Il est grand temps de se demander sous quelles conditions une fonction f admet un développement limité : Le théorème de Taylor⌊8⌋-Young⌊10⌋ va y répondre.
Soient n ∈N et a∈I.
Sif ∈ Cn(I; R) alors f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage dea et, plus précisément :
f(x) =
x→a
Xn k=0
f(k)(a)
k! (x−a)k+ o ((x−a)n)
x=→af(a) +f′(a)(x−a) + f′′(a)
2 (x−a)2+. . .+f(n)(a)
n! (x−a)n+ o ((x−a)n). Le polynôme P définit par P(X) =
Xn k=0
f(k)(a)
k! (X −a)k est appelé polynôme de Taylor d’ordre n associé à f au point a.
Théorème 15 (Formule de Taylor-Young)
Le développement de Taylor à l’ordre 1 au voisinage de a n’est rien d’autre que l’ex-pression de la droite tangente à la courbe de f en a.
⌊8⌋. Brook Taylor est un homme de science anglais, né à Edmonton, aujourd’hui un quartier de Londres, le 18 août1685, et mort à Londres le 29 décembre1731.
Principalement connu comme mathématicien, il s’intéressa aussi à la musique, à la peinture et à la religion.
Il ajouta aux mathématiques une nouvelle branche appelée «calcul de différences finies», inventa l’intégration par parties, et découvrit les séries appelées «développements de Taylor». Ses idées furent publiées dans son livre de 1715,Methodus incrementorum directa et inversa.
La première mention par Taylor de ce qui est appelé aujourd’hui théorème de Taylor apparaît dans une lettre que ce dernier écrivit àMachinle 26 juillet 1712. Dans cette lettre, Taylor explique clairement d’où lui est venue cette idée, c’est-à-dire d’un commentaire que fit Machin au Child’s Coffeehouse, utilisant les « séries de Sir Isaac Newton» pour résoudre un problème deKepler, et utilisant également « les méthodes du Dr Halley⌊9⌋pour extraire les racines » d’équations polyno-miales.
La publication de 1715 donne deux versions du «théorème de Taylor ». Dans la première ver-sion, le théorème apparaît dans la Proposition 11 qui est une généralisation des méthodes de Halley d’approximation de racines de l’équation de Kepler, ce qui allait bientôt devenir une conséquence des séries de Bernoulli. C’est cette version qui a été inspirée par les conversations du Coffeehouse décrites précédemment. Dans la seconde version se trouve le Corollaire 2 de la Proposition 7 et qui est une méthode pour trouver davantage de solutions des équations fluxionnelles dans les séries infinies.
Taylor était le premier à découvrir ce résultat.
⌊9⌋. Celui de la comète oui !
⌊10⌋. Thomas Young (13 juin 1773 à Milverton (Somerset) - 10 mai 1829 à Londres), est un physicien, médecin et égyptologue britannique.
Son excellence dans de nombreux domaines non reliés fait qu’il est considéré comme un polymathe, au même titre par exemple que Léonard de Vinci, Gottfried Wilhelm Leibniz ou Francis Bacon. Son savoir était si vaste qu’il fut connu sous le nom de phénomène Young.
Il exerça la médecine toute sa vie, mais il est surtout connu pour sa définition du module de Young en science des matériaux et pour son expérience des fentes de Young en optique, dans laquelle il mit en évidence et interpréta le phénomène d’interférences lumineuses.
Il s’intéressa également à l’égyptologie en participant à l’étude de lapierre de Rosette.
Les développements de Taylor sont donc à voir comme une généralisation polynomiale de la droite tangente, aux ordres supérieurs.
Remarque :On pourra vérifier par récurrence surn∈Nque,∀k ∈J0 ;nK,P(k)(a) =f(k)(a).
Ce résultat est avant tout un théorème d’existence de développements limités.
La formule de Taylor-Young ne nous donne cependant qu’une information locale, au voisinage dea. En aucun cas, elle ne peut être utilisée pour une étude globale⌊11⌋ mais localement il s’agit de la meilleure approximation par un polynôme de degré au plus n.
Sur cette question, nous disposons à présent de deux équivalences et d’une implication (seulement) :
f continue ⇐⇒ Existence d’un développement limité à l’ordre 0.
f dérivable ⇐⇒ Existence d’un développement limité à l’ordre 1.
f de classe Cn =⇒ Existence d’un développement limité à l’ordre n.
f de classe C∞ =⇒ Existence d’un développement limité à tout ordre.
ATTENTION
La réciproque n’est pas du tout vraie, il existe des fonctions qui admettent par exemple des développements limités à tout ordre en 0 sans être de classe C∞.Toute la question de l’année prochaine sera d’estimer l’erreur faite en approchant f par son développement de Taylor Xn
k=0
f(k)(a)
k! (x−a)k au point a.
Notamment, si f est de classe C∞ sur I, est-ce qu’en faisant tendre n vers +∞, le développement de Taylor tend vers f. To be continued. . .
