L2 UCBL 2016–2017 Maths 4
Cours du 6 octobre 2016
Chapitre 2. Produit de convolution. Transformée de Fourier 1. Définition deρε(t) = 1
ερ(t/ε), t ∈ R,ε > 0, et esquisse de son graphe quandρest C1par morceaux et s’annule en dehors d’un intervalle borné.
2. Énoncé vague : si Z ∞
−∞
ρ(t)dt = 1, alorsf∗ρε →f,f∗ρε∗ρε →f, . . . ,quandε→0, et ces fonctions sont de plus en plus lisses :
— f∗ρεest continue, et sif est déjà continue alorsf∗ρεest de classeC1;
— f∗ρε∗ρεest de classeC1, et sif est déjà continue alorsf ∗ρε∗ρεest de classe C2, etc.
Nous avons précisé les hypothèses sur f et ρ et le sens de la convergence dans quelques cas particuliers.
3. La propriété ci-dessus s’applique pour « lisser » un signal.
4. Exemple travaillé :f(t) =|t|,ρ(t) =
0, sit <−1 1/2, si −1≤t ≤1 0, sit >1
.
5. Exemple laissé en devoir maison : mêmeρ, etf =la fonction de Heaviside, càd f(t) =
(0, sit <0 1, sit ≥0.
Calculerf∗ρεetf∗ρε∗ρεet examiner graphiquement ce qui se passe quandε→0.
6. Calcul deρb, oùρest la fonction du point 4 ci-dessus.
7. fb0(ξ) =ıξf(ξ)b sif ∈C1,f ∈L1(R)etf0 ∈L1(R).
8. xf(ξ) =c ıfb0(ξ), si f ∈ L1(R) et xf ∈ L1(R), avec une idée de preuve si f est continue et s’annule en dehors d’un intervalle[a, b].
9. fbε(ξ) =fb(εξ)(avec preuve).
10. Théorème d’inversion (ou formule d’inversion) : sif ∈ L1(R), fb∈ L1(R)et f est continue, alorsf(x) = 1
2π Z ∞
−∞
eıxξf(ξ)dξ.
11. Application : calcul de d1 1 +x2(ξ).
12. Théorème de Plancherel.
1
