Concours commun Centrale

(1)

SESSION 2005

Concours commun Centrale

MATHÉMATIQUES 2. FILIERE MP

Partie I -

I.A -

I.A.1)Pour chaqueA= (ai,j)∈Mn(C), on aN_∞(A) =Max{kLik¹, 1≤i≤n}oùL1, . . . ,Ln désignent les lignes deA.

Donc

• ∀A∈Mn(C),N_∞(A)∈R⁺.

• ∀A∈Mn(C),N_∞(A) =0⇒∀i∈J1, nK, Li=0⇒A=0.

• ∀A∈Mn(C), ∀λ∈C,

N_∞(λA) =Max{kλLik¹, 1≤i≤n}=Max{|λ|kLik¹, 1≤i≤n}=|λ|Max{kLik¹, 1≤i≤n}=|λ|N_∞(A).

• Soit(A, B)∈(Mn(C))². Notons Li,1≤i≤n, etL_i^′,1≤i≤n, les lignes deAet Brespectivement.

Pour i∈J1, nK, on a

kLi+L_i^′k¹≤ kLik¹+kL_i^′k¹≤N_∞(A) +N_∞(B), et doncN_∞(A+B) =Max{kLi+L_i^′k¹, 1≤i≤n}≤N_∞(A) +N_∞(B).

Finalement

N_∞ est une norme surMn(C).

I.A.2) a)SoientA= (ai,j)_1≤i,j≤n∈Mn(C)etz= (zj)_1≤j≤n ∈Cⁿ. Soiti∈J1, nK.

|(Az)i|=

Xn

j=1

ai,jzj

≤

Xn

j=1

|ai,j|×|zj|≤ kzk∞

Xn

j=1

|ai,j|=kLik¹kzk∞ ≤N_∞(A)kzk∞,

et donc

kAzk∞ =max{|(Az)i|, 1≤i≤n}≤N_∞(A)kzk∞.

∀A∈Mn(C), ∀z∈Cⁿ, kAzk∞ ≤N_∞(A)kzk∞.

b) SoitA∈Mn(C). D’après a), on a déjà sup

kAzk∞

kzk∞

, z∈Cⁿ\ {0}

≤N_∞(A). On note alorsi0∈ J1, nK un indice i tel queN_∞(A) =kLi0k¹. On noteε1,. . . ,εn des complexes de module1tels que,∀j∈J1, nK,εjai0,j=|ai0,j|(siai0,j6=0 on prendεj= |ai0,j|

ai₀,j

et siai0,j=0, on prendεj=1) puis on posez= (εj)_1≤j≤n. On akzk∞ =1 et

|(A(z))i₀|=

Xn

j=1

ai₀,jεj

= Xn

j=1

|ai₀,j|=kLi₀k¹,

ce qui montre que kA(z)k∞

kzk∞

≥|(A(z))i₀| kzk∞

=kLi₀k¹. Comme d’autre part, kA(z)k∞

kzk∞

≤ kLi₀k¹, on a donc kA(z)k∞

kzk∞

=kLi₀k¹=N_∞(A).

(2)

On a montré que sup

kA(z)k∞

kzk∞

, z∈Cⁿ\ {0}

=max

kA(z)k∞

kzk∞

, z∈Cⁿ\ {0}

=N_∞(A).

∀A∈Mn(C), N_∞(A) =max

kA(z)k∞

kzk∞

, z∈Cⁿ\ {0}

.

c)SoitA∈Mn(C). Soientλ∈Ctel que |λ|=ρ(A)etzun vecteur propre de Aassocié àλ.

N_∞(A)≥ kA(z)k∞

kzk∞

= kλzk∞

kzk∞

=|λ|=ρ(A).

∀A∈Mn(C), ρ(A)≤N_∞(A).

