M1 MEEF 2nd degr´ e, CAPES de Math´ ematiques Pr´ eparation ` a l’´ ecrit S1 (UE MAT1261M)
Ecrit blanc du 30 novembre 2017 ´ Dur´ ee : 4h
Ce sujet comporte 4 pages num´erot´ees de 1 `a 4.
Les calculatrices sont autoris´ees, mais pas les t´el´ephones portables, ordinateurs, documents divers...
Dans la correction, une grande importance sera apport´ee `a la r´edaction et `a la clart´e des explications ! Toutes les r´eponses doivent ˆetre soigneusement justifi´ees !
Exercice 1. On se donne deux entiers naturels b et r avec r + b ≥ 1 et on consid`ere le protocole de tirage suivant : Au d´epart, une urne contient r boules rouges et b boules blanches, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard, on note sa couleur et on ne la remet pas dans l’urne mais on la remplace par une boule de l’autre couleur, de sorte que le nombre total de boules dans l’urne reste constant.
Partie I : un cas particulier
On suppose dans cette partie que b = 3 et r = 2.
1. Le premier tirage. Dans cette question, et uniquement dans celle-ci, on s’int´eresse au r´esultat du premier tirage : la composition de l’urne reste donc la mˆeme d’un tirage `a l’autre.
(a) On s’apprˆete `a r´ep´eter 400 fois la simulation du premier tirage, pour observer la proportion de boules rouges obtenues lors de ce premier tirage. Quelle est la loi du nombre N de boules rouges obtenues parmi les 400 tirages ? Par quelle loi `a densit´e peut-on l’approcher ? Citer le th´eor`eme en jeu ! Donner un intervalle de fluctuation de niveau 0.95 de la fr´equence empirique de boules rouges obtenues.
(b) ´Ecrire un algorithme permettant de simuler 400 r´ep´etitions de ce premier tirage et de calculer la proportion de boules rouges obtenues. Cet algorithme pourra ˆetre ´ecrit en pseudo-code, en python, ou `a l’aide d’un tableur : on rappelle l’existence des fonctions randint en python et AleaEntreBornes sur un tableur, qui fournissent un entier al´eatoire dans l’intervalle ferm´e d´efini par les bornes indiqu´ees en param`etre, et on pourra similairement utiliser une fonction AleaEntier dans un algorithme ´ecrit en pseudo-code.
(c) Les 40 ´el`eves d’une classe ont chacun programm´e ces 400 tirages, ce qui fournit `a leur professeur 40 fr´equences empiriques. Combien de ces 40 fr´equences environ sont en dehors de l’intervalle de fluctuation d´etermin´e ?
2. Exp´erience al´eatoire A. Dans cette question, on proc`ede `a des tirages al´eatoires suivant le mod`ele d´ecrit en introduction jusqu’`a tirer une premi`ere boule blanche (avec donc la composition de l’urne qui varie). On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre de tirages r´ealis´es pour l’obtention de la premi`ere boule blanche.
(a) Mod´eliser cette exp´erience `a l’aide d’un arbre pond´er´e.
(b) Quel est l’ensemble des valeurs prises par X ? (c) D´eterminer la loi de X.
(d) Calculer l’esp´erance de X, et en donner une valeur approch´ee `a 10−2 pr`es.
(e) Calculer ´egalement la variance de X et en donner une valeur approch´ee `a 10−2 pr`es.
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3. Exp´erience al´eatoire B. On proc`ede `a trois tirages successifs dans l’urne, suivant le mod`ele d´ecrit en introduction et on note Y le nombre de boules rouges obtenues.
(a) Mod´eliser cette exp´erience `a l’aide d’un arbre pond´er´e.
(b) Quelles sont les valeurs prises par Y ? (c) D´eterminer la loi de Y .
(d) Calculer E(Y ) et en donner une valeur approch´ee `a 10−2 pr`es.
(e) Comment peut-on interpr´eter la valeur de cette esp´erance ? (f) ´Ecrire un algorithme permettant de simuler cette exp´erience.
Partie II : G´en´eralisation
Dans cette partie, l’urne contient au d´epart b boules blanches et r boules rouges, et on proc`ede `a des tirages suivant le mod`ele d´ecrit en introduction. Pour tout entier naturel k ≥ 1, on note Ak l’´ev´enement « la boule obtenue au k-i`eme tirage est rouge ».
