MATHÉMATIQUES II

(1)

MATHÉMATIQUES II

Rappels, notations et objectifs du problème.

Dans tout ce problème, désigne un entier supérieur ou égal à . Toutes les matrices considérées ici sont à coefficients réels. On note :

• l’ensemble des matrices carrées d’ordre .

• (resp. ) l’ensemble des matrices symétriques (resp. symétriques définies positives c’est-à-dire dont les valeurs propres sont strictement positives).

• l’ensemble des matrices triangulaires supérieures (termes sous-diagonaux nuls) et l’ensemble des matrices appartenant à dont tous les termes diagonaux sont positifs ou nuls.

• l’ensemble des matrices triangulaires inférieures dont les termes diagonaux valent . Le symbole désigne la matrice unité diag élément de .

Pour , le terme de situé sur la ligne et la colonne est noté . Dans les parties I et II seulement, si , désigne la matrice d’ordre

extraite de .

On confond respectivement :

• matrice et endomorphisme de canoniquement associé.

• vecteur de et matrice colonne de ses coordonnées.

• une matrice d’ordre et le réel la constituant.

Si nécessaire, sera muni de sa structure euclidienne rendant la base cano- nique orthonormale. Ainsi, si , est une matrice de tandis que représente (norme euclidienne).

Le but de ce problème est d’étudier trois types de décompositions matricielles : décomposition (partie I), décomposition de Cholesky (partie II), décomposition (partie III).

n 2

M

n n

S

n

S

n ++

U

n

U

n

+

U

n

L

n

1 I_n (1, ,… 1)

M

n

A∈

M

n A i j A_{i j}_,

1≤ ≤i n A_i i

A_{1 1}_, A_{1 2}_, … A_{1 i}_, A_{2 1}_, A_{2 2}_, … A_{2 i}_,

M M M M

A_{i 1}_, A_{i 2}_, … Ai i,

A

IRⁿ IRⁿ

1 IRⁿ

v∈IRⁿ v^tv

M

n ^tvv v²

LU QR

(2)

Filière PSI

La partie IV utilise des décompositions des parties I à III, pour déterminer des approximations des valeurs propres d’une matrice.

Partie I -

I.A -

I.A.1) Montrer que si appartient à est triangulaire inversible, son inverse est aussi triangulaire.

I.A.2) Montrer que est un groupe.

I.B - Soit :

I.B.1) Montrer que si est inversible, il existe au plus un couple

tel que .

Si c’est le cas, on dira que possède une décomposition ( comme Lower et comme Upper).

I.B.2) Montrer que si est inversible et possède une décomposition , alors pour tout de ,

(on pourra utiliser une décomposition par blocs de ).

I.B.3) On suppose que et on écrit par blocs sous la forme : .

Montrer qu’il existe dans telle que : .

En posant a priori expliciter une telle matrice ainsi que son inverse, c’est-à-dire expliciter les blocs et , ainsi que les blocs corres- pondants de en fonction des blocs de la matrice .

I.B.4) Montrer que si pour tout dans , alors a une décomposition

(on pourra opérer par récurrence en utilisant une décomposition par blocs de ).

A

M

n

A^–¹

(

L

n,×) A∈

M

n

A L U

( , )∈

L

n×

U

n A = LU

A LU L

U

A LU

k {1, ,… n} det A( _k) 0≠

A det A( _n_–₁) 0≠ A A A_n_–₁ V

W A_{n n}_,

 

 

 

=

H

L

n

∀i∈{1, ,… n 1– },

( ) HA( )_{n i}_, =0

H H_n_–₁ 0 H′ 1

 

 

 

= H

H_n_–₁ H′

H^–¹ A

k {1, ,… n} det A( _k) 0≠ A LU

A

(3)

I.C -

I.C.1) Soit deux entiers et tel que . Montrer que l’opération élémentaire consistant à échanger les lignes et d’une matrice de cor- respond à la multiplication à gauche par une matrice de à déterminer.

I.C.2) Pour et , , le symbole

désigne le déterminant de la matrice

extraite de . Ainsi par exemple, .

