Calcul de Surface
Si f est une fonction réelle positive continue prenant ses valeurs dans un segment I = [0,a], alors l'intégrale de f sur I, notée
a0
dx ).
x (
f est l’aire d'une surface délimitée par la représentation graphique de f et par les trois droites d'équation x = 0, x = a, y = 0.
Application : Calcul de la surface d’un cercle
Equation du cercle : x2 + y2 = R2
En divisant par R2 on obtient : 1 R
y R
x
2 2 2
2 + = d’où 2
2 2
2
R 1 x R
y = − y
x yr
2 2
R 1 x R
y = − d’où 2
2
R 1 x R
y= −
Appelons S la surface totale du cercle ; d’après la définition de l’intégrale on a : dx
R . 1 x 4 R
S
2 2 R
0
−
=
Faisons un changement de variable avec x=Rcosθ doncdx=−Rsinθ Calculons les bornes de l’intégrale après le changement de variable : x varie de 0 à R : si x=0 alors cosθ = 0 donc
2
= π θ
Si x=R alors cosθ = 1 donc θ = 0
En conséquence, si x varie de 0 à R, alors θ variera de 2 π à 0
θ
−
= θ θ
−
= θ θ
−
−
= θ θ
−
−
=
π π
π π
2 0
2 2 2
0
2 2 2
0
2 2
2 2 0
2
sin R sin
. sin R
sin R . cos 1 R sin
R R . cos 1 R
4 R S
4 R . 4
4 R sin 0 4
4 R 2 sin R 2
4
S 2 2 2
0
2
2 =− −π= π
π− π
−
−
=
θ− θ
−
= π
Donc la surface totale du cercle vaut :
Application : Calcul de la surface d’une sphère 1ère Méthode
L’élément de surface dS est le produit de la longueur de l’arc vert et de la longueur de l’arc rouge.
R2
S=π
Dans le plan , ⃗, ⃗ la longueur de l’arc rouge vaut R.dθ car OM = R
Dans le plan , ⃗, ⃗ la distance HM vaut : HM = R sinθ
La longueur de l’arc vert vaut R. sinθ.dϕ
Donc dS = R2.sinθ.dθ.dϕ
Pour obtenir l’aire complète, les domaines de θ et ϕ sont les suivants : 0 ≤ ≤ 20 ≤ ≤
S = ! = ! . sin . d . d = sin . d . d
S = "− $%& ' . " ' = "−$%& + $%&0'. "2 − 0' S = "+1 + 1'. "2 '
S = 4π R2
2ème Méthode
Elle consiste à intégrer une couronne de forme sphérique ( voir fig )
Comme précédemment on a : HM = r = R sinθ
La surface de l’élément de surface dS est égale au produit du périmètre de la ligne par la longueur de l’arc dθ
On a donc : dS = 2 π r . R dθ = 2 π R2 sinθ dθ
Pour obtenir l’aire complète, le domaine de θ est le suivant : 0 ≤ ≤
S = ! = ! 2 . sin . d = 2 sin . d
S = 2 "− $%& ' = 2 "−$%& + $%&0' = 2 "+1 + 1' S = 4π R2
