A2830. Chassés-croisés ***
Q1 Déterminer tous les sextuplets d’entiersa1,a2,a3,a1>a2>a3>1 etb1,b2,b3,b1>b2>b3>1 tels que le produit des trois premiers est égal à la somme des trois derniers et le produit des trois derniers est égal à la somme des trois premiers.
Q2 Déterminer tous les octuplets d’entiersa1,a2,a3, a4, a1>a2>a3>a4>1 etb1,b2,b3,b1>b2>
b3>b4>1 tels que le produit des quatre premiers est égal à la somme des quatre derniers et le produit des quatre derniers est égal à la somme des quatre premiers.
Q3 Démontrer que quel que soit n >3, on sait trouver au moins cinq 2n-uplets d’entiers ai >1 (i = 1 àn) etbi>1 (i =1 àn) tels que le produit desn premiers est égal à la somme desnderniers et le pro- duit desnderniers est égal à la somme desnpremiers.
Solution de Claude Felloneau
Q1 Les solutions sont : (8,1,1,5,2,1) ; (7,1,1,3,3,1) ; (6,1,1,2,2,2) ; (5,2,1,8,1,1) ; (3,3,1,7,1,1) ; (2,2,2,6,1,1) ; (3,2,1,3,2,1).
En effet, sia1>a2>a3>1,b1>b2>b3>1 eta1a2a3=b1+b2+b3etb1b2b3=a1+a2+a3on a (1) x+y=4 où x=f(a1,a2,a3)=a1a2a3−a1−a2−a3+2 et y=f(b1,b2,b3) En posanta=(a1,a2,a3), on af(a)=(a3−1)(a1a2−1)+(a1−1)(a2−1).
— Sia3>3 on aa1>a2>3 doncf(a)>2(a1a2−1)>16.
— Sia3=2 on aa1>a2>2 doncf(a)=2a1a2−a1−a2=1 2
¡(2a1−1)(2a2−1)−1¢
>4 avec égalité si et seulement sia1=a2=2.
De plus, sia1>2,f(a)>7.
— Sia3=1, on af(a)=(a2−1)(a1−1)>0 donc
f(a)=0⇐⇒a=(a1, 1, 1) f(a)=1⇐⇒a=(2, 2, 1) f(a)=2⇐⇒a=(3, 2, 1) f(a)=3⇐⇒a=(4, 2, 1)
f(a)=4⇐⇒a=(5, 2, 1) ou (3,3,1) ou (2,2,2).
f(a)=5⇐⇒a=(6, 2, 1).
f(a)=6⇐⇒a3=1 et (a2−1)(a1−1)=6⇐⇒a=(7, 2, 1) ou (4,3,1).
Commexest un entier positif, d’après (1) les valeurs possibles dexsont 0, 1, 2, 3, 4.
— Si x =0, y =4, a =(a1, 1, 1) et b =(5, 2, 1) ou (3,3,1) ou (2,2,2). Ce qui donne les sextuplets : (8,1,1,5,2,1) ; (7,1,1,3,3,1) ; (6,1,1,2,2,2). On vérifie qu’ils conviennent.
— De même, six=4 on obtient les sextuplets (5,2,1,8,1,1) ; (3,3,1,7,1,1) ; (2,2,2,6,1,1).
— Six=1,y=3,a=(2, 2, 1) etb=(4, 2, 1). Or 2+2+16=4×2×1. Il n’y a donc pas de solution dans ce cas.
— Il en est de même six=3.
— Si x=2, y =2, (a =(3, 2, 1) etb =(3, 2, 1). On a 3+2+1=3×2×1, ce qui donne le sextuplet (3, 2, 1, 3, 2, 1).
Q2 Les solutions sont : (11,1,1,1,7,2,1,1) ; (9,1,1,1,4,3,1,1) ; (7,2,1,1,11,1,1,1) et (4,3,1,1,9,1,1,1) ; (4,2,1,1,4,2,1,1).