Sous les hypothèses de la question I.B.4, et notant la décomposition de , trouver dans l’ordre :

a) la première ligne de , b) la première colonne de , c) les éléments diagonaux de , d) les éléments de des colonnes

(on utilisera I.C.1) sous forme où est une matrice telle que la multiplication de par à gauche permute deux lignes de ), e) les éléments de des lignes .

On montrera que pour , et on donnera

pour ( ) une formule analogue.

p q 1≤p<q≤n

p q

M

n

M

n

1≤ ≤k n 1≤i₁< <i₂ … i< _k≤n 1≤ j₁< j₂<… j< _k≤n i₁ i₂ … ik

j₁ j₂… j_k

A

A_i

1,j₁ A_i

1,j₂… A_i

1,j_k

A_i

2,j₁ A_i

2,j₂… Ai₂,j_k

M M M M

A_i

k,j₁ A_i

k,j₂… A_i_k_,_j_k

 

 

 

A det A( )_i 1 2 … i

1 2 … i A

=

A = LU LU

A

U L

U

L 2 3, ,… n,

PA = PLU P

M P M

U 2 3, ,… n,

2≤ ≤ ≤j i n L_{i j}_,

1 2… j 1– i 1 2… j 1– j _A

1 2 … j 1 2 … j A

---

=

U_{i j}_, 2≤ ≤ ≤i j n

(4)

I.D - Écriture de l’algorithme En utilisant :

• un algorithme induit par la question I.C.2),

• un langage de programmation (qu’on précisera) comprenant la fonction déterminant (notée det),

écrire une procédure donnant, pour une matrice satisfaisant aux conditions du I.B.4), les matrices et telles que .

I.E - Exemples : I.E.1)

a) À l’aide de l’algorithme mis en place au I.D - , effectuer la décomposition de la matrice

en indiquant les différentes étapes et les calculs intermédiaires.

b) En déduire la résolution du système matriciel d’inconnue

et de paramètre .

I.E.2) Donner deux exemples de matrices de , l’une ne possédant pas de décomposition , l’autre en possédant plusieurs.

I.E.3) Dans cette question désigne le coefficient du binôme de Newton avec la convention si , si ou si .

a) Soient , et entiers naturels. Montrer la formule de Vandermonde :

(on pourra utiliser la formule du binôme de Newton).

b) Soit ; déterminer la décomposition de la matrice de telle

que . En déduire .

Écrire , , lorsque et .

A

L U A = LU

LU

A

1 1 3 1 1 2 1 3 0 1 –12 1–1 2 1

 

 

 

=

AX = Y

X x y z

 t 

 

 

= Y

a b c

 t

 

 

=

M

2

LU

C^q_p

C^q_p = 0 p<q p<0 q<0 p q r

C^r_p₊_q C^k_pC_q^r^–^k

k

∑

∈ZZ

=

p∈IN LU A

M

n

A_{i j}_, = Cⁱ_p^–₊¹_j_–₁ det A A L U p = 1 n = 4

(5)

Partie II -

II.A - Soit . Montrer que appartient à si et seulement si pour tout appartenant à non nul, .

On suppose dans le reste de cette partie II - , que .

II.A.1) Montrer que possède une décomposition unique notée : où et . (on pourra utiliser I.B).

II.A.2) Montrer que , .

II.B -

II.B.1) Montrer qu’il existe dans telle que (on pourra modifier et et se ramener au cas de matrices triangulaires inférieure et supérieure à diagonales identiques).

II.B.2) Montrer que la décomposition obtenue à la question précédente est

unique si on impose , .

II.C - Si , montrer que les 3 propositions suivantes sont équivalentes : i) ,

ii) inversible telle que ,

iii) et , .

Partie III -

III.A - Soit unitaire . On pose (matrice de Hou- seholder) et par convention .

III.A.1) Montrer que est une symétrie orthogonale que l’on caractérisera.

III.A.2) Montrer que pour tout dans , il existe dans tel que soit de la forme .

III.B - Soit .

III.B.1) Montrer qu’il existe matrices de Householder telles que : .

III.B.2) En déduire que toute matrice de s’écrit sous la forme où est orthogonale et (on parle de décomposition ).

III.B.3) Montrer que si est inversible, il y a unicité de la décomposition.

