Dans ce chapitre, on introduit certains outils permettant de mieux comprendre

12 Analyse asymptotique

D

^ans ce chapitre, on introduit certains outils permettant de mieux com- prendre le comportement des suites ou fonctions au voisinage de l’infini (pour les suites), ou d’un point quelconque a deR (pour les fonctions).

Ces outils permettent d’affiner la notion de limite, notamment dans le cas d’une limite nulle ou infinie : ils nous permettront d’exprimer le fait qu’une suite converge plus rapidement vers 0 qu’une autre, ou sensiblement à la même vitesse.

N

^ous affinerons ensuite l’étude locale d’une fonction au voisinage d’un point.

L’étude des dérivées permet d’approcher localement une courbe par une droite (la tangente). Dans ce chapitre, nous généralisons ce point de vue en montrant comment les formules de Taylor permettent d’approcher une courbe au plus près (localement) par une courbe polynomiale de degré donné.

Nous étudierons ensuite la qualité de cette approximation, en majorant (localement pour l’instant) l’erreur faite en approchant la courbe par cette courbe polynomiale.

C

^’est l’objet de l’étude des restes de Taylor. Nous terminerons par l’applica- tion de ces approximations polynomiales au calcul de limites, et par quelques outils permettant de calculer ces approximations sans avoir à revenir à la formule de Taylor (et donc au calcul bien fastidieux de toutes les dérivées successives).

Il s’agit du calcul des développements limités.

Sommaire

I Négligeabilité . . . . 3

I.1 Introduction . . . 3

I.2 Opérations sur les petits o. . . 7

II Développements limités. . . . 10

II.1 Introduction . . . 10

II.2 Primitivation des développements limités . . . 15

II.3 Formule de Taylor-Young . . . 17

II.4 Dérivation des développements limités . . . 21

II.5 Développements usuels. . . 22

II.6 Opérations sur les développements limités . . . 26

III Équivalence . . . . 32

III.1 Introduction . . . 32

III.2 Opérations sur les équivalents . . . 39

IV Domination . . . . 42

IV.1 Introduction . . . 42

IV.2 Petit o, Grand o et Équivalence . . . 44

V Exemples et Applications. . . . 45

V.1 Calculs de limites . . . 45

V.2 Position locale d’une fonction par rapport à une tangente . 45 V.3 Recherche d’un équivalent . . . 46

V.4 Asymptote d’une fonction en +∞ . . . 47

V.5 Développement asymptotique . . . 47

Dans ce chapitre, la lettre I qui servira d’ensemble de définition désignera une partie quelconque de R.

I Négligeabilité

I.1 Introduction

Fonctions : Soient f : I 7−→R etg : I 7−→R deux fonctions et a∈I.

On suppose que g ne s’annule pas au voisinage dea, sauf peut-être enaavec dans ce cas f(a) = 0.

On dit quef est négligeable devantgau voisinage dea, notéf(x) =_x

→ao (g(x)) ou f =

x→ao (g), si lim

x→a

f(x)

g(x) = 0 et on lit :

«f est un petit o de g au voisinage de a».

Suites : Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites. On suppose que vn 6= 0 à partir d’un certain rang.

On dit que (un)n∈N est négligeable devant (vn)n∈N, noté un =

n→+∞ o (vn) si

n→lim+∞

un

vn

= 0 et on lit :

« (un)n∈N est un petit o de (vn)n∈N au voisinage de l’infini ».

Définition 1 (Négligeabilité)

Remarque : Dire qu’une fonction ou une suite est un o (1) au voisinage d’un point a ou de +∞signifie que lim

x→a

f(x)

1 = 0 ou lim

n→+∞

un

1 = 0 c.-à-d. un o (1) est une fonction ou une suite de limite nulle en a ou +∞ respectivement.

En particulier, ∀k ∈N, o 1 x^k

=

x→+∞o (1) et o 1 n^k

=

n→+∞o (1).

De même, ∀k∈N, ox^k =

x→0o (1).

L’intérêt de cette notation est qu’on peut l’utiliser dans les calculs. On peut, par exemple, considérer un =vn+ o (wn). C’est notamment pratique pour formaliser des approximations.

Ainsi, dire que

un =

n→+∞2 + 3 n − 5

n² + o 1 n²

, signifie que pour n assez grand, un est à peut près égal à 2 + 3

n − 5

n², et que l’erreur faite en approchant un par cette expression est négligeable devant le plus petit terme de cette expression polynomiale.

Cette erreur est même contrôlée par le o 1 n²

qui exprime que ce qu’il reste est négligeable devant 1

n² pour n assez grand^⌊1⌋.

⌊1⌋. On ne l’écrira donc pas.

Il s’agit d’une bonne approximation par une expression polynomiale en 1

n à l’ordre 2.