I.A.3)Soit(A, B)∈(Mn(C))². Pourz∈Cⁿ,

kAB(z)k∞ ≤N_∞(A)kB(z)k∞ ≤N_∞(A)N_∞(B)kzk∞. On en déduit que pourz∈Cⁿ\ {0},

kAB(z)k∞

kzk∞ ≤N_∞(A)N_∞(B), et donc queN_∞(AB)≤N_∞(A)N_∞(B).

∀(A, B)∈(Mn(C))², N_∞(AB)≤N_∞(A)N_∞(B).

I.A.4) a)SoitQ∈GLn(C).

• ∀A∈Mn(C),NQ(A)≥0.

• ∀A∈Mn(C),

NQ(A) =0⇒N_∞(Q⁻¹AQ) =0⇒Q⁻¹AQ=0⇒A=0, carQ etQ⁻¹sont inversibles et donc simplifiables.

• PourA∈Mn(C)etλ∈C,

NQ(λA) =N_∞(Q⁻¹(λA)Q) =|λ|N_∞(Q⁻¹AQ) =|λ|NQ(A).

• Pour(A, B)∈(Mn(C))²,

NQ(A+B) =N_∞(Q⁻¹AQ+Q⁻¹BQ)≤N_∞(Q⁻¹AQ) +N_∞(Q⁻¹BQ) =NQ(A) +NQ(B).

• Pour(A, B)∈(Mn(C))²,

NQ(AB) =N_∞(Q⁻¹ABQ) =N_∞(Q⁻¹AQQ⁻¹BQ)≤N_∞(Q⁻¹AQ)N_∞(Q⁻¹BQ) =NQ(A)NQ(B).

Finalement,

∀Q∈Gln(C), NQ est une norme matricielle surGLn(C).

b)Puisque dimC(Mn(C))<+∞,N_∞ et NQ sont équivalentes. On en déduit qu’il existe deux réels strictement positifs αet β tels queαN_∞ ≤NQ ≤βN_∞. SoitCQ =Max{1

α, β}. On aβ ≤CQ puis 1

α ≤CQ et donc 1

CQ ≤α. On a donc 1

CQ

N_∞ ≤NQ≤CQN_∞.

∀Q∈GLn(C), ∃CQ∈]0,+∞[/∀A∈Mn(C), 1 CQ

N_∞(A)≤NQ(A)≤CQN_∞(A).

(3)

I.B -Soitε > 0.

SoitT ∈M₍C)une matrice triangulaire supérieure. Pours > 0,

D⁻¹_S TDS=







1/s 0 . . . 0 0 . .. ... ... ... . .. ... 0 0 . . . 0 1/sⁿ













t1,1 t1,2 . . . t1,n

0 t2,2 . .. ... ... . .. ... ... 0 . . . 0 tn,n













s 0 . . . 0 0 . .. ... ...

... . .. ... 0 0 . . . 0 sⁿ







=







t1,1 t1,2s . . . t1,nsⁿ⁻¹ 0 t2,2 . .. t2,nsⁿ⁻² ... . .. ... ... ... ... . .. ... tn−1,ns 0 . . . 0 tn,n





 .

On a donc lim

s→0 s>0

D⁻¹_S TDS=D(t1,1,t2,2,...,tn,n) et par continuité deN_∞,

slim→0 s>0

ND_S(T) =N_∞(D_(t_1,1_,t_2,2_,...,t_n,n₎) =max{|ti,i|, 1≤i≤n}=ρ(T).

Soit alorsA∈Mn(C). On sait queAest triangulable et donc il existe une matriceT triangulaire supérieure et une matrice inversiblePtelles queA=PTP⁻¹. On choisit alorss > 0tel que ND_S(T)< ρ(T) +ε et on poseQ=PDS. On a

NQ(A) =N_∞((PDS)⁻¹A(PDS)) =NDS(P⁻¹AP) =NDS(T)< ρ(T) +ε=ρ(A) +ε.

