1. Présentation du mécanisme

DS5-2013_CORRIGE Partie A : « Aérogénérateur »

1. Présentation du mécanisme

La figure ci-dessous représente un aérogénérateur à hélice bipale muni d’un empennage lui permettant de s’orienter dans le sens du vent. Le rotor S1 est en liaison pivot d’axe (O, y₀) avec le corps S0 de l’aérogénérateur. Les pales S2 et S’2 sont en liaison pivot d’axe (O, x₁) avec le rotor. Cette dernière rotation permet de régler l’angle d’hélice « β » pour adapter la puissance récupérée en fonction de la force du vent et de la demande électrique. En cas de fort vent, le système se met en drapeau : β = 90°.

Dans les conditions normales de fonctionnement, l’angle d’hélice varie faiblement autour de la valeur moyenne : βmoy = 20°.

- R0 (O, x₀, y₀, z₀) lié à S0 - R1 (O, x1, y0, z1) lié à S1 - R2 (O, x₁, y₂, z₂) lié à S2 -

( z r

, z r

)

θ =

⁽ z r

^, z r

⁾

β =

- G le centre d’inertie de la pale S2 tel que :

2 1

c z x a HG OH

OG r r

+

= +

=

2. Travail demandé

Pour les trois questions suivantes, on considérera que les deux paramètres sont des fonctions du temps et que leurs dérivées temporelles ne sont pas nulles.

Question A-1 : Exprimer (avec ou sans calcul) les vecteurs vitesse et accélération du point H par rapport à R0.

)

1

0 / 1 , ( ) 0 / 2 ,

(

V a Z

V

=

= − θ ^& ⋅

1

1

) 0 / 1 , ( ) 0 / 2 ,

(_{H R}

= Γ

= − a ⋅ Z − a ⋅ X

Γ θ ^{& &} θ ^&

Question A-2 : Ecrire les relations vectorielles qui permettent de calculer les vecteurs vitesse et accélération du point G par rapport à R0 à partir des vecteurs vitesses et accélération du point H.

) 0 / 2 ( )

0 / 2 , ( ) 0 / 2 ,

(G R

V

GH

V = + ∧ Ω

0 ) 0 / 2 ( )

0 / 2 ( )

0 / 2 ( )

0 / 2 , ( ) 0 / 2 , (

R R S R

S R

S R

H R

G

dt

GH d

GH  



 Ω

→ ∧ +

Ω

 ∧



 



 →

∧ Ω

+ Γ

= Γ

Question A-3 : Calculer les vecteurs vitesse et accélération du point G par rapport à R0 en utilisant les

relations de composition de mouvement.

Afin de tester la résistance des pales, on réalise un essai dans lequel on les fait tourner en maintenant β = 0. La commande de la rotation est donnée par le graphique ci- contre.

Question A-4 : Sachant que a = 3 m, calculer les normes de la vitesse et de

l’accélération du point H, pour la date t1 = 5 s.

Question A-5 : Déterminer le nombre total de tours effectués lors de cet essai.

0

) / ( rd s θ ^&

) (s t

10

20 340 360

Afin d’adapter la vitesse des pales à celle de la génératrice électrique, on utilise un réducteur. Le schéma cinématique de la figure 1 du document réponse donne la structure de ce réducteur. Le porte satellites 5 est relié aux pales et la roue Z1 est reliée à la

génératrice électrique. Il est constitué de 2 parties réductrices : - Un réducteur à axes fixes (solides 1-2-3).

- Un réducteur à train épicycloïdal (solides 3-4-5).

Les nombres de dents sont les suivants :

Z1 = 15 Z21 = 60 Z22 = 15 Z31 = 60 Z32 = 12 Z4 = 21 Z0 = 54

Question A-6 : Déterminer les rapports de transmission suivants : R13 = 1 3 ω

ω et R35 = 3 5 ω ω

On remarque que les axes de rotation des solides 1, 2 et 3 qui assurent la transmission de mouvement entre 1 et 3 sont fixes par rapport au carter S0. Pour calculer R13, il suffit d’appliquer la formule de Willis entre 1 et 3 en étant observateur par rapport à S0 :

( ) 21 31 22 1 1

0 / 1

0 /

13 3

Z Z

Z R Z

×

− ×

=

= ω ω

En effectuant l’application numérique, on obtient :

16 1 1 13 = 3 =

ω R ω

En revanche, on remarque que l’axe de rotation de la roue dentée 4 qui assure la transmission de mouvement entre 3 et 5 n’est pas fixe par rapport au carter S0. Pour calculer R35, il faut appliquer la formule de Willis entre 0 et 3 en étant observateur par rapport au porte satellites S5 :

( ) 32

0 32

4 4 1 0

5 / 0

5 /

3

Z Z Z

Z Z

Z = −

×

− × ω =

ω On en déduit : ( ω 3 − ω 5 ) ^Z 32 = ^Z 0 ω 5 ⇒ ω 3 Z 32 = ω 5 Z 32 + ω 5 Z 0

Finalement, on obtient :

32 0

32 3

35 5

Z Z R Z

= +

= ω ω

En effectuant l’application numérique, on obtient :

66 12 3 35 = 53 = R ω

Z1 Z21

Z22

Z31

Z4

Z31

Z32

Z0

S0 S1

S2

S4

S3

S5

Question A-7 : Sachant que les pales constituent le solide d’entrée et que la génératrice électrique est le solide de sortie, qualifier ce réducteur. (inverseur, non inverseur, réducteur, multiplicateur) On peut envisager trois niveaux raisonnements pour répondre à cette question :

-

Votre culture technologique devrait vous permettre de déduire aisément qu’il s’agit d’un système multiplicateur de vitesse. En effet, les régimes de vitesse des génératrices se quantifient très fréquemment en centaines de tr/min alors que celles des pales d’éoliennes se comptent plutôt en dizaines de tr/min.