Il s’agit même de la meilleure.

Exemples 1 :

— x² =

x→+∞ox⁴ mais x⁴ =

x→0ox².

— 1

x² =

x→+∞o1 x

mais 1 x =

x→0o1 x²

.

— n² =

n→+∞on⁴. — 2ⁿ =

n→+∞o (3ⁿ). — 1 n² =

n→+∞o1 n

.

Les petits o sont la formalisation définitive des croissances comparées.

« Certains infinis sont plus infinis que d’autres, certains zéros sont plus zéros que d’autres. »

Dire que x² =

x→+∞ ox⁴, c’est affirmer l’immensité de x⁴ par rapport à x² lorsque x est grand, et dire que x⁴ =

x→0ox², c’est affirmer l’infinie petitesse dex⁴ par rapport à x lorsque xest petit.

Un peu d’histoire:On doit la notation « petit/grand o » à Landau^⌊2⌋et Bachmann^⌊3⌋

⌊3⌋. Edmund Georg Hermann Landau(Berlin, 14 février1877- Berlin, 19 février1938) est un mathématicien allemand, auteur de 253 publications mathématiques, en grande partie sur la théorie des nombres.

Landau étudie les mathématiques à l’université de Berlin et reçoit son doctorat en 1899 et son habilitation (la qualification post-doctorale requise dans les universités allemandes) en 1901. Il en- seigne à l’université de Berlin de 1899 à 1909 et conservera sa chaire à l’université de Göttingen de 1909 jusqu’à son expulsion de l’université par le régime nazi en 1933 du fait qu’il estjuif. Dès lors, il ne donnera plus aucun cours dans son pays.

En 1903, Landau donne une démonstration beaucoup plus simple que celle connue alors du théorème des nombres premiers et présente ensuite le premier traitement systématique de la théorie analytique des nombres. Il fait également d’importantes contributions en analyse complexe.

Hardy a écrit que personne ne fut jamais plus passionnément dévoué aux mathématiques que Landau. Ceci est amplement mis en évidence par ses livres sur les fondations axiomatiques de l’analyse et sur la théorie des nombres. Il est resté célèbre notamment pour la diffusion et l’usage de notations qui portent son nom : les notations de Landau (O, o, Ω ,Ω+, Ω−, Ω±), qui ont en fait en partie été inventées par Bachmann (O), et par Hardy et Littlewood (Ω).

On peut cependant lui attribuer la paternité du symbole o.

⌊3⌋. Paul Bachmann(22 juin1837- 31 mars1920) est un mathématicien allemand.

Bachmann est à l’origine du symbole grand O (utilisé en informatique plus tard) pour désigner la complexité d’un algorithme.

Il suffit alors de relire les derniers chapitre pour débuter notre formulaire des relation de négligeabilité à connaître :

Soient a, b, α, β ∈R.

— Si α < β alors x^α =

x→+∞ox^β.

— Si α >0 alors (lnx)^β =

x→+∞o (x^α).

— Si 0< a < b alors a^x =

x→+∞o (b^x).

— Si a >1 alorsx^α =

x→+∞o (a^x).

En particulier, si α >0, alors x^β =

x→+∞o (e^αx).

Théorème 1 (Croissances comparées usuelles des fonctions au voisinage de +∞)

De même, au voisinage de 0, on a :

Soient α, β∈R.

— Si α < β alors x^β =

x→0o (x^α).

— Si α >0 alorsx^α =

x→0 o(lnx)^β ou (lnx)^β =

x→0o 1 x^α

.

Théorème 2 (Croissances comparées usuelles des fonctions au voisinage de 0)

— Les croissances comparées usuelles des fonctions en +∞ peuvent bien sûr être exprimées en termes de suites. Il suffit de remplacer x par n.

— On a, de plus, ∀a ∈R,aⁿ =

n→+∞o (n!).

Théorème 3 (Croissances comparées usuelles des suites)

Nous avons introduit la notation petit o sous sa forme la plus élémentaire - mise en relation de deux fonctions ou de deux suites - mais on la rencontre en réalité le plus souvent sous la forme suivante :

f =

x→ag+ o (g) pour les fonctions et un =

n→+∞vn+ o (vn) pour les suites.

Ce qui est affirmé ici, c’est que f = g+ε avec ε =

x→a o (g) et que un =

n→+∞ vn +εn

avec εn =

n→+∞o (vn) c.-à-d. que o (g) est une certaine fonction négligeable devant g au voisinage de a et o (vn) une certaine suite négligeable devant (vn)n∈N.

Exemple 2 : Partons de l’affirmatione^x =

x→01 +x+x²+ o (x), selon laquelle grosso modo, pourx proche de 0, e^x ≃1 +x+x².