On raisonne de façon analogue. Sia1>a2>a3>a4>1,b1>b2>b3>b4>1 eta1a2a3a4=b1+b2+b3+b4 etb1b2b3b4=a1+a2+a3+a4on a
(2) x+y=6 où x=g(a1,a2,a3,a4)=a1a2a3a4−a1−a2−a3−a4+3 et y=g(b1,b2,b3,b4)
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En posanta=(a1,a2,a3,a4), on ag(a)=(a4−2)(a1a2a3−1)+(a3−1)(2a1a2−1)+1 2
¡(2a2−1)(2a1−1)−1¢
— Sia4>2 on aa1>a2>a3>2 doncg(a)>(a3−1)(2a1a2−1)>7.
— Sia4=1 on ag(a)=a1a2a3−a1−a2−a3+2=f(a1,a2,a3).
Donc
g(a1,a2,a3,a4)=0⇐⇒a4=1 etf(a1,a2,a3)=0⇐⇒a=(a1, 1, 1) g(a)=1⇐⇒a4=1 etf(a1,a2,a3)=1⇐⇒a=(2, 2, 1, 1).
g(a)=2⇐⇒a4=1 etf(a1,a2,a3)=2⇐⇒a=(3, 2, 1, 1) g(a)=3⇐⇒a4=1 etf(a1,a2,a3)=3⇐⇒a=(4, 2, 1, 1)
g(a)=4⇐⇒a4=1 etf(a1,a2,a3)=4⇐⇒a=(5, 2, 1, 1) ou (3,3,1,1) ou (2,2,2,1).
g(a)=5⇐⇒a4=1 etf(a1,a2,a3)=5⇐⇒a=(6, 2, 1, 1)
g(a)=6⇐⇒a4=1 etf(a1,a2,a3)=6⇐⇒a=(7, 2, 1, 1) ou (4,3,1,1).
Commexest entier positif, d’après (2) les valeurs possibles dexsont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
— Six=0,y=6,a=(a1, 1, 1, 1) etb=(7, 2, 1, 1) ou (4,3,1,1). Ce qui donne les octuplets (11,1,1,1,7,2,1,1) ; (9,1,1,1,4,3,1,1) qui conviennent.
— De même, six=6, on obtient les octuplets : (7,2,1,1,11,1,1,1) et (4,3,1,1,9,1,1,1).
— Six=1,y=5,a=(2, 2, 1, 1) etb=(6, 2, 1, 1). Or 2+2+1+16=6×2×1×1 donc aucun octuplet ne convient dans ce cas.
— De même six=5 aucun octuplet ne convient.
— Si x=2, y =4, (a =(3, 2, 1, 1) de somme 7 etb =(5, 2, 1, 1) ou (3,3,1,1) ou (2,2,2,1) de produits respectifs 10, 9, 8. Donc aucun octuplet ne convient dans ce cas.
— Il en est de même six=4
— Six=3, y=3,a =(4, 2, 1, 1) de somme 8 etb =(4, 2, 1, 1) de produit 8. Ce qui donne l’octuplet (4,2,1,1,4,2,1,1) qui convient.
Q3 Les cinq 2n−uplets suivants conviennent.
(2n−1, 2, 1, ..., 1
| {z }
n−2
, 3n−1, 1, ..., 1
| {z }
n−1
, (3n−1, 1, ..., 1
| {z }
n−1
, 2n−1, 2, 1, ..., 1
| {z }
n−2
, (n, 3, 1, ..., 1
| {z }
n−2
, 2n+1, 1, ..., 1
| {z }
n−1
, (2n+1, 1, ..., 1
| {z }
n−1
,n, 3, 1, ..., 1
| {z }
n−2
, (n, 2, 1, ..., 1
| {z }
n−2
,n, 2, 1, ..., 1
| {z }
n−2
,
En effet, 2(2n−1)×1×..×1
| {z }
n−2
=4n−2=3n−1+1+1+...+1
| {z }
n−1
et (2n−1)+2+1+...+1
| {z }
n−2
=3n−1=(3n−1)×1×..×1
| {z }
n−1
. n×3×1×...×1
| {z }
n−2
=3n=(2n+1)+1+...+1
| {z }
n−1
et (2n+1)×1×..×1
| {z }
n−2
=2n+1=n+3+1+...+1
| {z }
n−2
, n×2×1×...×1
| {z }
n−2
=2n=n+2+1+...+1
| {z }
n−2
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