Les mécanismes d’émission radio

Les mécanismes d’émission radio

Plan du cours

• Les bases (corps noir, propagation des ondes électro-magnétiques)

• Dipôle de Hertz

• L’émission radio par des électrons thermiques

• L’émission synchrotron

• L’émission des raies atomiques et

moléculaires

Le corps noir

• Le continu thermique : le corps noir

– idéalement le corps noir est un corps opaque, isolé, à une température constante. Son émission à une longueur d’onde donnée ne dépend que de la température et est défini par la fonction de Planck :

d λ d λ

L’approximation de Rayleigh-Jeans

h ν << kT: B _R-J d ν=2ν ² c ⁻² k Τ d ν

Domaine d’application: ν (GHz) << 20.84 (T/K)

Emission thermique:Saturne

Le spectre radio

Les ´ equations de Maxwell

courant: J~, champ ´electrique: E, induction ´electrique:~ D, champ~ magn´etique: H~, induction magn´etique: B~

J~ = σ₀σ_rE~ D~ = ǫ₀ǫ_rE~ B~ = µ₀µ_rH~ dans le vide:

σr = ǫr = µr = 1 σ₀ = 0

ǫ0 = 8.854196×10⁻¹² A s/(V m) µ₀ = 1.256637×10⁻⁶ V s/(A m) Les ´equations de Maxwell:

∇ ·D~ = ρ

∇ ·B~ = 0

∇ ×E~ = −B~˙

∇ ×H~ = J~+D~˙

La loi d’´ energie et le vecteur de Poynting

la densit´e d’´energie:

u = 1

2 ( E ~ · D ~ + B ~ · H) ~ en d´efinisant le vecteur de Poytning:

S ~ = E ~ × H ~ on obtient:

∂u

∂t + ∇ · S ~ = − E ~ · J ~

− E ~ · J ~ : conversion de l’´energie ´electromagn´etique en ´energie thermique

vecteurs complexes du champ:

e

= cos x + i sin x E ~ (t) = E ~

e

H ~ (t) = H ~

e

la valeur moyenne du vecteur de Poynting:

< ~ S >= Re { E ~ × H ~

}

L’´ equation de propagation des ondes

´ electromagn´ etiques

∇²H~ = ǫµH~¨ +σµH~˙

∇²E~ = ǫµE¨~ +σµE~˙ dans un mat´eriau isolant et homog`ene:

∇²E~ = v⁻²E¨~ avec v = √¹ǫµ

E~ ·H~ = 0

|S~|=

v u u t

ǫ µE~² u = ǫ ~E² l’intensit´e du rayonnement:

I = |< ~S > | la puissance du rayonnement:

P = ^{Z 2π}

0 Z π

0 | < ~S > |r²sinθdθdφ

(σ =0)

E

/E

=tan α

tan 2 ψ =-tan 2 α cos δ

ψ

Polarisation: les param` etres de Stokes

ellipse de polarisation E_x = E₁cos(kz−ωt+δ₁) E_y = E₂cos(kz−ωt+δ₂) E_z = 0

δ = δ₁−δ₂

´equation d’ellipse:

(Ex

E₁)²+ (Ey

E₂)²−2Ex

E₁ Ey

E₂ cosδ = sin²δ transformation de coordonn´ees:

E_e1 = E_xcosψ+E_ysinψ E_e2 = −E_xsinψ+E_ycosψ param`etres de Stokes:

I = E₁²+E₂² Q= E₁²−E₂² U = 2E₁E₂cosδ V = 2E₁E₂sinδ

polarisation circulaire (droite): E₁ =E₂, δ = π/2:

I = S, Q= 0, U = 0, V =S

polarisation circulaire (gauche): E₁ =E₂, δ= −π/2:

I = S, Q= 0, U = 0, V =−S polarisation lin´eaire: E_e2 = E, E_e1 = 0:

I = E =² S, Q= Icos 2ψ, U = Isin 2ψ, V = 0

Observations des paramètres de Stokes: M31

carte I

carte PI=sqrt(U

+Q

) et ψ

Les potentiels ´ electromagn´ etiques

potentiels ´electromagn´etiques A ~ et φ:

∇ · B ~ = 0 → B ~ = ∇ × A ~

→ ∇ × ( E ~ + A) = 0 ~ ˙

→ E ~ = −∇ φ − A ~ ˙

´equations temporelles:

