Chapitre 1 : Calculs algébriques

Chapitre 1 : Calculs algébriques

/ Maîtriser les principes de récurrence.

/ Maîtriser les symbolesPetQ.

1 Principes de récurrence

On considère une propositionP(n)qui dépend d'un entier natureln. On souhaite montrer queP(n)est Vraie pour tout entier natureln≥n0 oùn0 est un rang d'initialisation.

1.1 Récurrence simple

Si

• P(n0)est Vraie (initialisation)

• ∀n≥n0,P(n) =⇒P(n+ 1)(hérédité) Alors pour toutn≥n0,P(n)est vraie.

1.2 Récurrence double

Si

• P(n0)etP(n0+ 1)sont Vraies (initialisation)

• ∀n≥n0, P(n)etP(n+ 1)

=⇒P(n+ 2) (hérédité) Alors pour toutn≥n0,P(n)est vraie.

1.3 Récurrence forte

Si

• P(n0)est Vraie (initialisation)

• ∀n≥n0, P(n0)etP(n0+ 1) · · · et P(n)

=⇒P(n+ 1)(hérédité) Alors pour toutn≥n0,P(n)est vraie.

2 Sommes et produits

2.1 Dénitions

Soit I un sous-ensemble ni de N. On appelle famille nie de nombres indexée par I, un ensemble de nombres réelsa_i numérotés par les éléments deI. Cette famille est alors notée(ai)_i∈I.

Dénition 1 (Famille nie).

Exemple 1.{a0, a₁, a₂, a₃}={ai, i∈ {0,1,2,3}}est une famille nie.

Soit(ai)i∈I une famille de nombres réels. On dénit et on note

• X

i∈I

ai la somme de tous les éléments de la famille

• Y

i∈I

ai le produit de tous les éléments de la famille Conventions lorsqueI=∅

Dénition 2 (Somme et produit).

Exemple 2. SoientI={1,2,3}eta₁= 3, a₂= 1, a₃= 3. On a :X

i∈I

a_i =. . . etY

i∈I

a_i=. . .. Exemple 3. On a :

3

X

i=0

i²=. . . .. Et

3

Y

i=1

i²=. . . .

2.2 Propriétés

Soit(ai)i∈I et (bi)i∈I deux familles de nombres. Quel que soitλ∈R, on a : X

i∈I

(λai+bi) =λX

i∈I

ai+X

i∈I

bi. Proposition 1 (Linéarité de la somme).

Soit(ai)i∈I et (bi)i∈I deux familles de nombres. On a :

Y

i∈I

(aibi) = Y

i∈I

ai

! Y

i∈I

bi

! . Proposition 2 (Associativité du produit).

2.3 Factorielle

Soitn∈N. On dénit factoriellenet on note n!l'entier naturel suivant : n! =

n

Y

k=1

k= 1×2× · · · ×n sin≥1, et 0! = 1.

Dénition 3 (Factorielle).

Exemple 4. On a2! =. . . et5! =. . ..

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3 Sommes de référence

3.1 Somme d'entiers consécutifs

Pour `, n∈Navec`≤n, on a :

n

X

k=`

k=

Proposition 3 (Somme d'entiers consécutifs).

3.2 Somme d'entiers consécutifs au carré

Pour `, n∈Navec`≤n, on a :

n

X

k=1

k²=

Proposition 4 (Somme d'entiers consécutifs au carré).

3.3 Somme des puissances d'un entier

Soitqun nombre réel diérent de 1. Pour metndeux entiers tels quem≤n, on a :

n

X

k=m

kⁱ=

Proposition 5 (Somme de puissances consécutives d'un entier).

3.4 Une factorisation

Soitaetb deux réels. On a, pour tout entier naturelnnon nul : aⁿ−bⁿ= (a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+· · ·+abⁿ⁻²+bⁿ⁻¹) = (a−b)

n−1

X

k=0

a^n−1−kb^k Proposition 6 (Factorisationaⁿ−bⁿ).

Exemple 5. Poura, b∈R, on a la factorisationa²−b²=. . .

4 Formule du binôme de Newton

4.1 Coecients binomiaux

Pourn, p∈N, on dénit le coecient binomial pparmi npar : n

p

= n!

p!(n−p)! sip≤n, et n p

= 0 sip > n.

Dénition 4 (Coecient binomial).

Exemple 6. Pourn∈N, on a ⁿ₀

=. . . et ⁿ_n

=. . ..

Soitn, p∈Navecp≤n. On a : n

p

= n

n−p

. Proposition 7 (Formule de symétrie).

Soitn, p∈Navec1≤p≤n. On a : n−1

p

+ n−1

p−1

= n

p

. Proposition 8 (Formule de Pascal).

4.2 Formule du binôme de Newton

Soita, b∈Retn∈N. On a :

(a+b)ⁿ=

n

X

p=0

n p

a^pb^n−p. Proposition 9 (Binôme de Newton).

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5 Somme de sommes et produit de sommes

5.1 Sommes doubles

Soit(ai,j)_(i,j)∈I×J une famille de nombres réels ou réels. On dénit et on note

X

(i,j)∈I×J

a_i,j=X

i∈I

X

j∈J

a_i,j

la somme double de tous les éléments de la famille.

Dénition 5 (Somme double).

Exemple 7. On a :

3

X

i=1 3

X

j=2

ij=. . . ..

5.2 Produit de sommes

Soit net pdeux entiers naturels et(a_i)_i∈[[1,n]] et (b_j)_j∈[[1,p]] deux familles de nombres réels. On a :

n

X

i=0

a_i

!



p

X

j=0

b_j



=

n

X

i=0 p

X

j=0

a_ib_j =

p

X

j=0 n

X

i=0

a_ib_j. Proposition 10 (Produit de deux sommes).

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