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Note /10 Interrogation de cours 6 du Mardi 19 Octobre 2021

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Academic year: 2022

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ECS2 Note /10

Interrogation de cours 6 du Mardi 19 Octobre 2021

Nom et prénom :

1. ( / 2,5 points ) Compléter :

• f : E → F est linéaire si et seulement si

• f ∈ L (E, F ) est injective si et seulement si

• f ∈ L (E, F ) est surjective si et seulement si

• Si B = (e

1

, . . . , e

n

) base de E , Im (f ) =

• Théorème du rang :

2. ( / 1,5 points ) Soit p la projection sur F parallèlement à G . Compléter (on exprimera F et G en fonction de p) :

p ◦ p = F = G =

3. ( / 1 points ) Énoncer la formule de changement de bases (en définissant précisément chaque terme y apparaissant) pour un endomorphisme f ∈ L (E) :

4. ( / 5 points ) Soit f ∈ L (R

3

) dont la matrice dans la base canonique est

2 1 −1 0 1 0 1 1 0

 .

1. Écrire explicitement f ((x, y, z)) pour tout (x, y, z) ∈ R

3

.

2. Soit C = (ε

1

, ε

2

, ε

3

) , avec ε

1

= (1, 0, 1) , ε

2

= (−1, 1, 0) , ε

3

= (1, 1, 1) . Montrer que C est une base de R

3

.

3. On note B la base canonique de R

3

. Déterminer la matrice de passage de B à C . 4. Déterminer la matrice de f dans C .

5. En déduire la matrice de f

n

dans B pour tout n ∈ N (inutile d’expliciter ses coefficients).

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À l’aide du tableau de la question 1°), compléter l’équivalence suivante par une ou plusieurs congruences. En déduire le reste de la division euclidienne de N par 9. 2°)

(répondre sans phrase) Compléter la colonne de droite du tableau ci-dessous en écrivant chaque fois une égalité de la forme f n    ..... J est une