∇

A ~ − ǫµ A ¨ ~ = − µ ~ J

∇

φ − ǫµ φ ¨ = − 1 ǫ ρ

`a l’aide de la fonction de Green on trouve:

A(~x, t) = ~ µ 4π

Z Z Z

J ~ ( x ~

, t −

)

| ~x − x ~

| d

x

φ(~x, t) = 1 4πǫ

Z Z Z

ρ( x ~

, t −

)

| ~x − x ~

| d

x

Le dipˆ ole de Hertz

J~ = I

qe^−iωt~ˆ; |ˆ|= 1 pour ∆l < λ on obtient

| < ~S > |= |Re(E~ ×H~^∗)| =

v u u t

µ0

ǫ0

(I∆l

2λ )²sin²θ r²

o`u ω/c = 2π/λ, r est la distance et ∆l la longueur du dipˆole.

P = ^{Z 2π}

0 Z π

0 |< ~S >|r²sinθdθdφ = 8π 3

v u u t

µ0

ǫ0

(I∆l 2λ )² Th´eor`eme de r´eciprocit´e:

dipˆole peut ˆetre ´emetteur ou r´ecepteur.

∆A

Rayonnement d’un ´ electron acc´ el´ er´ e

dipˆole d = − e∆le

= d

e

; ˙ d = − e v ˙ le courant: I =

= ˙ d/∆l = − iωd/∆l d ¨ = ˙ I ∆l = − iωI ∆l = − e v ˙

→ I ∆l = e v ˙ iω

| S ~ | = 1 16π

ǫ

e

v ˙

c

sin

θ r

P (t) = 1 6πǫ

e

v ˙

(t) c

Bremsstrahlung d’une seule collision entre un ´ electron et un ion

∆E/E ∼ 10

l = p/ cos θ

loi de Coulomb: m ~v ˙ = − 1/(4πǫ

)(Ze

)/(l

) ~l simplification: ˙ v = | ~v ˙ | cos θ

´energie ´emise pendant la collision:

W =

−∞

P (t)dt = π 4

1 (4πǫ

)

Z

e

c

m

p

1 v d´epend uniquement de p et v.

θ

Ze

e p

l

v

-ev

Rayonnement d’un gaz ionis´ e

comme ∆E/E est tr`es petit: distribution de Maxwell pour les

´electrons:

f(v) = 4v²

√π( m

2kT)³² exp (− mv² 2kT)

nombre de collisions par unit´e de volume et par unit´e de temps d’un ´electron avec un ion avec des param`etres d’impact entre p et p+ dpet des vitesses entre v et v + dv:

dN(v, p)

dt = 2πNiNevpf(v)dvdp puissance ´emise entre ν et ν + dν:

4πǫ_νdν =P_ν(v, p)dN(v, p) dt dν

avec^R₀^∞v⁻¹f(v)dv= ^q(2m)/(πkT) on obtient l’´emissivit´e:

ǫν = 1 (4πǫ₀)³

2 3

Z²e⁶ c³

NiNe

m²

v u u t 2m

πkTlnp1

p₂ ln^p_p¹

2 → Gaunt factor < gf f >

d’apr`es la loi de Kirchhoff (ELT) dI_ν/ds=−κ_νI_ν +ǫ_ν = 0:

κν = ǫν

B_ν(T) +approximation de Rayleigh-Jeans

l’´epaisseur optique:

τν = −^Z₀^sκνds

Observation du rayonnement des ´ electrons thermiques

d´efinition de la mesure d’´emission:

EM

pc cm

=

s pc

0

( N

cm

)

d( s pc )

τ

= 3.014

10

( T

K )

( ν

GHz )

( EM

pc cm

) < g

>

spectre du bremstrahlung:

•

plat pour τ

< 1,

• ∝

ν

(corps noir - approximation de Rayleigh-Jeans) pour

τ

> 1.

