn−1 ),. h1. ∈. C1 (Rn−1 × R × R, Rn−1 ),. f2. ∈. C1 (Rn−1 × R, R),. h2. ∈. C1 (Rn−1 × R × R, R).. ˜›Ž˜ŸŽ›ǰ ‘Ž¢ œŠ’œ¢ f1 (0, 0) = h1 (0, 0, 0) = 0ǰ h2 (0, 0, 0) = 0ǰ Š— f2 (x1 , x2 ) = 0 ⇔ (x1 , x2 ) = (0, 0)ǯ. — Š –˜›Ž Œ˜–™ŠŒ —˜Š’˜—ǰ ‘Ž ŸŽŒ˜› (x1 , x2 ) ∈ Rn−1 × R ’œ ŽȬ. —˜Ž ‹¢ xǰ ‘Ž iȬ‘ Œ˜–™˜—Ž— ˜ x1 ∈ Rn−1 ’œ Ž—˜Ž ‹¢ x1,i ǯ ‘Ž—. h1 (x1 , x2 , u) ≡ 0 Š— h2 (x1 , x2 , u) ≡ 0ǰ œ¢œŽ– ǻŘǯŗǼ ’œ Ž—˜Ž ‹¢ Σ(u)ǯ. ƀǯƀǯƀ ќѡіѣюѡіќћ ˜—œ’Ž› œ¢œŽ– Σ(u)ǰ Šœœž–’— œŠ‹’•’£Š‹’•’¢ ˜ ‘Ž x1 Ȭœž‹œ¢œŽ–  ’‘ Š œ–˜˜‘ ŽŽ‹ŠŒ” •Š ǰ Š— Š™™•¢’— ‘Ž ‹ŠŒ”œŽ™™’— Žœ’— ™›˜Ȭ ŒŽž›Žŗ ǰ ’ ’œ ˜‹Š’—Ž Š ŽŽ‹ŠŒ” •Š  ϕb ∈ C0 (Rn 6=0 , R) ‘Š ›Ž—Ž›œ. ‘Ž ˜›’’— •˜‹Š••¢ Šœ¢–™˜’ŒŠ••¢ œŠ‹•Ž ˜› Σ(ϕb ) ǻŽǯǯ ›œ’°ǰ Š—Ž•Ȭ •Š”˜™˜ž•˜œǰ Š— ˜”˜˜Ÿ’° ǻŗşşśǼǼǯ ˜ ŽŸŽ›ǰ ‹ŽŒŠžœŽ ž—Œ’˜—œ h1 Š— h2 Ž™Ž— ˜— uǰ ‘Ž Žœ’— ˜ Š ŽŽ‹ŠŒ” •Š  ˜› ǻŘǯŗǼ •ŽŠœ ˜ Š— ’–™•’Œ’ ŽšžŠ’˜— ’— ‘Ž ’—™ž ŸŠ›’Š‹•Ž ǻœŽŽ ǻŘǯŘŝǼ ‹Ž•˜  ˜› Š— Ž¡Ȭ Š–™•ŽǼǯ ˜›Ž˜ŸŽ›ǰ œ’—ŒŽ f2 (0, 0) = 0ǰ ‘Ž œžŽœŽ ™›˜ŒŽž›Ž Œ˜ž•. . *M :LJ[PVU . ǻŘǯŗǼ.