Maintenant, d’après I.A.4),NQ est une norme matricielle et on a montré que

∀A∈Mn(C), ∀ε > 0, il existe une norme matricielleNε telle queNε(A)< ρ(A) +ε.

I.C -SoitA∈Mn(C).

•Supposons que lim

k→+∞A^k=0. Soientλune valeur propre de Aet xun vecteur propre associé. Pour tout entier naturel k, on aA^kx=λ^kxet donc lim

k→+∞(λ^kx) =0. Puisquexn’est pas nul, on en déduit que lim

k→+∞λ^k=0et donc que |λ|< 1.

Ainsi, toute valeur propre deAest de module strictement inférieur à1 et finalementρ(A)< 1.

•Supposons queρ(A)< 1. On choisit une norme matricielleNtelle queN(A)< ρ(A) +1−ρ(A)

2 = 1+ρ(A)

2 . Pour tout entier naturelk, on a

N(A^k)≤(N(A))^k≤

1+ρ(A) 2

^k ,

et puisque0≤ 1+ρ(A)

2 < 1, on a lim

k→+∞N(A^k) =0 et donc lim

k→+∞A^k=0.

Finalement,

∀A∈Mn(C), ( lim

k→+∞

A^k=0⇔ρ(A)< 1).

Partie II -

II.A -

II.A.1)GL(A)est la réunion du disque de centre le point d’affixe4+3iet de rayonL1=4, du disque de centre le point d’affixe−1+iet de rayonL2=1, du disque de centre le point d’affixe 5+6iet de rayonL3=3+√

2 et du disque de centre le point d’affixe−5−5iet de rayonL4=5.GC(A)est la réunion du disque de centre le point d’affixe4+3iet de rayonC1=2+√

2, du disque de centre le point d’affixe−1+iet de rayonC2=4, du disque de centre le point d’affixe 5+6iet de rayonC3=4et du disque de centre le point d’affixe −5−5iet de rayonC4=3.

(4)

b

b b

b

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

−10

bord deGL(A) bord deGC(A) G^L(A)∩G^C(A)

I.A.2) a)SoitZ= (zj)_1≤j≤n ∈Cⁿ\ {0}. Soit p∈J1, nK un indice tel que|zp|=kZk∞ > 0. Dans cette question, lesLi

sont lesX

j6=i

|mi,j|.

MZ=0⇒∀i∈J1, nK, Xn

i=1

mi,jzj=0⇒∀i∈J1, nK, |mi,izi|=

−X

j6=i

mi,jzj

⇒∀i∈J1, nK, |mi,i|×|zi|≤X

j6=i

|mi,j||zj|⇒∀i∈J1, nK, |mi,i|×|zi|≤LikZk∞

⇒|mp,p||zp|≤LpkZk∞ ⇒|mp,p|≤Lp(car|zp|=kZk∞ > 0).

(5)

Ainsi, s’il existeZ∈Cⁿ\ {0}tel que MZ=0alors∃p∈J1, nK/|mp,p|≤Lp.

b)SoitA∈Mn(C). Soitλ∈σ(A). La matriceM=A−λIn’est pas inversible et donc il existe un vecteur non nulZtel queMZ=0. Mais alors d’après a), il existe un indiceptel que|mp,p|≤X

j6=p

|mp,j|ou encore tel que|ap,p−λ|≤X

j6=p

|ap,j|.

Cette dernière inégalité signifie queλ∈Dp(A)et donc λ∈GL(A).

c)Ainsi,σA⊂GL(A). En appliquant ce résultat à^tA, on a aussiσA=σtA⊂GL(^tA) =GC(A)et finalement

∀A∈Mn(C), σA⊂GL(A)∩GC(A).

b)Supposons par l’absurde qu’il existei∈J1, nK\{k}tel que|xi|<kxk∞ =|xk|. Puisqueak,i6=0, on a|ak,i||xi|<|ak,i||xk| et donc

|ak,k−µ||xk|=

X

j6=k

ak,jxj

<X

j6=k

|ak,j||xk|=Lk|xk|.