Cette approximation n’a de sens que si l’on peut y mesurer l’erreur commise. En l’occurrence, ici e^x ≃1 +x+x² à un o (x) près.

C’est un peu comme quand on dit que π≃3,141592 à 10⁻² près.

Vous répondrez naturellement « Pourquoi pas seulement 3,14 puisqu’on raisonne à 10⁻² près ? » Et vous aurez raison. Raisonner à 10⁻² près, c’est négliger tout ce qui est plus petit que 10⁻².

Ainsi l’approximationπ ≃ 3,14 à 10⁻² près est aussi précise que l’approximation π≃3,141592 à 10⁻² près, quand bien même on écrit deux décimales correctes dans un cas et six dans l’autre.

Il se passe la même chose avec les petits o. Comme x² =

x→0 o (x), la quantité x² est inutile dans la relation e^x = 1 +x+x²+ o (x) donc nous pouvons lui couper la tête et écrire

e^x =

x→0= 1 +x+ o (x).

Cette nouvelle proposition n’est ni plus ni moins précise que la précédente mais elle est plus lisible et plus économe.

Moralité : Tout petit o est un niveau de précision, un seuil de visibilité. De vous- mêmes, à chaque instant, faites le ménage, coupez la tête de tous les invisibles !

ATTENTION

Attention à l’abus de notation que l’on fait en écrivant un= o (vn).

Il ne s’agit pas vraiment d’une égalité, et c’est à prendre plus dans le sens d’une appartenance :

« (un)n∈N appartient à l’ensemble des suites négligeables devant (vn)n∈N».

Si on garde en tête l’idée qu’il s’agit d’une appartenance, on évite un certain nombre d’erreurs que peut véhiculer la notation.

Par exemple :

— un = o (vn) et u^′_n = o (vn) n’implique pas un = u^′_n, ce qui est assez troublant formellement pour une égalité.

— On ne peut pas simplifier des o : un+ o (wn) = vn+ o (wn) n’implique pas un=vn.

Exercice 1 : Soit ln(1+x) =

x→0x−x²

2 +ox²et sinx =

x→0x−x³

6 +ox³. Simplifier les expressions suivantes avec un degré de précision de l’ordre du o (x) :

1. ln(1 +x) + sinx. 2. ln(1 +x)−sinx. 3. sin(x) ln(1 +x).

Fonctions : Soient f : I 7−→R eta ∈I. Alors : lim

x→af(x) =ℓ ⇐⇒ f =

x→aℓ+ o (1).

En particulier, lim

x→af(x) = 0 ⇐⇒ f =

x→ao (1).

Suites : Soient (un)n∈N une suite et ℓ∈R. Alors : lim

n→+∞un=ℓ ⇐⇒ un =

n→+∞ℓ+ o (1).

En particulier : lim

n→+∞un = 0 ⇐⇒ un =

n→+∞o (1).

Théorème 4 (Limites et petits o)

Preuve:

Démonstration

àfaire

I.2 Opérations sur les petits o

On rappelle que, dans dans toute la suite :

— chaque fois que l’on écrira f =

x→a o (g) on sous-entendra g(x) 6= 0 dans un voisi- nage dea ou g(a) = 0 mais dans ce cas f(a) = 0 aussi,

— de même, un =

n→+∞o (vn) sous-entendravn6= 0 à partir d’un certain rang.

Soit λ∈R^∗.

Fonctions : Si f =

x→ao (g) alorsf =

x→ao (λg) et λf =

x→ao (g).

Suites : Siun =

n→+∞o (vn) alors un =

n→+∞o (λvn) et λun =

n→+∞o (vn).

Proposition 5 (Les petits o absorbent les constantes multiplicatives)

Preuve:

Démonstration

àfaire

Exemple 3 : Si on admet l’égalité eⁿ¹ =

n→+∞1 + 1

n + o1 n

alors :

2eⁿ¹ =

n→+∞2 + 2

n + 2o1 n

n→+∞= 2 + 2

n + o1 n

.

Fonctions : Si f =

x→ao (h) et g =

x→ao (h) alors f ±g =

x→ao (h).

Suites : Siun =

n→+∞o (wn) et vn =

n→+∞o (wn) alorsun+vn =

n→+∞o (wn).

Proposition 6 (La somme de deux petits o est un petit o)

ATTENTION

^{o (h)−o (h)6= 0 !. . .}

x =

x→+∞= ox³ etx² =

x→+∞= ox³ mais x−x² =

x→+∞ox³6= 0.

Preuve:

Démonstration

àfaire

Exemple 4 : Avec ln(1 +x) =

x→0x−x² 2 +x³

3 + ox³et sinx =

x→0x− x³

6 + ox³, on a :

ln(1 +x) + sin(x) =

x→0

x−x² 2 +x³

3 + ox³ +x− x³

6 + ox³

x=→0 2x− x² 2 +x³

6 + 2ox³

x=→0 2x− x² 2 +x³

6 + ox³.