III.C - Quel résultat de cours permet d’obtenir directement une décomposition du type lorsque est supposée inversible ?

A∈

S

n A

S

n

++

v IRⁿ ^tvAv>0

A

S

n

∈ ++

A LU

A = LU L∈

L

n U∈

U

n

∀i∈{1, ,… n} U_{i i}_, >0

B

U

n A = ^tBB

L U

∀i∈{1, ,… n} B_{i i}_, >0 M∈

M

n

M

S

n

∈ ++

∃B∈

U

n M = ^tBB

M∈

S

n ∀k∈{1, ,… n} det M( _k) 0>

v∈IRⁿ ( v =1) H^{( )}^v = I_n–2v^tv H^{( )}⁰ = I_n

H^{( )}^v

a IRⁿ v IRⁿ H^{( )}^va

* 0 0 … 0, , , ,

( )

A∈

M

n

H₁, ,… Hn–1

H_n_–₁H_n_–₂…H₁A∈

U

n

M

n A = QR

Q∈

M

n R

U

n

∈ + QR

A

QR A

(6)

Partie IV -

Dans cette partie est une matrice de inversible et possédant valeurs

propres réelles avec .

IV.A - Dans cette section, on montre des résultats préliminaires.

IV.A.1) On rappelle qu’une suite de matrice converge vers une matrice si et seulement si chaque coefficient de converge vers le coefficient de correspondant.

Montrer que si et sont deux suites de convergentes de limites respectives et alors la suite converge vers . IV.A.2) Pour tout , on définit

,

et on admet que définit une norme dans . a) Montrer que si et sont dans , on a

.

b) Montrer que si vérifie alors est inversible.

IV.A.3) Justifier l’existence d’une matrice inversible telle que avec diagonale :

.

On suppose dans la suite de cette partie que possède une décomposition sous la forme et on pose la décomposition de .

IV.B - Soit la suite d’éléments de définie par récurrence de la façon suivante :

• ;

• si a été construite, on pose la décomposition de ;

• on définit .

Montrer que les matrices ( ) sont semblables à .

A

M

n n

λ₁,… λn λ₁ > λ₂ >… λ> n

M_k ( )_k_∈_IN

M M_k

M

M_k

( )_k_∈_IN (N_k)_k_∈_IN

M

n

M N (M_kN_k)_k_∈_IN MN

M∈

M

n

M sup

X ≤1 MX

=

Ma M

M

n

M N

M

n

MN ≤ M ⋅ N

M∈

M

n M <1 M+I_n

P A = PDP^–¹

D

λ₁

( ) 0

..

( ) 0

λn

 

 

 

=

P^–¹ LU

P^–¹ = LU P = QR QR P

A_k

( )_k_≥₁

M

n

A₁ = A

A_k A_k = Q_kR_k QR A_k

A_k₊₁ = R_kQ_k

A_k k≥1 A

(7)

IV.C - Déterminer explicitement la matrice et (la matrice est celle définie au IV.A.3)).

On posera dans la suite .

IV.D - Montrer qu’à partir d’un certain rang admet une décomposition unique de la forme :

où est à termes diagonaux strictement positifs.

On admet dans toute la suite que la suite converge dans . IV.E - .

IV.E.1) Montrer que la limite de la suite est orthogonale.

IV.E.2) Montrer que la suite converge et que sa limite est dans . IV.E.3) Déterminer et .

IV.F - En utilisant deux compositions de , montrer que la suite est telle que :

••• FIN •••

D^kLD^–^k D^kLD^–^k

klim→+∞

D

E_k = D^kLD^–^k–I_n

I_n+RE_kR^–¹ QR

I_n+RE_kR^–¹ Q˜

kR˜

= k

R˜

k

Q˜

( k)k≥1

M

n

Q˜ Q˜

( k)k≥1

R˜

( k)k≥1 R˜

U

n

+

Q˜ R˜

QR A^k (A_k)_k_≥₁

A_k ( )_{i i}_,

k→lim+∞ = λ_i(1≤ ≤i n) (A_k)_{i j}_,

k→lim+∞ = 0 1( ≤ j<i≤n)