Après simplification par le réel strictement positif|xk|, on obtient|ak,k−µ|< Lk ce qui n’est pas. Par suite, toutes les composantes dexont même module et d’après a),µ∈ \

1≤j≤n

Cj(A).

II.A.4)On a D⁻¹_p ADp= pj

pi

ai,j

1≤i,j≤n

et donc,GL(D⁻¹_p ADp) = [

1≤i≤n



z∈C/|z−ai,i|≤ 1 pi

X

j6=i

pj|ai,j|



. II.A.5) a)SoientA∈Mn(C)puisp∈Rⁿ tel quep > 0. D’après I.A.2),

ρ(A) =ρ(D⁻¹_p ADp)≤N_∞(D⁻¹_p ADp) =max



 1 pi

Xn

j=1

pj|ai,j|, 1≤i≤n



.

Ainsi,ρ(A)est un minorant de



max



 1 pi

Xn

j=1

pj|ai,j|, 1≤i≤n



, p > 0



et donc

∀A∈Mn(C), ρ(A)≤inf



max



 1 pi

Xn

j=1

pj|ai,j|, 1≤i≤n



, p > 0



.

b) i)Soit p > 0. Calculons la somme de tous les coefficients de la matrice pi

pj

|ai,j|

1≤i,j≤3

. Puisque pourx > 0, on a √

x− 1

√x 2

≥0, on a encorex+1

x ≥2et donc X

1≤i,j≤3

|ai,j|pj

pi

=7+16p2

p1

+8p3

p1

+16p1

p2

+7+8p3

p2

+8p1

p3

+8p2

p3

+5

=19+16 p1

p2

+p2

p1

+8

p1

p3

+p3

p1

+8

p2

p3

+ p3

p2

≥19+2×(8+8+16) =83.

Si maintenant on a pour chaquei ∈ {1, 2, 3} 1 pi

X3

j=1

pj|ai,j| < 83

3 , alors X

1≤i,j≤3

|ai,j|pj

pi

< 3× 83

3 = 83 ce qui n’est pas.

Donc, il existei∈{1, 2, 3}tel que 1 pi

X3

j=1

pj|ai,j|≥83

3 ou encore, max



 1 pi

X3

j=1

pjai,j, 1≤i≤3



≥ 83 3 .

(6)

Cette minoration étant valable pour toutp > 0, on a montré que

inf



max



 1 pi

X3

j=1

pjai,j, 1≤i≤3



, p > 0



≥ 83 3 .

ii)Déterminons le polynôme caractéristique deA.

χA=

7−X −16 8

−16 7−X −8 8 −8 −5−X

=

−9−X −16 8

−9−X 7−X −8

0 −8 −5−X

(C1←C1+C2)

= (−9−X)

1 −16 8

1 7−X −8 0 −8 −5−X

= (−9−X)

1 −16 8

0 23−X −16 0 −8 −5−X

(L2←L2−L1)

= (−9−X)(X²−18X−243) = (−9−X)(X+9)(X−27) = −(X+9)²(X−27).

Sp(A) = (−9,−9, 27)et ρ(A) =27.

II.B - Applications

I.B.1) a)Si Aest SDD,0n’est dans aucun des disques fermés de centreai,i et de rayonLi et donc0n’est pas dans σA

d’après II.A.2). On en déduit queAest inversible.

∀A∈Mn(C), ASDD⇒A∈GLn(C).

b)Soitλ∈σA. Il existei∈J1, nKtel que|ai,i−λ|≤Li. Mais alors

Re(λ) =ai,i+ (Re(λ) −ai,i)

≤ai,i+|Re(λ) −ai,i|= −|ai,i|+|Re(λ−ai,i)|

≤−|ai,i|+|λ−ai,i|≤−|ai,i|+Li< 0.

b b b

ai,i

λ

−Li

Ainsi, toutes les valeurs propres de A ont une partie réelle strictement négative. En changeant A en −A, on obtient aussi : siAest SDD et si tous les ai,i sont des réels strictement positifs, alors toutes les valeurs propres ont des parties réelles strictement positives.

c)SoitA= (ai,j)_1≤i,j≤n une matrice symétrique réelle SDD. Pourx= (xi)_1≤i,j≤n∈Rⁿ,^txAx= X

1≤i,j≤n

ai,jxixj. SiAest définie positive, pour chaquei∈J1, nK, ai,i=Q((0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0))> 0.