-

En parcourant la chaîne cinématique de la roue 1 à la roue 31, on compte 2 inversions de sens qui se compensent et une diminution de la vitesse (une « petite » roue dentée entraîne une plus « grande »).

Par ailleurs, la pratique des trains épi (à travers le TP24) vous a appris que la structure simple proposée ici réduit la vitesse sans l’inverser entre les solides 3 et 5. On en déduit donc que si l’entrée est en 5 et la sortie est en 1, le système devient multiplicateur mais reste non inverseur.

-

En ayant calculé R13 et R35, on obtient :

88 1 16 66 35 12 1 13

3 3 5 1

15 5 =

= ×

×

=

×

=

= R R

R ω ω

ω ω ω

ω ,

on en déduit donc que si l’entrée est en 5 et la sortie est en 1, le rapport de transmission devient : 5 88

51 = 15 =

R ω , le système est donc multiplicateur et non inverseur.

Question A-8 : Par un rapide tracé sur la figure 2 du document réponse, vérifier R 35 (sens, augmentation ou réduction de la vitesse de rotation)

^VI 3 / 0 ⊥ ^OI et ^VI 3 / 0 = ^OI . ω 3 et on sait que VI 3 / 0 = VI 4 / 0 on trace ce vecteur avec une longueur quelconque.

Par ailleurs, VJ 4 / 0 = 0

On en déduit le champ des vitesses des points de S4/S0 : VC 4 / 0 Avec

2 0 / 4 0

/ 4

VI

VC =

Mais étant donné que VC 4 / 0 = VC 5 / 0 , on en déduit que ^VC 5 / 0 = ^OC . ω 5 .

On observe que 5 ω est inférieure à 3 ω et de même sens.

Pour obtenir une expression analytique, il suffit d’exprimer les deux vitesses de rotation :

 



 





=

=

OC VC

OI VI

0 / 5 5

0 / 3 3

ω ω

avec

 





 







=

= +

=

2 0 / 3 0

/ 5

2 0 32

32

VI VC

R OC R

R OI

On en déduit :

32 0

32 )

0 32 .(

0 / 3 . 2

0 / 3 . 32 . 2 3

5

R R

R R

R VI

VI R

= +

= +

ω

ω

Partie B « Vélo elliptique »

1. Présentation du mécanisme

Dans la gamme de matériel de fitness du fabricant français CARE, on trouve, à coté des rameurs, steppeurs et autres vélos magnétiques, des vélos elliptiques. Ce type de système (photo ci-contre) est destiné à un entraînement musculaire et cardio-vasculaire.

La cinématique de ce mécanisme (schéma cinématique sur document réponse) permet un mouvement sans choc intermédiaire entre le mouvement de la course à pied et celui du vélo.

Articulés autour du cadre S0, ce vélo est constitué de 3 principaux solides :

• La manivelle S1, en liaison pivot avec S0 autour de l’axe (O,z)

• Le balancier S3, en liaison pivot avec S0 autour de l’axe (C, z)

• La pédale S2, en liaison pivot avec S1 et S3 respectivement en A et B.

On note M (Malléole) le point supposé de la rotation de la cheville de l’utilisateur.

Les dimensions sont les suivantes :

● OA = 210 mm ● AB = 950 mm ● BC = 510 mm

● OD = 1020 mm ● DC = 540 mm ● AH = 300 mm

● HM = 90 mm

On considère le mécanisme dans la position du schéma cinématique et avec un rythme de pédalage de 80 tr/min.

2. Analyse du mécanisme

Z52

Z32 Z6

Y

X J

C

I

O

Question B-1 : Déterminer graphiquement, sur le 1

schéma du document réponse, la vitesse aux points B et

M à l’aide du théorème de l’équiprojectivité.

Question B-2 : Déterminer graphiquement, sur le 2ème schéma du document réponse, la vitesse aux points B et M à l’aide du champ des vitesses.

Question B-3 : En déduire la norme du vecteur Ω ( S 3 / S 0 )

s rd B

V

/ 8 , 43 2 , ) 1 0 / 3 , ( )

0 / 2

( = = ≈

Ω

Question B-4 : En considérant le mouvement dans sa globalité, dessiner sur le 3ème schéma du document réponse les positions du mécanisme dans lesquelles la vitesse du point B est nulle.

) 0 / 2 ( B ∈

V

Question B-5 : Tracer, sur le 3ème schéma du document réponse, la trajectoire approximative du point H au cours du mouvement.

Pour tracer la trajectoire de H, on choisit différentes positions du point A et on en déduit les positions du point H :

ellipse

H ∈ ≈

Τ ( 2 / 0 )