1. Les ´ev´enements A1 et A2 sont-ils ind´ependants ? 2. Pour tout k ≥ 1, d´eterminer P(A1∩ . . . ∩ Ak).
3. On reprend l’exp´erience al´eatoire A d´ecrite dans la partie I : on proc`ede `a des tirages r´ep´et´es jusqu’`a obtenir une boule blanche. On note X le nombre de tirages effectu´es.
(a) Quel est l’ensemble F des valeurs prises par X ?
(b) Pour tout j ∈ F , expliciter l’´ev´enement {X = j} `a l’aide des ´ev´enements (Ak)k≥1. (c) En d´eduire que P(X = r + 1) = r!
(r + b)r, et que pour tout j ∈ F \{r + 1}, on a
P(X = j) = r!
(r − j + 1)!(r + b)j−1 − r!
(r − j)!(r + b)j
(d) Montrer que pour tout entier n > 0 et pour toute famille (α0, . . . , αn) de r´eels, on a
n
X
j=1
j(αj−1− αj) =
n−1
X
j=0
αj− nαn
(e) En d´eduire que
E(X) =
r
X
j=0
r j
j!
(r + b)j
4. Exp´erience B. On revient `a l’exp´erience B : on tire successivement n boules dans l’urne suivant le protocole d´ecrit, et on note Yn le nombre de boules rouges obtenues lors de ces n tirages.
(a) ´Enoncer et d´emontrer comme vous le feriez devant une classe de Terminale S la formule des probabilit´es totales.
(b) D´eterminer la loi de Y1.
(c) Soit n ≥ 2 un entier. Si on a obtenu i boules rouges au cours des n − 1 premiers tirages, quelle est la composition de l’urne `a l’issue du (n − 1)–i`eme tirage ? Donner une contrainte sur i en fonction de n, r et b.
(d) En d´eduire, pour tout couple d’entiers positifs (i, k), la valeur de P{Yn−1=i}(Yn= k) = P(Yn= k|Yn−1= i).
(e) Expliciter la loi de Yn en fonction de celle de Yn−1.
(f) On suppose dans cette question que n ≤ min(r, b). D´eduire de la question pr´ec´edente une expression de E(Yn) faisant intervenir E(Yn−1).
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Exercice 2. Une construction de la fonction ln. On ne supposera connue aucune des propri´et´es des fonctions ln et exp, tant qu’elles n’ont pas ´et´e d´emontr´ees ! Dans la partie A, on d´etermine l’ensemble des solutions d’une ´equation fonctionnelle et on ´etudie les premi`eres propri´et´es d’une telle solution. Dans la partie B, on s’int´eresse `a la fonction r´eciproque de l’une de ces solutions, et dans la partie C, on ´etudie un prolongement `a une partie de C d’une fonction li´ee `a cette solution.
On consid`ere une fonction f d´efinie et d´erivable sur R+∗ telle que,
(∗) Pour tous r´eels strictement positifs a et b, on a : f (ab) = f (a) + f (b).
On suppose pour le moment qu’une telle fonction existe.
1. Soit g une fonction d´efinie sur un intervalle d’int´erieur non vide I et `a valeurs r´eelles.
Montrer que si g est d´erivable en un point x0 de I, alors g est continue en x0. Donner un exemple de fonction continue sur un intervalle mais pas d´erivable en (au moins) un point de cet intervalle.
2. D´eterminer f (1).
3. Pour tout r´eel strictement positif x, donner une relation entre f (x) et f (1/x).
4. D´emontrer que, pour tout r´eel strictement positif x et tout entier naturel n, on a f (xn) = nf (x). Justifier que cette relation est ´egalement v´erifi´ee si n est un entier n´egatif.
5. D´emontrer que, pour tout r´eel strictement positif x et tout rationnel r, on a f (xr) = rf (x).
6. Soit a > 0 un r´eel. D´emontrer que, pour tout r´eel x > 0, on a : af0(ax) = f0(x). En d´eduire qu’il existe une constante λ (ne d´ependant donc pas de a mais uniquement de f ) telle que f0(a) = λ/a.