(7)

Réciproquement, les tous les ai,i sont des réels strictement positifs, d’après b), les valeurs propres deA ont toutes une partie réelle strictement positive et sont donc des réels strictement positifs (puisqueAest symétrique réelle). On sait alors queAest définie positive.

En résumé, siAest une matrice symétrique réelle SDD,Aest définie positive si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous des réels strictement positifs.

II.B.2)Puisque Best diagonalisable, il existe une matrice inversiblePet une matrice diagonaleD=diag(λj)_1≤j≤n telle queB=PDP⁻¹. Soit alorsE^′=PEP⁻¹. Déjà, B+E=P(D+E^′)P⁻¹et doncσB+E=σD+E^′.

Soitbλ∈σB+E =σD+E^′. Puisque les coefficients diagonaux de la matrice D+E^′ sont les λj+e_j,j^′ et les coefficients non diagonaux sont ceux deE^′, d’après la question II.A.2)b), il existe un indiceitel que

|bλ− (λi+e_i,i^′ )|≤X

j6=i

|e_i,j^′ |.

Pour cet indicei, on a

|bλ−λi|≤|bλ− (λi+e_i,i^′ )|+|e_i,i^′ |

≤|e_i,i^′ |+X

j6=i

|e_i,j^′ |= Xn

j=1

|e_i,j^′ |

≤N_∞(E^′) =N_∞(P⁻¹EP)

≤N_∞(P)N_∞(P⁻¹)N_∞(E) (d’après I.A.3)).

Le réelN_∞(P)N_∞(P⁻¹)ne dépend que deBet on peut le noterK_∞(B). On a montré que

∃K_∞(B)∈R⁺/∀E∈Mn(C), ∀bλ∈σB+E, ∃λi∈σB/|bλ−λi|≤K_∞(B)N_∞(E).

Partie III -

III.A - Préliminaire

III.A.1)Les fonctionscj,1≤j≤n, sont continues sur le segment[0, 1]. Il en est de même de la fonction Xn

j=1

|cj|. Cette

fonction est en particulier bornée sur le segment[0, 1]. On noteMun majorant de la fonction Xn

j=1

|cj|sur[0, 1].

Soientt∈[0, 1]puiszune éventuelle racine de module supérieur ou égal à1 dePt dansC.

Pt(z) =0⇒zⁿ = − Xn

j=1

cj(t)z^n−j⇒|z|ⁿ ≤ Xn

j=1

|cj(t)||z|^n−j

⇒|z|ⁿ≤



 Xn

j=1

|cj(t)|



|z|ⁿ⁻¹(car|z|≥1)

⇒|z|ⁿ≤M|z|ⁿ⁻¹

⇒|z|≤M(car|z|> 0).

Ainsi, pour toutt∈[0, 1]et toute racinezdePtdansC, on a|z|≤1ou|z|≤Met donc|z|≤max{1, M}. Ainsi, si on pose R=max{1, M},Rest un réel strictement positif tel que pour toutt∈[0, 1],Zt⊂D(0, R).

∃R > 0/∀t∈[0, 1], Zt⊂D(0, R).

III.A.2)Supposons par l’absurde que

∃ε > 0/∀η > 0, ∃t∈[0, 1]/|t−t0|< η/∀Xt∈Zt, |Xt−X0|≥ε.