Fonctions : Si f _x=

→ao (g) et g _x=

→ao (h) alors f _x=

→ao (h).

Suites : Siun =

n→+∞o (vn) et vn =

n→+∞o (wn) alorsun =

n→+∞o (wn).

Proposition 7 (Un petit o d’un petit o est un petit o)

En d’autres termes, la relation « être négligeable » est transitive.

À part qu’elle n’est pas anti-symétrique, la relation de négligeabilité se comporte à peu près comme une relation d’ordre stricte.

Preuve:

Démonstration

àfaire

Exemple 5 : Prenons l’égalité eⁿ¹² =

n→+∞1 + 1

n² + o 1 n²

. Comme 1

n² =

n→+∞o1 n

alors : eⁿ¹² =

n→+∞1 + 1

n² + o 1 n²

n→=+∞1 + o1 n

+ oo1 n

n→=+∞1 + o1 n

+ o1 n

n→=+∞1 + o1 n

.

On dit que l’on a tronqué à l’ordre 1 n.

Fonctions : Si f =

x→ao (h) et g =

x→ao (k) alors f g =

x→ao (hk).

Si f _x=

→ao (g) alorsf h_x=

→ao (gh).

Suites : Siun =

n→+∞o (wn) et vn =

n→+∞o (tn) alorsunvn =

n→+∞o (wntn).

Siun =

n→+∞o (vn) alors unwn =

n→+∞o (vnwn).

Proposition 8 (Les petits o sont compatibles avec le produit)

En particulier, x²×o (x) = ox³, x×o1 x

= o (1), . . . Exemple 6 : Reprenons les égalités ln(1 +x) =

x→0 x+ o (x) et sinx =

x→0x+ o (x).

Alors sin(x) ln(1 +x) =

x→0

1 +x+ o (x)x+ o (x)

x=→0x+ o (x) +x² +x×o (x) +x×o (x) + o (x)×o (x)

x=→0x+ o (x) +x² + 2x×o (x) + ox²

| {z }

=

x→0o(x²) =

x→0o(x) x=→0x+ o (x).

Fonctions : Soient b∈Retϕ une fonction définie sur un voisinage deb à valeurs dans I.

Si f =

x→ao (g) et lim

x→bϕ(x) =a alors f◦ϕ =

x→bo (g◦ϕ).

Suites : Soit ϕ: N7−→N strictement croissante.

Si un =

n→+∞o (vn) alorsu_ϕ(n) =

n→+∞ov_ϕ(n).

Proposition 9 ( Les petits o sont compatibles avec la composition à droite et les suites extraites )

En pratique, pour a 6= ±∞, ce résultat permet en particulier de ramener par la translation ϕ : x 7−→ x+a toute relation f(x) =_x

→a o (g) au voisinage de a en une relation

f(a+h) =

h→0o (g(a+h)) au voisinage de 0.

Exemple 7 : √ x =

x→+∞o (x) alors √

lnx =

x→+∞o (lnx).

De même, comme 2ⁿ =

n→+∞o (3ⁿ) alors 2ⁿ² =

n→+∞o3ⁿ².

ATTENTION

Il est formellement interdit de composer une relation de négligeabilité par la gauche.

Par exemple, √ x =

x→+∞o (x) mais ln√

x =

x→+∞ o (lnx).^⌊4⌋

II Développements limités

II.1 Introduction

Nous cherchons dans ce paragraphe à approcher les fonctions par des fonctions poly- nomiales au voisinage d’un point, généralement 0.

Nous allons, par exemple, montrer que : e^x =

x→01 +x+ x² 2 +x³

6 + ox³.

Ce résultat signifie que la fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 3 la plus proche de l’exponentielle au voisinage de 0 est la fonction

x7−→1 +x+ x² 2 +x³

6 .

⌊4⌋. lim

x→+∞

ln√ x lnx = 1

2 6= 0.

1

1 e

Figure 12.1– Courbe représentative de x 7−→ expx approchée par des fonctions polynomiales.

Pour la même raison, comme e^x =

x→0 1 +x+ x²

2 + ox², la fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 2 la plus proche de l’exponentielle au voisinage de 0 est la fonction x7−→1 +x+ x²

2.

La fonction polynomiale de degré la plus proche de l’exponentielle au voisinage de 0 est la fonction x7−→1 +x, autrement dit, sa tangente en 0. Rien d’étonnant !

Soient f : I 7−→R ,a ∈I∩R etn ∈N.

On dit que f possède un développement limité à l’ordre n au voisinage de a, noté aussi un DLn(a), s’il existe des réels a₀, . . . ,an tels que :

f(x) =

x→aa0+a1(x−a) +a2(x−a)²+. . .+an(x−a)ⁿ+ o ((x−a)ⁿ). Le polynôme P(x−a) =a0+a1(x−a) +a2(x−a)²+. . .+an(x−a)ⁿ est appelé la partie régulière du développement limité.

