La continuité
I- Aux XVIIè et XVIIIè siècles, la notion de fonction continue sur un intervalle I était celle d'une fonction dont on pouvait tracer la courbe représentative sans lever le crayon ?
En utilisant cette définition et les courbes tracées ci-contre, dire si les fonctions suivantes sont ou ne sont pas continues sur l'intervalle proposé :
• f définie sur [–1;2] par f(x) = x2
• g définie sur ]0;1] par g(x) = 1 x
• u définie sur [0;2] par
{
uu(x(x)=)=2−x si xx si x ≤ 1>1• v définie sur [0;2] par
{
v(x)=1−x si x ≤ 1 v(x)=x si x>1II- Au début du XIXè siècle, Bolzano et Cauchy ont défini une approche plus algébrique de la continuité. On reprend les fonctions u et v précédentes
1) D'après les définitions des fonctions u et v, en quel réel x0 y a-t-il à priori une problème de continuité ? Justifier
2) a) Calculer les deux limites suivantes et les comparer à u(x0) lim
x→x0 x<x0
u(x) et lim
x→x0 x>x0
u(x)
b) Même question avec la fonction v
c) En sachant que graphiquement la fonction u est continue en x0 et que la fonction v n'est pas continue en x0, proposer une définition de la continuité d'une fonction en un réel x0 3) Représenter une fonction f telle qu'en un réel x0 on ait : lim
x→x0 x<x0
f (x) ≠ lim
x→x0 x>x0
f (x) ≠ f (x0)
4) On considère la fonction suivante : f(x) = 2 x
2– 8 x6 x – 3
a) Citer les plus « grands » intervalles sur lesquelles cette fonction est continue
b) Jean considère alors la fonction définie par
{
f (fx()=3)=a2x2x−−38x+6 si x≠3.Il prétend pouvoir trouver une valeur de a pour laquelle f est continue sur ℝ . Est-ce possible ?