(8)

εest dorénavant ainsi fixé. En particulier, pour chaque entier naturel non nulp, il existetp∈[0, 1]tel que|tp−t0|≤ 1 p et

∀Xtp ∈Ztp, |Xtp−X0|≥ε.

Déjà, puisque pour chaquep∈N^∗ on a|tp−t0|≤ 1

p, la suite(tp)p∈N^∗ converge et a pour limitet0. Mais alors, puisque lescjsont continues sur[0, 1], la suite(Pt_p(X0))_p∈N∗ converge et

p→lim+∞Ptp(X0) =Xⁿ₀ + Xn

j=1

cj(t0)X^n−j₀ =Pt₀(X0) =0(1).

Posons alorsZt_p = (X1,t_p, . . . , Xn,t_p)(Zt_pdésignant maintenant la famille des racines dePt_pnumérotées arbitrairement).

D’après III.A.1), la suite(Ztp)_p∈N∗ est une suite bornée deCⁿ qui est de dimension finie surC. D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite (Zt_ϕ(p))_p∈N∗ convergente. Notons (Y1, . . . , Yn)la limite de cette suite quandptend vers+∞. Puisque pour chaquep∈N^∗ et chaquej∈J1, nK, on a|Xj,t_ϕ(p)−X0|≥ε, quandp tend vers+∞, on obtient∀j∈J1, nK,|Yj−X0|≥εet en particulier,∀j∈J1, nK,Yj−X06=0.

Pour chaquep∈N^∗, on aPt_ϕ(p)= (X−X_1,ϕ(t_p₎). . .(X−X_n,ϕ(t_p₎)et doncPt_ϕ(p)(X0) = (X0−X_1,ϕ(t_p₎). . .(X0−X_n,ϕ(t_p₎).

On en déduit que

p→lim+∞Pt_ϕ(p)(X0) = (X0−Y1). . .(X0−Yn)6=0 (2).

(1) et (2) sont en contradiction et on a montré que

∀ε > 0, ∃η > 0/∀t∈[0, 1] (|t−t0|< η⇒(∃Xt∈Zt/|Xt−Xt₀|< ε).

III.B -

III.B.1)La matriceA=

2 1

−4 −2

admet0pour valeur propre double. Comme D1(A)est le disque de centre (2, 0) et de rayon1,D1(A)ne contient aucune valeur propre deA.

III.B.2) a)Soient z∈Cett∈[0, 1].

z∈GL(A(t))⇒∃i∈J1, nK/|ai,i−z|≤tX

j6=i

|ai,j|⇒∃i∈J1, nK/|ai,i−z|≤X

j6=i

|ai,j|⇒z∈GL(A).

∀t∈[0, 1], GL(A(t))⊂GL(A).

b) i) a1,1 est le centre du disque D1(A) et est une valeur propre deD = A(0). Donc, a1,1 ∈σA(0)∩D1(A)ou encore 0∈E.

E6=∅.

ii)Soitt0∈E. Il existe donc λt₀∈σ_A(t₀₎∩D1(A). Par hypothèse,λt₀ n’est dans aucun des Dj(A),2≤j≤n. Soitdla distance deλt₀ à [

j6=i

Dj(A).d est un réel strictement positif car[

j6=i

Dj(A)est un fermé etλt₀∈/ [

j6=i

Dj(A).

On peut donc poserε= d

2 > 0et on applique le résultat de II.A.2) aux polynômesPt= (−1)ⁿχ_A(t)=det(XIn− (D+tB)) (Ptétant unitaire de degré ndont les coefficients sont des fonctions de tcontinues sur[0, 1]) :

∃η > 0/∀t∈[0, 1], (|t−t0|< η⇒∃λt∈σ(A(t))/|λt−λt₀|< ε.