Définition 2 (Développement limité)

Plus n est grand, plus la quantité (x−a)ⁿ est petite au voisinage de a. Du coup, plus n est grand, plus l’approximation de f obtenue au voisinage de a est précise.

L’ordre n du o((x−a)ⁿ) contrôle l’erreur de l’approximation.

Remarques :

— On notera R_n[X] l’ensemble des polynômes de degré au plus n et à coefficients réels.

— On a P(x−a) = ^Xn

k=0

ak(x−a)^k. Dans la pratique on ne développe jamais les termes (x−a)^k ce qui^⌊5⌋ n’aurait aucun intérêt.

— Le reste duDLn(a) c.-à-d. o ((x−a)ⁿ), donne l’ordre du développement et peut aussi se mettre, suivant les besoins, sous la forme (x−a)ⁿε(x) où lim_x

→aε(x) = 0.

Exemples 8 :

— sin(x) =

x→0x+ o (x) : DL1(0) de sin(x), sa partie régulière est x.

— Comme lim

x→0

e^−x12 x² =

u=1 x²

u→−∞lim ue^u = 0 alorse^−x12 =

x→0ox².

C’est un DL₂(0) de e^−x12 au voisinage de 0 dont la partie régulière est nulle.

Exercice 2 : Comment s’écrit le développement limité d’ordre k ∈ N d’un poly- nôme au voisinage de 0 ?

Exercice 3 (DL de 1

1−x au voisinage de 0) : Montrer que 1

1−x =

x→01 +x+x²+. . . xⁿ+ o (xⁿ)

x=→0

Xn k=0

x^k+ o (xⁿ).

— On peut ramener tout développement limité au voisinage de aà un dévelop- pement limité au voisinage de 0.

Précisément, si f(x) =

x→a a0 +a1(x−a) +. . .+an(x−a)ⁿ+ o ((x−a)ⁿ) , alors, après composition à droite par la fonction x7−→x+a, on obtient :

f(x+a) =

x→0 a0+a1x+a2x²+. . .+anxⁿ+ o (xⁿ).

— On peut tronquer un développement limité d’ordre n en un développement limité à un ordre inférieur m 6 n en oubliant les termes de degré compris en m+ 1 et n.

Plus précisément, si on a un développement limité de f à l’ordre n c.-à-d. f(x) =_x

→aa₀ +a₁(x−a) +. . .+an(x−a)ⁿ+ o ((x−a)ⁿ) alors, pour m 6 n, f(x) =

x→a a0 +a1(x−a) +. . .+an(x−a)^m+ o ((x−a)^m) est un développement limité de f à l’ordrem.

Méthode 1 (Translation et troncature)

⌊5⌋. en plus d’être mal

Si f admet un développement limité au voisinage d’un réel a alors celui-ci est unique.

Théorème 10 (Unicité du développement limité)

Preuve:

Démonstration

àfaire

Exemple 9 (DL de tan(x) au voisinage de 0) : Cherchons unDL₅ au voi- sinage de 0 de la fonction tangente.

Supposons que la fonction tangente admette un développement limité de la forme : tan(x) =

x→0 a+bx+cx²+dx³+ex⁴+f x⁵+ ox⁵. Tout d’abord, la fonction tangente étant impaire, on a :

tan(−x) =

x→0a−bx+cx²−dx³+ex⁴−f x⁵ + ox⁵.

L’unicité du développement limité et la relation tan(−x) =−tan(x) entraîne immé- diatement : a=c=e= 0.

De la relation tan^′(x) = 1 + tan²(x)^⌊6⌋, on déduit ensuite : b+ 3dx² + 5f x⁴+ ox⁴ =

x→01 +bx+dx³+f x⁵+ ox^{5 2}

On développe le second membre en tronquant les termes d’ordre supérieur à 5,

x=→01 +b²x²+ 2bdx⁴+ ox⁵

Par unicité du développement limité, les coefficients sont solution du système li- néaire :







b = 1 3d = b²

5f = 2bd ⇐⇒























b = 1 d = 1 3 f = 2

15 On trouve donc : tan(x) =

x→0 x+x³ 3 + 2

15x⁵+ ox⁵.

Confirmons les propriétés de parité apparues dans l’exemple précédent :

Soit f : I 7−→ R une fonction où 0 ∈ I et I est un intervalle symétrique par rapport à 0.

— Si f est paire et possède un développement limité au voisinage de 0, alors les coefficients de rang impair sont nuls.

— Sif est impaire et possède un développement limité au voisinage de 0, alors les coefficients de rang pair sont nuls.

