D’un probl`eme de m´ecanique d’Abel au “probl`eme spectral inverse”

D’un probl` eme de m´ ecanique d’Abel au “probl` eme spectral inverse”

Yves Colin de Verdi`ere Institut Fourier (Grenoble)

ENS, 21 mai 2008

Qu’est ce qu’un probl`eme spectral inverse ?

Retrouver une matrice (sym´etrique, finie ou non) `a partir de son spectre. On suppose que la matrice fait partie d’un ensemble X de matrices.

Exemple simple `a ´enoncer (l’op´erateur de Schr¨odinger discret) : soit X l’ensemble des matrices N × N de la forme





















a₁ 1 0 0 0 · · ·

1 a₂ 1 0 0 · · ·

0 1 a₃ 1 0 · · ·

0 0 1 a₄ 1 · · ·

· · · ·

· · · ·





















Plan :

1. Le probl`eme du toboggan (Abel 1826)

2. L’´equation de Schr¨odinger et son spectre

3. Autre probl`eme spectral : fr´equences propres d’une mem- brane vibrante (1 tambour)

4. 2 spectres (Borg-Gelfand-Levitan-Marchenko 1950’)

6. Le probl`eme direct I : la formule de Weyl

7. Le probl`eme direct II : Les conditions de Bohr-Sommerfeld

8. Le th´eor`eme principal

9. La preuve

I. Le probl`eme inverse d’Abel : “Aufl¨osung eine mechanichen Aufgabe” par Niels Abel (1826)

Pb : trouver la forme d’un toboggan connaissant la fonction τ(z)=temps d’arriv´ee `a la hauteur 0 en partant `a vitesse 0 de la hauteur z.

x dx/dt= 0

z

Niels Abel [1802-1829]

Soit z = V (s) la hauteur en fonction de l’abscisse curviligne (suppos´ee monotone) ; on a (avec V (0) = 0) et en utilisant la conservation de l’´energie

E(t) = ˙s² + z = z₀ : τ(z₀) =

Z _s0 0

√ ds

z₀ − z et si s = W(z) est la fonction inverse de V :

τ(z) =

Z _z 0

W⁰(u)du

√z − u .

Probl`eme : retrouver W `a partir de la fonction τ.

Solution : Si

A(f)(z) :=

Z _z 0

f(x)dx

√z − x , on a :

A ◦ A(f)(z) := π

Z _z

0 f(x)dx . Donc f = π⁻¹(A²f)⁰ .

Exemple classique : si τ est constante, on trouve une cyclo¨ıde !

La fonction p´eriode :

Du r´esultat d’Abel, on d´eduit que, si V est paire, la fonction p´eriode T(z) = 4τ(z) en fonction de l’´energie d´etermine V . Ce n’est plus vrai si V n’est pas suppos´ee paire, mais cela reste vrai d’un point de vue quantique !

Exercice : toboggan non monotone

z0

z1

τ(z)

z z1

Montrer que la forme du toboggan, en dehors du “puits” ]a, b[, est d´etermin´ee par τ(z) et T(z), (z₀ < z < z₁), la p´eriode des oscillations pr`es du minimum local de V .

II. L’´equation de Schr¨odinger et son spectre

On consid`ere l’op´erateur de Schr¨odinger ˆHu := −~^{2u00 + V (x)u} avec ~ ^{> 0 et V :} R ^→ R⁺, lisse, et, pour simplifier, lim_x→∞ V (x) = +∞. On a le:

Th´eor`eme 1 (Th´eor`eme spectral) Il existe une suite

0 < λ₁ < λ₂ < · · · < λ_n < · · ·

tendant vers +∞ et une base orthonorm´ee de fonctions φ_n(x) de L²(R^{, dx) tels que}

Ex : l’oscillateur harmonique.

Hˆ = 1

2 −~² d²

dx² + x²

!

.

Son spectre est

σ =

n − 1 2

~ ^{| n = 1,2,· · ·}

, et les fonctions propres sont de la forme

φ_n(x) = H_n x

√

~

!

e^−x2/2~

o`u H_n est un polynˆome de degr´e n, le polynˆome d’Hermite.

III. Autre probl`eme spectral : fr´equences propres d’une membrane vibrante (1 tambour)

Ω est un domaine born´e de R²_x et on consid`ere le probl`eme:

(?)

( ∆u + λu = 0 u_|∂Ω = 0

Il existe une suite (φ_n, λ_n) avec 0 < λ₁ < λ₂ ≤ · · · et φ_n solution de (?) tels que (φ_n)_n∈

N est une b.o. de L²(Ω, dx^).