Emission thermique I: région HII

Radio: VLA, 6cm

NIR optique

SH 2-201

L’´ emission synchrotron

´equation de mouvement d’un ´electron dans un champ magn´etique:

d

dt (γm~v) = e(~v

B) ~ o` u γ = (1

(v/c)

)

→

mouvement circulaire autour du champ magn´etique avec la fr´equence ω

=

pour B = 1 µG et γ = 1: ω

18 Hz

→

acc´el´eration: a

= ω

v

syst`eme de r´ef´erence: l’´electron ne bouge pas:

P

= 1 6πǫ

e

c

a

transformation de Lorentz:

´energie: W

= γW , puissance P

= P , acc´el´eration: a

= γ

a

P = 1

6πǫ

e

c

γ

a

avec v

c et γ = E/(mc

) on obtient:

P = 1 6πǫ

e

B

m

c ( E

mc

)

W ‘

L’effet du beaming

dans le syst`eme de r´ef´erence de l’´electron:

dP^′(ϑ, ϕ)

dΩ = 1

16π²ǫ0

e²

c³a^′_⊥²sin²ϑ

o`uϕ est l’angle par rapport au champ magn´etique (pitch angle) synchrotron beaming:

sinθ = 1 γ

fr´equence de l’´emission - temps pour une orbite:

∆T^′ = 2π ω_G tranformation de Lorentz:

∆T^A = 1 γ³ωB

1 sinϕ

conclusion: les ´electrons relativistes ´emettent de l’´emission syn- chroton `a des fr´equences plus ´elev´ees que la fr´equence de Larmor ωG

fr´equence du maximum d’´emission:

νc = 3

2γ²νGsinϕ

L’´ emission synchrotron d’un ensemble d’´ electrons

emissivit´e:

ǫ(ν) = ^Z

Ω,EP(ν, E;ϕ)N(E, ϕ)dEdΩ supposition: distribution de pitch angles est isotrope;

N(E) spectre en loi de puissance:

N(E)dE = KE^δdE pour E₁ < E < E₂

→ ǫ_ν ∝ν^α avec δ = 2α+ 1

pour le flux on obtient:

S(ν) = 1.7×10⁻²⁸a(δ)V B^(δ+1)/2(6.26×10¹⁸

ν/Hz )^(δ−1)/2 WHz⁻¹ a(δ): facteur num´erique

V: volume

B: champ magn´etique

exemple: δ = 2.6 → S(ν)∝ν^−0.8 pour la puissance on obtient:

Emission non thermique I:

supernova remnants

nébuleuse de crabe

VLA, 6cm optique: vert: OIII; rouge H α;

bleu: continu à 5470A

L’´ energie minimum du champ magn´ etique

´energie totale:

W_tot =W_part+V B² 2µ0

= V(η^{Z Emax}

Emin

KE^−δ+1dE + B² 2µ0

) S_ν = aV KB^(δ+1)2ν^(1−δ)2

→ W_part = GηS_νB⁻³²

Wtot montre un minimum pour un champ magn´etiqueBmin: Bmin = (3µ₀ηG

2V Sν)²⁷

proche de la valeur d’équipartition entre électrons relativistes et champs magnétique

; E

= ν /(const.B)

Séparation de l’émission thermique et non thermique

Spectres radio des

galaxies spirales

Séparation de l’émission thermique et non thermique

Carte de l’indexe spectral:

3.5cm 6cm indexe spectral α

Emission thermique et non thermique

Le centre galactique

100 pc

Emission thermique et non thermique

Le centre galactique

Les radiogalaxies et leurs jets

Emission synchrotron des jets

L’´ emission des raies

les coefficients de Einstein profile de raie ϕ(ν):

Z ∞

0 ϕ(ν)dν = 1 intensit´e moyenne:

I¯= ^{Z ∞}

0 I_νϕ(ν)dν

densit´e moyenne d’´energie du champ de rayonnement ¯U: U¯ = 4πI/c¯

probabilit´es

d’absorption: N₁B₁₂U¯

d’´emission stimul´ee: N₂B₂1 ¯U d’´emission spontan´ee: A₂1

o`u Ni est la nombre d’´electrons au niveaui par unit´e de volume syst`eme stationnaire:

N2A21+N2B21U¯ = N1B12U¯ si ´equilibre thermique:

N₁ N2

= g₁ g2

exp(−hν₀ kT ) g_i pond´eration des niveaux

T: temp´erature absolue

U¯ = 4π

c B_ν(T)