Proposition 11 (Parité/Imparité)

Preuve:

Démonstration

àfaire

Exemple 10 : Reprenons l’ exercice (3), en composant à droite parx7−→x², on obtient :

1 1 +x² =

x→0

Xn k=0

(−1)^kx^2k+ ox²ⁿ. On montrera bientôt que :

— cos(x) =

x→01−x² 2 +x⁴

24+. . .+(−1)ⁿx²ⁿ

(2n)! + ox²ⁿ =

x→0

Xn k=0

(−1)^kx^2k

(2k)! + ox²ⁿ.

— sin(x) =

x→0x−x³ 6 + x⁵

120+. . .+(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! +ox²ⁿ⁺¹ =

x→0

Xn k=0

(−1)^kx^2k+1

(2k+ 1)! +ox²ⁿ⁺¹.

— cosh(x) =

x→01 + x² 2 + x⁴

24 +. . .+ x²ⁿ

(2n)! + ox²ⁿ =

x→0

Xn k=0

x^2k

(2k)!+ ox²ⁿ.

— sinh(x) =

x→0x+x³ 6+ x⁵

120+. . .+ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)!+ox²ⁿ⁺¹ =

x→0

Xn k=0

x^2k+1

(2k+ 1)!+ox²ⁿ⁺¹.

Le résultat suivant est une conséquence immédiate des définitions de la continuité et de la dérivabilité en un point.

⌊6⌋. En attendant le théorème (16), on admet que la dérivée de tan(x) admet un développement limité qui est la dérivée de celui de tan(x) au voisinage de 0.

Soient f : I 7−→R une fonction eta∈I.

— f est continue ena si, et seulement sif possède un développement limité à l’ordre 0 au voisinage de a.

Précisément, dans ce cas : f(x) =

x→af(a) + o (1).

— f est dérivable en asi, et seulement si f possède un développement limité à l’ordre 1 au voisinage de a.

Précisément, dans ce cas : f(x) =

x→af(a) +f^′(a)(x−a) + o (x−a).

Théorème 12 (Développement limité et continuité/dérivabilité)

Remarque :Dans un développement limité def au voisinage dea, le coefficient d’ordre 0 est TOUJOURS f(a) et celui d’ordre 1, TOUJOURS f^′(a).

Les développements limités prolongent naturellement la notion de tangente à la courbe def en un pointa.

II.2 Primitivation des développements limités

On commence par un lemme simple avant la version plus générale :

Soient g ∈D(I; R),a ∈I etn∈ N. Si g^′(x) =_x

→ao ((x−a)ⁿ) alors g(x) =_x

→ag(a) + o(x−a)ⁿ⁺¹. Lemme 13

Preuve:

Démonstration

àfaire

Soient f ∈D(I;R) et a∈I.

Si f^′ possède un développement limité à l’ordre n au voisinage de a, f^′(x) =

x→a

Xn k=0

ak(x−a)^k + o ((x−a)ⁿ) avec a₀, . . . , an ∈ R alors f possède un développement limité à l’ordre n+ 1 au voisinage dea :

f(x) =

x→af(a) + ^Xn

k=0

ak

k+ 1(x−a)^k+1+ o(x−a)ⁿ⁺¹. Théorème 14 (Primitivation des développements limités)

⌊6⌋. ou [x;a] et ]x;a[ respectivement.

On peut donc toujours primitiver terme à terme le développement limité d’une dérivée ! On prendra garde au fait que le premier coefficient est alors f(a).

Preuve:

Démonstration

àfaire

Exemple 11 (DL de ln(1 +x) au voisinage de 0) : Comme 1

1−x =

x→0 n−1

X

k=0

x^k + oxⁿ⁻¹, alors 1

1+x =

x→0 n−1

X

k=0

(−1)^kx^k + oxⁿ⁻¹ par com- position à droite parx7−→ −x puis, par primitivation et avec ln(1 + 0) = ln 1 = 0 :

ln(1 +x) =

x→0

Xn k=1

(−1)^k+1x^k

k + o (xⁿ)

x=→01−x+x² 2 −x³

3 +. . .+ (−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n + o (xⁿ).

Exercice 4 (DL de tan(x) au voisinage de 0) : À partir du développement limité de 1

cos²(x) =

x→01 +x²+2

3x⁴+ ox^4⌊7⌋, trouver un DL₅ au voisinage de 0 de tan(x).

Exercice 5 (DL de arctan(x) au voisinage de 0) : Donner le développement limité de arctan(x) au voisinage de 0.

⌊7⌋. On calculera ce développement limité à l’ exercice (22).

II.3 Formule de Taylor-Young

Il est grand temps de se demander sous quelles conditions une fonction f admet un développement limité : Le théorème de Taylor^⌊8⌋-Young^⌊10⌋ va y répondre.

