M1 Physique et Chimie, Phys. Stat., 05–06 1
E
XAMEN DEM
ARS2006 1
Coups sur une paroi (environ20%des points)De l’Hélium, assimilé à un gaz parfait monoatomique, est enfermé dans une boîte aux condi- tions normales de température et de pression (température de0◦C, une mole occupe 22,4 l, pression atmopshérique, etc.). Il est demandé, avecapplication numérique:
a) Quelle est la vitesse quadratique moyenne d’une molécule ? On rappelle queR= 8,32J/◦K.
b) En assimilant la vitesse moyenne à la vitesse quadratique moyenne, combien de chocs une paroi subit-elle chaque seconde par unité de surface ?
c) Pour apprécier l’erreur faite, évaluer le rapport entre la vitesse moyenne et la vitesse quadra- tique moyenne. On donne la table des intégrales
In= Z ∞
0
xnexp(−x2) dx , I0 =
√π
2 , I1 = 1
2, I2=
√π
4 , I3= 1
2, I4 = 3√ π
8 , I5= 1.
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Équilibre d’une étoile à neutrons (environ50%des points) On rappelle- L’équation de l’hydostatique
∇p=%g,
qui relie les variations de pression p(x, y, z) dans un fluide à la masse volumique %(x, y, z) et au champ de gravitationg(x, y, z)en ce point. Dans le cas oùgserait constant, et pour un fluide incom- pressible, on retrouverait la loip(z) =p0+%gzdonnant la pression en fonction de la profondeurz, utilisée en plongée.
- Le théorème de Gauss en gravitation statique : pour une masseM à distribution isotrope, le champ de gravitation extérieur est le même que celui d’une masse ponctuelleM qui serait située au centre.
Un étoile à neutrons est décrite comme une population de neutrons autour d’un cœur dense de masse M et de rayon r0. On néglige toute interaction des neutrons, y compris (ce qui est un peu contestable) leur contribution à la gravitation.
a) Calculer le champ gravitationnel en un point à une distance r > r0. On pourra noter G la constante de gravitation etrˆle vecteur unitaire radial centrifuge.
b) On admet que les neutrons extérieurs sont soumis à une équation d’étatp = a%5/3, oùaest une constante. Exprimer la densité%en fonction de la distancer, pourr > r0.
c) Montrer que l’équation d’étatp=a%5/3 découle de l’hypothèse que les neutrons forment un gaz de Fermi dégénéré.
On rappelle quelques résultats sur les systèmes de Fermions :
- la population d’un niveau d’énergieα, comptenontenu de la dégénérescence due au spin est
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f(α), oùf()est la fonction de Fermi
f() = 1
1 + exp[β(−µ)] .
- La densité de niveaux d’énergieg() = dG()/dest donnée par G() = 4πV
3h3 (2m)3/2, g() = 2πV
h3 (2m)3/2√ .
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Modèle de ressort (environ 30% des points)Un fibre est modélisée par une succession de segments de longueura, articulés les uns à la suite des autres. Le modèle proposé est qu’en suivant la fibre de gauche à droite, chaque nouveau segment a deux positions possibles : ou bien il est déployé vers la droite et augmente donc la longueur de+a, ou bien il est replié sur le précédent et provoque une diminution de longueur dea.
a) Exprimer la longueur de la fibre, composée deN segments, siid’entre d’eux sont déployés etN −irepliés.
b) On exerce une force F qui tend à étirer la fibre. Montrer que si un segment bascule de la position repliée à la position déployée, une énergie2F aest mise en jeu.
c) On suppose que les segments sont à un équilibre thermique correspondant à une température T (on pourra poserkT = 1/β). Quelles sont les probabilitéspdetprpour que le segment soit déployé ou replié ?
d) Quelle est la contribution moyenne`¯d’un segment à la longueur de la fibre ? e) Quelles sont les limites de basse et haute température pour la longueur de la fibre ?
f) Dans le cas de haute température, quelle est la relation entre la longueur de la fibre et la force exercée ? Quelle loi retrouve-t-on ?