(28) . / :;,05 :/09646;6. ¢’Ž• Š ŽŽ‹ŠŒ” •Š  œžŒ‘ ‘Š •’–|x|→0 ϕb (x) = ∞ǯ. ‘ŽœŽ ŠŒœ –˜’ŸŠŽ ‘Ž ’—›˜žŒ’˜— ˜ Š ‘¢‹›’ ŽŽ‹ŠŒ” •Š  Ž—Ȭ. œž›’— •˜‹Š• Šœ¢–™˜’Œ œŠ‹’•’¢ ˜ ‘Ž ˜›’’— ˜› ǻŘǯŗǼ ’— Œ•˜œŽ •˜˜™ǯ. ƀǯƀǯƁ юѐјєџќѢћё )HZLK VU 7YPL\Y .VLILS HUK ;LLS  +LÄUP[PVU . Žę—’’˜— Řǯŗ ǻ ¢‹›’ ŽŽ‹ŠŒ” •Š Ǽǯ. Ř.  ‘¢‹›’ ŽŽ‹ŠŒ” •Š ǰ Ž—˜Ž. ‹¢ K ǰ Œ˜—œ’œœ ’— Š ꗒŽ œŽ Q ⊂ Nǯ ˜› ŽŸŽ›¢ q ∈ Qǰ Ȋ •˜œŽ œŽœ Cq , Dq ⊂ Rn œžŒ‘ ‘Š Cq ∪ Dq = Rn Š— [. Cq = R n ;. q∈Q. Ȋ ž—Œ’˜—œ ϕq ∈ C0 (Rn , R)Dz Ȋ ŽȬŸŠ•žŽ –Š™œ gq ∈ OSC(Rn , Q)ǯ. ◦. ›˜– —˜  ˜—ǰ Šœœž–Ž ‘Ž Ž¡’œŽ—ŒŽ ˜ Š ‘¢‹›’ ŽŽ‹ŠŒ” •Š ǯ ¢œŽ– ǻŘǯŗǼ ’— Œ•˜œŽ •˜˜™  ’‘ K •ŽŠœ ˜ Š œ¢œŽ–  ’‘ Œ˜—’—Ȭ ž˜žœ Š— ’œŒ›ŽŽ ¢—Š–’Œœ. Σh (K ).  . x˙  q+. =. fh (x, ϕq (x)),. x. ∈. Cq ,. ∈. gq (x),. x. ∈. Dq ,. ǻŘǯŘǼ.  ’‘ œŠŽ œ™ŠŒŽ ’ŸŽ— ‹¢ Rn × Qǯ. ¢œŽ– ǻŘǯŘǼ ’œ Š—Š•¢£Ž ‹¢ ‘Ž ›Š–Ž ˜›” ™›˜Ÿ’Ž ’— ǻ ˜Ž‹Ž•ǰ. Š—Ž•’ŒŽǰ Š— ŽŽ•ǰ ŘŖŗŘDz ›’Žž›ǰ ˜Ž‹Ž•ǰ Š— ŽŽ•ǰ ŘŖŖŝǼǯ .VLILS :HUMLSPJL HUK ;LLS  +LÄUP[PVU. . Žę—’’˜— ŘǯŘ ǻ ¢‹›’ ’–Ž ˜–Š’—Ǽǯ Œ˜–™ŠŒ ‘¢‹›’ ’–Ž ˜–Š’— ’ T=. J−1 [. ř.  œŽ T ⊂ R>0 × N ’œ ŒŠ••Ž. ([tj , tj+1 ], j). j=0. ˜› œ˜–Ž ꗒŽ œŽšžŽ—ŒŽ ˜ ’–Žœ 0 = t0 6 t1 6 t2 6 · · · 6 tJ ǯ  ’œ. ‘¢‹›’ ’–Ž ˜–Š’— ’ǰ ˜› ŽŸŽ›¢ (T, J) ∈ T ǰ T ∩ ([0, T ] × {0, 1, . . . , J}) ’œ Š Œ˜–™ŠŒ ‘¢‹›’ ’–Ž ˜–Š’—ǯ  7YPL\Y .VLILS HUK;LLS  +LÄUP [PVU. Žę—’’˜— Řǯř ǻ ¢‹›’ œ˜•ž’˜—Ǽǯ. ◦ Ś. Ž T ‹Ž Š ‘¢‹›’ ’–Ž ˜–Š’—ǰ. Š— Œ˜—œ’Ž› ‘Ž ž—Œ’˜—œ X : T → Rn Š— Q : T → Qǯ ‘Ž ™Š’› ˜ ž—Œ’˜—œ (X, Q) ’œ ŒŠ••Ž ‘¢‹›’ œ˜•ž’˜— ˜ ǻŘǯŘǼ ’. Ȋ ˜› Š ę¡Ž jǰ ‘Ž ž—Œ’˜— t 7→ X(t, j) ’œ •˜ŒŠ••¢ Š‹œ˜•žŽ•¢ Œ˜—’—žȬ ˜žœǰ Š— (t, j) ∈ T Dz. Ȋ ˜› Š ę¡Ž jǰ ‘Ž ž—Œ’˜— t 7→ Q(t, j) ’œ Œ˜—œŠ—ǰ Š— (t, j) ∈ T ǯ.