Soient n ∈N et a∈I.

Sif ∈ Cⁿ(I; R) alors f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage dea et, plus précisément :

f(x) =

x→a

Xn k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k+ o ((x−a)ⁿ)

x=→af(a) +f^′(a)(x−a) + f^′′(a)

2 (x−a)²+. . .+f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ+ o ((x−a)ⁿ). Le polynôme P définit par P(X) =

Xn k=0

f^(k)(a)

k! (X −a)^k est appelé polynôme de Taylor d’ordre n associé à f au point a.

Théorème 15 (Formule de Taylor-Young)

Le développement de Taylor à l’ordre 1 au voisinage de a n’est rien d’autre que l’ex- pression de la droite tangente à la courbe de f en a.

⌊8⌋. Brook Taylor est un homme de science anglais, né à Edmonton, aujourd’hui un quartier de Londres, le 18 août1685, et mort à Londres le 29 décembre1731.

Principalement connu comme mathématicien, il s’intéressa aussi à la musique, à la peinture et à la religion.

Il ajouta aux mathématiques une nouvelle branche appelée «calcul de différences finies», inventa l’intégration par parties, et découvrit les séries appelées «développements de Taylor». Ses idées furent publiées dans son livre de 1715,Methodus incrementorum directa et inversa.

La première mention par Taylor de ce qui est appelé aujourd’hui théorème de Taylor apparaît dans une lettre que ce dernier écrivit àMachinle 26 juillet 1712. Dans cette lettre, Taylor explique clairement d’où lui est venue cette idée, c’est-à-dire d’un commentaire que fit Machin au Child’s Coffeehouse, utilisant les « séries de Sir Isaac Newton» pour résoudre un problème deKepler, et utilisant également « les méthodes du Dr Halley^⌊9⌋pour extraire les racines » d’équations polyno- miales.

La publication de 1715 donne deux versions du «théorème de Taylor ». Dans la première ver- sion, le théorème apparaît dans la Proposition 11 qui est une généralisation des méthodes de Halley d’approximation de racines de l’équation de Kepler, ce qui allait bientôt devenir une conséquence des séries de Bernoulli. C’est cette version qui a été inspirée par les conversations du Coffeehouse décrites précédemment. Dans la seconde version se trouve le Corollaire 2 de la Proposition 7 et qui est une méthode pour trouver davantage de solutions des équations fluxionnelles dans les séries infinies.

Taylor était le premier à découvrir ce résultat.

⌊9⌋. Celui de la comète oui !

⌊10⌋. Thomas Young (13 juin 1773 à Milverton (Somerset) - 10 mai 1829 à Londres), est un physicien, médecin et égyptologue britannique.

Son excellence dans de nombreux domaines non reliés fait qu’il est considéré comme un polymathe, au même titre par exemple que Léonard de Vinci, Gottfried Wilhelm Leibniz ou Francis Bacon. Son savoir était si vaste qu’il fut connu sous le nom de phénomène Young.

Il exerça la médecine toute sa vie, mais il est surtout connu pour sa définition du module de Young en science des matériaux et pour son expérience des fentes de Young en optique, dans laquelle il mit en évidence et interpréta le phénomène d’interférences lumineuses.

Il s’intéressa également à l’égyptologie en participant à l’étude de lapierre de Rosette.

Les développements de Taylor sont donc à voir comme une généralisation polynomiale de la droite tangente, aux ordres supérieurs.

Remarque :On pourra vérifier par récurrence surn∈Nque,∀k ∈J0 ;nK,P^(k)(a) =f^(k)(a).

Ce résultat est avant tout un théorème d’existence de développements limités.

La formule de Taylor-Young ne nous donne cependant qu’une information locale, au voisinage dea. En aucun cas, elle ne peut être utilisée pour une étude globale^⌊11⌋ mais localement il s’agit de la meilleure approximation par un polynôme de degré au plus n.

Sur cette question, nous disposons à présent de deux équivalences et d’une implication (seulement) :

f continue ⇐⇒ Existence d’un développement limité à l’ordre 0.

f dérivable ⇐⇒ Existence d’un développement limité à l’ordre 1.

f de classe Cⁿ =⇒ Existence d’un développement limité à l’ordre n.

f de classe C^∞ =⇒ Existence d’un développement limité à tout ordre.

ATTENTION

La réciproque n’est pas du tout vraie, il existe des fonctions qui admettent par exemple des développements limités à tout ordre en 0 sans être de classe C^∞.

Toute la question de l’année prochaine sera d’estimer l’erreur faite en approchant f par son développement de Taylor ^Xn

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k au point a.

Notamment, si f est de classe C^∞ sur I, est-ce qu’en faisant tendre n vers +∞, le développement de Taylor tend vers f. To be continued. . .

