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BREVET BLANC MAI 2010

correction

Épreuve de mathématiques

Durée: 2 h

Exercice 1:(7 points)

Voici une série représentant les âges de 20 personnes

12 ; 12 ; 12 ; 17 ; 18 ; 18 ; 19 ;19 ;19 ; 21 ; 23 ; 23 ; 23 ; 23 ; 25 ; 30 ;30 ; 30 ; 30 ; 30. 1)Déterminer l'âge médian M de cette série . (1 point)

On a 20 personnes dont on connaît l'âge. On le partage en deux groupe de même effectif : 10. Dans le premier groupe, la personne la plus âgé a 21 ans.

Dans le second groupe, la personne la plus jeune a 23 ans. Alors l'âge médian de cette série est 23 ans : 2123

2 =22 2)Calculer l’étendue des âges E de cette série .(0,5 point) La personne la plus jeune a 12 ans.

La personne la plus âgée a 30 ans.

Alors l'étendue de la série est 18 : 30 – 12 = 18

3)Calculer l'âge moyen m de cette série .(Arrondir au dixième) (1,5 points) m=

∑

tous les âges

effectif total alors

m=1212121718181919192123232323253030303030 20 m=12×31718×219×32123×42530×5 20 alors m= 434 20 alors m = 21,7 4)Recopier et compléter le tableau suivant (2 points)

Âge 12 17 18 19 21 23 25 30

Effectif 3 1 2 3 1 4 1 5

Effectif cumulé 3 4 6 9 10 14 15 20

5)Calculer le pourcentage de personnes ayant 17 ans ou moins.(1 point)

On regarde le tableau pour connaître le nombre de personnes ayant 17 ans ou moins (donc ici 12 ou 17). Ils sont au nombre de 4 (lire la ligne des effectifs cumulés).

P₁= 4

20×100 Donc P1 = 20 %

6)Calculer le pourcentage de personnes ayant 25 ans ou plus.(1 point)

On regarde le tableau pour connaître le nombre de personnes ayant 25 ans ou plus (donc ici 25 ou 30). Ils sont au nombre de 6 (lire la ligne des effectifs cumulés : 14 ayant 23 ans au moins donc le reste de personnes à plus de 25 c'est à dire 20 – 14 = 6 ! Sinon on peut regarder directement les effectifs des âges 25 et 30 ans : 1 et 5 donc 6 au total !).

P2= 6

20×100 Donc P2 = 30 % Exercice2:(5points)

a)Écrire sur ta copie le numéro de la question et la lettre de la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.(3points)

A B C

1)Quelle est l'expression développée de (x + 3)2 ? x² + 9 x ²+ 3x

x

2

+ 6x + 9

2) Quelle est l'expression qui est égale à 64 si on

choisit la valeur x = 7 ? x(x + 1) (x + l) (x - 2)

(x + l)

2 3) Quelle est l'expression factorisée de

9x²12x4 ?

(3x+2)²

(3x +2)(3x-2) (3x-2)² Explications : En utilisant : ( a+ b)²= a² + 2ab +b² on a : (x + 3)² = x² + 2x3 + 3² = x² +6x + 9 (7+1)² = 8² = 64 On remarque que : 9x²12x4 = 3x ²2×3×2x2² . En utilisant : a² + 2ab + b²= (a + b)² on a : 9x²12x4 = (3x + 2)² b)Montrer que (

_

5 + 2) (



5 - 2 ) est un nombre entier positif (Détailler vos calculs)(2 points) Sous cette écriture on ne peut rien dire donc on va effectuer le calcul.

On reconnaît une identité remarquable.



_

52

_

5 – 2=

_

52−22=5−4=1 alors 



52



5 – 2=1 On a bien un entier positif ! Exercice 3(5 points)

1)288 et 224 sont-ils premiers entre eux ? (Expliquer pourquoi)(1 point)

Non car 2 est un diviseur commun à 288 et 224. L'un se termine par 8 et l'autre par 2.