Le cas d’un rectangle (Joseph Fourier [1768-1830]):

Soit Ω = [0, l] × [0, L].

σ =

(

4π²

m l

₂

+

n L

₂!

| m, n = 1,2,· · ·

)

, et

φ_m,n(x₁, x₂) = 2

√lL sin 2πmx₁

l sin 2πnx₂ L .

Probl`eme spectral inverse de Mark Kac (1966) : “Can one hear the shape of a drum?”

Mark Kac [1914-1984]

Autrement dit, est ce que la suite des λ_n d´etermine Ω ?

Kac a montr´e que le spectre d´etermine l’aire et la longueur du bord et introduit la m´ethode de l’´equation de la chaleur :

∞ X n=1

e^−tλn = 1

4πt aire(Ω) +

√πt

2 longueur(∂Ω) + 0(t)

!

.

En particulier, les domaines circulaires sont caract´eris´es par leur spectre (A = L²/4π).

La m´ethode de l’´equation de la chaleur :

Fourier nous a appris comment r´esoudre l’´equation de la chaleur dans une barre 1D ou un rectangle `a l’aide de ses s´eries. La mˆeme m´ethode s’applique pour un domaine quelconque en utilisant la d´ecomposition spectrale de son laplacien :

∂u

∂t = ∆u avec u(0) = u₀ ,

u₀ = ^X a_nϕ_n, u(t) = ^X a_ne^−λntϕ_n . Donc

Z(t) = Trace(e^t∆) = ^X e^−tλn ,

et aussi

[e^t∆](x,y^{) = 1}

4πte^{−|x−y|2/4t}(a₀(x,y^{) +} · · ·)

Puis on calcule la trace Z(t) = ^R_Ω[e^t∆](x,x)dx^. On trouve le d.a. :

Z(t) == 1

4πt (α₀ + α₁t + · · ·) , o`u les α_j sont d´etermin´es par le spectre.

J’ai montr´e dans ma th`ese (1973), en m’inspirant des travaux des physiciens Balian & Bloch, que le spectre d´etermine l’ensemble des longueurs des trajectoires p´eriodiques du billard associ´e :

On sait aujourd’hui (Gordon-Webb-Wolpert, 1992) que la r´eponse

`

a la question de Kac est NON : ces auteurs ont trouv´e des con- trexemples o`u Ω est un polygˆone non convexe.

IV. R´esultats de Borg-Gelfand-Levitan-Marchenko :

Pour l’´equation de Schr¨odinger, avec ~ = 1, sur une intervalle born´e [a, b], B-G-L-M ont montr´e, dans les ann´ees 1950, que V est d´etermin´e par la donn´ee de 2 spectres, par ex:

(?₁) : Huˆ = λu, u(a) = 0, u(b) = 0 (?₂) : Huˆ = λu, u(a) = 0, u⁰(b) = 0 . La m´ethode est assez compliqu´ee.

V. La limite semi-classique ~ ^{tend vers 0”:}

Le principe dit de correspondance affirme que la m´ecanique clas- sique est la limite (en un certain sens) de la m´ecanique quantique quand ~ ^{→ 0.}

On va voir que le probl`eme inverse semi-classique conduit `a un probl`eme du type de celui r´esolu par Abel !

Qu’est ce que le pb inverse semi-classique ? On consid`ere les valeurs propres d’un op´erateur de Schr¨odinger comme des fonc- tions ~ ^{→ λn(}~^).

Est ce que V (x) est d´etermin´e par la comportement asymp-

Motivation : m´ethode d’imagerie passive en sismologie.

La fonction de corr´elation C_A,B(T) du bruit sismique permet de connaitre la vitesse des ondes de surfaces en fonction de leur fr´equence. M´ethode d´evelopp´ee par le groupe de Michel Campillo

`

a Grenoble.

La croˆute terrestre agit comme un guide d’ondes, car la vitesse des ondes augmente avec la profondeur. Un mod`ele acad´emique simple est donn´e par l’´equation des ondes acoustiques

u_tt − div N(x, z

ε) gradu = 0 . Si λ_n(x, ξ) est une valeur propre de

L_x,ξ = − d

dZN(x^{, Z) d}

dZ + N(x, Z)kξk²

la fonction λ_n(x, ξ) est un Hamiltonien effectif pour les ondes de surface de fr´equence ω = ε

q

λ_n(x, ξ). ~ ^{= kξk−1 est une} constante de Planck effective et on esp`ere retrouver N par un

VI. Le probl`eme direct I : la formule de Weyl

#{λ_n(~^{) ≤ E} ∼} 1 2π~

Aire{ξ² + V (x) ≤ E}

Chaque ´etat quantique occupe une aire 2π~ dans l’espace des phases.