Remarque : La fonctionf : R7−→R définie par f(x) =e^−x12 est de classe C^∞ sur R dont toutes les dérivées sont nulles en 0 c.-à-d. son développement limité en 0 à tout ordre est nul sans que la fonction f ne le soit f(1) = 1

e

.

Conséquence, la fonction f n’admet aucun développement limité en aucun point ou encore f n’est pas développable en série de Taylor.

Retenez aussi que l’existence d’un DL à l’ordre n au voisinage de a n’implique pas l’existence de la dérivée n^ème def en a. Ainsi, tous lesDLne sont pas obtenus par la formule de Taylor-Young. Je le redis, le lien entre existence du DLn et de la dérivée n^ème n’est vrai que pour les petits ordren = 0 et n= 1 et ça s’arrête là !

Exercice 6 : Montrer que la fonction définie par f(x) =x³sin1 x

avec f(0) = 0, admet un DL2(0) mais que f n’est pas deux fois dérivable en 0.

⌊11⌋. Vous aurez d’autres formules pour cela l’année prochaine : la formule de Taylor-Lagrange.

Preuve:

Démonstration

àfaire

Exercice 7 (DL de e^x au voisinage de 0) :

1. Donner le développement limité de e^x au voisinage de 0.

2. En déduire ceux de cosh(x) et sinh(x).

Exemple 12 (DL de (1 +x)^α au voisinage de 0) : Pour tous a ∈ R et n ∈ N, la fonction x 7−→(1 +x)^α est de classe Cⁿ sur ]−1 ; +∞[ et, ∀k ∈ J0 ;nK, sa dérivée k^èmeest :

x7−→α(α−1)(α−2). . .(α−k+ 1)1 +x^α−k. D’après la formule de Taylor-Young, on a alors :

(1 +x)^α = 1 +αx+α(α−1)

2 x²+ α(α−1)(α−2)

6 x³+. . .

+ α(α−1)(α−2). . .(α−n+ 1)

n! xⁿ+ o (xⁿ). Remarques :

— Lorsque α est un entier naturel, ∀k ∈J0 ;αK,





α k



= α(α−1)(α−2). . .(α−k+ 1)

k! .

Dans ce cas et ce cas seulement, le développement limité de (1 +x)^α lorsque x tend vers 0 est tout simplement le développement de la formule du binôme.

Conclusion : Quand vous cherchez un développement limité de (1 +x)⁵ à l’ordre 3 lorsque x tend vers 0, utilisez simplement la formule du binôme que vous connaissez bien !

(1 +x)⁵ = 1 + 5x+ 10x² + 10x³+ 5x⁴+x⁵ = 1 + 5x+ 10x³+ ox³.

— Pour α <0, le développement limité de 1

(1 +x)^−α est la dérivée terme à terme

−(α + 1)^ème de celui de 1

1 +x c.-à-d. on peut donc dériver une série géomé- trique.

De manière plus synthétique : 1

(1 +x)ⁿ⁺¹ =

x→0

Xm k=0



k+n n



x^k+ o (x^m).

Lorsque α∈R^∗, on généralise les coefficients binomiaux en posant :

∀k ∈J0 ;nK,





α k





R

= α(α−1)(α−2). . .(α−k+ 1)

k! .

On réécrit alors le développement limité de (1 +x)^α : (1 +x)^α =

x→0

Xn k=0





α k





R

x^k+ o (xⁿ).

Exercice 8 (DL de cos(x) et sin(x) au voisinage de 0) : 1. Pour tout k∈N, calculer cos^k(0) et sin^k(0).

2. En déduire les développements limités au voisinage de 0 des fonctions cosinus et sinus.

Exemple 13 (DL de tan(x) au voisinage de 0) : On peut déterminer expli- citement un développement limité de tangente à tout ordre au voisinage de 0, mais le résultat est compliqué, pas bien utile et hors programme.

La fonction tangente est de classe au moins C³ sur −π 2 ;π

2

donc possède un déve- loppement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0.

D’après la formule de Taylor-Young, il reste à calculer ses quatre premières dérivées en 0.

tan(0) = 0,

tan^′(0) = 1 + tan²(0) = 1,

tan^′′(0) = 2 tan^′(0) tan(0)

= 0,

et tan^′′′(0) = 2 tan^′(0) + 6 tan^′(0) tan²(0)

= 2.

Donc tan(x) =

x→0 x+x³

3 + ox³

Pour le plaisir : Si jamais vous étiez tentés de penser que le développement limité en 0 de tangente n’est pas si compliqué, le voici :

tan(x) =

x→0

Xn k=1

2^2k(2^2k−1)B2k

(2k)! x^2k−1+ ox²ⁿ⁻¹

0=→xx+ x³

3 +2x⁵

15 +17x⁷

315 +. . . ,