2) Par la méthode de votre choix ,déterminer le PGCD des nombres 288 et 224(Faire apparaître les différentes étapes).(2,5 points)

Méthode des soustractions successives : 288 – 224 = 64 224 – 64 = 160 160 – 64 = 96 96 – 64 = 32 64 – 32 = 32 32 – 32 = 0 donc PGCD(288 ; 224) = 32 Algorithme d'Euclide : 288 224 224 64 64 32 64 1 32 3 0 2

Le dernier reste non nul est 32. donc PGCD(288 ; 224) = 32

3)Écrire la fraction 224

On connaît le PGCD des nombres 288 et 224 alors : 224 288= 224÷32 288÷32 d'où : 224₂₈₈=7 9 Exercice 4:(7 points)

Soit ABC un triangle tel que AB = 3,6 cm, BC = 4,8 cm , AC = 6 cm . 1) Construire le triangle ABC.(2 points)

2) Montrer que le triangle ABC est rectangle en B.(2 points)

On va pour cela utiliser la réciproque du théorème de PYTHAGORE. ● AB = 3,6 BC = 4,8 AC = 6 ● AB2 = 12,96 BC2 = 23,04 AC2 = 36 ● AB2 + BC2 = 12,96 + 23,04 AC2 = 36 ● AB2 + BC2 = 36 AC2 = 36 ● alors on a : AB2 + BC2 = AC2

De par la réciproque du théorème de PYTHAGORE, le triangle ABC est rectangle en B.

3) Placer sur votre figure un point M sur le segment [AB] tel que AM=1,8 et placer un point N sur le segment [AC] tel que AN=3 (1 point)

4)Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles .(2 points) On a : AB AM= 3,6 1,8=2 et AC AN= 6 3=2 alors AB AM= AC AN

De plus, on sait que les droites (MC) et (NB) sont sécantes en A

Alors d'après la réciproque du théorème de Thalès : les droites (NM) et (BC) sont parallèles. Problème (12 points)LES 4 PARTIES DU PROBLEME SONT INDEPENDANTES (si vous ne savez pas en faire une, passez à la suivante)

Problème:Dans le jardin de sa nouvelle maison, M. Durand a construit une terrasse rectangulaire qu'il désire recouvrir d'un toit.

- Le sol ABCD et le toit EFGH sont des rectangles. - Le triangle HTJE est rectangle en I. - Le

quadrilatère IEAB est un rectangle. - La hauteur du sol au sommet du toit est HB.

On donne: AB = 2,25 ; AD = 7,5 ; HB = 5

Partie 1

On suppose dans cette partie 1 que AE = 2 . 1) Justifier que HI = 3 .(1point)

Les points H, I, B sont alignés donc : HI = HB – IB

HI =5 – 2 = 3 m

2) Démontrer que HE = 3, 75 . (2points)

Dans le triangle rectangle HIE en I, le théorème de Pythagore donne:

HE² = IH² + IE² HE² = 3² + 2,25²

HE² = 9 + 5, 0625=14,0625 HE=



14,02625 HE = 3, 75 m

3) Calculer au degré près la mesure de l'angle IHE du toit avec la maison.(1,5 points)

Dans le triangle rectangle IHE on a (on choisi cosinus, sinus ou tangente) :

cosIHE= IE HE=

2,25 3,75=0,6

Donc (on utilise la calculatrice : touche inverse du cos) :



IHE=53° (arrondi au degré près) Partie 2 :

Dans cette partie2 , on suppose que 

IHE = 45° et on désire déterminer AE. 1) Quelle est la nature du triangle HIE dans ce cas ?

Justifier. (1 point)

La somme des angles d'un triangle est égale à 180) donc :



IEH=180 °−HIEIHE



IEH=180 °−9045 °=45°

Le triangle IHE a deux angles égaux, c'est un triangle isocèle et rectangle.

2) En déduire HI puis AE.(2 points) Le triangle IHE est isocèle donc : HI = IE = 2,25m

Ainsi : AE = HB – HI = 5 – 2,25 AE = 2,75m

Partie 3:

Dans cette partie3, on suppose que IHE = 60° et on désire déterminer AE.

1)Déterminer la valeur arrondie au cm de HI. (2 points) Dans le triangle rectangle IHE on a :

tanIHE=IE IH tan60 °=2,25 IH Donc IH= 2,25 tan 60 ° IH = 0,58 m (arrondi au cm près)

2) En déduire la valeur arrondie au cm de AE .(1 point) Les points HIB sont alignés donc :

IB = HB - HI

Or IEAB est un rectangle (3 angles droits) donc : IB = EA Alors :

AE = HB - IH = 5 - 0,58 = 4,42 m( arrondi au cm près) Partie 4:

Question: M. Durand souhaite que la hauteur AE soit comprise entre 3 m et 3,5 m. En utilisant le graphique, donner une mesure possible de l'angle _{IHE Faire apparaître les tracés sur le graphique.} (1,5 points)

En lisant sur le graphique, l'axe des abscisse plus précisément, une mesurer comprise entre 48° environ et 56° environ convient, par exemple 50°