Si on note A(E) l’aire pr´ec´edente, on v´erifie que A⁰(E) = T(E) est la p´eriode des oscillations d’´energie E. Donc, d’apr`es Abel, si le potentiel est pair, il est d´etermin´e par l’asymptotique de Weyl !

C’est le mˆeme argument que celui utilis´e par Kac pour d´eterminer

Dans TOUTE la suite, on suppose pour simplifier que

• V atteint son minimum en un seul point x₀ et V ⁰⁰(x₀) > 0

• V ⁰(x) > 0 si x > x₀

• V ⁰(x) < 0 si x < x₀

VII. Le probl`eme direct II : Les conditions de Bohr-Sommerfeld

En fait, on peut d´ecrire de fa¸con beaucoup plus pr´ecise le c.a. des vp de Schr¨odinger : ce sont les fameuses r`egles de quantification de Bohr-Sommerfeld connues par Bohr (mˆeme avant l’´ecriture de l’´equation de Schr¨odinger) pour le spectre de l’atome d’hydrog`ene.

Ces r`egles de BS ne s’appliquent qu’aux syst`emes dits int´egrables, et donc pas au pb de Kac.

Les conditions de BS et une formule de trace :

l’espace des phases

(x, ξ) ∈ R^{2 ,}

l’hamiltonien H = ξ² + V (x) et la dynamique X_H = 2ξ ∂

∂x − V ⁰(x) ∂

∂ξ .

V(x)

E

x

x ξ

x0

x− x+

x− x+

γ_E :={ξ² +V(x) = E}

Les conditions de BS usuelles s’´ecrivent A(E_n⁰) =

Z γE0

n

ξdx = 2π~

n − 1 2

et

λ_n = E_n⁰ + O(~^{2) .}

Pour l’oscillateur harmonique, cela donne les valeurs propres ex- actes.

A(E)

En fait on peut avoir le d´eveloppement asymptotique `a tous les ordres : il existe une s´erie formelle

S(E) ≡ A(E) + ~^{π +}

∞ X j=1

S_j(E)~^2j telle que, si E_n^∞ est d´efinie par

S(E_n^∞) = 2π~^{n ,} on ait

λ_n = E_n^∞ + O(~^{∞) .} De plus

(?) S₁(E) = − 1 12

d dE

Z γ_E

V ⁰⁰|dt| .

Comment le spectre d´etermine-t’il les S_j ? On utilise une formule de trace (analogue de la m´ethode de l’´equation de la chaleur) qui permet de lire clairement les S_j et aussi de les cal- culer (formule (?)).

Soit F ∈ C^∞(R) telle que

( F(E) = F(E_min) si E < E_min + ε F(E) = 0 si E est assez grand.

F(E)

Le formule de trace (T^{) :} TraceF( ˆH) ≡ 1

2π~

Z Z R²

F(H)dxdξ − ~²

Z R

F⁰(E)S₁(E)dE + ~^{4 · · ·}

Preuve de la formule (T) :

On utilise le calcul pseudo-diff´erentiel :

• Quantification de Weyl

• Formule de Moyal

• Calcul fonctionnel

Quantification de Weyl :

Formellement, un op´erateur pseudo-diff´erentiel operator ( ΨDO ) dans R^{d est donn´}e par la formule (Weyl) :

Op_Weyl(a)(u)(x) = 1 (2π~^)d

Z Z

e^{ihx−y|ξi/~}a

x + y 2 , ξ

u(y)|dydξ| , o`u a est le symbole de Weyl de A = Op_Weyl(a). On note a_W = Op_Weyl(a).

Exemples:

• (xξ)_W = ^~

i

x_dx^d + ¹₂

• (kξk² + V (x))_W = −~^{2∆ + V (x)}

Formule de Moyal

a_W ◦ b_W = (a ? b)_W o`u a ? b est donn´e par la formule de Moyal :

a ? b ≡

∞ X j=0

1 j!

~ 2i

!_j

a



 d X p=1

←

∂_ξp ∂~_xp− ^←∂ x_p ∂~_ξp



 j

b

a ? b = ab + ~

2i{a, b} + · · · .