Enfin, puisqueε < d, le réelλtfourni n’est pas dans [

j6=i

Dj(A)mais est dansσA(t) et donc dansGL(A(t))et donc dans GL(A)d’après a). Le réel λtfourni est ainsi dansD1(A). Ceci montre que ]t−η, t+η[∩[0, 1]⊂E.

iii)Pour chaquek∈N^∗, il existeλt_k ∈σ_A(t_k₎∩D1(A). MaisD1(A)est un fermé borné deCet donc un compact deC d’après le théorème deBorel-Lebesgue. On peut ainsi extraire de la suite(λt_k)_k∈N∗ une suite(λt_ϕ(k))_k∈N∗ qui converge vers un réelλdeD1(A).

(9)

Maintenant, pour chaque k ∈ N^∗, on a χ_A(t_ϕ(k)₎(λt_ϕ(k)) = 0 et quand k tend vers +∞, on obtient par continuité du déterminant

χ_A(a)(λ) = lim

k→+∞ det(A(t_ϕ(k)) −λt_ϕ(k)In)

=0 ce qui montre queλ∈σA(a). Finalement,σA(a)∩D1(A)6=∅et donc a∈E.

iv)ii) montre que E est une partie ouverte de [0, 1], iii) montre que E est une partie fermée de [0, 1] et i) montre que E6=∅. D’après le résultat admis par l’énoncé,E= [0, 1]. En particulier,1∈Eou encore

σA∩D1(A)6=∅.

III.B.3)Le résultat précédent s’applique à chaque ligne et chaque colonne de la matriceAde la question II.A.1). Cette matrice a donc au moins une valeur propre dans le disque D2(A) de centre (−1, 1) et de rayon1 et une valeur propre dans le disqueD₄^′(A)de centre (−5,−5) et de rayon 3. Enfin, II.A.3)b) montre que ces deux valeurs propres ne sont à l’intérieur de ces disques.

Partie IV -

IV.A -

IV.A.1)Soit(A, B)∈(Mn(C))². On poseA= (ai,j)et B= (bi,j). On a

N2(AB)²= X

1≤i,j≤n

Xn

k=1

ai,kbk,j

2

≤ X

1≤i,j≤n

Xn

k=1

|ai,k|²

! _n X

l=1

|bl,j|²

!

(d’après l’inégalité deCauchy-Schwarz)

= X

1≤i,j,k,l≤n

|ai,k|²|bl,j|²=



 X

1≤i,k≤n

|ai,k|²







 X

1≤l,j≤n

|bl,j|²





=N2(A)²N2(B)², et doncN2(AB)≤N2(A)N2(B). On a montré que

N2est une norme matricielle surMn(C).

IV.A.2) a)Posons D= diag(di)_1≤i≤n et ∆=diag(δj)_1≤j≤p. Le coefficient ligne i, colonnej, 1≤i ≤net 1≤j≤p, de la matriceD(A×^H B)∆ vaut diai,jbi,jδj. Ce coefficient est aussi celui des matrices (DA∆)×^H B, A×^H(DB∆), ((DA)×^H B)∆, D(A×^H(B∆))et(DA)×^H(B∆).

b)Soiti∈J1, nK. Le coefficient lignei, colonnei, de la matriceAD^t_xBvaut Xp

j=1

ai,jxjbi,j ou encore Xp

j=1

(ai,jbi,j)xjet est aussi lai-ème composante du vecteur (A×^H B)x.

c)Soientx∈C^p ety∈Cⁿ. Le coefficient ligne i, colonnei, deD^∗_yADxtBvaut y^∗_i(ADxtB)i,i=y^∗_i[(A×^H B)x]i=

Xn

j=1

y^∗_iai,jbi,jxj,

et donc

Tr(D^∗_yADxtB) = X

1≤i,j≤n

y^∗_iai,jbi,jxj=y^∗(A×^H B)x.

d)En supposant de plus quen=p, pourx∈Cⁿ on a

x^∗(A×^H B)x=Tr(D^∗_xADxtB) =< D^∗_xADx, B >.