Remarque : La fonctionf : R7−→R définie par f(x) =e−x12 est de classe C∞ sur R dont toutes les dérivées sont nulles en 0 c.-à-d. son développement limité en 0 à tout ordre est nul sans que la fonction f ne le soit f(1) = 1
e
.
Conséquence, la fonction f n’admet aucun développement limité en aucun point ou encore f n’est pas développable en série de Taylor.
Retenez aussi que l’existence d’un DL à l’ordre n au voisinage de a n’implique pas l’existence de la dérivée nème def en a. Ainsi, tous lesDLne sont pas obtenus par la formule de Taylor-Young. Je le redis, le lien entre existence du DLn et de la dérivée nème n’est vrai que pour les petits ordren = 0 et n= 1 et ça s’arrête là !
Exercice 6 : Montrer que la fonction définie par f(x) =x3sin1 x
avec f(0) = 0, admet un DL2(0) mais que f n’est pas deux fois dérivable en 0.
⌊11⌋. Vous aurez d’autres formules pour cela l’année prochaine : la formule de Taylor-Lagrange.
Preuve:
Démonstration
àfaire
Exercice 7 (DL de ex au voisinage de 0) :
1. Donner le développement limité de ex au voisinage de 0.
2. En déduire ceux de cosh(x) et sinh(x).
Exemple 12 (DL de (1 +x)α au voisinage de 0) : Pour tous a ∈ R et n ∈ N, la fonction x 7−→(1 +x)α est de classe Cn sur ]−1 ; +∞[ et, ∀k ∈ J0 ;nK, sa dérivée kèmeest :
x7−→α(α−1)(α−2). . .(α−k+ 1)1 +xα−k. D’après la formule de Taylor-Young, on a alors :
(1 +x)α = 1 +αx+α(α−1)
2 x2+ α(α−1)(α−2)
6 x3+. . .
+ α(α−1)(α−2). . .(α−n+ 1)
n! xn+ o (xn). Remarques :
— Lorsque α est un entier naturel, ∀k ∈J0 ;αK,
α k
= α(α−1)(α−2). . .(α−k+ 1)
k! .
Dans ce cas et ce cas seulement, le développement limité de (1 +x)α lorsque x tend vers 0 est tout simplement le développement de la formule du binôme.
Conclusion : Quand vous cherchez un développement limité de (1 +x)5 à l’ordre 3 lorsque x tend vers 0, utilisez simplement la formule du binôme que vous connaissez bien !
(1 +x)5 = 1 + 5x+ 10x2 + 10x3+ 5x4+x5 = 1 + 5x+ 10x3+ ox3.
— Pour α <0, le développement limité de 1
(1 +x)−α est la dérivée terme à terme
−(α + 1)ème de celui de 1
1 +x c.-à-d. on peut donc dériver une série géomé-trique.
De manière plus synthétique : 1
(1 +x)n+1 =
x→0
Xm k=0
k+n n
xk+ o (xm).
Lorsque α∈R∗, on généralise les coefficients binomiaux en posant :
∀k ∈J0 ;nK,
α k
R
= α(α−1)(α−2). . .(α−k+ 1)
k! .
On réécrit alors le développement limité de (1 +x)α : (1 +x)α =
x→0
Xn k=0
α k
R
xk+ o (xn).
Exercice 8 (DL de cos(x) et sin(x) au voisinage de 0) : 1. Pour tout k∈N, calculer cosk(0) et sink(0).
2. En déduire les développements limités au voisinage de 0 des fonctions cosinus et sinus.
Exemple 13 (DL de tan(x) au voisinage de 0) : On peut déterminer expli-citement un développement limité de tangente à tout ordre au voisinage de 0, mais le résultat est compliqué, pas bien utile et hors programme.
La fonction tangente est de classe au moins C3 sur −π 2 ;π
2
donc possède un déve-loppement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0.
D’après la formule de Taylor-Young, il reste à calculer ses quatre premières dérivées en 0.
tan(0) = 0,
tan′(0) = 1 + tan2(0) = 1,
tan′′(0) = 2 tan′(0) tan(0)
= 0,
et tan′′′(0) = 2 tan′(0) + 6 tan′(0) tan2(0)
= 2.
Donc tan(x) =
x→0 x+x3
3 + ox3
Pour le plaisir : Si jamais vous étiez tentés de penser que le développement limité en 0 de tangente n’est pas si compliqué, le voici :
tan(x) =
x→0
Xn k=1
22k(22k−1)B2k
(2k)! x2k−1+ ox2n−1
0=→xx+ x3
3 +2x5
15 +17x7
315 +. . . ,
où les nombres Bn apparaissant dans le développement de tan(x) sont les nombres de Bernoulli définis par la formule explicite :
Bn= Xn
k=0
(−1)k k!
k+ 1
1 k!
Xk j=1
(−1)k−j
k j
jn
=Xn
k=0
1 k+ 1
Xk j=0
(−1)j
k j
jn.