MATH 1903 - Section B
Exercices de Mathématiques Limites - Continuité
Exercice 1.
Simplifier les expressions suivantes :
Solutions
(1) arccos(sin(π/3)) π6
(2) sin(arccos(0)) 1
(3) tan(arcsin(−1/2)) −√
3/3
(4) cos(arccos(2)) non définie, car 2 n’est pas dans le domaine de définition dearccos
(5) arcsin(sin(−3π/2)) π/2
(6) sin(arccos(2x)) √
1−4x2
(7) cos(arcsin(x)) √
1−x2
(8) tan(arcsin(x)) √x
1−x2
Exercice 2.
Dire si les limites suivantes existent et si oui, donner leur valeur.
x→1lim
√x2+ 1−√ 2 x−1 (1)
x→+∞lim
x(1−x) 2x2 (2)
x→1lim x4−1
x−1 (3)
x→+∞lim
px2+ 2x+ 1−(x+ 1) (4)
x→−2lim x (5) |x|
x→9lim x−9
√x−3 (6)
x→1lim
x2−1 x2−2x+ 1 (7)
x→+∞lim
4e3x−1 e3x+ 3ex+ 2 (8)
x→+∞lim
√x2−1
|x|+ 1 (9)
lim
x→√ 3
|x2−8|
(10)
1
2
x→0lim 1− 1
x2 1−1
x (11)
x→−4lim 2x
x+ 4 + 8 x+ 4
(12)
x→0lim ex−1 ex/2−1 (13)
x→+∞lim ln(x2+ 2x+ 1) ln(x+ 1) (14)
x→2lim
√
x2−x−2 ln(x−2) (15)
x→1limln
1−1 x
−ln 1
x− 1 x2
(16)
x→0lim
√ lnx (17)
x→2lim 1 2
ln(p
x4−16)−ln(x−2) (18)
x→+∞lim e2x−3ex+ 2ex/2 (19)
x→3lim
px2−9 (20)
x→1lim
|x2−x|
x−1 (21)
x→2lim
√4x+ 1−3
√3x−2−2 (22)
x→+∞lim
px2+ 1−x (23)
x→2lim
x2−2x
|x−1| −1 (24)
Exercice 3.
Donner l’ensemble de continuité de la fonctionf.
Solutions (1) f(x) =
x2, x <3,
7, x= 3,
2x+ 3, x≥3.
R\ {3}
(2) f(x) =
(x2+ 5, x≤2,
1 +x3, x >2. R
(3) f(x) =
−x2, x≤0,
√x−1
lnx , x >0. R\ {0}
Exercice 4.
Calculer la limite suivante
h→0lim
f(x+h)−f(x) h
3
pour les fonctionsf suivantes :
Solutions
(1) f(x) =x2 2x
(2) f(x) =√
x 1/(2√
x)
(3) f(x) = 1/x −1/(x2)
(4) f(x) = sin(x) cosx
(5) f(x) = cos(x) −sin(x)
Exercice 5.
Calculer les limites suivantes
Solutions (1) limh→01−cosh
h 0
(2) limx→0
sin(2x)
x 2
(3) limx→0tan(2x)
x 2
(4) limx→0sin2(x2)
x2 0
(5) limx→0tan2(3x)
4x2 9/4
(6) limx→0
x2
1−cos(2x) 1/2
(7) limx→πsin(x)
x−π −1
(8) limx→0
x(1−cos(x))
sin2(x) 0
(9) limx→0 sin2(x)
p1−cos(x) 0
Exercice 6.
La fonctionf est-elle continue/continue à droite/continue à gauche au point c? Solutions (1) f(x) =
√x2+ 1−1
x , six6= 0,
0, six= 0.
, c= 0. continue en0.
(2) f(x) =
√|x|
x, six6= 0, 2, six= 0.
, c= 0.
pas continue en0,
pas continue á droite en0, n’existe pas á gauche de0.
(3) f(x) =
sin(x2−1)
x−1 , six >1, 2 sin(x−1)
x−1 , six <1,
2, six= 1.
, c= 1. continue en1.
4
Exercice 7.
Donner l’ensemble de continuité de la fonctionf.
Solutions
(1) f(x) = 1
x− 3
x+ 1 R\ {0,−1}
(2) f(x) =
x2−1
x2+x−2, six6= 1, 2
3, six= 1.
R\ {−2}
(3) f(x) = ln (x+ 2), x∈[1,17] [1,17]
(4) f(x) = ln x2+ 4x−12
]− ∞,2[∪]6,+∞[.
Exercice 8.
DéterminerAetB tels que la fonctionf soit continue surR:
Solutions
(1) f(x) =
eAx, six <1,
2, six= 1,
x2+B2, six >1.
A= ln(2), B= 1ou −1
(2) f(x) = (ln √
x2−1 +A
, six >1,
2 ln(3) + sin(πx), six≤1. A= 9
(3) f(x) =
√2A
√
x2+ 1−√ 2
x−1 , six≤1, ln(x4−1)−ln(x−1), si1< x≤3,
lnB, six >3.
A= 4 ln 26, B= 40.
Exercice 9.
(1) Montrer que l’équationex= 3√
xa au moins une solution dans[0,1].
(2) Montrer que l’équation x+ sinx= 1
x2+ 4 a au moins une solution dans [0, π].