(29) : ;( ) 0 3 0 A (; 0 6 5 < 5 + , 9 3 6 * ( 3 ( 5 + . 3 6 ) ( 3 * 6 5 : ; 9 ( 0 5 ; :. . ‘Ž ’–ŽȬ˜–Š’—  ‘Ž›Ž (X, Q) ’œ Žę—Ž ’œ Ž—˜Ž ‹¢ dom(X, Q)ǯ ž›Ȭ ‘Ž›–˜›Žǰ 1 ǯ X(0, 0) ∈ CQ(0,0) ∪ DQ(0,0) Dz 2 ǯ ˜› ŽŸŽ›¢ j ∈ N œžŒ‘ ‘Š Ij := {t ∈ R : (t, j) ∈ dom(X, Q)}ǰ Š— ˜› Š•–˜œ ŽŸŽ›¢ t ∈ Ij ǰ. ˙ j) = fh (X(t, j), ϕQ(t,j) (X(t, j))), X(t,. X(t, j) ∈ CQ(t,j) ;. 3 ǯ ˜› ŽŸŽ›¢ (t, j) ∈ dom(X, Q) œžŒ‘ ‘Š (t, j + 1) ∈ dom(X, Q)ǰ Q(t, j + 1) ∈ gQ(t,j) (X(t, j)),. X(t, j) ∈ DQ(t,j) ..  ‘¢‹›’ œ˜•ž’˜— (X, Q) ’œ ŒŠ••Ž Ȋ —˜—Ȭ›’Ÿ’Š• ’ dom(X, Q) Œ˜—Š’—œ Š •ŽŠœ  ˜ ™˜’—œDz Ȋ Œ˜–™•ŽŽ ’ œž™(dom(X, Q)) = ∞Dz. Ȋ –Š¡’–Š• ’ ‘Ž›Ž Ž¡’œœ —˜ ˜‘Ž› ‘¢‹›’ œ˜•ž’˜— (X, Q) ˜ ǻŘǯŘǼ œžŒ‘ ‘Š dom(X, Q) ( dom(X, Q)ǰ Š— ˜› ŽŸŽ›¢ (t, j) ∈ dom(X, Q)ǰ (X(t, j), Q(t, j)) = (X(t, j), Q(t, j))ǯ. ◦. ‘Ž ‹Šœ’Œ ›Žž•Š›’¢ Œ˜—’’˜—œ ˜› ‘Ž Ž¡’œŽ—ŒŽ ˜ œ˜•ž’˜—œ ˜ ǻŘǯŘǼ Š›Ž ™›ŽœŽ—Ž ’— ‘Ž ˜••˜ ’— Žę—’’˜— ŘǯŚ ǻŠœ’Œ Šœœž–™’˜—œǼǯ. ś. ǰ ˜› ŽŸŽ›¢Ŝ q ∈ Qǰ. ŗǯ ‘Ž œŽœ Cq Š— Dq Š›Ž Œ•˜œŽ œž‹œŽœ ˜ Rn Dz Řǯ ‘Ž –Š™ fh (·, ϕq (·)) : Cq → Rn ’œ Œ˜—’—ž˜žœDz řǯ ‘Ž œŽȬŸŠ•žŽ –Š™ gq : Dq ⇒ Q ’œ ˜žŽ› œŽ–’Œ˜—’—ž˜žœǰ •˜ŒŠ••¢ ‹˜ž—Žǰ Š— ˜› ŽŸŽ›¢ x ∈ Dq ǰ gq (x) ’œ —˜—Ž–™¢ǰ ‘Ž— ǻŘǯŘǼ œŠ’œęŽœ ‘Ž ‹Šœ’Œ Šœœž–™’˜—œǯ. ◦. Ž––Š Řǯśǯ ˜› ŽŸŽ›¢ ’—’’Š• Œ˜—’’˜— (X(0, 0), Q(0, 0)) ∈ CQ(0,0) ∪DQ(0,0) ǰ ‘Ž›Ž Ž¡’œœ Š —˜—Ȭ›’Ÿ’Š• ‘¢‹›’ œ˜•ž’˜— (X, Q) ˜› ǻŘǯŘǼ œžŒ‘ ‘Š Ž’‘Ž› Šǯ (X, Q) ’œ Œ˜–™•ŽŽ ˜›Dz ‹ǯ dom(X, Q) ’œ ‹˜ž—Ž Š— ‘Ž ’—Ž›ŸŠ• IJ ǰ  ‘Ž›Ž J = œž™j dom(X, Q)ǰ ‘Šœ —˜—Ž–™¢ ’—Ž›’˜› Š— t → (X(t, J), Q(t, J)) ’œ Š –Š¡’–Š• œ˜•ž’˜— ˜ Σh (ϕQ(t,J) )ǰ ’— ŠŒ. •’– |X(t, J)| → ∞,. t→T.  ‘Ž›Ž T = œž™t dom(X, Q)ǯ. )HZLKVU.VLILS :HUMLSPJL HUK;LLS   (ZZ\TW[PVU  HUK 7YPL\Y .VLILS HUK;LLS  WW   0[LTZ  HUK  OH]L ILLU HKKLK OLYLMVY[OLZHRLVMJVTWSL[LULZZVM[OL JOHW[LY 0[LT  OVSKZ MYVT +LÄUP[PVU  0[LT  OVSKZ ZPUJL [OL M\UJ[PVUZ fh HUK ϕq HYLJVU[PU\V\Z . .