(10)

IV.B -

IV.B.1)SoitS∈S⁺_n(R). D’après le théorème spectral, il existeP∈On(R) et il existeD=diag(λi)_1≤i≤n ∈D⁺_n(R) tel queS=PD^tP. On pose√

D=diag(√

λi)1≤i≤n puisT =√

D^tP. On a alors

tTT =P√ D√

D^tP=PD^tP=S.

∀S∈S⁺_n(R), ∃T ∈Mn(R)/ S=^tTT.

Si de plus,S∈S⁺⁺_n (R),(detT)²=det(S)> 0et donc detT 6=0ou encore T ∈GLn(R).

IV.B.2)Il est clair que A×^HB∈Sn(R). D’après la question précédente, il existe(T, U)∈(Mn(R))²tel que A=^tTT et B=^tUU. Pourx∈Mn,1(R), on a d’après IV.A.1)d),

tx(A×^HB)x=< DxADx, B >=Tr(Dxt

TTDxt

UU) =Tr(UDxt

TTDxt

U) =Tr(^t(TDxt

U)TDxt

U) =< TDxt

U, TDxt

U >

=N2(TDxtU)≥0.

Ceci montre queA×^H B∈S⁺_n(R). Si de plus,AetBsont dansS⁺⁺_n (R),T etUsont inversibles et donc

tx(A×^HB)x=0⇔N2(TDxtU)⇔TDxtU=0⇔Dx=0⇔x=0, ce qui montre queA×^H B∈S⁺⁺_n (R).

∀(A, B)∈(S⁺_n(R))², A×^HB∈S⁺_n(R)et ∀(A, B)∈(S⁺⁺_n (R))², A×^HB∈S⁺⁺_n (R).

IV.B.3) a) Les valeurs propres de la matrice symétrique B−λmin(B)In sont les λ−λmin, λ ∈ σB et sont donc des réels positifs. On en déduit queB−λmin(B)In ∈S⁺_n(R). Mais alors,A×^H(B−λmin(B)In)∈S⁺_n(R)d’après la question précédente.

b)On a^tx(A×^H B)x=^tx(λ(A×^HB)x) =λ(A×^HB)^txx=λ(A×^HB)et donc

λ(A×^HB) =^tx(A×^H B)x=^tx(A×^H(B−λminIn))x+λmin(B)^tx(A×^HIn)x

=^tx(A×^H(B−λmin(B)In))x+λmin(B)^txdiag(ai,i)1≤i≤nx

=^tx(A×^H(B−λmin(B)In))x+λmin(B) Xn

i=1

ai,ix²_i

≥0+λmin(B) min

1≤i≤nai,i

Xn

i=1

x²_i (carB−λmin(B)In ∈S⁺_n(R)et aussiλmin(B)≥0)

=λmin(B) min

1≤i≤nai,i.

λ(A×^HB)≥λmin(B) min

1≤i≤nai,i. c)Soiti∈J1, nK tel queai,i= min

1≤j≤naj,j. On noteei lei-ème vecteur de la base canonique deMn,1(R)et on a ai,i=^teiAei=^tei(A−λmin(A)In)ei+λmin(A)^teiei=^tei(A−λmin(A)In)ei+λmin(A)

≥λmin(A) (puisqueA−λmin(A)In ∈S⁺_n(R), et donc min

1≤j≤naj,j≥λmin(A). Puisqueλmin(B)≥0, d’après b) on a λ(A×^HB)≥λmin(A)λmin(B).

(11)

d)

λ(A×^HB) =^tx(A×^H(B−λmaxIn))x+λmax(B)^tx(A×^HIn)x

≤0+λmax(B)max

1≤i≤nai,i

Xn

i=1

x²_i =λmax(B)max

1≤i≤nai,i, et sii est un indice tel queai,i= max

1≤j≤naj,j

ai,i=^teiAei=^tei(A−λmax(A)In)ei+λmax(A)≤λmax(A).

λ(A×^HB)≤λmax(A)λmax(B).