7. En d´eduire que, si f n’est pas identiquement nulle,alors elle est strictement monotone et concave.
8. Montrer ´egalement que si f et ˜f sont deux fonctions d´efinies sur R+∗, d´erivables et non identiquement nulles, v´erifiant (∗), alors il existe une constante µ telle que f = µ ˜f . 9. Justifier le fait qu’il existe une unique fonction h d´efinie et d´erivable sur R+∗ telle que
h(1) = 0 et, pour tout r´eel x > 0, h0(x) = 1/x. En ´etudiant la fonction x 7→ h(ax) − h(x), montrer que h v´erifie (∗).
10. En d´eduire que, si f est une fonction v´erifiant (∗) alors il existe une constante µ telle que f = µh.
11. Propri´et´es de la fonction h.
(a) Soit x0 > 1 un r´eel. Justifier que h(x0) > 0 puis ´etudier limn→+∞h(xn0). Montrer par ailleurs que, pour tout n ≥ 1, xn0 ≥ n(x0 − 1). En d´eduire limn→∞xn0 puis limx→+∞h(x)
(b) ´Etudier la limite en 0+ de h.
(c) Montrer maintenant que h est une bijection de R+∗ dans R.
(d) En utilisant la concavit´e de h, montrer que x 7→ h(x)x est major´ee sur R+∗. (e) Pour tout r´eel t > 0, en ´ecrivant t =√
t2, donner une autre expression de h(t)t et en d´eduire que limt→+∞ h(t)t = 0.
(f) Montrer ´egalement que pour tout α > 0, limx→+∞ h(x)xα = 0, puis que, pour tout α > 0, limx→0+xαh(x) = 0.
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Partie B
La fonction h introduite dans la partie A est bien entendu la fonction ln, et on a montr´e que cette fonction est bijective, donc elle admet une fonction r´eciproque, que l’on notera ψ.
1. Si on connaˆıt la courbe repr´esentative de ln, comment construit-on celle de ψ ? Justifier la propri´et´e que vous utilisez comme vous le feriez devant une classe de lyc´ee.
2. Dresser le tableau de variations de ψ, en pr´ecisant ses limites en +∞ et en −∞.
3. Montrer que ψ est une fonction d´erivable d´efinie sur R et `a valeurs dans R+∗. Justifier
´egalement comme vous le feriez devant une classe de Terminale S que, pour tout x ∈ R, ψ0(x) = ψ(x).
4. Montrer que pour tout (a, b) ∈ R2, on a ψ(a + b) = ψ(a)ψ(b).
Partie C
On consid`ere ici la fonction ϕ d´efinie par :
ϕ(z) =
+∞
X
n=0
zn
On notera Φ la primitive nulle en 0 de ϕ, et i un nombre complexe tel que i2 = −1.
1. Pour tout entier naturel K et tout complexe z, expliciter les sommes partielles PK n=0zn. D´eterminer l’ensemble des complexes z pour lesquels la s´erieP+∞
n=0zn est convergente et donner la somme de cette s´erie.
2. Justifier que, pour tout x ∈] − 1, 1[, on a
d’une part : Φ(x) =
+∞
X
n=1
xn
n et d’autre part : Φ(x) = − ln(1 − x)
3. Montrer que la s´erie
+∞
X
n=1
zn
n est convergente pour tout nombre complexe z de module strictement inf´erieur `a 1. La fonction Φ peut donc ˆetre d´efinie sur cet ensemble, via sa s´erie enti`ere. Attention `a ne pas ´ecrire ln d’un nombre complexe !
4. Montrer que, pour tout r´eel x ∈] − 1, 1[, on a Φ(ix) + Φ(−ix)
2 =X
k≥1
(−1)k 2k x2k
D´eriver cette expression et reconnaˆıtre une compos´ee de fonctions usuelles ´egale `a x 7→
Φ(ix)+Φ(−ix) 2
5. Montrer que, pour tout r´eel x ∈] − 1, 1[, on a Φ(ix) − Φ(−ix)
2i =X
k≥0
(−1)k 2k + 1x2k+1
Proc´eder comme dans la question pr´ec´edente pour identifier la fonction x 7→ Φ(ix)−Φ(−ix)
2i .
6. En d´eduire une expression de Φ(ix) `a l’aide de fonctions usuelles, pour tout x ∈] − 1, 1[.
Que peut-on dire si x est un r´eel tel que |x| ≥ 1 ?
7. Lorsque x est un r´eel, d´eterminer le module et l’argument de 1 + ix. Comparer avec Φ(ix).
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