(30) . / :;,05 :/09646;6. ˜ž‘•¢ œ™ŽŠ”’—ǰ ‘Ž ™›˜˜ ˜ Ž––Š Řǯś Œ˜—œ’œœ ˜ œ‘˜ ’— ‘Š ǻŘǯŘǼ œŠ’œęŽœ œœž–™’˜— ŘǯŚǯ ›˜– ›˜™˜œ’’˜— ŜǯŗŖ ˜ ǻ ˜Ž‹Ž•ǰ Š—Ȭ Ž•’ŒŽǰ Š— ŽŽ•ǰ ŘŖŗŘǼǰ ‘Ž Œ˜—Œ•žœ’˜— ˜••˜ œǯ ‘Ž ™›˜˜ ˜ Ž––Š Řǯś ’œ ™›˜Ÿ’Ž ’— ŽŠ’•œ ’— ŽŒ’˜— Řǯśǯŗǯ .VLILS :HUMLSPJL HUK ;LLS  +LÄUP[PVU. . Žę—’’˜— ŘǯŜ ǻ—’˜›– •˜ŒŠ• Šœ¢–™˜’Œ œŠ‹’•’¢Ǽǯ. ŝ ˜—œ’Ž› œ¢œŽ–. ǻŘǯŘǼǯ  Œ˜–™ŠŒ ’—ŸŠ›’Š— œŽ A ⊂ Rn ’œ ŒŠ••Ž Ȋ ž—’˜›–•¢ œŠ‹•Ž ˜› ǻŘǯŘǼ ’ ˜› ŽŸŽ›¢ ε > 0ǰ ‘Ž›Ž Ž¡’œœ δ > 0 œžŒ‘ ‘Šǰ ˜› ŽŸŽ›¢ œ˜•ž’˜— (X, Q) ˜ ǻŘǯŘǼ  ’‘ |X(0, 0)|A 6 δǰ |X(t, j)|A 6 εǰ ˜› ŽŸŽ›¢ (t, j) ∈ dom(X, Q)Dz Ȋ ŠĴ›ŠŒ’ŸŽ ˜› ǻŘǯŘǼ ’ ‘Ž›Ž Ž¡’œœ δ0 > 0 œžŒ‘ ‘Š ŽŸŽ›¢ œ˜•ž’˜— (X, Q) ˜ ǻŘǯŘǼ  ’‘ |X(0, 0)|A 6 δ0 ’œ Œ˜–™•ŽŽ Š— •’– |X(t, j)|A = 0;. t+j→∞. Ȋ Šœ¢–™˜’ŒŠ••¢ œŠ‹•Ž ˜› ǻŘǯŘǼ ’ œŠ‹•Ž Š— ŠĴ›ŠŒ’ŸŽǯ )HZLK VU .VLILS :HUMLSPJL HUK ;LLS  +LÄUP[PVU  HUK 7YPL\Y .VLILS HUK;LLS  +LÄUP[PVU. ‘Ž ž—’˜›– ‹Šœ’— ˜ ŠĴ›ŠŒ’˜—Ş ˜ ‘Ž Œ˜–™ŠŒ œŽ A ’œ ‘Ž œŽ ˜ Š••. . X(0, 0) ∈ Rn œžŒ‘ ‘Šǰ ˜› ŽŸŽ›¢ Q(0, 0) ∈ Qǰ ‘Ž›Ž Ž¡’œœ Š ‘¢‹›’. œ˜•ž’˜— (X, Q) ˜ ǻŘǯŘǼ ‘Š ’œ Œ˜–™•ŽŽ Š—. •’– |X(t, j)|A = 0.. t+j→∞. ‘Ž ™›Žę¡ ™›Ž ’œ ›˜™™Žǰ  ‘Ž— ‘¢‹›’ œ˜•ž’˜—œ Š›Ž Œ˜–™•ŽŽǯ. ◦. ‘Ž ž—’˜›–¢ ’— Žę—’’˜— ŘǯŜ ’œ  ’‘ ›Žœ™ŽŒ ˜ ‘Ž ŸŠ›’Š‹•Ž Qǯ )HZLKVU.VLILS :HUMLSPJL HUK;LLS  +LÄUP[PVU. Žę—’’˜— Řǯŝ ǻ ¢‹›’ ¢Š™ž—˜Ÿ ž—Œ’˜— ŒŠ—’ŠŽǼǯ. ş. ˜—œ’Ž› ‘Ž. œ¢œŽ– ǻŘǯŘǼǯ ˜› ŽŸŽ›¢ q ∈ Qǰ Š ž—Œ’˜— Vq : dom(Vq ) → R>0 ’œ ŒŠ••Ž ‘¢‹›’ ¢Š™ž—˜Ÿ ž—Œ’˜— ŒŠ—’ŠŽ ˜› ǻŘǯŘǼ ’ǰ. ŗǯ Cq ∪ Dq ∪ gq (Dq ) ⊂ dom(Vq )Dz Řǯ Vq ’œ Œ˜—’—ž˜žœ•¢ ’쎛Ž—’Š‹•Ž ˜— Š— ˜™Ž— œŽ Œ˜—Š’—’— Cq ǯ ◦ ˜Ž ‘Š Žę—’’˜— Řǯŝ ’œ •Žœœ ›Žœ›’Œ’ŸŽ ‘Š— Žę—’’˜— ǯřŚǰ ‹ŽȬ ŒŠžœŽ ’— ‘Ž ˜›–Ž› —˜ ›Žšž’›Ž–Ž— ’œ –ŠŽ ›ŽŠ›’— ™˜œ’’ŸŽ ŽęȬ —’Ž—Žœœ Š— ™›˜™Ž›—Žœœ ™›˜™Ž›’Žœǯ. ƀǯƁ. ѡюћёіћє юѠѠѢњѝѡіќћѠ юћё џђѠѢљѡѠ. ƀǯƁǯſ ѡюћёіћє юѠѠѢњѝѡіќћѠ :[LPU:OPYVTV[V (UKYPL\ HUK7YPL\Y I . œœž–™’˜— ŘǯŞ ǻ˜ŒŠ••¢ œŠ‹’•’£’— ‘¢‹›’ ŽŽ‹ŠŒ” •Š Ǽǯ. ŗŖ. ꗒŽ ’œŒ›ŽŽ œŽ L ⊂ N œžŒ‘ ‘Šǰ ˜› ŽŸŽ›¢ l ∈ Lǰ ‘Ž›Ž Ž¡’œ. ’ŸŽ— Š.

(31) : ;( ) 0 3 0 A (; 0 6 5 < 5 + , 9 3 6 * ( 3 ( 5 + . 3 6 ) ( 3 * 6 5 : ; 9 ( 0 5 ; :. . Ȋ •˜œŽ œŽœ Cl ⊂ Rn Š— Dl ⊂ Rn  ’‘ Cl ∪ Dl = Rn Š— [. Cl = Rn ;. l∈L. Ȋ ŽŽ‹ŠŒ” •Š œ ϕl ∈ C0 (Rn , R)Dz Ȋ ŽȬŸŠ•žŽ –Š™œ gl ∈ OSC(Rn , L)Dz Ȋ Vl ∈ C1 (Rn , R>0 )ǰ αǰ α ∈ K∞ ǰ Š— Š Œ˜—œŠ— ŸŠ•žŽ cℓ > 0 œŠ’œ¢’—ǰ ∀x ∈ R ,. α(|x|) 6 Vl (x) 6 α(|x|), ǻŘǯřǼ. ∀x ∈ (Ω6cℓ (Vl ) ∩ Cl ) \ {0},. Lfh Vl (x, ϕl (x)) < 0, ǻŘǯŚǼ. n. ∀x ∈ (Ω6cℓ (Vl ) ∩ Dl ) \ {0}, g ∈ gl (x),. Vg (x) − Vl (x) < 0.. 5V[L[OH[ ZPUJL[OLZL[ L PZÄUP[L P[PZ WVZZPISL[VWPJRM\UJ[PVUZVMJSHZZ K∞. [OH[IV\UKHSSM\UJ[PVUZ Vl . ǻŘǯśǼ. ‘Ž ‘¢‹›’ ŽŽ‹ŠŒ” •Š  ˜Ž‘Ž›  ’‘ ‘Ž Š–’•¢ ˜ ž—Œ’˜— Vl œŠȬ ’œ¢’— ǻŘǯřǼȬǻŘǯśǼ ’œ Ž—˜Ž ‹¢ K0 ǯ. ◦. ˜Ž ‘Šǰ ˜› ŽŸŽ›¢ l ∈ Lǰ Vl ’œ Š ‘¢‹›’ ¢Š™ž—˜Ÿ ž—Œ’˜— ŒŠ—’Ȭ. ŠŽǯ. Žę—’’˜— Řǯşǯ ˜› ŽŸŽ›¢ l ∈ Lǰ ‘Ž ž—Œ’˜— Vl œŠ’œ¢’— ǻŘǯřǼȬǻŘǯśǼ ’œ ŒŠ••Ž ‘¢‹›’ ¢Š™ž—˜Ÿ ž—Œ’˜— ˜› œ¢œŽ–ŗŗ Σh (K0 )ǯ. ◦.  :`Z[LT ǻŘǯŗǼ PUJSVZLKSVVW^P[O K0 PZ HUHSVNV\Z[V ǻŘǯŘǼ. ›˜– ‘Ž ™›˜˜ ˜ Ž––Š Řǯśǰ œ¢œŽ– Σh (K0 ) œŠ’œęŽœ ‘Ž ‹Šœ’Œ ŠœȬ œž–™’˜—œŗŘ ˜› ‘Ž Ž¡’œŽ—ŒŽ ˜ œ˜•ž’˜—œǯ ›˜– ǻ ˜Ž‹Ž•ǰ Š—Ž•’ŒŽǰ Š— ŽŽ•ǰ ŘŖŖşǰ ‘Ž˜›Ž– ŘŖǼǰ œœž–™’˜— ŘǯŞ ’–™•’Žœ ‘Š ‘Ž œŽ {0}×L ’œ •˜ŒŠ••¢ Šœ¢–™˜’ŒŠ••¢ œŠ‹•Ž ˜› Σh (K0 )ǯ ˜ œŽŽ ‘’œ Œ•Š’–ǰ —˜Ž ‘Š  ‘Ž—ŽŸŽ› Š œ˜•ž’˜— œŠ›œ ’— Š —Ž’‘‹˜ž›‘˜˜ ˜ ‘Ž ˜›’’—ǰ šžŠ’˜— ǻŘǯŚǼ Ž—œž›Žœ ‘Šǰ ˜› ŽŸŽ›¢ l ∈ Lǰ ‘Ž ¢Š™ž—˜Ÿ ž—Œ’˜— Vl ’œ œ›’Œ•¢. ŽŒ›ŽŠœ’— ž›’— Š ̘ ǯ šžŠ’˜— ǻŘǯśǼ Ž—œž›Žœ ‘Š ˜› Š œ˜•ž’˜— œŠ›’— ’— Š —Ž’‘‹˜ž›‘˜˜ ˜ ‘Ž ˜›’’—ǰ ž›’— Š ›Š—œ’’˜— ›˜– Š ŽŽ‹ŠŒ” •Š  l ˜ Š ŽŽ‹ŠŒ” •Š  ŽŽ›–’—Ž ‹¢ g ∈ gl ǰ ‘Ž ŸŠ•žŽ Vl (x). œ›’Œ•¢ ŽŒ›ŽŠœŽœ ˜ Vg (x)ǯ. ŗř. ‘Ž œŽŒ˜— Šœœž–™’˜— ™›˜Ÿ’Žœ ‹˜ž—œ ˜› ‘Ž Ž›–œ ‘Š ’–Ȭ ™ŽŠŒ‘ ‘Ž ’›ŽŒ Š™™•’ŒŠ’˜— ˜ ‘Ž ‹ŠŒ”œŽ™™’— –Ž‘˜ǯ  Š•œ˜ Œ˜—Ȭ ŒŽ›—œ ‘Ž •˜‹Š• œŠ‹’•’£Š’˜— ˜ ‘Ž ˜›’’— ˜› x˙ 1 = f1 (x1 , x2 ),. ǻŘǯŜǼ.  ‘Ž— x2 ’œ Œ˜—œ’Ž›Ž Šœ Š— ’—™žǯ œœž–™’˜— ŘǯŗŖ ǻ˜ž—œǼǯ. ŗŚ. ‘Ž›Ž Ž¡’œ Š ™›˜™Ž› ž—Œ’˜— V1 ∈. (C1 ∩ P)(Rn−1 , R>0 )ǰ Š ŽŽ‹ŠŒ” •Š  ψ1 ∈ C1 (Rn−1 , R)ǰ Š— Š •˜ŒŠ••¢. ’™œŒ‘’ĵ ž—Œ’˜— α ∈ K∞ œžŒ‘ ‘Š. . :LL+LÄUP[PVU . ;V ZLL [OH[ Σh (K0 ) PZ Z[HISL PU [OL ZLUZL VM +LÄUP[PVU  [OL PKLHZ VM ;OLVYLT  .VLILS :HUMLSPJL HUK ;LLS HYL\ZLKOLYL :PUJL [OL M\UJ[PVUZ Vl HYL Z [ Y