→ g₁B₁₂ =g₂B₂₁ ; A₂₁ = 8πhν₀³ c B₂₁

E

E

A₂₁ B₂₁U_ν B₁₂U_ν

Le transfert du rayonnement

dI

ds =

κ

I

+ ǫ

´emission spontan´e:

dE

(ν) = hν

N

A

ϕ

dV dΩ 4π dνdt absorption:

dE

(ν ) = hν

N

B

4π

c I

ϕ

(ν )dV dΩ 4π dνdt

´emission stimul´ee:

dE

(ν ) = hν

N

B

4π

c I

ϕ

(ν)dV dΩ 4π dνdt syst`eme stationaire et ϕ

= ϕ

= ϕ et dV = dσds:

dE

(ν ) + dE

(ν) + dE

(ν ) = dI

dΩdσdν dt on obtient:

dI

ds =

hν

c (N

B

N

B

)I

ϕ(ν) + hν

4π N

A

ϕ(ν ) coefficient d’aborption:

κ

= hν

c (N

B

N

B

)ϕ(ν )

ETL et non-ETL

ETL: ´equilibre thermique locale

distribution de Boltzmann: N₂/N₁ =g₂/g₁exp(−hν/(kT)) il suffit de connaˆıtre un param`etre parmi (B₁₂, B₁₂, A₂₁) non-ETL:

´equation des taux de transition:

dN_j

dt = −Nj X

k X

y R_jk^y +^X

k

Nk X

y R_kj^y

o`u R_jk^y est la probabilit´e de la transition j → k caus´ee par le processus y. Nj est le nombre d’´electrons au niveauj par unit´e de volume

syst`eme stationnaire:

dN_j dt = 0

La raie H i ` a 21 cm

due `a un changement de spin (spin flip) fr´equence: ν0= 1.420405751786×10⁹ Hz A10= 2.86888×10⁻¹⁵ s⁻¹

dur´ee de vie moyenne du niveau excit´e: t_1/2 ≃10⁷ a

en g´en´erale dans la mati`ere interstellaire: temps de collision entre atomes: t_coll ∼ 400 a

→ ELT, statistic de Boltzmann:

N1

N₀ = g1

g₂exp (− hν10

kT_s)

o`uT_s est la temp´erature du spin qui est une moyenne pond´er´ee de la temp´erature cin´ematique du gaz et de la temp´erature de brillance du champ de rayonnement

on peut calculer B₁₂ et B₂₁ directement de A₁₂

coefficient d’absorption:

κ_ν = 3hc² 32π

A₁₀ kTs

ϕ(v)n_H

o`u nH est la densit´e en nombre d’hydrog`ene pour l’epaisseur optique on obtient:

Z ∞

−∞τ(v)dv = 5.4873×10⁻¹⁹(Ts

K)^{−1Z ∞}

0 nH(s)ds

H i en ´ emission

temp´erature de brillance:

T

= c

2k

1 ν

B

l’´equation du transfert du rayonnement dans le cas de l’ELT:

dI

dτ

= I

B

(T ) devient

dT

(s)

dτ

= T (s)

T (s) la solution est:

T

(v) = T

(1

e

) + T

e

o` u T

est la temp´erature de spin du nuage de gaz et T

est la temp´erature de brillance de la source du fond

cas optiquement mince:

T

(V ) = T

τ (v) colonne de densit´e de l’hydrog`ene atomique:

N

= 1.8224

10

−∞

( T

(v)

K )d( v

km s

) cm

HI en émission

La galaxie Circinus

Carte HI vitesses radiales

H i en absorption

on peut calculer la temp´erature du spin si on a un spectre en

´emission (∆Ton) et un spectre en absorption (∆Toff) d’`a peu pr`es la mˆeme r´egion:

Ts =Tc

1

1−(∆Ton/∆Toff)

→ conversion de Ts en TK par tableau

∆ T

∆ T

Les raies moléculaires

Exemples: CO, HCN, CS, H

O, NH

Transitions rotationelles et vibrationnelles

CO(1-0): 115 GHz CO(2-1) 230 GHz

En général la l’émission de la raie est optiquement épaisse

Les raies de recombinaison

• Electron libre + atome ionisé

• Electron libre -> électron lié + émission d’un photon (continu);

-> cascade vers les niveau n=1 ->

émission d’un photon (raie)

• Exemples: en optique H α ; en radio H92 α

• Raies très faibles mais

accès aux vitesses radiales

Raies de recombinaison utilisées pour estimer la fraction de

l’émission thermique