Calcul fonctionnel

Si F ∈ C_o^∞(R^{) ˆH = H}W, on a : F( ˆH) = F^?(H)_W avec F^?(H)(z₀) ≡

∞ X k=0

1 k!

F^(k)(H(z₀))(H − H(z₀))^?k (z₀) ,

F^?(H) = F(H)−~² 8

F⁰⁰(H)det(H⁰⁰) + 1

3F⁰⁰⁰(H)H⁰⁰(X_H, X_H)

+O(~^{4) ,} avec ω(X_H, .) = −dH.

VIII. Le th´eor`eme principal.

Th´eor`eme 2 (CdV, 2007) Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes et hypoth`ese (S), la donn´ees des valeurs propres λ<sub>n</sub>(~<sup>) modulo o(</sup>~<sup>2)</sup> dans l’intervalle ] − ∞, E<sub>0</sub>] d´etermine V (x) dans {x|V (x) ≤ E<sub>0</sub>} `a changement V (x) → V (±x + C) pr`es.

Hypoth`ese (S) : d´efaut de parit´e

Si x₋ < x₊ satisfont

∀k = 0,1,· · · , V ^(k)(x₋) = (−1)^kV ^(k)(x₊) alors V est pair par rapport `a x₊ + x₋/2.

(Vrai si V analytique)

2 potentiels avec le mˆeme spectre semi-classique `a tous les ordres

I II III V(x)

x

IX. La preuve.

• L’asymptotique de Weyl d´etermine A(E) et donc T(E) = A⁰(E) ainsi que E_min := V (x₀) et V ⁰⁰(x₀) par A(E) ∼

r 2

V ⁰⁰(x₀)πE quand E → E_min⁺ .

• Le 2`eme terme dans BS d´etermine l’information manquante, via la transformation d’Abel, sous l’hypoth`ese (S^).

y = V(x) y

x

x

y f+(y)

x0

f−(y) x0

Emin

Emin

Soit F = ¹₂(f₊ + f₋), G = ¹₂(f₊ − f₋) (V est pair par rapport `a x₀ ssi F⁰ ≡ 0). Exprimons S₀(E) et S₁(E) en fonction de F et G.

T(E) = d

dES₀(E) =

Z _f+(E) f₋(E)

dx

q

E − V (x)

S₁(E) = −1 12

d dE

Z _f+(E) f₋(E)

V ⁰⁰(x)dx

q

E − V (x)

= −1 12

d

dEU(E)

Utilisant

Z 00 q

00

On r´e´ecrit T et U `a l’aide des changements de variables x = f_±(y), soit:

T(E) = 2

Z _E E_min

G⁰(y)dy

√E − y

U(E) = −2

Z _E E_min

d dy

G⁰

G⁰² − F⁰²

!

(y) dy

√E − y .

On utilise le r´esultat d’Abel :

de la 1`ere equation, on tire G<sup>0</sup>, puis de la 2`eme F⁰² en remarquant que

lim

y→E_min⁺

G⁰

G⁰² − F⁰²

!

(y) = 0 .

Avec l’hypoth`ese (S<sup>), on tire</sup> G (G(E<sub>min</sub>) = 0) et F au signe et `a une constante pr`es. Cela d´etermine V `a des changements

´evidents pr`es (translation et sym´etrie).

X. Perspectives :

• J’ai ´etendu le r´esultat pr´ec´edent au cas d’un potentiel `a plusieurs puits : pour cela, il faut s´eparer les spectres semi- classiques associ´es aux diff´erents puits et utiliser des formules de trace plus compliqu´ees.

• Qu’en est-il `a plusieurs degr´es de libert´e ? Le cas 1D est dit int´egrable, ce qui se traduit par l’existence des condi- tions de BS. Pour D > 1, on n’a plus int´egrabilit´e, mais int´egrabilit´e approch´ee (Birkhoff ). On peut esp´erer trouver le d´eveloppement de Taylor de V pr`es du minimum.

Quelques r´ef´erences ::

1. Sean Bates & Alan Weinstein, Lectures on the Geometry of Quantization. AMS, Berkeley LN 8 (1997).

2. CdV, Bohr Sommerfeld Rules to all orders. AHP 6:925–936 (2005).

3. CdV, Inverse semi-classical problem II: Reconstruction of the potential. ArXiv 2008.

5. Evans & Zworski, Lectures on Semi-classical Analysis.

http://math.berkeley.edu/˜ zworski/semiclassical.pdf.

6. San V˜u Ngo. c, Syst`emes int´egrables semi-classiques : du local au global.SMF, Panoramas et synth`eses no22 (2006).