P J [ S ` K L J Y L H Z P U N H S V U N Z V  S\[PVUZ VM Σh (K0 ) M V Y L ] L Y ` (t, j) ∈ dom(X, L) VL(t,j) (X(t, j)) 6 VL(0,0) (X(0, 0)) -YVT ǻŘǯřǼ |X(t, j)| 6 α−1 ◦ α (|X(0, 0)|) ;O\Z MVY L]LY` |X(0, 0)| 6 ε I` SL[[PUN δ = α−1 ◦ α(ε) |X(0, 0)| 6 δ ⇒ |X(t, j)| 6 ε /LUJL {0} × L PZZ[HISLMVY Σh (K0 ) 0[ UV^ YLTHPUZ [V ZOV^ [OH[ H[ [YHJ[P]P[` OVSKZ -YVT [OL JVU[P U\P[` [OL M\UJ[PVUZ Vl  [OLYL L_PZ[Z α ∈ (C0 ∩ P)(Rn , R>0 ) Z\JO [OH[ Lh Vl (·, ϕl (·)) 6 −α(·) HUK Vg (·) − Vl (·) 6 −α(·) (ZZ\TL MVY [OL W\Y WVZLZVMJVU[YHKPJ[PVU [OH[[OLYLL_PZ[ r > 0 Z\JO[OH[ MVYL]LY` |X(0, 0)| 6 δ r 6 |X(t, j)| 6 ε MVY L]LY` (t, j) ∈ dom(X, L) 3L[ γ = –’—{ρ(x) : r 6 |x| 6 ε} V(X(t, j)) 6 V(X(0, 0)) − γ(t + j) (Z t + j PUJYLHZLZ [OL ]HS\L V(X(t, j)) ^PSSILJVTLULNH[P]L JVU[YHKPJ[PUN P[Z WVZP[P]L KLÄUP[LULZZ ;O\Z [OL ZL[ {0} × L PZ H[[YHJ[P]L [V Σh (K0 ) ;OLYLMVYLP[PZSVJHSS`HZ`TW [V[PJHSS`Z[HISLMVY Σh (K0 )  :[LPU:OPYVTV[V (UKYPL\ HUK7YPL\Y  I .

(32) . / :;,05 :/09646;6. Šǯ Š‹’•’£’— ŽŽ‹ŠŒ” •Š  ˜› ǻŘǯŜǼDZ ˜› ŽŸŽ›¢ x1 ∈ Rn−1 ǰ Lf1 V1 (x1 , ψ1 (x1 )) 6 −α(V1 (x1 ));. — Š’’˜—ǰ ‘Ž›Ž Ž¡’œ Ψ ∈ C0 (Rn , R)ǰ Š—  ˜ ™˜œ’’ŸŽ Œ˜—œŠ— ŸŠ•Ȭ žŽœ ε Š— M  ’‘ 0 < ε 6 1 œŠ’œ¢’—ǰ ˜› ŽŸŽ›¢ (x1 , x2 , u) ∈ Rn−1 × R × Rǰ. ‹ǯ ˜ž—œ ˜— h1 DZ |h1 (x1 , x2 , u)|

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